КДМ. Площадь многоугольника: разбиение фигуры на части и "метод узлов" по формуле Пика.

Площадь фигуры(многоугольника)

Метод узлов -
формула Пика

Наглядная геометрия

В задании требуется всегда одно и то же: найти площадь фигуры, которая задана точками на координатной плоскости или на координатной сетке.
В зависимости от фигуры, все задачи делятся на два типа:
Площадь многоугольника;
Площадь круга.
Независимо от типа, надо помнить важнейшее правило, вытекающее из свойств площади: если фигуру разрезать на несколько частей, то сумма площадей этих частей равна площади всей фигуры.
Рассмотрим площадь многоугольника.

Решить задачу № 1*

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь в см2
прямоугольника AEFK
Найдите площадь в см2
прямоугольных
треугольников AEB, CFD,
ADK
Найдите площадь четырехугольника ABCD

Решение:

Решить задачу № 1*

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь
прямоугольника AEFK в см2
Найдите площадь прямоугольных треугольников AEB, CFD, ADK в см2
Найдите площадь четырехугольника ABCD

Подсказка:
1
2
3

M

N

P

Решить задачу № 1*

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Решение:

SAEFK=AK*AE=6*4=24 (см2)
SAEB=SAEBM :2=2*4:2=4 (см2)
SCFD=SNCFD :2=2*1:2=1 (см2)
SADK=SAPDK :2=6*2:2=6 (см2)

M

N

P

SABCD = SAEFK – (SAEB + SCFD + SADK) = 24 – (4 + 1 + 6) = 13 (см2)

Ответ: SABCD = 13 см2

Эту формулу редко кто изучает в школе…
О ней, вряд ли, вспомнят в колледже или даже в университете...
Но те, кто ее знают, всегда решат задачу правильно.
Никаких дополнительных построений и треугольников — все намного проще.
Запоминайте и пользуйтесь
замечательной формулой!
Метод узлов

А я знаю, как решить такую задачу намного проще и быстрее!
Есть отличная формула!!!

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок.
Это даже не формула, а настоящая теорема.
На первый взгляд, она может показаться сложной.
Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка.
Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Определение
Узел координатной сетки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.
Обозначение

На первой картинке узлы вообще не обозначены.
На второй обозначены 4 узла.
Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.
Какое отношение это имеет к задаче?
Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки.
Как следствие, для них работает следующая теорема:



Теорема (формула Пика)
Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки.
Тогда площадь многоугольника равна:

где n — число узлов внутри данного многоугольника,
k — число узлов, которые лежат на его границе
(т.е. n - внутренние, а k – внешние или граничные узлы).

n=1
k=3

Пример
Рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и
попробуем отметить внутренние и граничные (внешние) узлы.

На I картинке дан обычный треугольник.

На II отмечены его внутренние узлы, число которых n = 10.

На III картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.

Возможно, некоторым непонятно, как считать числа n и k.

Начните с внутренних узлов.
Тут все очевидно: закрашиваем
треугольник карандашом и смотрим,
сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее.
Граница многоугольника — замкнутая ломаная линия, которая пересекает координатную
сетку во многих точках.
Проще всего отметить
какую-нибудь «стартовую»
точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут
только те точки на ломаной, в которых
одновременно пересекаются 3-4 линии:
Собственно, ломаная;
Горизонтальная линия координатной сетки;
Вертикальная линия.

n=10

k=6

нет!

Граничный или внешний узел

Нет внешнего узла
– пересеклись 2 линии

Внешний узел–
пересеклись
4 линии

Формула Пика

В 1899 г. австрийский математик Георг Пик открыл теорему для расчёта площади многоугольника, которую в его честь назвали «формула Пика».
В Германии эта теорема включена в школьные учебники.Когда вершины многоугольника расположены
в узлах квадратной сетки, можно воспользоваться формулой Пика.



где n — число узлов внутри данного многоугольника,
k — число узлов, которые лежат на его границе
(т.е. n - внутренние, а
k – внешние или граничные узлы).

Георг Алекса́ндр Пик 
(нем. Georg Alexander Pick; 10.08.1859-13.07.1942) —
австрийский математик, родился в еврейской семье.
Мать - Йозефа Шляйзингер (нем. Josefa Schleisinger),
отец - Адольф Йозеф Пик (нем. Adolf Josef Pick).
Георга, который был одарённым ребёнком, обучал
отец, возглавлявший частный институт. 
В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет.
В 20 лет получил право преподавать физику и математику. 
В 21 год защитил докторскую диссертацию.
Доктор философии (PhD) по математике, хабилитированный (способный, пригодный; высшая академическая квалификация) доктор, профессор Немецкого университета в Праге, член-корреспондент Чешской академии наук и искусств.
В 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, его исключили из академии.
13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами
в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Решить задачу № 1* новым способом

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Решение:

Решить задачу № 1*

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Решение: n=10, k=8

Нужно
учитывать
масштаб!

Площадь многоугольника на клетчатой бумаге

Найти площадь фигуры:
1. 2.








Ответ: 9,5 Ответ: 7,5

Практикум

Удачи!

Площадь многоугольника на клетчатой бумаге

№ 1
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 12

№ 2
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 14,5

№ 3
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 7

№ 4
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ:11,5

№ 5
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 11

№ 6
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 15

№ 7
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 8

№ 8
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 12

№ 9
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 12

№ 10
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 16

№ 11
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 13

№ 12
Найдите площадь
четырехугольника,
изображенного
на клетчатой бумаге
с размером клетки
1 см × 1 см.
Ответ дайте в см2.

Ответ: 17

Практикум: проверка

1. 12
2. 14,5
3. 7
4. 11,5
5. 11
6. 15

7. 8
8. 12
9. 12
10. 16
11. 13
12. 17

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Оценка за Самостоятельную работу

5-6 заданий – «5»
4 задания – «4»
3 задания – «3»

Нарисуйте шарик…

сложа руки

смотрел во все глаза

мотал на ус

засучив рукава

бил баклуши

ловил мух

считал ворон

спустя рукава

держал
ушки на макушке

бился как рыба об лед

для галочки

не
по моей части

вкладывал душу

с полной отдачей

старался изо всех сил

Созидательный труд:
- мы умеем работать как следует, когда захотим…
стараться изо всех сил
вкладывать душу
работать засучив рукава
мотать на ус
смотреть во все глаза
держать ушки на макушке
с полной отдачей
не покладая рук

Бесполезная работа:
- никому не нужная работа…
для галочки
биться как рыба об лед

Лень и бездельничанье:
не по моей части
сложа руки
считал ворон
ловил мух
спустя рукава

Я держу в ладошках солнце!
Я дарю его друзьям!
Улыбайтесь! Это просто!
Лучик солнца – ЭТО ВАМ!

Спасибо за внимание!
До новых встреч!

Молодцы!