Логико-математический анализ теоремы и план урока: Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам

Муниципальное общеобразовательное учреждение Иркутского муниципального образования «Смоленская средняя общеобразовательная школа» Бабкина Анастасия Валентиновна, учитель математики с.Смоленщина, 2017г Логико­математический   анализ   теоремы:   Четыре   диагонали   параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. 1. Условная форма записи теоремы: если фигура параллелепипед, то его диагонали пересекаются в одной точке; если фигура параллелепипед, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Форма записи теоремы со словом свойство: свойством параллелепипеда является то,  что   его   диагонали   пересекаются   в   одной   точке;   свойством   параллелепипеда является то, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Форма   записи   теоремы   со   словом   следствие:  следствием   того,   что четырехугольная призма – параллелепипедом, является пересечение диагоналей в одной   точке;   следствием   того,   что   четырехугольная   призма   –   параллелепипед, является деление диагоналей точкой пересечения пополам. Форма записи теоремы со словом необходимо: для того, чтобы четырехугольная призма была параллелепипедом, необходимо, чтобы ее диагонали пересекались в одной   точке;   для   того,   чтобы   четырехугольная   призма   была   параллелепипедом, необходимо, чтобы  ее диагонали точкой пересечения делились пополам. 2. Разъяснительная часть: параллелепипед, диагонали, точка Условие теоремы: диагонали параллелепипеда пересекаются Заключение теоремы: диагонали пересекаются в одной точек Разъяснительная часть: параллелепипед, диагонали, точка Условие   теоремы:  параллелепипед,   проведены   диагонали   в   параллелепипеде, которые пересекаются в точке Заключение   теоремы:  диагонали,  проведенные  в этом  параллелепипеде, точкой пересечения делятся пополам. 1. Доказательство. Док­во   основано   на   следующем   факте:   если   две   параллельны третьей, то они параллельны.   прямые   в   пространстве BC=AD , Рассмотрим   чертеж   под   буквой  a),   на   котором   изображен   параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Поскольку грани ABCD и    ADD1A1  – параллелограммы, то   A1D1∨¿AD,   A1D1=AD .   Из   этого   следует,   что BC∨¿AD , BC=A1D1   и   BC∨¿A1D1 ,   поэтому   четырехугольник   A1D1BC     – параллелограмм,   а   значит   его   диагонали     A1C   и   D1B ,   являющиеся   также диагоналями   параллелепипеда,   пересекаются   в   точке   О   и   делятся   этой   точкой пополам.  Аналогтчно   доказывается,   что   четырехугольник   AD1C1B     –   параллелограмм (чертеж b), и, следовательно, его диагонали  AC1 и  D1B  пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали   D1B   является точка О. таким образом, диагонали  A1C ,  D1B  и  AC1  параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.  Рассматривая четырехугольник  A1B1CD  (чертеж c), точно также устанавливаем, что его четвертая диагональ  DB1  проходит через точку О и делится ею пополам. Доказательство (по схеме утверждение­обоснование) Утверждение  Обоснование По определению параллелепипеда Из п. 1 и по определению параллелограмма Из п. 1 и по свойству параллелограмма 1. ABCD – параллелограмм  2. BC∨¿AD 3. BC=AD 4. ADD1A1  – параллелограмм По определению параллелепипеда 5. A1D1∨¿AD 6. A1D1=AD 7. BC∨¿A1D1 Из п. 4 и по определению параллелограмма Из п. 4 и по свойству параллелограмма Из п. 2, 5 и по свойству параллельности трех прямых в пространстве Из п. 3, 6 и по свойству транзитивности 8. BC=A1D1 9. A1D1BC   – параллелограмм Из п. 7, 8 и по признаку параллелограмма 10. A1O=OC Из п. 9 и по свойству параллелограмма 11.  