Методическая разработка урока по теме: Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника (8 класс, геометрия)

Муниципальное общеобразовательное учреждение Иркутского муниципального образования «Смоленская средняя общеобразовательная школа» Бабкина Анастасия Валентиновна, учитель математики с.Смоленщина, 2017г. МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Реализация системно­деятельностного подхода при формировании понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса Тема: Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника  (8 класс, геометрия) Цели урока:  Обучающая:  Формирование  у обучающихся понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого  угла прямоугольного треугольника посредством организации обучающей деятельности по  усвоению определений; Развивающая:       Развитие умения самообучения посредством соотнесения этапов решения эталонам;   развитие у обучающихся умений сравнения, установления причинно­следственных связей  посредством требования обязательности обоснования своих действий; развитие грамотности математической речи посредством организации этапа  громкой речи; развитие умений планирования через составление плана решения задачи и алгоритмизацию  отдельных этапов решения задач;    формирование у школьников познавательного интереса к предмету посредством  Воспитывающая:  использования на уроке интересных исторических фактов, создания ситуаций затруднения,  выстраивания серии заданий по принципу доступности, последовательности изучения  материала от простого к сложному; навыков самоорганизации, самостоятельности через организацию самостоятельной  деятельности;  коммуникативных навыков через организацию взаимной проверки заданий в парах; навыков самоконтроля посредством организации проверки и самопроверки выполненных  заданий.     Оборудование урока: Интерактивная доска  или проектор, раздаточный материал (карточки­опоры), справочные таблицы. Ход урока Организационный момент I   этап – подготовительный Цель этапа: актуализация опорных знаний, необходимых для усвоения темы. Учебные действия, необходимые на данном этапе: умения распознавать понятия – прямоугольный треугольник, гипотенуза, катеты;  противолежащую пару «острый угол­катет», прилежащую пару «острый угол­катет»; умения находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника с использованием  теоремы  Пифагора;  умение составлять и вычислять отношения.    A Метод – объяснительно­иллюстративный Вид обратной связи – интуитивно­визуальная Форма работы ­ фронтальная Вид познавательной деятельности – репродуктивный  Задачи на повторение могут быть заданы на экране, вопросы задаваться последовательно  фронтально всему классу с последующим обсуждением правильности ответов.  Деятельность учителя   – озвучивает задание   Действия учащихся – отвечают на вопросы Учитель: Ответьте на вопросы (работа по готовым чертежам) 1. Найдите на чертежах прямоугольные треугольники. Обоснуйте, почему они  прямоугольные.   2. 12 см Назовите в  прямоугольных треугольниках катеты и гипотенузу. Обоснуйте, почему вы так  считаете. 3. Какие свойства прямоугольных треугольников вы знаете? Обоснуйте приведите  примеры, пользуясь подходящими чертежами (свойство суммы острых углов, свойство гипотенузы как стороны длиной большей длин катетов, свойство  неравенства треугольника, прямая и обратная теоремы Пифагора, свойство  прямоугольного треугольника с углом 300, свойство прямоугольного треугольника с  углом 450) 4. Назовите острые углы в выбранных прямоугольных треугольниках; 5. Выберите один острый угол; 6. Назовите катет,  противолежащий выбранному углу и катет,  прилежащий  выбранному углу; 7. Выберите второй острый угол; назовите противолежащий ему катет; назовите  прилежащий катет; 8. По последнему чертежу составьте отношение катетов. Что нужно уточнить в  задаче?(порядок катетов). 9. Составьте отношение катета, противолежащего углу Р к прилежащему катету.  Чему равно это отношение? 10. Составьте отношение катета, противолежащего углу V к прилежащему катету.  Чему равно это отношение? 11. Составьте отношение катета, прилежащего углу Р к противолежащему катету.  Чему равно это отношение? 12. Составьте отношение катета, прилежащего углу V к противолежащему катету.  Чему равно это отношение? 13. Найдите отношение одного из катетов к гипотенузе. Что нужно уточнить в задаче? (какого из катетов) 14. Найдите отношение катета,  прилежащего углу Р к гипотенузе. Чему равно это  отношение? 15. Найдите отношение катета,  противолежащего углу Р к гипотенузе. Чему равно это  отношение? 