Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Оценка 5
Исследовательские работы
doc
математика
11 кл
16.01.2017
В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, а также векторно-координатный метод, метод ключевых задач. Методы делятся на методы алгебры и геометрии. Геометрические методы: метод треугольников, метод площадей, метод вспомогательных фигур, координатный метод, векторный метод и др. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический или поэтапно-вычислительный. Этот способ требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение. Из других наиболее высокое положение занимает векторно-координатный метод потому, что он тесно связан с геометрией. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Векторно-координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических, физических, астрономических и технических задач. Целью данной исследовательской работы является изучение способов и приемов для успешной сдачи ЕГЭ по математике, а именно изучение векторно-координатного метода и применение его для решения геометрических задач С-2 ЕГЭ по математике. Использование данного метода позволит мне значительно упростить и сократить по времени процесс решения задачи С-2. Таким образом, у меня будет больше времени для решения остальных заданий части С ЕГЭ по математике. Кроме того, знание векторно-координатного метода поможет мне при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом через привлечение большого количества вспомогательных теорем, здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений.
В рамках данной исследовательской работы рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также их решение с помощью координатно-векторного метода.
НПК -2013 Метод координат в простр.doc
XX научнопрактическая конференция «Шаг в будущее»:
1
Геометрия
Использование метода координат в пространстве
для решения заданий С2 Единого государственного экзамена
Выполнила:
Юзаю Ксения Александровна,
ученица 10 «а» класса МБОУ СОШ №37.
Научный руководитель:
Конева Галина Михайловна,
учитель математики МБОУ СОШ
№37,
«Отличник просвещения РФ»,
Победитель
Конкурса лучших учителей России(2009 г)
УланУдэ 2
2013
Содержание
I.
II.
Введение
Основная часть
1. Нахождение угла между прямыми
2. Нахождение угла между прямой и плоскостью
3. Нахождение угла между двумя плоскостями
4. Нахождение расстояния от точки до плоскости
5. Нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве.
6. Нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми
III.
IV.
Заключение
Список использованной литературы 3
I .Введение
В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто
геометрический) метод, метод преобразований, а также векторнокоординатный метод,
метод ключевых задач. Методы делятся на методы алгебры и геометрии. Геометрические
методы: метод треугольников, метод площадей, метод вспомогательных фигур,
координатный метод, векторный метод и др. Они занимают различное положение в школе.
Основным методом считается синтетический или поэтапновычислительный. Этот способ
требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж
и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает
мышление и пространственное воображение. Из других наиболее высокое положение
занимает векторнокоординатный метод потому, что он тесно связан с геометрией.
Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок,
дополнительных построений. Векторнокоординатный метод этого не требует: решение
задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само
решение задачи. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный
и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математических,
физических, астрономических и технических задач. Целью данной исследовательской
работы является изучение способов и приемов для успешной сдачи ЕГЭ по
математике, а именно изучение векторнокоординатного метода и применение его для
решения геометрических задач С2 ЕГЭ по математике. Использование данного метода
позволит мне значительно упростить и сократить по времени процесс решения задачи С2.
Таким образом, у меня будет больше времени для решения остальных заданий части С
ЕГЭ по математике. Кроме того, знание векторнокоординатного метода поможет мне при
дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в
высших учебных заведениях.
Координатновекторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует
сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во
введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем –
исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого
не работает. Этот метод довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные 4
задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с
большим трудом через привлечение большого количества вспомогательных теорем, здесь
получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток
– это требуемый нередко большой объем вычислений.
В рамках данной исследовательской работы рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также
их решение с помощью координатновекторного метода.
II .Основная часть
1.Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя
прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
0˚<(a,α)<90˚.
Для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы
1
zyxq
;
;
1
1
и
zyxp
;
;
2
2
2
параллельны соотвественно этим прямым, используют формулу:
сos
pq
pq
или в координатной форме
cos
yy
xx
1
21
2
2
z
y
1
1
2
2
x
2
zz
21
y
2
x
1
.
