Понятие «задача». Подходы к классификации математических задач

Содержательный компонент методики обучения математике состоит из теоретического материала и практической части – задач. Причём усвоение теоретического материала происходит именно в процессе решения соответствующих задач. Математик и популяризатор науки Дж.Пойа писал о задачах: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

Определение понятия «задача»

Термин «задача» в повседневной жизни понимается как проблема, требующая решения, или как проблемная ситуация. В этом понимании задачи присутствуют в жизни человека на всех уровнях.

В рамках математической науки задачи соседствуют с понятиями и определениями, алгоритмами, теоремами и т.д. При этом задачи занимают особое место, так как все теоретические знания усваиваются посредством решения задач.

Очевидно, что задачи являются одним из главных компонентов содержания учебного предмета математики. По этой причине нужно с особым вниманием подойти к определению понятия задачи.

В общих чертах задача понимается как цель, поставленная в определённых условиях. Л.Л. Гурова ставит во главу угла умственные усилия человека, прилагаемые в процессе решения задачи: «Задача – объект мыслительной деятельности, содержащий требования некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными её элементами».

Понимание задачи как определённой системы обнаруживается в работах Г.А.Балл, Ю.М.Колягина, Л.М.Фридмана, А.Ф.Эсаулова и др. Г.А.Балл определяет задачу как «систему, обязательными компонентами которой являются:

а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии;

б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи).

Л.М.Фридман отсылает к пониманию задачи как проблемной ситуации: «Генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу – как модель проблемной ситуации, выраженной с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка».

Структура задачи

Учитывая разнообразие трактовок, можно обозначить структурные элементы задачи как объекта мыслительной деятельности:

1. Условие (У) - предметная область задачи (объекты) и отношения между объектами.
2. Обоснование (О) - теоретические или практические основания для перехода от условия к заключению посредством операций, которые составляют решение задачи, т.е. базис задачи.
3. Решение (Р) – совокупность действий или операций, которую необходимо произвести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, сформулированное в заключении,– оператор задачи.
4. Заключение (З) - требование отыскать неизвестные компоненты, убедиться в правильности чего-либо, доказать, сконструировать и т.д.

Термин «решение задачи» в современной практике обучения может иметь несколько трактовок:

• решение задачи как план (способ, метод) осуществления требования задачи;
• решение задачи как процесс выполнения плана, требования задачи;
• решение задачи как результат выполнения плана решения задачи.

Классификации задач

1. По уровню проблемности.

Процесс решения задач зависит от ряда субъективных факторов. Так, Ю.М.Колягин классифицировал задачи по признаку проблемности:

Стандартные задачи: решающему известны все компоненты задачи (условие (У); обоснование (О); решение (Р); заключение (З). Именно такие задачи реализуются на этапе усвоения теоретического материала. Данный тип задач позволяет не только закрепить полученные теоретическое знания, но и проверить уровень понимания, осуществить обратную связь. Так, на этапе усвоения теоретического материала после введения теории (определения, понятия, правила) учитель может использовать задачи на распознавание: относится тот или иной объект к введенному понятию.

Обучающие задачи: один компонент неизвестен – х. Тогда задача схематично может выглядеть так: УОРх, УОхЗ, УхРЗ, хОРЗ.

Рассмотрим примеры задач данного типа:

Задача 1. (УОРх)

Дано: 2х² + х² – 5 = 0. Используя формулу нахождения квадратных корней, найдите х.

Задача 2. (УОхЗ)

Витя нашёл корни квадратного уравнения, применив теорему, обратную теореме Виета. Объясните, как он это сделал.

Задача 3. (УхРЗ)

Маша определила корни квадратного уравнения, разложив его на множители. Назовите математический факт, положенный в основу такого уравнения.

Задача 4. (хОРЗ) Корни квадратного уравнения равны 1 и -1. Они получены с использованием формулы разности квадратов. Составьте соответствующее корням квадратное уравнение.

Поисковые задачи: неизвестны два компонента х и у. Тогда задача схематично выглядит так: УхуЗ, УОху, хуРЗ, УхРу, хОуЗ.

Рассмотрим примеры задач данного типа:

Задача 5. (УОху)

Света изучает математику в кружке. Среди школьников в этом кружке 94% процента мальчиков. Установите наименьшее возможное количество учеников в кружке.

Проблемные задачи: неизвестны три компонента х, у, z. Тогда задача схематично выглядит так: Ухуz, xОуz, хуРz, xyzЗ.

Рассмотрим примеры задач данного типа:

Задача 6.

Корабли находятся в открытом море в точках А и В. Расстояние между точками – 50 км. Корабли одновременно начинают движение друг к другу прямолинейно в независимых направлениях со скоростями соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Найдите наибольшее возможное время движения кораблей до момента их встречи в точке С.