D1O=OB Из п. 9 и по свойству параллелограмма По определению параллелепипеда 12. ABCD – параллелограмм  13. AB∨¿DC Из п. 1 и по определению параллелограмма 14. AB=DC Из п. 1 и по свойству параллелограмма 15.  DCC1D1 – параллелограмм По определению параллелепипеда 16.  DC∨¿C1D1 Из п. 1 и по определению параллелограмма 17.  DC=C1D1 Из п. 1 и по свойству параллелограмма 18. AB∨¿C1D1 Из   п.   13,   16   и   по   свойству   параллельности трех прямых в пространстве Из п. 14, 17 и по свойству транзитивности Из п. 18, 19 и по признаку параллелограмма Из п. 20 и по свойству параллелограмма Из п. 20 и по свойству параллелограмма По определению параллелепипеда Из п. 1 и по определению параллелограмма 19. AB=C1D1 20.  ABC1D1 – параллелограмм 21. AO=OC1 22.  B О=О D1 23. ABCD – параллелограмм  24. AB∨¿DC 25. AB=DC 26.  AA1B1B  – параллелограмм По определению параллелепипеда 27.  AB∨¿A1B1 28. AB=A1B1 29.  DC∨¿A1B1 Из п. 1 и по свойству параллелограмма Из п. 1 и по определению параллелограмма Из п. 1 и по свойству параллелограмма Из   п.   24,   27   и   по   свойству   параллельности трех прямых в пространстве Из п. 25, 28 и по свойству транзитивности 30.  DC=A1B1 31.  AD1C1B   – параллелограмм Из п. 29, 30 и по признаку параллелограмма 32.  DO=OB1 Из п. 31 и по свойству параллелограмма 33.  A1O=OC Из п. 31 и по свойству параллелограмма 34.  A1C∩BD1=O Из п. 10, 11 35.  AC1∩BD1=O Из п. 21, 22 36.  A1C∩DB1=O Из п. 32, 33 37.  A1C∩BD1∩AC1∩DB1=O Из п. 34, 35, 36 и по свойству транзитивности 38.  A1O=OC ; Из п. 10, 11, 21, 22, 32, 33   D1O=OB ; AO=OC1 ;  DO=OB1 ч.т.д. 2. Опорные знания и умения. Знания:  определение   параллелепипеда,   определение   параллелограмма,   свойства параллелограмма,   признаки   параллелограмма,   свойство   параллельности   трех прямых в пространстве, свойство транзитивности Умения:  распознавать   параллелепипед,   применять   свойства   параллелограмма, применять   признаки   параллелограмма,   распознавать   параллелограмм,   применять свойство   транзитивности,   применять   свойство   параллельности   трех   прямых   в пространстве. 3. Обратная теорема: если четыре диагонали четырехугольной призмы пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой пополам, то эта призма – параллелепипед.  распознавать   параллелепипед, План урока. Теорема (свойства параллелепипеда). I подготовительный этап Цель:  актуализировать  опорные   знания  определений   понятий:   параллелепипед, параллелограмм, свойства параллелограмма, признаки параллелограмма, свойство параллельности трех прямых в пространстве, свойство транзитивности;   применять   свойства опорные   умения: параллелограмма,   распознавать параллелограмм,   применять   свойство   транзитивности,   применять   свойство параллельности трех прямых в пространстве. Метод: репродуктивный Форма: фронтальный опрос Диалог «Учитель­ученик»: 1. Сформулируйте определение параллелепипеда 2. Укажите чертеж, на котором изображен параллелепипед (объясните почему):   применять   признаки   параллелограмма, 3. Сформулируйте определение параллелограмма 4. Укажите чертеж, на котором изображен параллелограмм (объясните почему): 5. В   параллелограмме  диагональ DB=4см. чему равна прямая OD? Почему? 6. Сформулируйте свойство параллельности трех прямых в пространстве. 7. Пользуясь свойством транзитивности и свойством параллельности трех прямы в   выпишите   все   равные   и   все   параллельные   стороны пространстве, параллелепипеда:  создание   ситуации   затруднения,   свидетельствующей   о II Мотивационный этап Цель: вызвать интерес к изучаемому материалу Вид   мотивации: недостатке знаний Прием мотивации: лабораторная работа Лабораторная работа Тема: «Свойства параллелепипеда» Цель:  измерить   длины   отрезков,   полученных   при   пересечении   диагоналей параллелепипеда Оборудование: карандаш, линейка, штангенциркуль (или циркуль) Инструктаж: 1. Начертите параллелепипед 2. Проведите в нем диагонали (4) 3. Обозначьте его вершины  ABCDA1B1C1D1  и точку пересечения диагоналей О 4. Измерьте   с   помощью   штангенциркуля   (циркуля)   отрезки,   полученные   при пересечении диагоналей в точке О 5. Заполните таблицу: AC1 AO OC1 BD1 BO OD1 A1C A1O OC B1D B1O OD 6. Обратите внимание на полученные данные, что можно предположить. 