16. Найдите отношение катета,  прилежащего углу V  к гипотенузе. Чему равно это  отношение? 17. Найдите отношение катета,  противолежащего углу V  к гипотенузе. Чему равно это  отношение? 18. С самолета радируют на ледокол, что он находится над  разыскиваемым объектом на высоте 1 км.  С ледокола определяют угол повышения α=300  (углом повышения называется угол между лучом зрения, идущим к фиксированной точке, и горизонталью).  Найдите расстояние от ледокола до разыскиваемого объекта. Решение:  2 2 14 км 3  2 1 18. Знание какого факта нам помогло решить задачу? 19. Сформулируйте это свойство, используя слово «отношение». Сегодня на уроке мы будем находить всевозможные отношения сторон  прямоугольного треугольника. II    этап – мотивационный Цель: вызвать интерес к новым понятиям. Учебные действия, необходимые на этом этапе: универсальные учебные действия:  распознавание, выведение следствий, формулирование гипотез для решения поставленной  проблемы; специальные математические действия – вычисления. Ведущее действие ­ применение знаний  Метод – проблемная беседа Вид обратной связи – интуитивно­визуальная Форма организации работы – фронтальная Вид познавательной деятельности – репродуктивный с выходом на частично­поисковый Деятельность учителя     –    озвучивает задание, создающее ситуацию затруднения 1. Деятельность учащихся: пытаются решить задачу  В жизни часто приходится решать практические задачи, когда невозможно измерить  угол или сторону прямоугольного треугольника так как они находятся в недоступном  месте.  А Например:  Задача нахождения высоты предмета, которая недоступна, высота является катетом прямоугольного треугольника.  Предлагается две задачи. НАЙДИТЕ В НИХ СХОДСТВО. Можно ли считать эти задачи аналогичными?  1. В треугольнике АВС   ,  ,  АВ = 5см. Найдите длины катетов АС и ВС. 2. В треугольнике АВС   ,  АВ=5см, . Найдите длины катетов АС и ВС.  3. Уточните  границы  градусной меры для угла ( ). ? А 4. Допустим, известно отношение  , тогда как бы решалась задача? (АВ=3АС) 5. Допустим, известно отношение  , тогда как бы решалась задача? (АВ=3/2АС) 6. Допустим, известно отношение  , тогда как бы решалась задача? (АВ=5/3АС)     Учащихся должны прийти к заключению, что неплохо было бы знать отношение катета и гипотенузы для угла конкретной градусной меры.  Учитель сообщает, что всевозможные отношения для любого угла уже давно известны,  рассчитаны с большой точностью, и этих отношений между сторонами всего изначально  было шесть: отношение противолежащего катета к гипотенузе, обратное отношение,  отношение прилежащего катета к гипотенузе и обратное отношение, отношение катета,  противолежащего углу и обратное отношение. Для всех видов отношений придуманы  названия, и знания выделены в отдельную область математики – в науку тригонометрию.  Историческая справка (при желании и наличии времени). Отношения между парами сторон в прямоугольном  треугольнике были давно очень тщательно и с большой  степенью точностью просчитаны, записаны – особых  успехов добились ученые – астрономы и математики   Греции, Вавилона, Индии, странах Востока.  Существуют математические справочные таблицы, в  которых собраны сведения об отношениях сторон в  треугольнике. При этом для каждого отношения  существуют свои названия – названия, заявленные темой сегодняшнего урока  ­  синус, косинус, тангенс и котангенс. Слово «тригонометрия»  впервые встречается в 1505 году в заглавии книги  немецкого математика Питискуса. Тригонометрия – слово греческое и в  буквальном переводе означает «измерение треугольников». Измерение  треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение  сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них.  Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между  сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами  Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости  между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть  тригонометрическими функциями. Хотя название науки возникло сравнительно  недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были  известны ещё две тысячи лет назад. Индийские математики синус обозначали  словом "джива" (букв. ­ тетива лука). Арабы  переделали этот термин в "джиба", который  в дальнейшем превратился в "джайо" ­  обиходное слово арабского языка, означающее  изгиб, пазуха, складка одежды, что  соответствует латинскому слову sinus.    