«Линейные уравнения и системы уравнений с параметрами» Первые шаги в решении задач с параметрами

«Линейные уравнения и системы уравнений с параметрами» Первые шаги в решении задач с параметрами 1 План Вводная часть Основная часть 1. Виды линейных уравнений с параметрами 1.1. Линейные уравнения с параметрами и одной переменной 1.2. Линейные уравнения с параметрами и двумя переменными 2. Особенности задач с параметрами 2.1. Задачи с параметрами первого класса 2.2. Задачи с параметрами второго класса 3 Решение систем уравнений с параметрами  Стр. 2 3 3 3 3 4 7 7 3.1 Методические рекомендации учащимся по выбору алгоритма решения   15 систем линейных уравнений с параметрами  Заключительная часть Список использованных источников 17 18 2 Вводная часть. В классическом определении параметр – это некоторое фиксированное, но неизвестное число [1]. Впервые  с  параметрами   в  школьном  курсе   учащиеся   встречаются  при изучении линейных уравнений и неравенств [2]. Если в уравнении кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим [3]. Решить   уравнение   с   параметром   –   это   значит   установить   соответствие,   с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения. Следует   отметить,   что   в   настоящее   время   при   изучении   математики   в общеобразовательных   школах   решению   уравнений   с   параметрами   не   уделяется должного внимания. Поэтому при встрече с такого рода задачами на вступительных экзаменах   в   высшие   учебные   заведения   и   на   олимпиадах   учащимся   приходится действовать   на   свой   страх   и   риск,   полагаясь   лишь   на   собственное   логическое мышление. Увы, правильное логическое мышление от природы не даётся, ­ его у себя надо развивать даже людям, способным к математике [4]. В   связи   с   этим,   целью   настоящей   научной   работы   является   исследование особенностей решения линейных уравнений с параметрами и разработка методических рекомендаций учащимся по выбору алгоритма нахождения их корней. Основная часть 1. Виды линейных уравнений с параметрами 1.1. Линейные уравнения с параметрами и одной переменной Уравнение   вида  a.x=b,   где  x­   переменная,  a  и  b  –   некоторые   числа,   называется линейным уравнением с одной переменной. В   практике   решения   задач   с   параметрами,   применительно   к   линейным уравнениям   с   одной   переменной,   уравнения   с   параметрами   преимущественно встречаются двух видов [5]: ­ с одной переменной и одним параметром; ­ с одной переменной и двумя параметрами. К первому виду относятся уравнения, где значение одного из параметров (a или b) изначально задано условием или в уравнение входит только один параметр.  3 Примером могут служить уравнения вида: a.x=0; a.x=1; 5.x=b; a.x=а; (a­1).x=а Ко второму виду относятся уравнения, в которых значения параметров (a или b) изначально не определены, а обозначены буквами. Примером могут служить уравнения вида: a.x=3b; (a­1).x=b; a.x=b­5; (a­2).x=6­b. 1.2. Линейные уравнения с параметрами и двумя  переменными Уравнение вида a.x+b.y=c, где x и y ­ переменные, a, b и c – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными. В   практике   решения   задач   с   параметрами,   применительно   к   линейным уравнениям   с   двумя   переменным,   и   уравнения   с   параметрами   преимущественно встречаются двух видов [5]: ­ с двумя переменными и одним параметром; ­ с двумя переменными и двумя параметрами. К первому виду относятся уравнения, где значение двух из трех параметров (a, b или c) изначально заданы условием или в уравнение входит только один параметр.  Примером могут служить уравнения вида: a.x+y=0; a.x=3y; a.x­5y=8; a.x=аy; (a­1).x=y 4 Ко второму виду относятся уравнения, где значение одного из трех параметров (a,  b  или  c) изначально задано условием, а значения   остальных двух параметров не определены, а обозначены буквами. Примером могут служить уравнения вида: a.x+b.y=0; a.x=b.y; (a­1).x=(b+5)y. Следует   отметить,   что   на   данном   этапе   особенности   решения   линейных уравнений с параметрами и двумя переменными не являлись предметом исследований, поэтому их классификация приведена лишь в ознакомительном плане. 