Дискретный вариант среднеквадратичных приближений
Оценка 5

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Оценка 5
Научно-исследовательская работа +4
docx
информатика +1
Взрослым
17.02.2017
Дискретный вариант среднеквадратичных приближений
Дискретный вариант этого гипотетического анализа несколько иной. После этого реакционный сосуд с постоянной скоростью перемещается ( мотором) через нагревательную или охлаждающую баню. Затем в него погружается фильтровальная головка и через нее раствор высасывается из сосуда. Полученный таким образом фильтрат переносится другой бюреткой с мотором в другой сосуд, а затем подается в кювету спектрофотометра, в котором происходит измерение поглощения фильтрата и запись результата измерения на ленте. После измерения фильтрат возвращается в реакционный сосуд. Во время процесса измерения и регистрации происходит обработка других порций анализируемого вещества в других реакционных сосудах. В дискретном анализе, как правило, необходим специальный прибор, обеспечивающий автоматический переход от одной операции к другой, и из-за этого дискретная система оказывается сложнее непрерывной
дискретный вариант среднеквадратичных приближений.docx
дискретный вариант среднеквадратичных приближений Блок-схема непрерывного анализа. Дискретный  вариант этого  гипотетического  анализа несколько  иной. После этого  реакционный сосуд с  постоянной скоростью перемещается  ( мотором) через  нагревательную или  охлаждающую баню.  Затем в него погружается фильтровальная головка и через нее раствор высасывается из сосуда. Полученный таким  образом фильтрат переносится другой бюреткой с мотором в другой сосуд, а затем подается в кювету  спектрофотометра, в котором происходит измерение поглощения фильтрата и запись результата измерения на  ленте. После измерения фильтрат возвращается в реакционный сосуд. Во время процесса измерения и регистрации  происходит обработка других порций анализируемого вещества в других реакционных сосудах. В дискретном  анализе, как правило, необходим специальный прибор, обеспечивающий автоматический переход от одной операции к другой, и из­за этого дискретная система оказывается сложнее непрерывной. [1] Блок­схема непрерывного анализа. Дискретный вариант этого гипотетического анализа несколько иной. После этого реакционный сосуд с постоянной скоростью перемещается ( мотором) через нагревательную или охлаждающую баню. Затем в него погружается  фильтровальная головка и через нее раствор высасывается из сосуда. Полученный таким образом фильтрат  переносится другой бюреткой с мотором в другой сосуд, а затем подается в кювету спектрофотометра, в котором  происходит измерение поглощения фильтрата и запись результата измерения на ленте. После измерения фильтрат  возвращается в реакционный сосуд. Во время процесса измерения и регистрации происходит обработка других  порций анализируемого вещества в других реакционных сосудах. [2] Дискретный вариант такой системы описан А. Г. Ивахненко, [15.2] под названием экстремальный регулятор  шагового типа. Он удобен для объектов с большой инерционностью. [3] Блок­схема реализации метода тяжелого шарика. Рассмотрим дискретный вариант этого поиска. [4] Возможен дискретный вариант переноса спектра, который основан на свойствах преобразования Фурье. Метод  ( рис. 2.14) заключается в следующем. [5] В дискретном варианте этой игры, который сейчас рассматривается, игроки совершают перемещения поочередно.  Если Е находится в точке Е решетки, как показано на рис. 3.4.1, то он, когда наступит его очередь передвигаться,  может выбрать одну из четырех соседних точек решетки Предположим, что Р находится в точке О и что он  переместился сюда предыдущим ходом из точки С. О, то Е считается пойманным, если в это время он оказался в  одной из девяти точек, отмеченных знаком Х ­ Игра оканчивается ходом Р, и платой является число его ходов от  начала игры до поимки преступников. [6] Чувствительность фильтров ( дисперсия погрешности  работы фильтра по отношению к дисперсии  оптимального дискретного фильтра а21Д. расч при  расчетных значениях k и т к отклонениям параметров  помехи от расчетных значений. Расч0 5, / Прасч6 0. В дискретном варианте при достаточно точном знании математического ожидания измеряемого сигнала ( порядка  1 ­ 3 %) целесообразно применять смещенные фильтры первого и даже нулевого порядков, которые в значительном  диапазоне исходных данных сигнала и помехи лишь на 5 ­ 10 % уступают по точности оптимальному  статистическому фильтру. [7] В дискретном варианте при неточном знании математического ожидания измеряемого сигнала ( более 3 %)  конкурентны между собой фильтры типа экспоненциального сглаживания и несмещенный фильтр первого порядка.  