Слово косинус намного моложе. Косинус  – это сокращенное латинское выражение complementy sinus, то есть  «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги») Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс, а также котангенс, введен в XI в. Арабским математиком Абу­ л­Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в  XIVвеке сначала английским ученым Т.Брадвердином, а позднее немецким математиком Региомонтаном(1467г.). Само название «тангенс», происходящее от латинского слова «tanger» (касаться), появилось лишь в 1583 году.      Длительное время тригонометрия развивалась как часть  геометрии. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию  тригонометрии возникали в связи с решением задач  астрономии, что представляло большой практический  интерес (например, для решения задач определения  местонахождения судна, предсказания затмений и т.д.) Принципиальное значение имело составление  К.Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей  хорд). Появилось практическое средство решения прикладных задач.  Современный  вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Леонард  Эйлер (1707­1783),швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел  известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать  функции произвольного угла, получил формулы приведения. Всё это малая доля  того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в тригонометрии: он оставил  свыше 800 работ, доказал многие, ставшие впоследствии классическими теоремы.  III    этап – ориентировочный Цель:  введение определений синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного  треугольника и формирование умения нахождения их значений (с помощью ориентировочной  основы действия). Учебные действия, необходимые для усвоения определений понятий: ведущая деятельность ­  специальные математические действия ­ составление отношений и вычисление их значений, другие  действия ­ распознавание, построение, работа по алгоритму. Метод – объяснительно­иллюстративный Вид обратной связи – интуитивно-визуальная Форма организации работы – фронтальная Вид познавательной деятельности – репродуктивный с выходом на частично­поисковый Введение определений (определения – конструктивные, способ введения – абстрактно­ дедуктивный)  1. Введение терминов и определений Определения предъявляются в печатном виде, либо на экране. Задание  для обучающихся –  разобраться в конструкции определений, найти сходства и  отличия.  Деятельность учащихся: изучают определения. Синусом острого угла прямоугольного  треугольника называется отношение  противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного  треугольника называется отношение  прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного  треугольника называется отношение  противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом острого угла прямоугольного  треугольника называется отношение  прилежащего катета к противолежащему.         2. Выделение существенных признаков Деятельность учителя: организует усвоение определений через систему вопросов,  предъявляемых фронтально. Деятельность учащихся: отвечают на вопросы: 1. Какие объекты используются в определениях? (прямоугольный треугольник; острый  угол прямоугольного треугольника; катет, противолежащий острому углу; катет,  прилежащий к острому углу; гипотенуза; отношение); 2. Что общего в определениях и в чем различие? (общее ­ прямоугольный треугольник,  острый угол, отношения сторон прямоугольного треугольника, различия – в наборе  относимых сторон); 3. Рассмотрим определения синуса и косинуса угла. Что общего в определениях синуса и  косинуса и в чем отличаются определения? (общее ­ гипотенуза, отличие – в  используемых катетах, уточнить); 4. Рассмотрим определения тангенса и котангенса угла. Что общего в определениях  тангенса и котангенса и в чем отличаются определения? (общее ­  не используется  гипотенуза, а только катеты, отличие – в порядке используемых катетов, уточнить); 5. Назовите существенные признаки (острый угол, прямоугольного треугольника,  отношение сторон, взятых в строгой последовательности). 3. Работа со структурой определений понятий, Приведение примеров и контрпримеров (вид связи в определениях – конъюнктивная) 1. Посмотрите на чертежи (чертежи предъявляются на экране). Проверьте  ­ верно ли  составлены отношения для определения синусов, косинусов и тангенсов острых  углов. Обоснуйте.        составлены отношения для острого угла В? 2. Вернемся к треугольнику АВС на ваших карточках. Верно ли 3. Запишите, используя определения, четыре отношения (синус, косинус, тангенс и котангенс)  для второго острого угла  ­  . Деятельность учащихся: записывают отношения, используя определения, сверяют с ответом, дают оценку. Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ: Деятельность учащихся: выполняют самопроверку. 4. Вычисление значений четырех отношений  для острых углов данного треугольника (формирование ведущего действия) Цель этапа: формирование умения решения задачи вычисления значений синуса, косинуса,  тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника с помощью образца (карточек­ опор); Учебные действия на данном этапе: ведущая деятельность – составление отношений, вычисление (специальные математические действия), умение осуществлять действия по алгоритму,  регулятивные – контроль, самоконтроль, коммуникативные умения.  Учащимся предъявляется задача с решением­образцом (материальная основа). Деятельность учителя – предъявляет задание:  вычислить синус, косинус, тангенс и  котангенс острых углов данных прямоугольных треугольников Деятельность учащихся: ученики разбираются в содержании усваиваемого действия: в составе и порядке исполнительных операций,  решают предложенную им задачу по образцу, записывают  решение, используя карточки­приложения Материальная основа (раздается каждому ребенку в печатном виде). Приложение Алгоритм нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса  острого угла прямоугольного треугольника Угол С ­  прямой (по условию, так как он  отмечен на чертеже значком прямого угла),  следовательно, данный треугольник  ­  прямоугольный; 1. Убеждаемся, что данный треугольник ­  прямоугольный A 5 см C 13  см 12 см 1) катет, противолежащий  2. Дан прямоугольный треугольник, выбираем  острый угол; Например,  B  – АС Определяем: 1) катет, противолежащий углу В; 2) катет, прилежащий   –  ВС 2) катет, прилежащий углу В;       3)  гипотенузу. 3) гипотенуза – напротив прямого   ­ АВ 3. Находим (вычисляем) отношение  противолежащего катета к гипотенузе. Это  значение и будет синусом острого угла. 4. Находим (вычисляем) отношение  прилежащего катета к гипотенузе. Это  значение и будет косинусом острого угла. 5. Находим (вычисляем) отношение  противолежащего катета к прилежащему. Это значение и будет тангенсом острого угла. 6. Находим (вычисляем) отношение  прилежащего катета к противолежащему. Это значение и будет котангенсом острого  угла. Двое учащихся работают у доски, каждый шаг решения обосновывается (этап громкой речи). ОБУЧАЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Деятельность учащихся: решают задачи с использованием материальной основы действия образца непосредственного применения определений для вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов прямоугольного треугольника. Деятельность учителя: предъявляет задачу для самостоятельного решения (на экране): Задача:  В  , ST = 8, TQ = 6, SQ=10 см.    I вариант: Найти синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла S.  II вариант: Найти синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла Q. Деятельность учителя: организует работу учащихся в парах, объясняет правила работы в  парах.  Деятельность учащихся:  учащиеся, выполнившие задание, рассказывают вслух решение друг другу. Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (на экране): I вариант: II вариант:  Деятельность учащихся: выполняют самопроверку. 5. Выведение следствий из факта принадлежности объекта объёму понятий Вопросы:  1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен 1/4. Объясните, что это  значит. 2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен  0,6. Что отсюда  следует? Обоснуйте. 3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 2/3. Как вы это  понимаете? Что отсюда следует? 4. Найдите противоречие: косинус острого угла прямоугольного треугольника равен 1. Подтема: Задачи на построение Цель: формирование понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла  прямоугольного треугольника (продолжение) через формирование умения решения задач на  построение острого угла по известным значениям одного из отношений посредством использования  задачи­образца  (ориентировочной основы действия, ООД); Учебные действия на данном этапе: построение, подведение под понятие, умение осуществлять  действия по алгоритму, регулятивные – планирование, контроль, самоконтроль, коммуникативные  умения.  Учащимся предъявляется задача с решением (материальная основа), смотрите приложение.  Метод – объяснительно­иллюстративный Вид обратной связи – интуитивно-визуальный Форма организации работы – фронтальная Вид познавательной деятельности – репродуктивный с выходом на частично­поисковый Подготовительный этап перед обучением решению задач на построение На партах обучающихся карточки с чертежами, на которых можно делать пометки Деятельность учителя – озвучивает задание 5. Как вы понимаете фразу «Синус острого угла прямоугольного треугольника равен 0,3»?  , где 3 части –  Проиллюстрируйте фразу графически, на чертеже (рассуждения:  противолежащий катет, 10 частей – гипотенуза).                                                                      Деятельность учителя – предъявляет правильный  ответ (на экране), учащиеся делают пометки на  раздаточном материале. Деятельность учащихся: выполняют записи на  чертежах по показанному образцу прямоугольного треугольника равен 0,5»? Проиллюстрируйте фразу графически. 6. Как вы понимаете фразу «Косинус острого угла Деятельность учащихся: выполняют записи. Деятельность учителя – предъявляет правильный рисунок (на экране) 7. Как вы понимаете фразу «Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 3»?  Проиллюстрируйте фразу графически. Деятельность учащихся: выполняют записи. Деятельность учителя – предъявляет правильный рисунок (на экране) 8. Как вы понимаете фразу «Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 2»? Проиллюстрируйте фразу графически.  9. Как вы понимаете фразу «Синус острого угла прямоугольного треугольника равен 0,8» 10. Как вы понимаете фразу «Синус острого угла прямоугольного треугольника равен 1»?  Проиллюстрируйте фразу графически. СИТУАЦИЯ ЗАТРУДНЕНИЯ Деятельность учащихся: выполняют записи. Деятельность учителя – предъявляет правильный рисунок (на экране) Деятельность учителя­  Какие выводы можно сделать? Обоснуйте. (ожидаемый ответ: синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника не может  превышать единицу, так как в этом случае гипотенуза будет равна катету, а тангенс и  котангенс может принимать разные (любые) значения) Деятельность учащихся: выполняют записи  ;  Деятельность учащихся: выполняют записи. Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (на экране) Мотивационный этап к решению задач на построение Цель этапа: возбуждение у обучающихся интереса к изучаемому материалу посредством  создания ситуации затруднения. Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму,  регулятивные – планирование, контроль, самоконтроль, коммуникативные умения.  Учащимся предъявляется задача с решением (материальная основа), смотрите приложение.  Деятельность учителя   –    озвучивает задание: Мы учились вычислять синус, косинус,    тангенс острых углов прямоугольных треугольников. А как решить обратную задачу: по  известному значению одной из функций угла построить соответствующий острый  угол? Деятельность учащихся: предлагают варианты решения обратной задачи. Но  возникает вопрос: какими должны быть размеры треугольника? Учитель озвучивает вопрос: Зависят ли значения синуса, косинуса от размеров  треугольника? (учащиеся затруднятся) Ответ на вопрос демонстрируется на экране в готовом виде и раздается в печатном виде каждому ребенку: Учитель озвучивает вопрос: Что следует из того, что значения синуса, косинуса и тангенса не зависят от размеров треугольника? Ожидаемый ответ: (синусы углов подобных треугольников равны) Учитель: Запишите формулировку теоремы и вывод в тетради. Теорему вклейте. При  подготовке домашнего задания повторите доказательство и вывод. Вопросы: 1.   Проверьте расчетами выполнимость теоремы для  треугольников АВС и MNK. Где и как мы  можем использовать этот факт? Если не догадаются – то озвучивает (к задачам на  построение угла по синусу и т.д.); 2. Что получим, если гипотенузу возьмем равной единице? (синус угла будет равен  противолежащему катету, а косинус – прилежащему катету). Ориентировочный этап к задачам на построение Цель этапа: формирование умения решения задач на построение острого угла по известным  значениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса с помощью образца (ориентировочной основы  действия).  Учебные действия на данном этапе: построение, подведение под понятие, умение осуществлять  действия по алгоритму, регулятивные – планирование, контроль, самоконтроль, коммуникативные  умения.  Учащимся в печатном виде предъявляется задача с решением (материальная основа). Метод – объяснительно­иллюстративный Вид обратной связи – интуитивно­визуальная Форма организации работы – самостоятельная групповая Вид познавательной деятельности – репродуктивный с выходом на частично­поисковый –    озвучивает задание: Используя свои записи, составьте план  Деятельность учителя    построения острого угла по известному значению одной из его характеристик и начертите эскиз  построения. Деятельность учащихся: записывают план и делают чертежи по образцу. Приложение Построение углов по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Задача 1. Построить острый угол, синус которого равен 0,8.  