Взаимное расположение прямых в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Скрещивающиеся прямые
Угол между прямыми
Урок геометрии
в 10 физико-математическом
классе
9.10.2016
Но надо жить без самозванства,
Но надо жить без самозванства,
Так жить, чтобы в конце концов
Привлечь к себе любовь
пространства,
Услышать будущего зов.
Б. Л. Пастернак
Дан куб АВСDA1B1C1D1 Выясните взаимное расположение прямых
Дан куб АВСDA1B1C1D1
Выясните взаимное расположение
прямых АА1 и DD1;
АА1 и СС1 ?
Поясните.
2. АА1 и DC?
Определение. Две прямые называются
скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.
С
Теорема. Признак скрещивающихся прямых
Теорема. Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
a
b
Алгоритм доказательства с использованием признака скрещивающихся прямых
Алгоритм доказательства
с использованием признака скрещивающихся прямых
Выделить плоскость,
в которой лежит одна
из скрещивающихся прямых.
2. Доказать, что вторая прямая
пересекает выделенную
плоскость в точке, не лежащей на
первой прямой.
3. Сделать вывод, что прямые
являются скрещивающимися
по признаку скрещивающихся прямых
DC1 (D1C1С D)
А1C (D1C1С D) = С; С DC1
А1C ∸ DC1
Куб ABCDA1B1C1D1
Куб ABCDA1B1C1D1
А В С D Тетраэдр DABC Скрещивающиеся ребра
А
В
С
D
Тетраэдр DABC
Скрещивающиеся ребра
AB ; CD
AD; CB
AC; DB
Задача №34. А В С D M N P Р1 К
Задача №34.
А
В
С
D
M
N
P
Р1
К
Дано: D (АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN.
Определить взаимное
расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
Задача №34 А В С D M N P К Дано:
Задача №34
А
В
С
D
M
N
P
К
Дано: D (АВС),
АМ = МD; ВN = ND; CP = PD
К ВN.
Определить взаимное
расположение прямых:
а) ND и AB
б) РК и ВС
в) МN и AB
г) МР и AС
д) КN и AС
е) МD и BС
Задача №93 α a b М N Дано: a || b
Задача №93
α
a
b
М
N
Дано: a || b
MN ∩ a = M
Определить
взаимное расположение
прямых MN u b.
Определить взаимное расположение прямых
???
1. Определить взаимное
расположение прямых
АВ1 и DC.
2. Указать взаимное
расположение прямой
DC и плоскости АА1В1В
3. Является ли прямая АВ1
параллельной плоскости
DD1С1С?
Можно ли через одну из скрещивающихся прямых провести плоскость?
Можно ли через одну из скрещивающихся
прямых провести плоскость?
Сколько их?
b
а
параллельно другой прямой
Докажем это.
?
О существовании параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые
О существовании параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые
Теорема.
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
- О каких фигурах идет речь в теореме?
С
D
A
B
- Что требуется доказать в теореме?
Дано:
CD ∸AB
Доказать:
б) CD∥ α
2. α- единственная
1. Существует α:
- Каким условиям эта плоскость должна удовлетворять?
а). AB ⊂α,
а)
б)
- Что ещё требуется доказать в теореме?
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Что нужно доказать в первой части теоремы?
Нужно доказать, что существует плоскость, проходящая через одну из
скрещивающихся прямых и параллельная другой.
Какая фигура помогает убедиться в параллельности прямой и плоскости?
Прямая, параллельная данной прямой.
Каким образом построить эту прямую, чтобы она
помогла построить искомую плоскость?
Эта прямая должна пересекать прямую АВ.
Итак, с чего начнем построение плоскости α?
Что еще нужно доказать в теореме?
2) построим прямую, проходящую через эту точку,
параллельно CD;
3) построим плоскость.
Нужно доказать, что эта плоскость единственная.
1) Выберем точку на прямой АВ;
Каким методом доказывается обычно единственность?
Методом от противного.
Что делаем на первом этапе?
Предполагаем, что существует другая плоскость,
проходящая через АВ, параллельная CD.
Выясним взаимное расположение этой плоскости с другими фигурами.
Плоскость β пересекается с АЕ, т.к. АЕ⊂α.
Получили противоречие с требованием. Какой вывод можно сделать?
Плоскость α – единственная.
E
𝜶
β
Плоскость β пересекает CD, т.к . CD ∥АЕ
Может ли такое быть?
Это противоречит требованию, что β ∥ CD.
C
D
A
B
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
2. Выделите в каждой части доказательства этапы.
Прочитайте доказательство теоремы, представленное в учебнике. Сколько частей можно выделить в доказательстве?