Они дают погрешность фильтрации, на 30 ­ 70 % превышающую погрешность работы оптимального статистического  фильтра, однако исключительно просты в реализации на УВМ, что особенно важно при наличии десятков и сотен  измеряемых в системе контроля сигналов, искаженных помехами. Фильтр типа экспоненциального сглаживания дает несколько лучшее качество фильтрации, чем несмещенный фильтр первого порядка, но эта разница, особенно  при малом k, невелика. [8] Следующим рассматривается дискретный вариант неравенства Би­хари. [9] В задачах с дискретными вариантами мощностей также могут учитываться уже существующие мощности. [10] В вычислительной практике наиболее употребителен дискретный вариант описанных алгоритмов. [11] В узлах этой сетки размещаются дискретные варианты Sf синтезируемого объекта. [1] Эта задача ­ один из дискретных вариантов знаменитой теоремы Брауэра о том, что непрерывное отображение  выпуклого множества в себя имеет неподвижную точку. [2] Семейство вогнуто­выпуклых парциальных целевых  функций. Приведем полученные им результаты в дискретном варианте. [3] Процессы с независимыми приращениями и их дискретные варианты, частичные суммы независимых случайных  величин, являются классическими объектами исследования в теории вероятностей. Xt одинаково распределены, то ( согласно теореме К. [4] Процессы с независимыми приращениями и их дискретные варианты, частичные суммы независимых случайных  величин, являются классическими объектами исследования в теории вероятностей. Xi одинаково распределены, то ( согласно теореме К. [5] В таком случае он вновь получает дискретный вариант и все вышеизложенные выводы. [6] Процессы с независимыми приращениями и их дискретные варианты, частичные суммы независимых случайных  величин, являются классическими объектами исследования в теории вероятностей. X ­ t одинаково распределены,  то ( согласно теореме К. [7] Таким образом, модель Вольтерра представляет собой дискретный вариант конформно инвариантных систем  теории поля. [8] Структурная схема устройства совместного  обнаружения и фильтрации марковского процесса. Для этого необходимо сначала перейти к дискретному варианту рассматриваемой задачи, вводя интервал  дискретизации Aif между последовательными наблюдениями. [9] Изложение в настоящей главе ведется в простейшем дискретном варианте, однако результаты имеют общее  значение. [10] Рассмотренная система может существовать не только в дискретном варианте. Аналогичным путем легко  конструируется и вариант непрерывного действия. [11] В общем случае намотки тел сложной структуры применим лишь дискретный вариант (7.55) построения  решения. [12] Разложение случайного вектора по собственным векторам ковариационной матрицы представляет собой  дискретный вариант разложения Карунена ­ Лоева. [13] Один из методов решения задач оптимизации ­ динамическое программирование, дискретный варианткоторого,  более удобный для первоначального изучения и для реализации на ЦВМ, представляет поэтапное планирование  многошагового процесса. При этом процессе на каждом этапе оптимизируется только один шаг. В основе метода  лежит принцип оптимальности, суть которого состоит в том, что поиск оптимума не зависит от предыдущего  состояния системы и определяется лишь ее состоянием в рассматриваемый момент времени. [1] Примерами реальных процедур поиска, сводящихся к описанной, являются дискретные варианты большинства  алгоритмов поиска локального экстремума одномерных функций и корня уравнения, а также поиск нужной  карточки в каталоге библиотеки, радиолокационный поиск, поиск неисправности в приборе. [2] Синтез оптимальных КТС с помощью реальных характеристик сводится к перебору дискретных вариантов. [3] Принцип движения многозвенных волновых  транспортных устройств. а ­ устройство из четырех  звеньев, связанных гид­роцилиндрами. б ­ дискретный  вариант способа передвижения дождевого червя. в ­ к  анализу движения двухзвенного устройства. г ­ схема  самоходного шасси. Отметим, что описанный способ передвижения многозвенного устройства является по существу дискретным  вариантом способа передвижения дождевого червя. [4] Теория разностных неравенств рассматривается в параграфе 1.9, где среди других неравенств  приводятсядискретные варианты неравенств Бихари и Гронуолла. Параграф 1.10 посвящен изучению ин­ тервальнозначных интегральных неравенств. Здесь использовано существенное преимущество интервальных  отображений, а именно свойство монотонного включения. В качестве побочного результата получено обобщение  неравенства Гронуолла па случай интервальных отображений. В § 1.11 рассматривается обобщение некоторых  классических результатов о неравенствах для кусочно­непрерывных функций. В заключительном § 1.12 приведены  основные результаты метода равнения для диффузионных процессов. [5] Структурные схемы производств. Для решения задач координации материальных потоков в производствах сложной структуры может применяться  и дискретный вариант принципа максимума. [6] Дисперсия погрешности непрерывного  экспоненциального. На рис. 1 ­ 24 и 1 ­ 25 даны графики анализа работы дискретного варианта экспоненциального фильтра при  наличии инерционности датчика. [7] В данном параграфе изучаются погрешности среднеквадратичных приближений, получаемых методом наименьших  квадратов в дискретном варианте. Рассматривается влияние случайных ошибок в значениях функций ( ошибок  результатов наблюдений) и исследуется погрешность метода, возникающая за счет того, что приближаемая функция не принадлежит классу многочленов, которыми