Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций Симпсона

квадратурные формулы прямоугольников, трапеций Симпсона ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.  КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ  ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ,  ТРАПЕЦИЙ  И СИМПСОНА Для приближённого вычисления определенного интеграла     разобьём отрезок интегрирования   на   равных частей точками ,   − шаг разбиения. Значения  функции   в точках разбиения   обозначим через  . Непрерывная подынтегральная функция   заменяется сплайном – кусочно­ полиномиальной  функцией  , аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя функцию  интегрирования (квадратурную формулу).  на отрезке  , получим некоторую формулу численного  В зависимости от функции  будем получать различные квадратурные формулы. , аппроксимирующей подынтегральную функцию,  Если на каждой части  заменить функцией, принимающей постоянное значение, равное, например, значению   деления отрезка     функцию    функции   в серединной точке i­й части то функция   будет иметь ступенчатый вид: ,    ,     В этом случае и получаем квадратурную формулу прямоугольников: Если функцию   на каждом отрезке   заменить её линейной  интерполяцией по точкам  линейную функцию    и  , то получим непрерывную кусочно­ ,    ,    Здесь  В этом случае . Графиком этой функции является ломаная линия.  и получаем квадратурную формулу трапеций: Можно получить квадратурную формулу Симпсона, называемую также формулой  парабол, если сплайн  представляет собой непрерывную функцию, составленную из примыкающих парабол.  , аппроксимирующий подынтегральную функцию  ,  Потребуем, чтобы на отрезке   парабола проходила через точки ,  ,  . Используя построение интерполяционного многочлена  Лагранжа второго порядка на отрезке  , получим сплайн   Для дальнейших преобразований введём переменную   с помощью равенства Значениям  соответственно.  равным 0, ½, 1, соответствуют значения   равные    Выразим сплайн   через новую переменную  Учитывая, что имеем , и в результате приходим к квадратурной формуле парабол: Приближённое значение интеграла  , вычисленное по квадратурной формуле  парабол, можно выразить через значения  квадратурным формулам прямоугольников и трапеций:  и   − результаты вычислений по  Погрешность каждой квадратурной формулы оценивается величиной остаточного  члена  , зависящего от шага разбиения   (или от числа разбиений  ): . Приведём оценки погрешностей квадратурных формул в том случае, когда  подынтегральная функция имеет непрерывную производную второго порядка: ∙ для формулы прямоугольников ∙ для формулы трапеций ; . Если подынтегральная функция имеет непрерывную производную четвёртого порядка,  то справедлива такая оценка погрешности формулы Симпсона: Заметим, что при интегрировании степенной функции, степень которой не выше трёх,  квадратурная формула Симпсона даёт точный результат. Пример. Найти приближённые значения интеграла  формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования [0,1]   с помощью квадратурных разбит на  результатов в каждом случае.  равных частей. Оценить величину погрешности полученных  Решение. Обозначим через   погрешность результата интегрирования по квадратурным формулам (здесь  ~ ). Найдём производные подынтегральной функции до четвёртого порядка включительно и максимальные абсолютные значения  производных второго и четвёртого порядков на отрезке [0,1]:   При   получим следующие оценки величин погрешности результатов: ; ; . Результаты вычислений по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и  Симпсона для различных чисел разбиений  табл. 7.1.  и погрешности этих результатов сведены в Таблица 7.1 Квадратурная формула Прямоугольников 1,40977 0,1699 1,44875 0,0425 1,46039 0,0068 Трапеций Симпсона   1,57158 0,3398 1,49068 0,085 1,46717 0,0136 1,46371 0,0045 1,46272 0,0003 1,46265 10­5 Практически важно вести вычисления до достижения заданной точности  иной квадратурной формуле. Этой цели удовлетворяет метод двойного пересчёта,  который  заключается в следующем. По квадратурной формуле проводят вычисление   по той или  интеграла с шагом   и получают значение  . Затем уменьшают шаг вдвое и  получают новое приближённое значение интеграла  . Для того чтобы  определить, как сильно уклоняется значение  используется правило Рунге:  от точного значения интеграла  ,    , где   для формул прямоугольников и трапеций и   для формулы Симпсона. При заданной точности  приближений при выполнении условия  вычисления с уменьшающимся шагом проводят до окончания    При этом с точностью   полагают  Квадратурная формула Симпсона (формула парабол) При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график  подынтегральной функции  линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в  формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения   на каждом из отрезков разбиения   прямой  графика функции   в виде параболы ­­ графика некоторого квадратного  трёхчлена  выбираем приближение.  . Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка   , на котором мы  Выберем, например, такой квадратный трёхчлен   , чтобы его значения в  точках   и   совпадали со значениями функции   в этих же точках: (5.3) Напомним, что через   мы обозначали середину отрезка   , то  есть   Функцию можно записать в виде действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём  числа   так, чтобы выполнялись равенства (5.3). Положим   ,   и   . Подставим   в выражение для   и  тогда  получим: то есть Подстановка   даёт откуда Наконец, подставим   и получим откуда Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции   , для чего сделаем в  нём замену   :                 Осталось просуммировать эти величины по всем отрезкам разбиения. При этом  получаем квадратурную формулу, которая называется формулой Симпсона,  или формулой парабол: Нетрудно видеть, что это в точности та же "комбинированная" квадратурная формула  (5.2), которую мы получили выше из формул центральных прямоугольников и трапеций.         Замечание 5.1   При вычислении очередного слагаемого требуется вычислить только два (а не три) новых значения функции   , а именно,  значения  тогда уже вычислено.       и   . Значение   использовалось на предыдущем шаге и было  Если при применении формулы Симпсона взять все отрезки разбиения одинаковой  длины   , то формула Симпсона получает вид (5.4) Раскрыв скобки и объединив одинаковые слагаемые, можно легко привести эту  формулу к виду Действительно, слагаемые с целыми номерами (кроме  входят по одному разу в каждое их двух соседних слагаемых в сумме (5.4), так что для  них получается сумма с коэффициентом 2.  и   )  Оценка ошибки формулы Симпсона, то есть величины   , такова.  Предположим, что функция   имеет на отрезке   непрерывную четвёртую  производную   , причём при всех  неравенство  . Тогда при выборе постоянного шага   имеет место  Таким образом, формула Симпсона ­­ это квадратурная формула четвёртого порядка  точности. Это означает, что при уменьшении шага  примерно в  в   раз. раз, а при уменьшении шага в 10 раз ошибка уменьшится примерно   вдвое ошибка   уменьшится  Доказательство приведённой оценки для формулы Симпсона можно найти, например, в  книге  Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. ­­ М.: Наука,  1987.