2. Особенности задач с параметрами Все задачи с параметрами можно условно разбить на два класса [6]. К первому классу относятся задачи, в которых требуется решить уравнение при всех значениях параметра. Ко   второму   классу   –   задачи,   в   которых   нужно   из   всех   значений   параметра выделить   те,   при   которых   уравнение   будет   обладать   некоторыми   задаваемыми свойствами,   например,   будет   выполняться   при   любом   значении   переменной,   или вообще   не будет иметь решений, или будет иметь только одно положительное или отрицательное решение и т. д. 2.1. Задачи с параметрами первого класса В   задачах   первого   класса     нужно   провести   полное   исследование   решения,   которое заключается, как правило, в обязательном рассмотрении следующих случаев решения уравнения[7]: ­  случай, при котором уравнение не имеет смысла; ­  случай, при котором уравнение не имеет решения; ­   случай, при котором  уравнение имеет  единственное  решение  или конечное число конкретных решений; ­  случай, при котором уравнение имеет бесчисленное множество решений. 5 Ответ в задачах первого класса обычно формулируется следующим образом: Ответ: уравнение при таких – то значениях параметров имеет корни…, при таких   –   то   значениях   параметров   –   бесчисленное   множество   решений,   решением уравнения   является   любое   действительное   число,   при   таких   –   то   значениях параметров   уравнение   корней   не   имеет,   при   таких   –   то   значениях   параметров   не имеет смысла. Особенностью решения линейных параметрических уравнений данного класса  является рассмотрение двух случаев: а) коэффициент при переменной равен нулю; в) коэффициент при переменной не равен нулю. В качестве примера рассмотрим решение уравнения с одной переменной и одним  параметром: Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев. (a­1).x=а; 1) Если коэффициент при х равен нулю, т.е. а­1=0, а=1, то получим уравнение 0.х=1, которое не имеет решений. 2) Если а≠1, то х =  . а 1а Ответ: при а=1 ­ нет корней; при а≠1,  х =  . а 1а В данном уравнении значение параметра – а, равное единице, обращает коэффициент (а­1) при переменной х в нуль. В задачах с параметрами принято значение параметра, обращающего коэффициент при неизвестном (переменной) в нуль называть контрольным. Так, например в уравнении: (a+6).x=6; значение     параметра   –   а.   равное   ­6,   является   контрольным,   так   как   обращает коэффициент (а+6) при неизвестном – х в нуль. Пример 1.    mx=1 Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев. Если m=0, уравнение имеет вид 0∙x=1, которое не имеет корней. 6 Если m≠0, то можно разделить обе части уравнения на m, и уравнение имеет единственное решение x = . 1 т Ответ: при m=0 уравнение не имеет решений, при m≠0 уравнение имеет единственное решение x = 1 т Пример 2.      (n−1)x = n Решение уравнения сводится к двум случаям. Если коэффициент при x равен нулю, т. е. n−1=0, n=1, то получим уравнение 0∙x=1, которое не имеет решений. Если n≠1, то уравнение имеет единственное решение x = п 1п Ответ:   при   n=1   не   имеет   решений,   при   n≠1   уравнение   имеет   единственное решение x = п 1п Пример 3.     (b+3)=b+3 Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев. Определим   контрольное   значение   параметра   b,   для   чего   приравняем коэффициент   при   неизвестном   к   нулю,   т.   е.b+3=0,   b=−3   ­   контрольное   значение. Исследуем   и   решим   уравнение   относительно   найденного   контрольного   значения параметра. Если   b=−3,   то   получим   уравнение   0∙x=0,   которое   имеет   бесчисленное множество решений. 7 Если b≠−3,то x = b b   3 3  уравнение имеет единственное решение x=1. Ответ: при b=−3 уравнение имеет бесчисленное множество решений, x­любое действительное число , при b≠3 x=1. 2.2. Задачи с параметрами второго класса.  В задачах второго класса не следует проводить полного исследования решения задачи, а достаточно привести решение, которое приведет к ответу на поставленный вопрос задачи[7]. Вопрос   в   задачах   второго   класса   формулируется,   как   правило,   следующим образом: Вопрос: При каком значении параметра уравнение…: ­не имеет смысла; ­ не имеет решения; ­ имеет единственное решение или конечное число конкретных решений; ­ имеет бесчисленное множество решений и т.п.? В качестве примера рассмотрим решение уравнения: 3х =  . 2 а 1 с   вопросом   задачи:   При   каком   значении   параметра   ­   а   уравнение   не   имеет корней? Решение:   При   значении   параметра   –   а,   равном   единице,   знаменатель   дроби уравнения обращается в нуль, поэтому уравнение не имеет смысла. Ответ: при а=1 уравнение теряет смысл и не имеет корней. В задачах с параметрами принято значение параметра, при котором уравнение имеет смысл называть допустимым. В рассмотренном примере допустимыми значениями параметра – а являются все действительные числа кроме единицы. Пример 1. 