осуществляется приближение. Допускается раздельное  рассмотрение случайной ошибки и погрешности метода, поскольку оператор построения многочлена наилучшего  среднеквадратичного приближения является линейным. В заключение разъясняется процедура сглаживания  наблюдений. [8] В монографии [81] получены необходимые условия равновесности управлений на основе принципа максимума  в непрерывном и дискретном варианте при малом времени и при максиминной интерпретации равновесия в  бескоалиционной дифференциальной игре. В [139] для ЛКДИ получены Нэш ­ и Парето­решения на основе  принципа максимума. В [286] сформированы достаточные условия ( при условии дифференцируемой цены игры и  принадлежности решения к некоторой нормализованной игре в форме Понтрягина) для оптимальных стратегий, как  функций полученных решений уравнения Га­мильтона ­ Якоби, предложен метод характеристик на основе принципа максимума для решения уравнения Гамильтона­Якоби относительно градиента цены, рассмотрен пример решения  на основе модели ЛКДИ. [9] Поскольку задачу Коши ( 6), как правило, требуется решать численно, исследуем сразу дискретный вариантэтого  метода. [10] В этом случае значения qi следует представить в каждом г ­ м узле в виде ряда дискретных вариантов, каждому из  которых присваивается определенный уровень или подуровень приоритета. Вид целевой функции и  многокритериальная процедура оптимизации аналогичны описанным выше. [11] Для неодносвязных областей реализация метода Ремеза достаточно сложна, поэтому имеет смысл вместо условия  (5.22) рассмотреть его дискретный вариант. [12] К теории рационального поведения потребителей примыкает теория группового выбора, имеющая дело, как  правило, с дискретными вариантами. Обычно предполагается, что имеется конечное число участников группы и  конечное число, напр. Задача состоит в выборе группового решения о выборе одного из вариантов при заданных  отношениях предпочтения между вариантами для каждого участника. Групповой выбор обеспечивает различные  схемы голосования, рассматриваются также аксиоматический и теоретико­игровой подходы. [1] В области обработки сигналов и изображений происходила подобная и одновременная эволюция от стандартного  взвешенного анализа Фурье, которая привела к некоторым дискретным вариантам воспроизводящего тождества Кальдерона. [2] Динамическая обратная задача ( бесконфликтная или конфликтная) в отличие от прямых динамических задач в  общем виде может быть сформулирована лишь в дискретном варианте, так как требование обеспечения заданной  эффективности в любой точке интервала [ 0; Т ] может привести к необходимости скачкообразного изменения  показателя целевой эффективности. [3] Мы видим, таким образом, что вид перестановочных соотношений однозначно определяется смыслом операторов  рождения и уничтожения, во всяком случае в дискретном варианте. [4] Это, разумеется, не дальше от действительности, чем остальные наши допущения, так что можно надеяться  получить приближение к реальности не хуже того, которое дает дискретный вариант; к тому же непрерывные  модели проще в обращении и позволяют легче получить основные результаты. [5] Вспоминая предположение о том, что Е х ( /) 0 и, следовательно, Е у 0, мы видим, что этот результат совпадает с  аналогичным результатом для дискретного варианта разложения Карунена ­ Лоева. [6] Вспоминая предположение о том, что Е х ( /) О и, следовательно, Е у 0, мы видим, что этот результат совпадает с  аналогичным результатом для дискретного варианта разложения Карунена ­ Лоева. [7] Если второе неравенство не выполняется как строгое, то надо либо увеличить расход q, добиваясь выполнения  равенства l ( q) / 2 ( Q) Im ( q) L, либо сохранить заданное q, но уменьшить степень сжатия так, чтобы имело место  равенство. Дискретный вариант более привлекателен, так как он сразу дает технологическое решение. [8] Коэффициенты h ( k, полученные в результате  вычислений по ( 5 ­ 10. Дискретный вариант частотной характеристики фильтра Н ( т) показан на рисунке 5.17 ( Ь), где мы  использовали N 32 точки на частотной оси. Этот рисунок эквивалентен рисунку 5.27 ( Ь), изображающему отсчеты  характеристики в диапазоне ­ fs / 2 до / s / 2, но содержит только отсчеты, соответствующие положительным  частотам. [9] Рассмотрим дискретный вариант отбора данных и будем считать, что наблюдаемые отклики не коррелированы во  времени. [10] Автоанализаторы отличаются от анализаторов полуавтоматического типа, в первую очередь, наличием  транспортирующих систем, обеспечивающих дискретную или поточную подачу проб, устройств загрузки проб в  автомат и дальнейшего их продвижения и систем программного управления. В дискретном вариантеиспользуют  цепные передачи или поворотные дисковые столы с держателями для сосудов. Привод подобных транспортирующих систем может быть электрическим или пневматическим. В поточном варианте транспортировка  проб осуществляется с помощью шланговых дозаторов. Загрузка проб в автоанализаторы производится пробирками, кассетами, съемными дисками или контейнерами с пробирками. [11] Ортогональные на сетке многочлены Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через х) удовлетворяетдифференциальному уравнению (Пирсона) Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению где γn =n [(α1 + (n + 1)β2]. Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью допостоянного множи теля) при указанных ниже а, b и ρ(х). 1) Якоби (λ,μ)(х)} — при а = —1, b = 1 ρ(х) = (1—х)λ (1 + x)μ, λ > —1, μ > —1. Специальныечастные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям многочлены {Рп λ и μ: λ = μ— Ультрасферическиемногочлены 1/2, т. е. 1-го 2-го рода рода многочлены многочлены Чебышева Чебышева Рп(х). 2) Лагерра х (их наз. также многочленами Чебышева —Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра Tn ( x ); λ = μ = 1 /2, т. е. Un ( x ); λ = μ = 0, т. е. ρ( х ) ≡ 1 — Лежандра многочлены Ln (x) — при а = 0, b = + ∞ и ρ(х) = е— многочлены многочлены Нn (х) — при а = —∞, b = + ∞ и 3) Эрмита О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действ ительными ипростыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нул ями многочлена рn (х) лежитодин нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть пре дставлен в виде т. н. формулы Родрига где An — постоянное, а β(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствам и замкнутости.Три последовательных О. м. <="" div="" style="padding: 0px; margin: 0px; border-style: none; cursor: default;"> где ап+2 и λn+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов : если то default;"> <="" div="" style="padding: 0px; margin: 0px; border-style: none; cursor: Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. я х — an и числителями λn— вилось для негоразложение интеграла 1. Знаменатели φn (х)/рn (х) подходящих дробей этойнепрерывной дроби образуют систему О . м. на отрезке [a, b ] относительно веса ρ(х). Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометричес кую функцию (См.Гипергеометрические Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональнаясистема В. И. Битюцков. функций. функции). КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕМНОГОЧЛЕНЫ - общее название Якоби многочленов, Эрмита 'многочленов, Лагерра многочленов и Чебыш евамногочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами: 1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности ( а, b )удовлетворяет дифференциал ьному уравнениюПирсона причем на концах интервала ортогональности выполняются условия 2) Многочлен у=Р п (х)порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению 3) Имеет место обобщенная Родрига формула где с п- некоторый нормировочный коэффициент. 4) Производные К. о. м. суть также К. о. м. и ортогональны на том же интервале ортогональ ности, вообщеговоря, с другим весом. 5) Для производящей функции имеет место представление где l=l{х, w)- тот корень квадратного уравнения z-х-wB(z)=0, который при малых |w| ближе расположен к точкех. Этими свойствами обладают только три из указанных систем ортогональных многочленов, а также системы,полученные из этих трех линейными преобразованиями независимого пер еменного. В обобщенной формуле Родрига нормировочный коэффициент с п обычно выбирается тремя различнымиспособами с целью получения ортонормированных многочленов, либо ортогона льных многочленов сединичным старшим коэффициентом, либо так наз. стандартизованны х ортогональных многочленов, к-рыевводятся потому, что наиболее удобны в применениях и основные формулы для них имеют наиболее простойвид. К. о. м. являются собственными функциями нек-рых задач на собственные значения для ура внений типаШтурма - Лиувилля, причем в этих задачах каждая система ортогональных мно гочленов (многочлены Якоби,многочлены Эрмита, многочлены Лагерра) является единстве нной последовательностью решенийсоответствующей системы уравнений (см. [4], с. 110). Частные случаи К. о. м. определяются следующим выбором весовой функции и интервала о ртогональности: 1) Многочлены Якоби {Р п (х;a, b} ортогональны на сегменте [-1,1] с весом j(х)=(1-x)a(i+x)b, г де a>-1, b>-1. Вчастности, при a=b имеем ультрасферические многочлены, или многочлены Гегенбауэра {Р п (х;a)}.Лежандра многочлены {Р n (х)}соответствуют значениям a=b=0 и ор тогональны на сегменте [ - 1,1] с весомj(x)=1. Если 1/2, то имеем многочлены Чебышева первого рода {Т п (х)}, апри бышева второго рода {Un(x)}. т. е. j(x)=[(1-х)(1+х)]- - многочлены Че 2) Многочлены Эрмита {Н n (х)}ортогональны на интервале = ехр(- х 2) с весом j(x) с весом j(x) = xae- 3) Многочлены Лагерра {L п (х;a)}ортогональны на интервале x, где a>-1. Лит.:[1] Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Л., 1950; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшиетрансцендентные функции. Т. 2, Функции Бесселя, функц ии параболического цилиндра, ортогональныемногочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [3] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ.,М., 1948; [4] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; [5] Суетин П. К.,Классические ортогональные многочлены, М., 1976. См. также лит. при ст. Ортогональные многочлены. П. И. Суетин. Переопределенные системы линейных уравнений. Линейная алгебра подробно рассматривает решение различных классов систем линейных