2
2
z
2
2
В частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и
достаточно, чтобы
0qp
или
xx
1
2
yy
1
2
zz
1
2
0
.
Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=2, AD=4, AA₁=3.
Точка Е середина ребра А₁В₁ . Найдите угол между прямыми ВС₁ и АЕ. Решение: Пусть точка В(0;0;0)начало координат. Тогда С₁(0;4;3), А(3;0;0), Е(1,5;0;3).
Найдем координаты векторов
и
.
По формуле:
находим
5
.
Пример 2. . В правильной треугольной призме ABCA ₁B ₁C₁ , все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми АВ и A₁ C.
Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее
находим координаты тех точек, которые необходимы и находим координаты векторов
(0;1;0) и
(
; ; 1). Далее по формуле нахождения угла между двумя векторами
находим:
=
=
Ответ:
2.Нахождение угла между прямой и плоскостью 6
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между
этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
0˚<(a,
α
)<90˚.
Угол между прямой l и плоскостью
α
можно вычислить по формуле
sin
pn
pn
или в
координатах
sin
xx
1
y
2
1
2
yy
1
z
2
1
2
x
2
2
zz
1
2
y
x
2
1
2
2
z
2
2
, где
1
zyxn
;
;
1
1
вектор нормали к
плоскости
,α
zyxp
;
;
2
2
2
направляющий векор прямой l.
Пример 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а
ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью
(АВ1С).
Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.):
ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к
плоскости.
Чтобы составить это уравнение, необходимо определить
координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1;
0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).
Решая систему
d
,0
а
c
,0
d
2
b
d
,0
находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= d, b=
d
2
, c=d. Таким
образом, уравнение примет вид
dx
d
2
y
dz
0
d
или, после упрощения, 2х+у+2z
2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты
2;1;2n
.
Найдем координаты вектора
BE
1;1;0
7
Найдем угол между вектором ВЕ и нормалью к плоскости по формуле скалярного
произведения векторов:
sin
xx
1
y
2
1
2
yy
1
z
2
1
2
x
2
2
zz
2
1
y
x
2
1
2
2
z
2
2
2111
2
1
2
2
2
2
2
3
32
2
2
.
Ответ: 45˚
Пример 4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
каждое ребро которой равно 1,найти угол между прямой СD1 и плоскостью (Е1В1А)
Рис.1
Рис.2
Решение: Решим вспомогательную задачу. Найдем координаты правильного
шестиугольника со стороной, равной 1, на плоскости (смотри рис.2):
А(
), В(
),С(0,1), D(
), E(
), F(0,1)
Теперь решим исходную задачу( смотри рис.1). Найдем уравнение плоскости (E1В1А):
E1(
); B1(
); А(
) 8
;
∙a+ b 2∙c 2∙d=0;
∙a+ b+ 2∙c+ 2∙d=0;
∙a – b+2 ∙d = 0;
c =
∙a;
d =
∙a;
b =
∙a.
Уравнение плоскости примет вид: а∙х
∙a∙y +
∙a∙z
∙a=0. Разделим обе части
уравнения на a. Получим общее уравнение плоскости: х
∙y +
∙z
=0, в котором А=1,
В=
, С=
, D=
.
Найдем координаты вектора
1: С(0;1;0); D1(
) ;
1
По формуле нахождения угла между прямой и плоскостью имеем:
=
.
Ответ: а = arcs in
3. Нахождение угла между двумя плоскостями 9
Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его
линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью,
перпендикулярной его ребру.
Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит
промежутку (0˚; 90˚].
Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между
нормалями к этим плоскостям по формуле
сos
)
(
,
nn
1
2
n
1
n
2
или в координатной
cos
(
)
,
2
A
1
форме
AA
CCBB
2
1
1
1
2
2
2
2
C
B
B
1
1
2
2
A
2
2
C
2
2
, где
1
; CBAn
;
1
1
1
вектор
нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,
A2x+B2y+C2z+D2=0.
CBAn
{
;
;
2
2
2
}
2
вектор нормали плоскости
Пример 5. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и
D1FC, где точки Е и Fсередины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.
Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее
находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений
плоскостей:
(1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (A E), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это
уравнение и решим систему из трех уравнений:
10
А∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;
А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;
А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0.
Получим, что А= С, В= 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0.
Значит, А1=1, В1= 2, С1= 1
Составим уравнение плоскости (CF
), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0.
Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех
уравнений:
А∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;
А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;
А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0.
Получим, что В = С, А = 2С, D = 3С. Таким образом, уравнение примет вид:
2х +у +z – 3 = 0. Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле:
cos
)
(
,
2
A
1
AA
CCBB
2
1
1
1
2
2
2
2
C
B
B
1
1
2
2
A
2
2
C
2
2
cos
)
(
,
2
1
2
111221
2
2
)1(
2
2
2
1
1
2
.
2
1
Значит, угол между плоскостями равен 6 . Ответ: 6 .
00
00
4.Нахождение расстояния от произвольной точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка
перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .
Расстояние от точки
М до плоскости
α
вычисляется по формуле
11
М
(
;
)
aх
0
a
0
bу
2
b
2
cz
0
c
d
2
, где М(х0;у0;z0), плоскость
α
задана уравнением
ax+by+cz+d=0.
Пример 6.В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной 2 и
высотой, равной 4, найти расстояние от точки А до плоскости (SBC).
Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0). Составим
уравнение плоскости (SBC), используя координаты точек В(2;2;0), С(0;2;0), S(1;1;4) и
решив систему уравнений:
a∙2+b∙2+c∙0+d = 0
a∙0 +b∙2 +c∙0+d = 0
a∙1 +b∙1 +c∙4+d = 0.
Получим, что d= 2∙ b, a=0, c = . Таким образом, уравнение плоскости примет вид:
0∙х +4∙у + z 8 =0. Значит, a=0, b=4, c=1, d= 8.
Точка А, расстояние от которой до плоскости нужно найти, имеет координаты:
А(2;0;0). Значит,
=2,
= 0,
=0. По формуле нахождения расстояния от точки до
плоскости имеем: aх
0
a
bу
0
2
2
b
cz
0
c
2
d
8010440
2
0
2
4
2
1
8
17
17
. Ответ:
.
12
М
)
(
;
5.Нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве.
Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве:
1) Ввести прямоугольную систему координат и найти длины сторон АВ, АС, ВС по
формуле:
2) Сделать дополнительный рисунок треугольника АВС и с помощью теоремы Пифагора
найти высоту AD в треугольнике АВС.
Пример 7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что AD= 2, DC
=4, A = 6, точка Е середина ребра A .Найти расстояние от точки Е до прямой D .
Решение:
1)В (0; 0; 0); B1 (0; 0; 6); E (4; 0; 3);D (4; 2; 3).
2) |B1E|= 13
3) |ED|=
4)|B1D|=
5) EN2 = 25 – x2; EN2 =13 – (
)2; 25 x2 = 13 – (56 4
x + x2)
4
x= 68; x=
6) EN=
. Ответ:
6. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной
из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через
другую прямую.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой
точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую
прямую параллельно первой прямой.
Рассмотрим скрещивающиеся прямые (АВ) и (СD). Отметим на прямой a некоторую точку
М1, через прямую b проведем плоскость, параллельную прямой a, и из точки М1 опустим
перпендикуляр М1H1 на построенную плоскость. Длина перпендикуляра M1H1 есть
расстояние между скрещивающимися прямыми a и b. Алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми АВ и СD, где
А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C (x3;y3;z3), D (x4;y4;z4):
14
1) Найти координаты векторов
и
2)Найти координаты вектора
, где
и
. Так как векторы
перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0, т.е.
и
. В результате получим вектор
3)Найти уравнение плоскости
α
, проходящей через точку А(
.
x1;y1;z1)
(или через точку В) и перпендикулярно вектору
a∙(xx1)+b∙(yy1)+c∙(zz1)=0
Затем привести это уравнение к виду:
а∙x+b∙y+c∙z+d=0.