II.
I.
1)
2)
1)
2)
C
D
A
B
E
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна
Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
С
D
В
А
1. Повторите этапы построения плоскости, проходящей через одну из данных скрещивающихся прямых параллельно другой.
2. В теореме речь идет о каждой из данных скрещивающихся прямых. Постройте плоскость, проходящей через прямую CD параллельно АВ.
А А1 С В В1 С1
А
А1
С
В
В1
С1
Материал к уроку геометрии в 10 классе "Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми"
Материал к уроку геометрии в 10 классе "Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми"
Материал к уроку геометрии в 10 классе "Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми"
Задача Построить плоскость α, проходящую через точку
Задача
Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.
Построение:
Через точку К провести
прямую а1 || а.
2. Через точку К провести
прямую b1 || b.
а
b
К
а1
b1
3. Через пересекающиеся
прямые проведем
плоскость α. α – искомая
плоскость.
Куб, прямоугольный параллелепипед
Куб, прямоугольный параллелепипед
А В С D E F N T Тетраэдр DABC Скрещивающиеся ребра
А
В
С
D
E
F
N
T
Тетраэдр DABC
Скрещивающиеся ребра
AB ; CD
AD; CB
AC; DB
Прямые a и b пересекаются. Образуются смежные и вертикальные углы
а
b
Прямые a и b пересекаются.
Образуются смежные и вертикальные углы.
При этом вертикальные углы равны.
Сумма смежных углов равна 180˚.
Определение.
Углом между прямыми называется угловая мера меньшего из углов при пересечении двух прямых.
1.
α
0◦ < α 90◦
b a 2.
b
a
2.
Угол между скрещивающимися прямыми 3
Угол между скрещивающимися прямыми
3.
Угол между скрещивающимися
прямыми АВ и СD определяется как …?
А
В
D
С
Угол между скрещивающимися прямыми 3
Угол между скрещивающимися прямыми
3.
Угол между скрещивающимися
прямыми АВ и СD определяется как
А
В
D
С
А1
В1
С1
D1
α
М1
угол между пересекающимися
прямыми А1В1 и С1D1,
при этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.
!!! Величина угла между скрещивающимися прямыми
не зависит от выбора точки.
Зависит ли величина угла между скрещивающимися прямыми от выбора точки?
Задача №44 Дано: ОВ || СD,
Задача №44
Дано: ОВ || СD,
ОА и СD – скрещивающиеся.
Найти угол между ОА и СD, если:
О
В
C
D
A
а)
б)
в)
(400 )
(450 )
(900)
C1 C A1 B1 D1 A B D 1). Дан куб
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
1). Дан куб АВСDА1В1С1D1.
Найдите угол между прямыми:
1).
ВС и СС1
2).
АС и ВС
3).
D1С1 и ВС
4).
А1В1 и АС
900
450
900
450
Треугольники АВС и АСD лежат в разных плоскостях
2). Треугольники АВС и АСD лежат в разных плоскостях. РК – средняя линия ∆АDC с основанием АС. Определить взаимное расположение прямых РК и АВ,
найти угол между ними, если
А
В
С
D
P
К
Ответ:
1) АВ и РК скрещивающиеся,
2) 600
Решение:
A A1 B B1 C C1 D D1 3). Куб. Найти : ∠(АВ1,DА1)
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
3). Куб.
Найти : ∠(АВ1,DА1)
Решение:
DС1‖АB1,
∠ (AB1, DA1)= ∠ (DC1, DA1)= =∠C1DA1
C1A1,
ΔC1A1B1 – равносторонний, значит, ∠C1DA1 =60˚,
следовательно,
∠ (AB1, DA1)=60˚
Ответ:
∠ (AB1, DA1)=60˚
A A1 B B1 C C1 D D1 3) Куб Найти : ∠(АВ1,DА1)
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
3) Куб
Найти : ∠(АВ1,DА1)
Решение:
DA1‖CB1
∠ (AB1, DA1)= ∠ (AB1, СВ1)= =∠CB1A
CA,
ΔCAB1 – равносторонний, значит, ∠ СB1A=60˚, следовательно,
∠ (AB1, DA1)=60˚
Ответ:
∠ (AB1, DA1)=60˚
Домашнее задание Учебник, п.8 повторить, п
Домашнее задание
Учебник, п.8 повторить, п. 9 + конспект, учить;
№№ 94, 96, 101;
Решение планиметрических задач, В-2 по распечатке, №№1-4
Спасибо за урок!!! Успехов в дальнейшем изучении стереометрии!
Спасибо за урок!!!
Успехов в дальнейшем изучении стереометрии!
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