2. По структуре деятельности.

От структуры задачи зависит тип деятельности, необходимой для решения задачи:

• репродуктивная или алгоритмическая деятельность (воспроизведение способа решения);
• продуктивная деятельность (использование известного способа решения в изменившихся условиях, привлечение знаний из других тем);
• эвристическая деятельность (поиск решения творческим путём).

3. По математическому содержанию.

В зависимости от того, какому разделу арифметики компоненты У и З, задачи бывают:

• арифметические,
• алгебраические,
• геометрические,
• тригонометрические и т.д.

4. По методу решения.

В зависимости от того, каким образом представлены компоненты О и Р задачи классифицируют на:

• арифметические, в основе которых лежит зависимость между компонентами арифметических действий.
• алгебраические, задачи, в которых требуется составление уравнений,
• геометрические, задачи, в которых необходимо выполнить построение геометрических фигур, охарактеризовать их свойства,
• комбинированные задачи;

5. По характеру требований.

Классификация задач основана на представлении в задачи компонента З:

• задачи на объяснение,
• задачи на вычисление,
• задачи на доказательство,
• задачи на построение и т.д.

6. По специфике языка:

• текстовые, где условие представлено на естественном языке,
• сюжетные (задачи, в которых присутствует фабула),
• абстрактные – к ним относятся предметные задачи.

Образовательный процесс испытывает на себе влияние со стороны окружающего мира. Так, в информационную эпоху наиболее целесообразным становится образный способ представления информации и комбинация разных способов кодирования. Школьный курс математики преимущество отдается трем способам кодирования:

• словесный,
• символьный,
• образный (таблицы, графики, схемы, чертежи, рисунки).

Образный способ можно разделить на подтипы в зависимости от используемых условных обозначений: образно-графический (требуется чтение и понимание легенды) и образно-иконический (нет необходимости читать легенду). Оба способа предполагают сформированность таких умений, как воспринимать условные обозначения, устанавливать связи между ними и самими объектами.

Следовательно, можно классифицировать задачи с опорой на наличие/отсутствие требования перекодировки информации (т.е. изменить способ представления информации, который использовался в задаче изначально); способ представления задачи одним или несколькими способом кодирования информации.

Таким образом, получим следующую классификацию математических задач по способам кодирования информации:

1. Задачи, не требующие перекодировки.
2. Задачи, требующие перекодировки.

К задачам, не требующим перекодировки (первый тип) можно отнести:

• задачи, представленные с использованием одного способа кодирования (первый тип задач);
• задачи, в которых используется несколько способов кодирования (второй тип задач).

К задачам, требующим перекодировки (третий тип) относятся задачи, в которых требуется изменить способ кодирования, представленный в задаче изначально, а именно:

• задачи на внутриобразные перекодировки;
• задачи на символьно-словесные перекодировки;
• задачи на словесно-образные перекодировки;
• задачи на образно-символьные перекодировки.
• задачи на сложные перекодировки.

Задачи, представленные с использованием преимущественно одного способа кодирования информации (образного, символьного или словесного) требуют решения этим же способом. Следует помнить, что не существует задач, представленных исключительно с использованием образного кодирования: всегда требуется словесный комментарий. При этом решение задачи может быть полностью образным. К тому же, задачи, сформулированные словесно, содержат в себе символы (числа).

Задачи второго типа (задачи, в которых используется несколько способов кодирования) требуют от учащегося умения ориентироваться в разных способах представления информации. Данные задачи не требуют от учащегося перекодировки информации из одного способа в другой, его задача - сориентироваться в данном способе кодирования и представления информации, и найти решение. К задачам такого типа можно отнести задачи на выбор правильного ответа, задачи нас соответствие, при этом условия могут быть представлены разным способом кодирования.

Задачи третьего типа (задачи, требующие перекодировки) в обязательном порядке предполагают перекодировку информации. Решая задачу такого типа, учащийся перекодирует информацию, представляя ее отличным от условия способом. Сложная перекодировка сочетает в себе несколько перекодировок.

Рассмотрим пример задачи второго типа: задачи, в которых используется несколько способов кодирования.

Формы представления информации: словесная и образно-иконическая Данная задача предполагает ее перевод в графическую форму.

Задача 7.

Стадион имеет форму круга с диаметром d. Точка 0 является стартом и финишем. Спортсмен пробегает по окружности стадиона один круг. Изобразите схематически зависимость расстояния между стартом и положением спортсмена (R) от длины пути, который пробежал спортсмен (l).

Рассмотрим пример задачи третьего типа: задача на сложную перекодировку.

Задача 8.

Функции 1–6 заданы разными способами. Установите соответствие между функциями (1-6) и промежутками их возрастания (а–д).

Функции		Промежутки
1		а	пустое множество
2		б	числа натурального ряда меньше пяти
3	у(х) = |х-1|	в	(1; 2) U (2; 3) U (3; 4)
4	у(х)=-(х+1)2, где х ∈ [1;4]	г	множество х: 1 ≤ х ≤ 4
5		д	другое
6

Классификация задач по любому из вышеуказанных признаков остаётся достаточно условной. Во-первых, способы решения не исключают друг друга, во-вторых, одна и та же задача может быть представлена разными способами, в-третьих, степень проблемности зачастую зависит не от самой задачи, а от того, кто её решает. Тем не менее, различные типологии помогают учителю ориентироваться в многообразии материала.

В рамках школьного курса математики немаловажную роль играют сюжетные задачи. Именно при помощи сюжетных задач осуществляется обучение школьников методу моделирования. Моделирование предполагает описание реальных процессов на языке математики и лежит в основе курса.

Л.М.Фридман определяет сюжетные задачи следующим образом: «Под сюжетными мы понимаем задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определённых количественных характеристик или значений».

Помимо вышеизложенных типологий к этому типу задач можно применить типологизацию с опорой на сюжет (покупки, движение, работа механизма и др.). Наиболее высоким уровнем проблемности обладают сюжетные задачи образного типа. Их также можно отнести к эвристическим. Для решения такой задачи требуется целостное восприятие задачи с опорой на заданный образ. Сложность заключается именно в субъективном восприятии образа, что и затрудняет поиск способа решения.

Приведем пример сюжетной задачи:

Задача 8.

В русском лесу 10 колодцев. В колодцах мертвая-живая вода. Выпьешь такой воды – умрёшь, если не успеешь запить водой из колодца с большим номером. Колодцами 1–9 владеет Иван-Царевич, колодец 10 принадлежит Кощею. Между ними должен состояться поединок, суть которого в том, чтобы предложить противнику стакан воды. При этом нельзя использовать воду из колодца противника. Придумайте, как Ивану-Царевичу остаться в живых, после того как его угостит Кощей? Как Иван-Царевич может погубить Кощея, дав ему стакан воды?

Если записать условие вкратце, будет утрачена важная деталь– «русский лес». Именно в этой детали хранится подсказка к решению (в лесу есть разные источники воды – ручьи, озёра). Безусловно, решение задачи опирается на личный опыт, и сложность её определяется субъективностью образа.

В рамках школьного курса математики применение задач опирается на логику формирования теоретической базы, при этом учитывается сложность самих задач. Под сложностью понимается объективная характеристика задачи, которая зависит от:

• формулировки задания (с использованием естественного или искусственного языка, терминов и понятий из разных предметных областей);
• логическая и грамматическая структура текста (проще воспринимается та задача, в которой условие предваряет заключение, нежели та, в которой заключение предшествует или разрывает условие);
• количества и характера связей.

При решении задачи большое значение имеет субъективный компонент. В связи с этим вступает в силу критерий трудности задачи.

Трудность – характеристика задачи, которая находится в зависимости от субъектного опыта решающего (математические знания, знания из других предметных областей, учебные умения, качества мышления, бытовой опыт).

Приведем пример задачи данного типа:

Задача 8.

Из спичек составлено равенство: VII = I. Нужно переложить одну спичку так, чтобы получить верное равенство». Ученик предложил решение: VII > I. Верно ли такое решение?

Ученик заменяет равенство неравенством, потому что для него первостепенным является требование получить «верное» решение. Кроме того, трудность заключается не только в субъективном понимании условия, но и в вероятном отсутствии соответствующих математических знаний (решение задачи предполагает извлечение квадратного корня).

Список литературы:

1. Пойа Дж. Как решать задачу: пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – С. 16.
2. ГуроваЛ.Л. Психологический анализ решения задач. – Воронеж: Воронежский университет, 1976. – С. 12.
3. Балл Г.А. Теория учебных задач. – М.: Педагогика, 1990. – С. 32.
4. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. – М.: Школьная Пресса, 2002. – С. 15.
5. КолягинЮ.М. Задачи в обучении математике: в 2 ч. – М.: Просвещение, 1997.
6. ЛожкинаЕ.М., Походова И.С. Введение в моделирование. Математические модели в естествознании (биология, химия, экология). – СПб: Изд-во РГПУ им.А.И.Герцена, 2009.
7. Современная методическая система математического образования: колл. монография / Н.С.Подходова [и др.]; под ред. Н.Л.Стефановой, Н.С. Подходовой, В.И.Снегуровой. – СПб: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2009. – С.24–27.
8. Астряб А.М. Наглядная геометрия. / А.М. Астряб – М.: Книга по Требованию, 2013. – 160 с.
9. Орлов. В.В. Геометрия в задачах: 7– 9 класс.– СПб: Мир и семья – 95; Интерлайн, 1999.