Квадратурные формулы Гаусса
Оценка 4.8

Квадратурные формулы Гаусса

Оценка 4.8
Научно-исследовательская работа +4
docx
информатика +1
Взрослым
17.02.2017
Квадратурные формулы Гаусса
Функция приближается многочленами более высокой степени точнее, чем многочленами низшей степени: Поэтому есть основания обратить внимание на квадратуры, точные для многочленов по возможности более высокой степени. Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При заданном числе узлов построить квадратуру точную для многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуры называют квадратурами Гаусса. Мы видели (§ 2), что квадратура (1) точна для многочленов степени , если она точна для всех функций . Следовательно, должны выполняться соотношения Получили систему из уравнения относительно неизвестных , где — неизвестные узлы, — неизвестные коэффициенты квадратурной формулы (1). При число уравнений не превосходит числа неизвестных, поэтому можно ожидать, что алгебраическая система (2) имеет решение. Можно попытаться построить квадратурные формулы, соответствующие значению , решая эту систему, однако неясно, будут ли узлы квадратур, получаемые из (2), принадлежать отрезку . В противном случае может оказаться, что функция не определена в узлах интегрирования и употребление квадратуры невозможно. Заметим, что в гл. 8 при построении конечно-разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений возникнут квадратуры с узлами вне отрезка .
Квадратурные формулы Гаусса.docx
Квадратурные формулы Гаусса Из оценки (2.1) следует, что погрешность квадратуры оценивается через погрешность  приближения функции многочленами. Функция приближается многочленами более  высокой степени точнее, чем многочленами низшей степени: Поэтому есть основания обратить внимание на квадратуры, точные для многочленов по  возможности более высокой степени. Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При заданном числе узлов  квадратуру  построить точную для многочленов наиболее высокой степени. Такие квадратуры называют  квадратурами Гаусса. Мы видели (§ 2), что квадратура (1) точна для многочленов степени  , если она точна  для всех функций  . Следовательно, должны выполняться соотношения Получили систему из   уравнения относительно неизвестных  , где   — неизвестные  узлы,   — неизвестные коэффициенты квадратурной формулы (1). При   число уравнений не превосходит числа неизвестных, поэтому можно ожидать, что  алгебраическая система (2) имеет решение. Можно попытаться построить квадратурные  формулы, соответствующие значению  , решая эту систему, однако неясно, будут ли  узлы квадратур, получаемые из (2), принадлежать отрезку  . В противном случае может оказаться, что функция  квадратуры невозможно.  не определена в узлах интегрирования и употребление  Заметим, что в гл. 8 при построении конечно­ разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений возникнут  квадратуры с узлами вне отрезка  . Займемся построением квадратур, соответствующих максимальному значению  . Лемма 1. Если   — узлы квадратуры (1), точной для всех многочленов степени  , то при   и   — произвольном многочлене степени не выше  . Доказательство. Пусть   ­ некоторый многочлен степени не выше  . Вследствие  условия леммы квадратура (1) точна для многочлена   степени  . Поэтому Последнее соотношение вытекает из равенства   при всех j. Лемма 1 доказана. Далее предполагается, что   почти всюду на  . Из результатов § 4 вытекает единственность многочлена  , ортогонального всем  многочленам низшей степени, если скалярное произведение задано соотношением Поэтому   и узлы отыскиваемой квадратуры должны быть нулями  . Согласно  результатам § 4 многочлен   на   имеет   различных нулей. Лемма 2. Пусть   — нули ортогонального многочлена   степени   и (1) —  квадратура, точная для многочленов степени  . Тогда, квадратура (1) точна для  многочленов степени  . Доказательство. Произвольный многочлен   степени   представим в виде где   и   ­ многочлены степени  . Имеем так как   по условию леммы. Далее, поскольку   вследствие свойства ортогональности многочлена   многочленам низшей степени, а все  по предположению леммы. Следовательно,  . Лемма 2 доказана. Теперь можно построить требуемую квадратурную формулу. Для этого зададимся узлами интерполяции  , в которых   и построим (например, следуя построениям § 3)  квадратуру, точную для многочленов степени  квадратуру . В итоге получим требуемую  точную для многочленов степени  . Если почти всюду   то не существует квадратуры, точной для всех многочленов  степени  . В самом деле, возьмем   тогда левая часть (1) а правая равна 0. Лемма 3. Коэффициенты   положительны. Доказательство. Функция   является многочленом степени  , обращающимся в нуль  во всех точках  . Квадратура (3) будет точна для этой функции, поэтому Раскрывая выражение  , получим Лемма доказана. Поскольку все  , то, воспользовавшись (2.1) и (2.2), имеем Можно получить также оценку погрешности квадратур Гаусса через  имеет вид . Эта оценка  Для практического применения формул Гаусса необходимо иметь в распоряжений узлы и  коэффициенты этих квадратур. Можно показать, что для случая   — четной  относительно точки  , нули ортогональных многочленов, т. е. узлы квадратур Гаусса,  расположены симметрично относительно середины отрезка  . Вследствие (3.5)  коэффициенты квадратуры Гаусса (3) будут удовлетворять условию четности  обстоятельство наполовину уменьшает объем таблиц для формул Гаусса. . Это  Если  , то коэффициенты   и числа   не зависят от отрезка  . В самом деле,  если многочлен  принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом 1 на  ,  то многочлен   принадлежит системе многочленов, ортогональных с весом 1 на  .  Поэтому он сам, его нули, а согласно (3.3) и коэффициенты  определяются однозначно, независимо от исходного отрезка  . Приведем для сведения параметры квадратур Гаусса для отрезка   при  . В этом  случае остаточный член   для квадратурной формулы (3) есть Вследствие свойства симметрии мы указываем лишь неотрицательные  коэффициенты при них (табл. 1).  и Таблица 1 В настоящее время составлены таблицы узлов и весов квадратур Гаусса по крайней мере  до   с 20 десятичными знаками. Вследствие их большого объема, начиная с  некоторого  , их публикуют лишь для  . Иногда целесообразно видоизменить идею Гаусса построения квадратур, точных на  многочленах максимально высокой степени. Например, пусть требуется вычислить  , а  значение  1] (или почему­либо заранее известно). Тогда имеет смысл построить квадратуру  вычисляется существенно быстрее, чем значения в других точках отрезка [0,  точную для многочленов степени  . Если требуется вычислить  , а значения   и    вычисляются существенно быстрее, чем значения во внутренних точках отрезка  имеет смысл построить квадратуру , то точную для многочленов степени   в последнем случае оказывается, что   при  всех  . Степень многочлена, для которого точна квадратура, определяется числом свободных  параметров квадратуры. Квадратура (6) называется квадратурой Лобатто или формулой  Маркова; при   она совпадает с формулойтрапеций, при   — с формулой Симпсона. Задача 1. Введением весовых функций и заменой переменных  квадратур (6) к построению некоторых квадратур Гаусса.  свести построение  Задача 2. Пусть   Доказать, что соответствующей квадратурой Гаусса является где   многочлена Чебышева  . Указание. При проверке точности квадратуры для многочлена степени  представить многочлен в виде   и установить, что квадратура точна для   при  . В настоящее время рассчитано много таблиц формул Гаусса и формул типа Лобатто, в  частности, при а также в более общем случае при и при Если подынтегральная функция интеграла хорошо приближается тригонометрическими многочленами с периодом  целесообразно применить квадратуру, являющуюся аналогом квадратуры Гаусса для  этого случая вида , то  Имеем равенство В то же время Следовательно, квадратура (7) точна для функции   при   или при   не целом и  для всех функций  тригонометрического многочлена . В результате этого оказывается, что квадратура точна для любого  следовательно, Аналогично (4) получаем оценку (8) Нижняя грань берется по множеству всех многочленов вида (8). Задача 3. Доказать, что не существует квадратур с N узлами, точных для всех  тригонометрических многочленов степени Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул Выше получены ряд квадратурных формул и строгие оценки погрешности для них.  