Образец:  1. Переводим десятичную дробь в обыкновенную Решение: 0,8=4/5.  2. 3. Начертим эталон 1 части (размеры любые) Пусть          одна часть, тогда                       4 части – это катет противолежащий  нужному  углу                      а гипотенуза ­5 частей                               4. План построения 1) Строим прямой угол 2) Строим противолежащий катет 3) Строим гипотенузу 4) Угол, противолежащий катету – искомый угол  Задача 2. Построить острый угол, косинус которого равен 3/4. Задача 3. Построить острый угол, косинус которого равен 4/3. Задача 4. Построить острый угол, тангенс которого равен 3/4. Задача 5. Построить острый угол, котангенс которого равен 4/5. Деятельность учителя  ­ организует групповую работу, контролирует ход выполнения  работы, проверку правильности выполнения работы через перекрестную взаимопроверку в  группах, отчетность групп  перед учителем. 6.Расширение  объёма понятий Устная работа по готовым чертежам ВОПРОС: В каких фигурах, кроме прямоугольного треугольника мы можем вычислить синусы B F 5 A P 9 F 6 C H 12 D M L 15 S острых углов? N K R 8 H 12 10 T D 8 E 8 C H R 1500 E ОБУЧАЮЮЩАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Q Цель этапа: закрепление умения решения задачи на непосредственное применение понятий –  задачи вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного  треугольника и задач на построения угла по известному значению одного из тригонометрических  отношений. Учебные действия на данном этапе: умение осуществлять действия по алгоритму, регулятивные  – контроль, самоконтроль, коммуникативные ­ взаимообучение. Деятельность   учителя:  предъявляет   задачи   для   самостоятельного   решения   (на   экране)   и объясняет правила работы в группах. Деятельность учащихся: работают в группах. Самостоятельная работа для групп по 4 человека (каждому – по две задачи) 1. В треугольнике АВС   ,  АВ=25см,  ВС = 7см. Найти  , , , . 2. Построить острый угол, синус которого равен 3/4. ,  АВ=10см, ВС =  3. В треугольнике АВС   см. Найти  ,  ,  , . 4. Построить острый угол, тангенс которого равен 0,8. 5. В треугольнике АВС   ,  АВ=35см, ВС = 28см. Найти  , , , .  Построить острый угол, косинус которого равен 0,5. 6. 7. В треугольнике АВС   ,  АВ= см, АС = 8см. Найти  ,  ,  , . 8. Построить острый угол, косинус которого равен  . Деятельность учителя: контролирует и направляет работу учащихся в группах Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (на экране): ОТВЕТЫ:  Деятельность учащихся: выполняют самопроверку Итог урока Какие новые понятия вы сегодня осваивали? С тригонометрией сейчас знакомы даже звери. Правила все говорят четко и уверенно. И попросим мы зверят - рассказать их для ребят. Веселая считалка Как мы косинус считаем, ты спроси медузу — Делим прилежащий катет на гипотенузу. Синус вычислить сумеет зверь любой из чащи:  — На гипотенузу делит катет противолежащий.  Чтобы тангенс получить, нужно катеты делить. Вы в числителе берете тот, что для угла напротив. Тот, который прилежит, в знаменателе пиши. V этап: Домашнее задание 1. Учить определения, изучить параграф учебника, устно ответить на вопросы к  параграфу; 2. Задания по учебнику, требующие непосредственного применения понятий о вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов прямоугольного  треугольника и построения углов по данным значениям этих отношений. IV    этап ­ этап обучения применению понятий Занятие 2 Цель занятия: формирование умения решения задач на применение понятий (установление  внутрипредметных и межпредметных связей):  1) задач на непосредственное применение понятий (вычисление значений) применительно к  углам 300, 450 , 600; 2) задачи на установление дополнительных математических связей между синусом и  косинусом, тангенсом и котангенсом через решение задачи: по известному значению  одного из четырех тригонометрических отношений острого угла вычисления  оставшихся трех значений (основное тригонометрическое тождество, вычисление тангенса  как отношение синуса к косинусу); 3) задач на вычисление сторон прямоугольного треугольника через другую сторону и какую­ либо функцию известного острого угла с помощью ориентировочной основы действия  (ООД); 4) решение проблемы нахождения значения одного из отношений угла градусной меры,  отличной от углов  300, 450 , 600   с помощью справочных таблиц – решение прямоугольных  треугольников. Учебные действия: выведение следствий из факта принадлежности понятия объему