по формуле:
4)Найти расстояние от точки C (x3;y3;z3) (или от точки D) до плоскости
α
по формуле
Пример 8. В кубе ABCDA1B1C1D1 , каждое ребро которого равно 1, найти
расстояние между прямыми A1D и B1E, где Есередина ребра DD1.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В(0;0;0) и далее работаем по
алгоритму:
1) А1(1;0;1), D(1;1;0) => 15
B1 (0;0;1), E(1;1;0,5) =>
2) Пусть
и
. Тогда
;
;
= >
или
=>
.
3) Составим уравнение плоскости
α
, проходящей через точку
D(1;1;0)
перпендикулярно вектору
:
Значит, a= 0,5; b=1; c=1; d= 0,5
4) Найдем расстояние от плоскости
α
до точки
E(1;1;0,5):
Ответ:
Пример №9. В правильной треугольной пирамиде АВСА₁В₁С₁, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ₁.
Решение. 1)Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Найдем
координаты векторов АВ и СВ₁: В(
; ;0), С(0;1;0), В₁(
; ;1),
(
; ;0),
(
;
16
;1).
2)Найдем координаты вектора
, перпендикулярного векторам
и
.
Так как векторы перпендикулярны, то их скалярные произведения равны нулю.
Отсюда следует система из двух уравнений:
∙ = 0 и ∙
= 0.
∙ + ∙ = 0; = -
∙
∙ - ∙ + = 0; =-
∙ ; ⇒
-
∙ ; -
∙ ) ⇒
.
3)Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
) и
проходящей через точку В(
; ;0),используя уравнение ∙ (xx1)+b∙(yy1) +c∙(zz1)=0:
1∙ (х
)
∙ (у )
∙ z = 0;
∙ у
∙ z = 0.
х
4)Найдем теперь расстояние от точки С(0;1;0) до найденной плоскости:
2
С
;
(
)
aх
0
a
bу
0
2
b
01
03
13
331
21
7
d
2
cz
0
c 17
Ответ: √21 ∕ 7
III
. Заключение
Данной исследовательской работой я занималась в течение последних
месяцев. Сначала я изучила тему «Метод координат в пространстве» по учебнику
«Геометрия 1011» автора Атанасян. В этом учебнике я нашла две формулы.
Формулу для нахождения угла между прямыми и формулу для нахождения угла
между прямой и плоскостью. И далее я начала решать задачи С2 уже двумя
способами: поэтапновычислительным и координатновекторным. И поставила
перед собой задачу: можно ли с помощью координатного способа находить углы
между плоскостями, можно ли находить расстояния от точки до плоскости,
расстояния между прямыми в пространстве? По совету своего руководителя я
начала искать эти формулы и применять их при решении всех прототипов С2 ЕГЭ
по математике. Координатновекторный метод решения был для меня открытием!
До того момента, пока я не знала этого метода, я и самостоятельно, и с помощью
учителя решала множество заданий уровня С2, изучала редко используемые
формулы и приёмы, упрощающие решение задач. После изучения этого метода
оказалось, что те задачи, над которыми я ломала голову несколько часов, решались
за несколько минут! Однако не все задачи стереометрии надо решать методом
координат, иногда это просто нецелесообразно. Применять координатно
векторный метод нужно тогда, когда геометрическое решение задачи перегружено
формулами, редко используемыми теоремами, сложными преобразованиями и
вычислениями.
IV
. Список использованной литературы
1.Задачи по стереометрии. Координатный метод. Н.А. Бунеева, А.М. Каргаполов;
Новосибирск, 2006.
2. Подготовка к ЕГЭ по математике. А.Г. Малкова. Материалы сайта EGEStudy.ru 18
3. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии.
Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н., 2008.
4. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2013:
Математика /авт.сост . И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред.
А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель , 2012. – (ФИПИ).
5. www.mathege.ru – открытый банк заданий.
6. www.problems.ru – каталог задач.
7. Нахождение углов между прямыми и плоскостями (координатновекторный метод)//
Холева, О. В. Математика в школе. 2011. №4. С. 1821
8. Стереометрические задачи и методы их решения. Э. Г. Готман Москва.
Издательство МЦНМО, 2006
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Использование метода координат в пространстве для решения заданий С-2 Единого государственного экзамена
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.