Однако это не решает всех проблем задачи численного интегрирования. Важнейшей  задачей вычислительной математики является создание алгоритмов и пакетов программ,  обеспечивающих получение решения задач с заданной точностью при минимальном  объеме затрат человеческого труда и работы машины. Практическое применение  полученных выше оценок требует аналитических выкладок и поэтому достаточно  большого объема работы исследователя; кроме того, эти оценки часто оказываются  слишком завышенными. Поэтому при создании таких систем обычно отказываются от  использования подобных оценок, зачастую жертвуя строгой гарантией малости  погрешности приближенного решения. Можно говорить, что задача от ее возникновения до получения результата проходит через некоторую систему, состоящую из людей, решающих задачу, и    . На первоначальном  этапе применения ЭВМ наиболее узким местом, тормозившим работу этой системы,  являлось недостаточное количество ЭВМ. Поэтому применение аналитических методов  решения или аналитическое проведение оценок погрешности было оправданным.     ЭВМ      модели       ЭВМ   . Прохождение этих этапов особенно замедляется в случае, когда  Однако теперь, с повсеместным распространением вычислительной техники и внедрением ее в различные сферы деятельности общества, обстановка меняется. Узким местом этой  системы становятся длительность выбора  , метода решения   математической     задачи, программирования и других этапов, предшествующих непосредственному  решению задачи на   решением задач на ЭВМ занимаются представители конкретных наук, например  филологи, медики, экономисты, географы и т. п., мало знакомые с численными методами  или программированием. Обучение их тонкостям теории   превратиться в самоцель, отвлекающую от решения основных задач их науки, и в  конечном счете обойтись обществу довольно дорого. Поэтому в настоящее время  важнейшей проблемой является создание систем решения задач с максимально простым  обращением, предполагающих малую квалификацию пользователя в отношении  численных методов и программирования. Например, естественно потребовать, чтобы к  программе вычисления интеграла с заданной точностью мог обратиться исследователь,  знающий, что такое    , но не умеющий ни интегрировать, ни дифференцировать.     численных       интеграл       методов       может  Конечно, в развитии многих областей знания и техники решающая роль математики  состоит в создании  математической         ЭВМ      для  ее исследования. При разработке модели от специалиста этой отрасли знания требуется      явления, а потом уже в применении       модели определенная математическая культура, и наше высказывание не следует понимать как  предложение полностью избавить его от математики. Подоплекой проводимых здесь рассуждений является следующее известное рассуждение.  Когда мы занимаемся решением каких­то задач, то нужно учитывать эффективность  нашей работы не только по совокупным затратам на решение этих задач, но и принимать  во внимание убыток, понесенный обществом в результате того, что нами не решены  некоторые другие, возможно более важные задачи. При практическом анализе погрешности численного интегрирования часто пользуются  различными полуэмпирическими приемами. Наиболее распространенным из этих приемов  является следующий. Производятся вычисления по двум квадратурным формулам далее некоторая линейная комбинация         этих квадратур принимается за приближенное  значение интеграла, а величина         ­ за меру погрешности приближенной формулы      .  Довольно типичным является случай      . Описанный выше подход нельзя считать полностью оправданным вследствие его  неоднозначности. Пусть, например,         —      формула     Симпсона    :      ­ формула       трапеций    : и    . Тогда в качестве меры погрешности выступает величина      . Если — формула прямоугольников, то соответствующее значение      получили две различные эмпирические оценки погрешности одной и той  же      Симпсона    .     формулы   . Таким образом, мы Попытаемся прояснить ситуацию. Выражение      суммой    является некоторой квадратурной  по совокупности узлов      , принадлежащих объединению узлов, соответствующих  квадратурам         и    . В то же время где Возьмем произвольную линейную комбинацию вида (2) и положим Тогда мы получим приближенное значение интеграла      видим, что на таком пути можно получить неограниченное множество оценок  погрешности одной и той же квадратуры (1).    