понятия, действие по алгоритму, вычислительные действия, умения работать со справочными таблицами. I. Подготовительный этап: Цель этапа: актуализация опорных знаний, необходимых для восприятия материала:        определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла  прямоугольного треугольника; умение записывать отношения и вычислять их значения в прямоугольных  треугольниках, в которых известны или вычисляются длины сторон; умение интерпретировать определения с помощью чертежей; умение применять свойство прямоугольного треугольника с углом 300; умение применять свойство прямоугольного треугольника с углом 450; умение применять теорему Пифагора; умение выражать неизвестный член пропорции.  Метод – объяснительно­иллюстративный Вид обратной связи – интуитивно­визуальная Форма организации работы – фронтальная Вид познавательной деятельности – репродуктивный  Деятельность учителя – озвучивает  задание Повторите определения по таблицам. Деятельность учителя – озвучивает задание Деятельность учащихся: отвечают на вопросы, обосновывают решение задач на вычисление с  помощью теоремы Пифагора 1. Синус угла равен 0,6. Что отсюда следует? Ответ обоснуйте. 2. Косинус угла равен 2. Что Вопросы: отсюда следует? Обоснуйте. 3. Тангенс угла равен 2/3. Что отсюда следует? 4. Решите задачу 1 по готовому чертежу. Как изменится ответ в первой задаче, если длины сторон будут измеряться не в сантиметрах, а в метрах? Обоснуйте.  5. Примените данное свойство при решении второй и третьей задачи. 6. Прямоугольный  треугольник АВС  является  равнобедренным. Какое из четырех отношений для острого угла А можно найти  и вычислить? Обоснуйте.(тангенс или котангенc угла =1) 7. У прямоугольного треугольника DEF градусная мера угла D равна 300. Какое из  четырех отношений для острого угла А можно найти и вычислить? Обоснуйте. (синус угла=0,5) 8. Выразите х из пропорции:  Подтема: Основное тригонометрическое тождество II. Мотивационный этап: Цель этапа: возбуждение интереса к новому материалу посредством создания ситуации  затруднения. Учебные действия, необходимые на этом этапе: распознавание, выведение следствий из понятия, действия по алгоритму. Метод – объяснительно­иллюстративный Вид обратной связи – интуитивно­визуальная Форма организации работы – фронтальная Вид познавательной деятельности – репродуктивный  Деятельность учителя     –    озвучивает задание Задача №1. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс острых  углов 300, 450, 600.  Ответ записать в таблицу значений Деятельность учащихся: ищут варианты решения Вариант решения:  Рассмотрим прямоугольный треугольник DFH ,  . Синус угла D равен ½, так как противолежащий катет равен половине гипотенузы; Возьмем длину гипотенузы равной единице (так как значение синуса не зависит от размеров  треугольника), тогда катет, противолежащий углу D  ­ FH ­ равен произведению гипотенузы на  синус угла D, то есть  По теореме Пифагора вычислим длину катета DH:  ;  ;  Ответ записать в таблицу значений №2. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла 450. Вариант решения:  Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с углами при основании по 450. Выберем острый  угол, например,  , BC=AC=x. Возьмем длину гипотенузы равной единице (так как значение синуса не зависит от размеров  треугольника По теореме Пифагора вычислим длину каждого катета АС=АВ = , отсюда  ;  Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (таблицу значений): Ответ записать в таблицу значений 1 1 Деятельность учителя – озвучивает проблему.   Мы с небольшими затруднениями, используя теорему Пифагора, принимая за единицу гипотенузу,  и даже вводя неизвестное х ­ но все­таки нашли значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса  углов 300, 450, 600. Как найти значения этих отношений для остальных углов? Есть ли какая­то  связь, зависимость между ними?  Есть ли способ вычисления значений другим способом, не прибегая к чертежу и не используя теорему Пифагора? (Если учащиеся не видят зависимости, можно сразу организовать их к материалу в учебнике). Ответ можно найти в учебнике на странице… Деятельность учащихся: учащиеся знакомятся с материалом по учебнику. Делают записи на доске и в тетради. Учитель:  Что нам дает знание этих новых для нас равенств? Как вы предлагаете использовать эти тождества? Деятельность учителя – предъявляет презентацию с решением заданий с помощью основного  тригонометрического тождества Деятельность учащихся: сравнивают ответы, вникают. III    Ориентировочный этап : Цель этапа: формирование действия применения понятий через