Конспект элективного курса по математике "Перестановки"(7 класс)

Перестановки. Размещения. Сочетания.

Цель: изучение элементов комбинаторики

Задачи: - познакомить учащихся с элементами комбинаторики;

               - учить решать задачи с помощью элементов комбинаторики;

               - развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике.

Ход занятия

1.     Сообщение темы и цели занятия

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.

Перестановка

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Пример. Сколькими способами можно построить трех человек в шеренгу?

Решение:  а в с, а с в, в а с, в с а, с а в, с в а.

P_n – число перестановок.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

где n! называется факториалом числа n. Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.

Задача 1. В автосервис приехали 5 машин для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

Решение:

Задача 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?

а) учебник;

б) автор;

в) фонарь.

Решение: .

                .

                .

Размещение

Размещением из n элементов по k  называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из n элементов.

.

Задача 1. Учащиеся  2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на 1 день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Решение: .

Задача 2. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

Решение:

Сочетание

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данныхn элементов.

Задача 1. Сколькими способами можно распределить между шестью различными лицами две одинаковые путевки?

Решение:  

Задача 2. В классе 25 учеников. Сколькими способами учитель может выбрать в этом классе для опроса:

а) 5 различных учеников;

б) 6 различных учеников;

в) 20 различных учеников.

Решение:

а)

б)

в)

2.     Самостоятельная работа

Задача 1

На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: .

Задача 2

Сколькими способами могут быть разделены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

Решение: .

Задача 3

Иван Николаевич купил билет лото «6 из 49». Он должен зачеркнуть 6 номеров из 49. сколько существует способов это сделать?

Решение: