Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"
Оценка 5

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Оценка 5
Научно-исследовательская работа
docx
математика
9 кл—11 кл
07.04.2017
Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"
«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».Архимед. Послание к Эратосфену «О механических теоремах».
Геометрия масс.docx
Введение Актуальность темы: В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не  рассматривается. решения задач на отношение длин при решении обычными методами  получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения  задач. Проблема: поиск рационального способа решения задач Объект исследования – геометрические задачи на нахождение отношения длин  отрезков Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс,  повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков  исследовательской работы Задачи: 1. Дать понятие геометрии масс 2. Научиться решать задачи с применением этого метода 3. Подготовка к ЕГЭ(С4) и олимпиадам Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с  помощью геометрии масс Методы исследования: анализ и синтез, сравнение, индукция/дедукция ,  прогнозирование, наблюдение, ранжирование Этапы:  1. Изучение теоретического материала 2. Алгоритм решения  3. Подбор задач с преимуществом этого метода Родоначальником метода был великий  древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э.  он обнаружил возможность доказывать новые  математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом им была установлена  теорема о том, что три медианы треугольника  пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.). Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи  геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том,  пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной  прямой (или одной плоскости) и т. п. Эффективны барицентрические соображения при  доказательстве неравенств и решении разнообразных задач. Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров  масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может  быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое  мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим  средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать  математически безупречные решения задач геометрии и алгебры. 1 Понятие центра масс Чтобы понять, что такое центр масс, рассмотрим детские качели (рис.1). Многие замечали, что более тяжелый ребёнок перевешивает. рис.1 Но стоит ему начать приближаться ближе к центру, как качели постепенно  приходят в равновесие. Насколько ближе он должен подвинуться ответит метод масс.  Переведём задачу на язык математики Пусть качели – отрезок AB, где m1, m2 – массы, расположенные на концах качелей  (m1 >m2). Рис.2 Центром масс данной системы двух точек будет  такая точка О данного отрезка АВ, что АО*m1 =  BO*m2, или   =  . Пример: Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна  1400г (см. рис.2). Найти центр масс данного отрезка. Решение: из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в  отношении   =   . Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*АO = 2*BO. Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью  которого Архимед собирался перевернуть Землю. 2 Центр масс системы точек Теперь найдём центр масс треугольника. В точках A, B, C расположены массы m1,  m2, m3 (рис.3). Если нам дана система из нескольких точек с  массой в каждой из них, то вместо любой пары точек  мы можем рассмотреть их центр масс, в котором  сосредоточена сумма масс этих точек. (точка D) будет совпадать с центром масс точек O (центр масс для точек A и B) и C  (рис.4). Таким образом центр масс нашего треугольника  Пример: Дан треугольник ABC с массами mA = mB = mC = 1 в вершинах. Найти  центр масс треугольника. Решение: Для начала найдём центр масс точек A и B. Это точка М, которая  расположена в середине отрезка AB, т.к. на его концах одинаковые массы. В точке М  сосредоточена масса 1+1=2.  Значит центр масс треугольника ABC совпадает с центром масс отрезка MC и  делит отрезок в отношении 2:1 . Мы  доказали, что в треугольнике с одинаковыми массами в вершинах его центр масс  расположен на медиане и делит её в  отношении 2:1. Аналогично можно найти  центр масс на медианах BN и AK. Однако у треугольника только один центр масс, а значит  мы все три раза попадали в одну точку. Так мы доказали, что медианы в треугольнике  пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 . 3 Задачи на применение центра масс Задача 1: Дан треугольник ABC (рис.6). BM – медиана, а AN делит сторону BC в  отношении 1:2 от вершины B и пересекается  с BM в точке O. Найти отношение BO:OM. Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B – массу,  равную 2. Тогда точка M – центр масс для  точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к.  BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.  Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она является и  центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O –  центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A  сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4. 1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда  отношение BO:OM = 2:2 = 1. Ответ: BO = OM. Задача 2: Дан треугольник ABC (рис.7). BM – медиана. Отрезок KP точкой K делит  AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины  В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O. В каком отношении точка О делит отрезок  KP? Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC.  Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса  сконцентрирована в точке В. Пусть она равна х, тогда:  =  . Получаем, что х = 1, а значит в точке  Р масса, равная 3.  Теперь рассмотрим отрезок АВ.  Масса в точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса,  заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в точке В  сконцентрирована масса 5. Допустим, что точка О – центр масс всего треугольника. В точке М  сконцентрирована масса 4 (mA = mC = 2, AM = CM, М – центр масс). Значит точка O –  центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка  О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр масс  треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в точке О  сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит,  что КО:ОР = 3:6 =1:2. Ответ: 1:2. Задача 3 (С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая,  проходящая через точку J, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает  две другие стороны в точках К и Р.  Найдите длину отрезка КР. Решение: Треугольник ABC подобен  треугольнику KBP, значит   =  ,   =  . Тогда КР =  . 2­й случай: КР =  3­й случай: КР =  . . Задачи для самостоятельного решения: Задача 1. В треугольнике ABC точка к делит сторону BC в отношении 1:4, считая от вершины B. В каком отношении отрезок AK делит медиану BM? Ответ: 1:2 Задача 2. B треугольнике ABC точки M, N, K расположены соответственно на  сторонах AB, AC, BC так, что AM:MB = 1:4, AN:NC = 2:3, CK:KB = 3:2. Отрезки AK и  MN пересекаются в точке L. Во сколько раз LK больше AL? Ответ: 3 Заключение Изучив немногочисленные источники по теме «Геометрия масс», я научился решать  пока еще не сложные задачи на отношение длин отрезков . При выполнении задач уровня С4 пришел к убеждению, что указанный метод  позволяет найти решение задач быстрее и рациональнее. Изучая источники по этой теме убедился в тесной связи двух предметов ­  математики и физики. Думаю, что решать задачи по физике станет легче, приобретая навык решения  методом геометрии масс. В процессе исследования данной проблемы усовершенствовались умения и навыки  работы с научно­популярной литературой, интернет­источниками, программами для  построения геометрических фигур. Работа над темой «Геометрия масс» мною не закончена, впереди поиск многих  интересных задач, быстро решаемых с помощью этого метода. Цель следующего этапа работы­создание методички по решению геометрических и  физических задач, используя геометрию масс. Список литературы 1. ЕГЭ: шаг за шагом, А.А. Черняк, Ж.А. Черняк, Москва, Дрофа, 2011. 2. Геометрия масс, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский: Наука. Гл. ред. физ.­мат. лит., 1987  (Библиотечка «Квант», Выпуск 61). 3. Интернет ресурс : /watch?v=F7xKbuXAlEE

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"

Исследовательская работа на тему "Геометрия масс"
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
07.04.2017