с оценкой погрешности      . Мы  Рассматриваемую задачу можно формулировать следующим образом. Приближенное  значение интеграла вычисляется по формуле Требуется построить выражение вида (2), дающее представление о погрешности  квадратуры (3). Предположим, что погрешность квадратуры (3) представляется в виде Рассмотрим случай      . Тогда в качестве         можно взять величину ­ различные узлы квадратуры (3). Разделенная разность может быть выражена  где     через       производную    , поэтому имеем Следовательно, при      меру погрешности.    справедливо соотношение         и величину         можно принять за  Пусть, например, оценивается погрешность формулы       трапеций Согласно оценкам из § 3 имеем Таким образом, мы можем принять за меру погрешности величину Иначе обстоит дело, когда      . Тогда нельзя получить никакого приближения к         через  величины      рассматриваемой выше постановке не может быть решена. , и проблема получения эмпирической оценки погрешности в  Например, мы не можем получить удовлетворительного представления об оценке  погрешности     через значения          Симпсона    формулы     завышенную оценку погрешности. . Однако можно получить некоторую  Рассмотрим один подход к разрешению возникшей проблемы. Предположим, что нам  удалось получить оценку погрешности вида Положим    имеем      При     оценку погрешности формулы (3). Эта оценка будет сильно завышенной, поскольку при     можно принять за приближенную  . Таким образом, величину предположении         имеем      . Однако лучшей оценки погрешности формулы (3) по  сравнению с оценкой через      , по­видимому, нельзя предложить. В      формулы   случае   погрешности принимаем величину     Симпсона       верна оценка (5) при         и, таким образом, за меру  В случае многомерных интегралов все практические способы оценки погрешности  опираются на исходную, раскритикованную нами процедуру. Дело в том, что в  многомерном случае погрешность оценивается через значения  нескольких   подобных (6), для таких формул крайне затруднительно. Поэтому обращаются к  исходной процедуре с последующей экспериментальной проверкой результатов ее  применения.     производных       подынтегральной функции. Получение «обоснованных» оценок,  Квадратурные формулы Выше мы показали, как с помощью   геометрические характеристики линий и плоских сечений. Рассмотрим некоторые  методы       определенных интегралов.     криволинейных       приближенного       вычисляются      вычисления       интегралов   Квадратурная формула Гаусса. Пусть требуется приближенно вычислить       определенный       интеграл       от некоторой  функции      . Если эта функция однозначна и непрерывна на интервале интегрирования,  тогда по       теореме       Вейерштрасса       для любого положительного достаточно малого        существует такой полином         что        всюду на заданном интервале. Если бы нам была известна формула точного вычисления       определенного       интеграла       от  полинома         то мы могли бы с известной точностью принять       интеграл       от полинома за  приближенное значение интеграла от заданной функции         Поставим задачу найти  значения аргументов         и весовые множители         чтобы формула (8.9.1) была бы точной для всех полиномов         степени         Полином степени         содержит        коэффициентов, по которым можно найти    весовых множителей           пределам интегрирования от —1 до 1 всегда можно свести любые пределы путем  линейной замены аргумента.    аргументов      . К  Пусть В соответствии с формулой (8.9.1) должны выполняться равенства (8.9.2) В то же время 1 (8.9.3) Подставим (8.9.2) в (8.9.1) и получим Приравняем выражения при         в правой и левой частях равенства (8.9.5) и, учитывая  равенства (8.9.4), получим систему         уравнений (8.9.6) Из этой       системы       уравнений       могут быть найдены значения аргументов         и весовые  множители         Система является нелинейной и может быть решена       численным       методом    . Если в качестве полинома вместо (8.9.2) взять полиномы (8.9.7) где        —      полиномы    , то окажется, что в качестве значений     Лежандра           достаточно  взять решения уравнения         Полиномы Лежандра определяются формулой Родрига или формулой где        для четных         для нечетных      . Первые восемь полиномов Лежандра имеют вид Полиномы       Лежандра       удовлетворяют уравнению Лежандра которое появляется при решении уравнения Лапласа в сферических координатах методом разделения переменных. Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами. для любых полиномов         степени      (8.9.9)     Лежандра      Полином   расположены на интервале от —1 до 1.    имеет         различных действительных корней         которые  Полиномы (8.9.7) имеют степень, не превышающую      выполняться равенство (8.9.1), т. е. , поэтому для них должно  (8.9.10) В силу свойства (8.9.9)       полиномов       Лежандра       равенство (8.9.10) примет вид (8.9.11) Эти равенства будут выполнены при любых      , если положить (8.9.12) То есть в качестве аргументов          Лежандра   соответствующего       полинома      могут быть взяты нули   . Эти нули действительны, различны и  расположены в интервале —         По известным аргументам         из первых      уравнений  (8.9.6) могут быть найдены весовые множители      относительно весовых множителей и  ее      определитель     определителем       является         Вандермонда    Эта      система       уравнений       линейная который в силу различности корней       полинома       Лежандра       не равен нулю. Формула (8.9.1),  где        — нули полиномов Лежандра, называется квадратурной формулой Гаусса. Рассмотрим       квадратурные       формулы Гаусса       для интеграла (8.9.13)     замены   Путем   интегрирования от —1 до 1, для которого применим формулу Гаусса    придем к интегралу по переменной t с пределами      переменной      (8.9.14) где        — корни       полинома       Лежандра      Путем разложения в ряд интегрируемой функции можно показать, что  погрешность       формулы Гаусса       квадратурной       равна (8.9.15) В табл. 8.9.1 приведены значения аргументов         и весовые множители      . Для  квадратурных формул Гаусса на интервале      . Таблица 8.9.1 Квадратурные формулы Ньютона­Котеса. Если, на участке интегрирования функция может быть аппроксимирована полиномом, то  за приближенное значение интеграла может быть принят   некоторых случаях точки аппроксимации отстоят друг от друга на равном расстоянии по  параметру, а в качестве интерполяционного полинома используется полином Лагранжа  (2.4.15).     от этого полинома. В      интеграл   Пусть требуется вычислить интеграл (8.9.16) Разобьем отрезок интегрирования равноотстоящими точками на        равных участков, где Заменим функцию         интерполяционным полиномом Лагранжа (8.9.17) где При введении обозначения         полином Лагранжа примет вид За приближенное значение интеграла (8.9.16) примем   полинома Лагранжа     интеграл       от интерполяционного  где введено обозначение (8.9.19) (8.9.20) Обычно полагают      , где       постоянные       величины называются коэффициентами Котеса. (8.9.21) Полученные таким образом формулы вычисления   квадратурными  формулами         Ньютона­Котеса       и имеют вид     определенных       интегралов       называются  (8.9.22) где     Частные случаи формул Ньютона­Котеса. Положим в формуле      формулу       трапеций       для     и получим      приближенного       вычисления  определенного         интеграла Можно показать, что погрешность формулы       трапеций       равна (8.9.23) (8.9.24) Если на участке интегрирования         формула трапеций дает значение интеграла и     формула трапеций дает значение  избытком, а если на участке интегрирования      интеграла с недостатком. Для более точного вычисления область интегрирования  разбивают на несколько участков и на каждом из них применяется формула   равносильно   вычислению интеграла от этой ломаной.     кривой  , описываемой данной функцией,         трапеций       ломаной       аппроксимации       линией, и   . Это Квадратурная формула, в которой интегрируемая функция заменяется параболой,  называется формулой Симпсона.       может быть получена как частный      Симпсона       Формула   случай формулы (8.9.22) при         Из формулы (8.9.22) при         получим         и где     . Можно показать, что погрешность формулы Симпсона равна (8.9.25) (8.9.26)     Симпсона       является точной для полиномов не только второй, но и третьей  Формула   степени. Из формулы (8.9.22) при         получим квадратурную формулу Ньютона где     . Можно показать, что погрешность формулы Ньютона равна (8.9.27) (8.9.28) Формула Ньютона при одинаковом шаге         менее точна, чем       формула       Симпсона    . С  точки зрения точности  формулы     эффективными.     