уравнений (далее СЛУ): СЛУ, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, в которых число неизвестных превышает число уравнений, однородные СЛУ. Приведем простую задачу на экономическую тематику, которая приводит к понятию переопределенных СЛУ. В городе три хлебокомбината, они производят и реализуют хлеб первого и второго сорта. Данные по производству хлеба двух сортов и суммарной выручке от его реализации приведем в таблице. Цифровые данные приведены в условных единицах, например, тысяч булок, тысяч рублей. На основании приведенных данных требуется определить среднюю цену хлеба обоих сортов. Понятно, что по средней цене ни один магазин хлеб не продавал, но очевидно, средняя цена существует и приведенных данных достаточно для ее определения. Введем неизвестные: "х" - средняя цена хлеба первого сорта, "у" - средняя цена хлеба второго сорта. На основании данных таблицы очевидна система уравнений: 5х + 2у = 52 (1) 2х + 3у = 35 2х + у = 20 Итак, пришли к системе, в которой число уравнений превышает число неизвестных. Такие СЛУ называются переопределенными. Почему такие системы, как правило, не рассматриваются в учебниках классической математики? Ответ на этот вопрос очевиден. Геометрически уравнения составленной системы представляют из себя прямые, а три прямые в общем случае не пересекаются в одой точке. Таким образом, переопределенная СЛУ в общем случае несовместна, точки на плоскости, которая бы принадлежала всем трем прямым, нет. Но смысл приведенной экономической задачи говорит о том, что решение должно быть! Что же принять за решение переопределенной СЛУ? Общей точки прямые не имеют, но существует точка (единственная ли?), сумма расстояний от которой до данных прямых есть величина наименьшая. Вот эту точку, ее координаты, и принимают за решение переопределенной СЛУ. Смотрите рисунок. Мы для наглядности привели простейшую задачу, те же рассуждения можно применить и для большего числа уравнений и для большего числа неизвестных. Так, например, для трех переменных уравнения можно геометрически интерпретировать как плоскости, 4 и более из которых в общем случае не имеют общей точки. Для линейных уравнений с большим числом неизвестных пользуются понятием "гиперплоскость". Для нахождения описанного решения используется метод наименьших квадратов. Его суть в том, что он минимизирует сумму расстояний от точки до прямых а сумму квадратов расстояний (в данном примере) от точки до прямых. Этот метод применяется во многих областях математики и прикладных исследованиях. Не приводя алгоритма найдем решение. Решением переопределенной СЛУ по методу наименьших квадратов оказалась пара чисел: (7,6666; 6,5000) А теперь оценим сумму расстояний от точки до прямых. Как известно из аналитической геометрии расстояние от точки (x0;y0) до прямой ax + by + c = 0 вычисляется по формуле: Поставим задачу решения переопределенной СЛУ в программе Excel. Оформим страницу Excel следующим образом, с использованием формул (1) В ячейки А1, В1 ввели 1, можно было ввести любые другие числа. Выходим в поиск решения и устанавливаем: Как видим, получили другие, отличающиеся от ранее найденных, решения: х = 7,818; у = 6,454 Подводим итоги. Метод наименьших квадратов дал нам решение (7,6666;6,5), сумму расстояний от точки до прямых 0,9800. В Excel же мы получили решение (7,818; 6,454), сумму расстояний от точки до прямых 0,935. Какое же решение считать "правильным"? Нельзя не верить классическому методу наименьших квадратов! Но, нетрудно дать оценку "качества" полученных решений. Очевидно, что решение, полученное в Excel, более точно отражает реальную действительность. Результаты разнятся на сотые доли и, тем не менее, разнятся. Метод наименьших квадратов оперирует с квадратами отклонений, Excel же минимизирует непосредственно сумму модулей отклонений. Мы принимаем оба решения как верные, отдавая предпочтение для практического использования более точному. Получается так, что решая эти задачи в "докомпьютерную эпоху" и говоря, что метод наименьших квадратов дает единственную точку, сумма расстояний от которой до прямых минимальна, мы были не правы! Проверьте, решив переопределенные СЛУ по методу наименьших квадратов и по предложенной методике в Excel. Варианты заданий. Решите систему пяти уравнений с тремя неизвестными. По аналогии выполним вычисления в Excel. Excel дал решение: 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Цель курса - формирование у студента представлений о методах решения задач на ЭВМ. Основные задачи курса - углубление математического образования и развитие практических навыков в области прикладной математики. Студенты должны быть готовы использовать полученные в этой области знания, как при изучении смежных дисциплин, так и в профессиональной деятельности, в частности при обучении информатике старшеклассников средней школы. Курс включает в себя изучение элементов теории погрешностей и теории приближений, основные численные методы алгебры и математического анализа. Подробно рассмотрены различные методы построения интерполяционных многочленов вопросы численного дифференцирования и интегрирования, а также численного решения дифференциальных уравнений. Главная особенность обучения основам численных методов, которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с интенсификацией процессов использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач. В связи с этим, явное включение в содержание дисциплины вопросов, раскрывающих применение современных информационных технологий в прикладной математике, является необходимым требованием времени. Теория приближенного решения математических задач постоянно пополняется все более совершенными численными методами, появление которых стимулируется как особенностями машинной математики, так и расширением функциональных возможностей прикладных программных средств. Все это требует определенного уровня понимания, который необходимо обеспечить в рамках дисциплины «Численные методы». Излагаемый на лекциях теоретический материал закрепляется и отрабатывается в ходе выполнения лабораторных работ, которые должны развить у студента умение: - численно решать уравнения, применяя для этого следствия из теоремы о сжимающих отображениях; - использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений и строить элемент наилучшего приближения (в интегральном и дискретном вариантах); - интерполировать и оценить возникающую погрешность; - применять формулы численного дифференцирования и интегрирования; - применять методы численного решения дифференциальных уравнений. Изучение дисциплины рекомендуется завершать экзаменом, а для осуществления контроля уровня усвоения практической части курса - целесообразно использовать зачет. 1. Объем дисциплины в виде учебной работы Вид занятий Общая трудоемкость (по ГОС ВПО) Аудиторные занятия Лекции Практические занятия (семинары) Самостоятельная работа Курсовые, рефераты 3. Содержание дисциплины Всего часов 260 144 54 90 116 + № Раздел дисциплины 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Основы теории погрешностей Численные методы решения скалярных уравнений Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений Среднеквадратичные приближения Интерполирование функций Численное дифференцирование Численное интегрирование Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Численные методы решения уравнений в частных производных 10 Понятие о приближенном решении интегральных уравнений Лекци и 2 4 6 8 10 2 8 6 6 2 ЛР 4 10 12 10 16 6 10 10 10 2 4. Содержание разделов дисциплины 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ Точные и приближенные значения величин, точные и приближенные числа. Источники классификаций погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Верные знаки, связь количества верных знаков и относительной погрешности. Правила округления и погрешность округления. Основные задачи теории погрешностей, способы их решения. Применение дифференциального исчисления при оценке погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Оценка погрешностей вычислений, возникающих в ЭВМ. 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ Отделение корней. Приближенное вычисление корня уравнения с заданной точностью методом половинного деления. Метод простой итерации численного решения уравнений. Условия сходимости итерационной последовательности. Практические схемы вычисления приближенного значения корня уравнения с заданной точностью методом простой итерации. Сходимость и устойчивость численного метода. 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Полные метрические пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве и ее следствия. Применение теоремы о сжимающих отображениях при решении системы линейных уравнений: простые итерации, метод Зейделя. Погрешности округления при практической реализации итерационного процесса. Число операций при решении системы линейных уравнений методом Гаусса. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений. Понятие об обусловленности. Достаточное условие сжатости отображения для системы нелинейных уравнений. Понятие о методе Ньютона решения такой системы. Практические схемы решения на ЭВМ. 4. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Теорема о существовании элемента наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве. Необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет элемент наилучшего приближения в пространстве со скалярным произведением. Единственность этого элемента, его нахождение. Ортогонализация линейно независимой системы. Приближение по ортогональной системе. Неравенство Бесселя. Многочлены Лежандра, их свойства. Дискретный вариант среднеквадратичных приближений. Ортогональные на сетке многочлены. Переопределенная система линейных уравнений. Понятие об определении параметров функциональной зависимости. 5. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Алгебраический интерполяционный многочлен: единственность, форма Лагранжа, оценка погрешности интерполирования. Схема Эйткена. Разделенные разности. Первый и второй многочлены Ньютона. Связь разделенной разности и производной. Практическая оценка погрешности интерполирования. Обратное интерполирование. Многочлены Чебышева, их применение для минимизации оценки погрешности интерполирования. Понятие о сходимости интерполяционного процесса. Обобщенная задача, интерполирования. Многочлены Эрмита. Понятия о сплайнах. Практические схемы интерполирования на ЭВМ. 6. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности численного дифференцирования в точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Метод неопределенных коэффициентов. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Численное дифференцирование на ЭВМ. 7. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла, формула прямоугольников. Формулы Ньютона-Котеса. Метод неопределенных коэффициентов. Формула трапеций. Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона. Квадратурная формула Гаусса, оценка порядка убывания погрешности. Вычислительная погрешность квадратурных формул. Метод Монте–Карла. Численное интегрирование на ЭВМ. 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Решение краевой задачи для линейного 2-ого порядка сведением к разностной краевой задаче. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ. 9. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью построения разностных схем. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Понятие о спектральном признаке устойчивости. Явные, неявные разностные схемы. Понятие о решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа сведением к системе линейных уравнений с последующим ее решением методом Монте–Карло или итерационным методом. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на ЭВМ. 10. ПОНЯТИЕ О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Приближенное решение уравнений Фредгольма и Вольтерра методом замены интеграла конечной суммой, применение теоремы о сжимающих отображениях. 5. Учебно-методическое обеспеченье дисциплины 5.1. Рекомендуемая литература 1. Альберг Д., Нильсон Э., Уолш Д. Теория сплайнов и ее приложения.- М.: Мир, 1972. 2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1987. 3. Бахвалов Н..С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. Учебпособие. /Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. 4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х ч. – М.: Физматгиз, 1962. 5. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие.-М.: Финансы и статистика, 1999. 6. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1982. 7. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике.- М.: Высш. шк., 1990 8. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.- М.: Наука, 1967 9. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1970. 10. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы.- М.: Просвещение, 1991 11. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн—функций.-М.: Наука, 1980. 12. Калиткин Н.П. Численные методы.- М.: Наука, 1978. 13. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.- М.: Наука, 1972. 14. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. - Минск: Наука и техника, 1982. 15. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Стукалов В.А. Численные методы: Учеб. пособие для пед. вузов.-М.: Академия, 2001. 16. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1989. 17. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений.-М.: Наука, 1993. 18. Ракитин В.И., Первушкин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк., 1998. 19. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989. 20. Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие: Для вузов/Под ред. П.И. Монастырного.-М.: Физматлит, 1994. 21. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике.- М.: Наука, 1984. 22. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1979. 5.2. Средства обеспечения дисциплины 1. Интерактивная система MATLAB (MathWork). 2. Компьютерная система автоматизации математических вычислений Derive (Soft Warehouse Inc). 3. Компьютеризованная математическая система Eureka (Borland Inc). 4. Математический пакет Mathematica 2.2/ .../4 (Wolfram Research Inc). 5. Математическая система MathCAD 3.0/ .../8.0 (MathSoft). 6. Профессиональная среда для выполнения вычислений Maple (Waterloo Maple Software). 7. Электронные таблицы Excel. 8. Системы программирования: Turbo Pascal, Borland C++, Лисп. 5.3. Примерный перечень лабораторных работ 1. Прямая и обратная задача теории погрешностей. 2. Численные методы решения скалярных уравнений. Локализация корней уравнения; уточнение значения корня: - методом половинного деления; - методом хорд; - методом касательных; - методом секущих; - методом итерации с различным выбором константы, обеспечивающей сжатость отображения. 3. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: - методом простой итерации; - методом простой итерации с нахождением приближенного решения в виде суммы ряда; - методом Зейделя. 4. Численное решение систем нелинейных уравнений. 5. Дискретный вариант среднеквадратичных приближений: - приближение таблично заданной функции многочленами последовательных степеней; - вычисление нормы среднеквадратичного уклонения. 6. Приближение значения таблично заданной функции в точке с помощью: - интерполяционного многочлена Лагранжа заданной степени; - по схеме Эйткена; - многочленов Ньютона; 7. Обратная интерполяция. 