8 При каком значении параметра а корнем уравнения ax−100x=a−100 является любое число? Решение  Преобразуем данное уравнение к виду (a−100)x=a−100, используя распределительное свойство умножения  Определим   контрольное   значение   параметра:   a−100=0,   a=100При   a=100   уравнение имеет вид  0∙x=0, решением которого является любое действительное число. Ответ: при a=100 x­любое число. Пример 2. При каком значении параметра s уравнение (3−2s)x=0 имеет единственное решение? Решение  Определим контрольное значение параметра: 3−2s=0, s=1,5 При s≠1,5 уравнение имеет один корень x =0 Ответ: при s≠1,5, уравнение имеет единственное решение. Пример 3. При каком значении параметра k, уравнение 2∙x =  не имеет корней? 1 k 3 Решение. При k=−3 знаменатель дроби уравнения обращается в нуль, поэтому уравнение не имеет смысла. Ответ:  при k=−3 уравнение теряет смысл. 3.Методы решения систем линейных уравнений Определение: Система вида  A1x+B1y=C  A2x+B2y=C2 где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные,  называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в  параметрах. Возможны следующие случаи: 9 1) Если  , то система имеет единственное решение 2) Если  , то система не имеет решений 3) Если  , то система имеет бесконечно много решений. Пример 1. При каких значениях параметра а система  2х ­ 3у = 7  ах ­ 6у = 14  а) имеет бесконечное множество решений; б) имеет единственное решение Решение: а)  б)  Ответ: , а=4 , а?4 а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений; б) если а 4, то решение единственное. Пример 2. Решите систему уравнений  x+(m+1)y=1 10  x+2y=n Решение: а)  , т.е. при m 1 система имеет единственное решение. б)  в)   , т.е. при m=1 (2=m+1) и n 1 исходная система решений не имеет  , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений. Ответ: а) если m=1 и n 1, то решений нет б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество  у ­ любое  x=n­2y в) если m 1 и n ­ любое, то y=  x= Рассмотрим II способ решения системы (1). Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое  уравнение системы на В2, второе на – В1 и сложим почленно эти уравнения, исключив,  таким образом, переменную у: 11 Т.к. А1В2­А2В1 0, то х = Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на  А2, а второе на – А1, и оба уравнения сложим почленно:  А1А2х +А2В1у=А2С1  ­А1А2х­А1В2у=­А1С2  у(А2В1­А1В2)=А2С1­А1С2 т.к. А2В1­А1В2  0 у = Для удобства решения системы (1) введем обозначения:   ­ главный определитель Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей: х=  ; у= Приведенные формулы называют формулами Крамера. , то система (1) имеет единственное решение: х= ; у= ­ Если  12 ,  ,  ­ Если  ­ Если  решений.  или  ,  , то система (1) не имеет решений ,  ,  , то система (1) имеет бесконечное множество  В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она  сводится к одному линейному уравнению. В случае   часто бывает удобно  исследовать систему следующим образом: решая уравнение  , найдем конкретные  значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим  эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными  числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и  исследовать. Если коэффициенты А1, А2, В1, В2, системы зависят от нескольких параметров, то  исследовать систему удобно с помощью определителей системы. Пример 3.Для всех значений параметра а решить систему уравнений  (а+5)х+(2а+3)у=3а+2  (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4 Решение: Найдем определитель системы:  = (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а2+31а+30­6а2­29а­30=­а2+2а=а(2­ а)    = (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а2+28а+12­4а2­14а­ 12=11а2+14а=а(11а+14)  =(а+5) (2а+4)­(3а+10)(3а+2)=2а2+14а+20­9а2­36а­20=­7а2­22а=­ а(7а+22) 13 1)  х= 2)   Тогда  у=  или а=2 При а=0 определители  Тогда система имеет вид: 5х+3у=2     5х+3у=2  10х+6у=4 При а=2  решений.  Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет  Ответ:1) если а  и а , то х=  у= 2) если а=0, то х ,  3) если а=2, то (х; у) 3.1 Методические рекомендации учащимся по выбору алгоритма решения линейных уравнений с параметрами Рассмотрим решение вышеприведенных линейных  уравнений с параметрами в  общемвиде .Исследуем, сколько корней может иметь линейное уравнение с одним  неизвестным ax = b.  1.Если a ≠0, b – любое число то уравнение имеет один корень x = b a  Определим знак корня 14 ­ корень положительный( x>0 ), если а и b  – одинакового знака, т.