Ньютона­Котеса       с четным         являются более  В общем случае область интегрирования может разбиваться на несколько участков и на  каждом участке использоваться интегрирование одним из описанных методов.  Полученные таким способом формулы называются обобщенными формулами Ньютона­ Котеса и обобщенными       формулами       Симпсона    . Рассмотренные квадратурные формулы используются для вычисления геометрических  характеристик кривых линий и плоских областей, ограниченных линиями на плоскости.  Из всех приведенных формул при одном и том же числе точек      Гаусса       имеет наименьшую погрешность при тех же вычислительных затратах.    квадратурная       формула  Квадратурные формулы типа Гаусса. Если по условиям задачи имеется право выбора  узлов квадратурной формулы, то для вычисления интеграла применяют квадратурные  формулы типа Гаусса (формулы наивысшей алгебраической точности). Эти формулы  имеют вид Коэффициенты Ai и узлы xi квадратурных формул выбираются так, чтобы приближенное  равенство (2) было бы точным для всех многочленов наивысшей возможной степени.  Квадратурные формулы типа Гаусса степени n будут точными для всех полиномов  степени не выше 2n­1, тогда как формулы Ньютона­Котеса точны только для полиномов  степени не выше n. Рассмотрим некоторые частные случаи. Квадратурная формула Гаусса получена с весовой функцией равной единице p(x)є 1 и узлами xi, являющимися корнями  полиномов Лежандра Коэффициенты Ai легко вычисляются по формулам i=0,1,2,...n. Значения узлов и коэффициентов для n=2,3,4,5 приведены в таблице Порядок Узлы Коэффициенты n=2 n=3 x1=0 A1=8/9 x0=­x2=0.7745966692 A0=A2=5/9 x2=­x1=0.3399810436 A1=A2=0.6521451549 x3=­x0=0.8611363116 A0=A3=0.6521451549 n=4 x2=0 A0=0.568888899 x3=­x1=0.5384693101 A3=A1=0.4786286705 x4=­x0=0.9061798459 A0=A4=0.2869268851 n=5 x5=­x0=0.9324695142 A5=A0=0.1713244924 x4=­x1=0.6612093865 A4=A1=0.3607615730 x3=­x2=0.2386191861 A3=A2=0.4679139346 При необходимости вычислить интеграл с другими пределами следует сделать замену переменных  тогда формула примет вид Квадратурная формула с весовой функцией  имеет вид и называется формулой Мелера. Ее особенность в том, что все коэффициенты равны p / (n­1) , а в качестве узлов xi используются корни многочленов Чебышева При вычислении несобственных интегралов используют специальные приемы. Например,  несобственный интеграл  бесконечности в точке принадлежащей интервалу  интегрирования f(x)® Ґ при x® c, cО [a,b], подынтегральной функцией стремящейся к  можно приближенно вычислить вырезав из него некоторый участок с особенностью Значение d должно быть таким, чтобы обеспечивалось неравенство где e требуемая точность, а интегралы в формуле (3) должны вычисляться с  точностью e /4 каждый. Другим приемом, позволяющим вычислить несобственный интеграл, является  использование квадратурных формул с такой весовой функцией , чтобы особенность  содержалась в весовой функции. Например, при вычислении интеграла имеются особенности в точках x=1, x=­1. Для вычисления этого интеграла удобно  использовать формулу Мелера так, как в правой части равенства присутствует функция ex не имеющая особенностей. При вычислении несобственных интегралов с бесконечным пределом выполняют его  усечение параметр b выбирают так, чтобы выполнялось неравенство а интеграл в формуле (4) должен быть вычислен с точностью e /2. Для кратных интегралов используют повторное применение квадратурных формул.  Например, для двойного интеграла можно записать где т.е. вычисление такого интеграла сводится к двукратному интегрированию где Ci,CJ коэффициенты квадратурных формул, применяемых для интегрирования по x и  поy. Заметим, что такой подход возможен, если область интегрирования имеет форму  прямоугольника. В случае когда область интегрирования G имеет произвольную форму можно  использовать метод Монте­Карло основанный на применении случайных чисел. Пусть необходимо вычислить интеграл по области G и пусть известна некоторая оценка подынтегральной функции 0

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса

Квадратурные формулы Гаусса
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
17.02.2017