8. Вычисление производной в узле таблично заданной функции. 9. Вычисление интеграла (применяется практическая оценка погрешности): - по различным квадратурным формулам; - с использованием метода Монте-Карло. 10. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. 11. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения 2- ого порядка. 12. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных. 13. Приближенное решение интегральных уравнений 5.4. Перечень примерных вопросов и заданий для самостоятельной работы 1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа, границы погрешностей. 2. Понятия значащей, верной и сомнительной цифры в записи приближенного числа. 3. Правила округления и погрешность округления. 4. Методы отделения корней скалярных уравнений. 5. Приближенное вычисление значения корня скалярного уравнения. 6. Точные методы решения систем линейных уравнений: матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса. 7. Вычисление коэффициентов интерполяционного алгебраического многочлена с помощью решения системы линейных уравнений. 8. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа, Ньютона. 9. Общий случай вычисления значения производной произвольного порядка. 10. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена. 11. Квадратурные формулы прямоугольников, Ньютона - Котеса и их погрешности. 12. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка с помощью одного из изученных способов численного решения. 13. Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения 2-ого порядка. 14. Численное решение линейного уравнения в частных производных с использованием разностных схем. 5.5. Примерная тематика рефератов, курсовых работ 1. Приближенное вычисление двумерных интегралов 2. Многочлены Берштейна. 3. Квадратурная формула Эйлера. 4. Пример расходящегося интерполяционного процесса. 5. Сходящийся интерполяционный процесс Фейера. 6. Ортогональная система Хаара. 7. Кубические сплайны. 5.6. Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу. 1. Источники погрешностей значения величин и их классификация. 2. Погрешности основных арифметических операций. Погрешности элементарных функций. 3. Прямая задача теории погрешностей и способы ее решения. 4. Обратная задача теории погрешностей и ее решение методом равных влияний. 5. Представление в ЭВМ чисел с плавающей точкой; погрешность машинного округления; принципы оценки погрешности результатов вычислений. 6. Метод простой итерации решения уравнений и его реализация на ЭВМ. 7. Метод касательных численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ. 8. Метод хорд численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ. 9. Общая характеристика точных методов решения систем линейных уравнений на ЭВМ. Метод Гаусса. 10. Метод простой итерации решения систем нелинейных уравнений. 11. Метод простой итерации решения систем нелинейных уравнений. 12. Задача аппроксимации функции. 13. Многочленная интерполяция. 14. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений. 15. Интерполяционные формулы Ньютона. 16. Интерполяционный многочлен Лагранжа и оценка его погрешности. 17. Интерполяционный многочлен Ньютона для равномерной сетки. 18. Обратное интерполирование для равномерной и неравномерной сетки. Интерполяционный многочлен Чебышева. 19. Метод наименьших квадратов, наилучшее квадратичное приближение. Вычисление значений параметров среднеквадратичных приближений. Реализация метода наименьших квадратов на ЭВМ. 20. Вычисление значений производных различного порядка на ЭВМ. 21. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса и оценка их погрешности. 22. Частная и общая квадратурные формулы трапеций; оценка погрешности общей формулы и реализация на ЭВМ. 23. Частная и общая квадратурные формулы Симпсона; оценка погрешности общей формулы и ее реализация на ЭВМ. 24. Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера. Ломаные Эйлера. 25. Метод Рунге—Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, оценка его погрешности и реализация на ЭВМ. 26. Многошаговый метод Адамса решения задачи Коши. Общие представления о методах прогноза и коррекции. 27. Метод разностных схем решения дифференциальных уравнений в частных производных. 28. Метод сеток. Задача Дирихле. Уравнение Лапласа в конечных разностях. Программа составлена в соответствии с государственными требованиями к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы по специальности 030100 - "Информатика" Программу составили: Омский государственный педагогический университет д.п.н., профессор М.П. Лапчик к.п.н., доцент М.И.Рагулина к.п.н., доцент В.А. Стукалов Московский педагогический государственный университет к.ф.-м.н., доцент Ю.Н.Шахов доцент каф. ИДМ В.П.Шари Программа одобрена на заседании Учебно-методического совета по информатике протокол № 3 от 23 ноября 2000 года. Председатель Совета УМО по специальностям педагогического образования, Ректор МПГУ, чл.-корреспондент РАН, академик РАО В.Л. Матросов

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений

Дискретный вариант среднеквадратичных приближений
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
17.02.2017