е. a>0, b>0 или a<0, b<0. Начало В   более   сложных   или   общих   случаях,   в   том   числе   при   решении   линейных Определяем допустимые значения параметров уравнения уравнений   с   одной   неизвестной   и   двумя   параметрами   удобнее   пользоваться алгоритмом, блок­схема которого приведена на рис Определяем контрольное значение параметров уравнения Область допустимых значений параметров R При недопустимых значениях параметра задача не имеет смысла Контрольные значения параметров равны нулю Единственное решение Свободный член уравнения равен нулю Нет решений Бесконечное множество решений 15 Запись ответа Конец Рис.1. Блок­схема решения линейного  параметрического уравнения Используя   приведенный   на   блок­схеме   алгоритм,   учащиеся   смогут   всегда самостоятельно   найти   правильное     решение,   как   для   задач   первого   класса,   так   и второго. Наряду   с   рассмотренными   блок­схемой   и   таблицей   часто   для   решения параметрических задач удобно использовать графический способ. В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи: Пример Сколько решений имеет уравнение  2│ x­1 = │ a для различных значений параметра a? Решение Рассмотрим графическое решение данного уравнения Введём функции y = 2│ x­1  и │ y = a 1) y = 2│ x­1│ Нуль подмодульного выражения  2x ­1=0 2x=1 x=0,5 y = 2│ x­1 =│ 16 2x­1,   x>0,5= 1­2x,    x<0,5= x y x y 0,5 0 0 1 2 3 ­2 5 3.1 Методические рекомендации учащимся по выбору алгоритма решения линейных уравнений с параметрами Рассмотрим решение вышеприведенных линейных  уравнений с параметрами в  общемвиде .Исследуем, сколько корней может иметь линейное уравнение с одним  неизвестным ax = b.  1.Если a ≠0, b – любое число то уравнение имеет один корень x = b a  Определим знак корня  ­ корень положительный( x>0 ), если а и b  – одинакового знака, т.е. a>0, b>0 или a<0, b<0. ­ корень отрицательный,( x<0 ) если а и b – разных знаков, т.е. a>0, b<0 и a<0, b>0. ­ корень нулевой (x=0), если a≠0, b=0.  2. Если а = 0, то  ­ при b ≠ 0 уравнение не имеет корней; ­   при   b   =   0     уравнение   имеет   бесчисленное   множество   решений,   корнем уравнения является любое действительное число (−∞0,5= 1­2x,    x<0,5= x y x y 0,5 0 0 1 2 3 ­2 5 • • │ а   >   0   –   уравнение 2│ x­1 =   а   имеет   два   решения   пересечения графиков) a < 0 – уравнение  2│ x­1 = а не имеет решений. При а = 0 исходное уравнение имеет единственный корень 0,5 │ x=1,  x=2   (общие   точки Рассмотренное решение представлено на рисунке 2. Y y =│2x- 1│ y = a (a > 0) Рис. 2 Графический способ решения параметрического уравнения. 1 y = a (a = 0) Заключительная часть. 0,5 1,0 X 1.   Исследованы   особенности   решения   линейных   уравнений   с   параметрами   и разработаны методические рекомендации учащимся по выбору алгоритма нахождения y = a (a < 0) их корней. 2. На основе анализа литературных показано, что применительно к практике решения задач с параметрами наиболее часто встречаются линейные уравнения:  ­ с одной переменной и одним параметром; ­ с одной переменной и двумя параметрами; ­ с двумя переменными и одним параметром; ­ с двумя переменными и двумя параметрами. 19 3. С использованием литературных данных исследованы особенности решения задач   с   параметрами   первого   и   второго   класса   и   даны   понятия   контрольного   и допустимого значения параметров для линейных параметрических уравнений. 4.   На   основе   проведенных   исследований   разработана   опорная   таблица   для решения   линейных   уравнений   с   параметром   и   одним   неизвестным   и   обобщенный алгоритм   решении   линейных   уравнений   с   одной   неизвестной   и   двумя   параметрами. Кроме   того   рассмотрен   вариант   решения   параметрического   линейного   уравнения графическим способом. 5..Изучена литература по методам решения систем линейных уравнений. 6.Подобраны и решены системы линейных уравнений 2 порядка методом Крамера, в  том числе системы, содержащие параметр. 7. Проведены занятия с одноклассниками по изучению нового метода решения систем,  определён уровень усвоения материала. 8.Разработана компьютерная программа для решения систем уравнений 2 порядка  методом Крамера.   Метод Крамера позволяет существенно сократить время нахождения решений систем линейных уравнений, а также уравнений, содержащих параметр. Метод Крамера  доступен  для его изучения учащимся  10­11 классов при решении систем линейных уравнений 2 порядка и  может быть предложен ученикам как дополнительный метод при подготовке к ГИА, и ЕГЭ. Список использованных источников. 1. Л. Ю. Солдунова «Задачи с параметрами.»2002 года 2. «Точные науки.»2006 года 3. «Образовательная коллекция. Алгебра 7­11 классы.» 2005 года 4. Е.М.Родионов «Справочник по математики для поступающих в Вузы.»1992 год  5. Я. Л. Крейнин. «Уравнения и неравенства с параметрами.»1995год  6. Г. А. Ястребинецкий «Задачи с параметрами.» 2005 год. 7. А.   И.   Першин,   О.А.   Воронина«Задачи   с   параметрами:   Справочное   учебное пособие». 2003 год 8. П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами». 2001 год 20 21 22