ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ» (занятие 1)

ЛЕКЦИЯ ПО ТЕМЕ «ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ» Занятие №1 1. История возникновения комплексных чисел. 2. Мнимая единица. Степени мнимой единицы. 3. Понятие комплексного числа. 4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.  В своем «Великом искусстве» ДЖЕРОЛА́МО КАРДА́НО привел следующую задачу: «Найти два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 40». Соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных решений. Кардано назвал ее корни софистическими, т.е. мудреными. à à  à Он предложил . Кордано назвал такие величины “чисто отрицательными” или даже “софистически отрицательными”, считая их бесполезными и стремился не применять их. Однако, РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (ПОЧИТАТЕЛЬ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ КАРДАНО), начал действовать с корнями так, как оперируют с обычными числами, учитывая что .   1 2   1 В 1572 Бомбелли были над вплоть кубических до году итальянский учёный выпустил книгу, в которой установлены первые правила арифметических операций комплексными числами, извлечения них корней. из Французский математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день. В противоположность мнимым числам прежде (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными. известные числа Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году. В 1707-ом году Муавр открыл формулу для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных в тригонометрической форме заданных чисел, Из этих соотношений для SINnx и COSnx легко получается тождество Именно его в учебной литературе чаще называют формулой Муавра. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер. (Дания) и Арганом На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к теории упругости; М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике; Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. В настоящее время комплексные числа имеют прикладное значение:  во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи;  применяются при конструировании ракет и самолетов;  при вычерчивании географических карт;  в исследовании течения воды, а также во многих других науках.  Определение 1: символ будем называть мнимой 1 единицей, и обозначать i . i 1 Следуя определению, находим, что i 2= -1. Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Пример: 36   36 )(* 1  * 36 i 61  Рассмотрим степени мнимой единицы: i1=i, i2= -1, i3= i2*i=(-1)*i=-i, i4= i3*i=-ii=1, далее значения степеней начнут повторяться, т.е. если выписывать все значения степеней числа i подряд, то получим последовательность: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д. Примечание: Выяснив, что значения степеней числа i повторяются с периодом 4, получаем алгоритм вычисления любой степени числа i:  показатель степени делится на 4, значение степени равно 1;  показатель степени при делении на 4 дает остаток 1, значение степени равно i.  показатель степени при делении на 4 дает остаток 2, значение степени равно - 1.  показатель степени при делении на 4 дает остаток 3, значение степени равно -i. (ИЛИ, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления) Задание. Вычислите значение выражений: i28+i33+i135 , (i13+i14+i15)i32, i43+i48+i44+i45, (a) (b) (c) (d) . 9   16  64  Решим (а): 28=47, i28=1; 33=48+1, i33=i; 135=433+3, i135= -i Таким образом, получаем: i28+ i33+ i135=1+i-i=1. b) i)1=1, c) (i13+i14+i15)i32=(i4*3+1+i4*3+2+i4*3+3)i4*8+0=(i1+i2+i3)i0=(i+1- i43+i48+i44+i45=i4*10+3+i4*12+0+i4*11+0+i4*11+1=i3+i0+i0+i1=- i+1+1+i=2. Вычислить самостоятельно: 1) (i36+i17)i23; 2) (i133+i115+i200+i142)(i17+i136); 3) i145+i147+i264+i345+i117; 4) (i64+i17+i13+i82)(i72-i34).  Определение 2: выражения вида z=a+bi, где a и b- будем i-мнимая единица, действительные числа, называть комплексными числами. Примечание: 1) a-действительная часть числа z (Re a), bi-мнимая часть числа z, b – коэффициент при мнимой части (Im b); 2) z=a+bi-алгебраическая форма комплексного числа z; 3) если а=0, то комплексное число bi называется чисто мнимым; 4) если в=0, то комплексное число а называется действительным; 5) если а=0 и в=0, то комплексное число 0+0i равно нулю. Определение 3: два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части. Задания. 1. Найти такие значения x, y при которых комплексные числа z1 , z2 будут равны: z1=3y+5xi и z2 =15-7i; z1=7x+5i и z2 =1-10iy; (a) (b) Решение (а): По определению комплексные числа равны, если 3y=15, 5x= -7. Отсюда находим x=(-7)/5, y=5. 2. При каких x и y справедливы равенства? 1) x+(3x-y)i=2-i; 2) (2x+3y)+(x-y)i=7+6i; 3)(3i-1)x+(2-3i)y=2-3i. Решение:     2  x y x 3 ; 1 )1    x y  2  7 )2 2 x  3 7 y x ;  y 6       x 6(2  y 6  y  3) y ; 7 x 12  6  2 y    y ;  7 3 y x 5  6 y  5 y ;       x y  5  1   32 i 6 yi y 2   3( )6 32 iy i x   2 2 y x 2 ;    2(3 y 3   3)3 xi x   )2 ( x y   2 y x    6 y 3 x  Ответ: решений нет 6)2 y  x 6  2 2 y   66 y y    ; 3 ; 3  2  2 y x  3 6    Решите самостоятельно: Определите, при каких действительных значениях x и y комплексные числа: а) Z1=2i(x+2yi)+3x и Z2=1-2i; б) Z2=y2–7y+9xi и Z2=-12+20i+x2i равны.  Определение 4: суммой комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число Определение 5: z= (a+c)+ (b+d)i. разностью комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число z= (a-c)+ (b-d)i . Определение 6: произведением комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i. Примечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что i2= -1. Таким образом, видим, что сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Задания. 1. Выполните действия:  (3+5i)+(7-2i)  (-5+2i)-(5+2i);  (5-4i)+(6+2i); Решение: (3+5i)+(7-2i)=(3+7)+(5i-2i)=10+3i; 2. Найдите значение выражений:  (2+3i)2  (3-5i)2;  (7+6i)3;  (11-7i)(11+7i); Решение: Здесь рациональнее будет использовать формулы сокращенного умножения, а не разбивать в произведение некоторого числа скобок. (2+3i)2=4+2*2*3i+9i2=4+12i-9=-5+12i.