7. Сделайте вывод по лабораторной работе III Ориентировочный этап Цель: сформировать и доказать теорему «Свойство параллелепипеда» 1. Какие   особенности   диагоналей   параллелепипеда   мы   получили   в   ходе лабораторной работы 2. Давайте запишем это предположение (гипотезу) 3. Гипотеза:  диагонали   параллелепипеда   пересекаются   в   одной   точке   и делятся этой точкой пополам Мотивация необходимости доказательства. 1. Ребята,   а   вы   уверены,   что   это   свойство   выполняется   для   любого параллелепипеда? 2. Что нужно сделать, чтобы убедиться в этом? Работа над структурой теоремы 1. Давайте посмотрим, что нам дано, что нужно доказать? 2. А как нам это доказать? 3. Начертите   второй   параллелепипед.   Обозначьте   его.   Проведите диагонали передней и задней граней 4. Какой четырехугольник вы получили? 5. Что следует из того, что это параллелограмм? 6. Как можно доказать наши предположения? 7. Давайте   докажем,   что   диагонали   параллелепипеда   пересекаются   в одной точке и делятся этой точкой пополам  Построение чертежа и выполнение краткой записи Давайте построим чертеж и запишем краткую запись Поиск доказательства, доказательство и его запись 1. Как доказать, что полученный четырехугольник – параллелограмм? 2. Используя   какое   свойство,   мы   можем   доказать,   что   полученные четырехугольник – параллелограмм? 3. Что   будет   следовать   из   того,   что   полученный   четырехугольник   – параллелограмм? 4. Запишите доказательство! Дано:  ABCDA1B1C1D1   – параллелепипед Доказать:1) A1C∩BD1∩AC1∩DB1=O 2)  A1O=OC ;  D1O=OB ;  AO=OC1 ;  DO=OB1     Доказательство: (по схеме утверждение­обоснование) … Закрепление теоремы 1. Сформулируйте   нашу   теорему   в   условной   форме   (со   словами:   необходимо   и достаточно) 2. Как будет называться теорема, которая будет обратная к нашей сегодня изученной? 3. Выделите и запишите разъяснительную часть теоремы: Разъяснительная часть: параллелепипед, диагонали, точка Условие теоремы: диагонали параллелепипеда пересекаются Заключение теоремы: диагонали пересекаются в одной точек Разъяснительная часть: параллелепипед, диагонали, точка Условие теоремы:  параллелепипед, проведены диагонали в параллелепипеде, которые пересекаются в точке Заключение   теоремы:  диагонали,   проведенные   в   этом   параллелепипеде,   точкой пересечения делятся пополам. 4. Заполните пропуски: Дано:  ABCDA1B1C1D1   – параллелепипед Доказать:1) A1C∩BD1∩AC1∩DB1=O 2)  Доказательство: (по схеме утверждение­обоснование) _____________________________________________ Утверждение  Обоснование 1. ABCD – параллелограмм  2. BC∨¿AD 3. BC=AD 4. A1D1BC   параллелограмм – 5. 6. A1D1=BC 7. BC∨¿A1D1 8. 9. B∨A1D1 – параллелограмм Из   п. параллелограмма   4   и   по   определению Из п. 3, 6 и по свойству транзитивности Дано:  ABCDA1B1C1D1   – параллелепипед Доказать:1) A1C∩BD1∩AC1∩DB1=O 2)  A1O=OC ;  D1O=OB ;  AO=OC1 ;  DO=OB1     Доказательство: (по схеме утверждение­обоснование) Утверждение  Обоснование 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Применение теоремы 1. По чертежу определите, чему равны длины диагоналей? Решение задач с применением данной теоремы 1. Через точку пересечения диагоналей параллелепипеда проведен перпендикуляр OO1   на плоскость основания. В основании параллелепипеда лежит ромб со стороной 6 см и острым углом в   600 . Высота параллелепипеда равна 8 см. Найдите высоту  OO1 .