решение задач с использованием  ориентировочной системы действия. Учебные действия: работа по алгоритму, вычислительные действия, регулятивные действия Деятельность учителя: организует работу учащихся в группах, объясняет правила работы в  группах Деятельность учащихся: решают задач с использованием материальной основы действия –  образца непосредственного применения правил для вычисления сторон прямоугольного  треугольника, требующих предварительного  вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и  котангенса острых углов с помощью основного тригонометрического тождества. Приложение (раздается в печатном варианте) Алгоритм применения основного тригонометрического тождества Дано:  Найти:  Решение: 1. По основному тригонометрическому тождеству:  ; 2. Нам известен синус угла, выразим косинус угла: 3. Подставим значение синуса и вычислим косинус угла. 4. По  формуле тангенса  5. По формуле связи тангенса и котангенса: ; следовательно,  Ответ:   Деятельность учителя     – озвучивает задание Деятельность учащихся: решают с помощью образца. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Задачи для решения в группах: 1. В треугольнике АВС   2. В треугольнике АВС   3. В треугольнике АВС   4. В треугольнике АВС   5. В треугольнике АВС   6. В треугольнике АВС   ,   ,   ,   ,   ,   ,   . Найти  . Найти  . Найти  . . . . Найти  . Найти  . .  . Найти  . Деятельность учащихся: учащиеся, выполнившие задание, рассказывают вслух  решение друг другу,  сдают работы Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ (на экране): ; 2).  ; 3).  ; 5).  ;  ОТВЕТЫ ; 4).  . Последнюю задачу лучше разобрать на доске или показать готовое  1).   6).  решение на экране. Подтема: Решение прямоугольных треугольников Цель: формирование умений применения понятий при решении задач,  а именно – в задачах  на  вычисление сторон прямоугольного треугольника с использованием понятий синуса, косинуса,  тангенса и котангенса и  в задачах  практического содержания. Учебные   действия:  применение   понятий,   действия   по   алгоритму,   вычислительные   действия, умения работать со справочными таблицами. I. Подготовительный этап Цель этапа: актуализация опорных знаний, необходимых для усвоения материала Учитель: Составьте план решения задачи. Вернемся к задаче, которую мы не смогли решить в начале изучения темы. Напомним её. Задача: В треугольнике АВС   , АВ=5см  . Найдите длины катетов АС и ВС. Проанализируем данные. 1) Что известно? (прямоугольный треугольник, известна длина гипотенузы АВ = 5 см, , острый). 2) Что нужно найти? (длины катетов АС и ВС). 3) Для решения аналогичной задачи с углом А, равным 300, что мы использовали? (отношение катета, противолежащего углу А к гипотенузе равно ½, то есть гипотенузу  умножали на синус противолежащего угла!). 4) Как найти катет ВС? (по теореме Пифагора) А если бы вы решали эту задачу с другим значением градусной меры угла А – она бы  решалась также? (да, но только нужно бы было знать значение синуса для новой  градусной меры угла А). Сформулируем новую задачу: Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС. Выразите синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла  А через стороны этого треугольника. Из этого соотношения выразите катеты, противолежащие и  прилежащие к углу А. Приложение Материальная основа (раздается каждому ребенку в печатном виде). Алгоритм решения задач на вычисление стороны прямоугольного треугольника по известным одной стороне и острому углу A C 13 см B Дан прямоугольный треугольник, известен острый  угол (например  ), и длина гипотенузы  АВ = 13см. Найти (выразить) катеты АС и ВС через  известные величины. 4) катет, противолежащий   – АС 5) катет, прилежащий   – ВС 6) гипотенуза – напротив прямого   ­ АВ Определяем 1) катет, противолежащий углу; 2) катет, прилежащий углу; 3) гипотенузу. Находим (выражаем) отношение противолежащего  катета к гипотенузе. Это значение и будет синусом острого угла В. Выражаем катет АС через гипотенузу и синус  противолежащего угла. Правило:   Чтобы   найти   катет,   противолежащий   углу,   нужно   ___________________ умножить на синус этого угла. Заполните пропуски Находим (выражаем) отношение прилежащего  катета к гипотенузе. Это значение и будет  косинусом острого угла. Выражаем катет АС через гипотенузу и косинус  прилежащего угла. Заполните пропуски Правило: Чтобы найти катет, прилежащий  к углу, нужно ___________________ умножить  на косинус этого угла. Находим (выражаем) отношение противолежащего  катета к прилежащему. Это значение и будет  тангенсом острого угла. Выражаем катет АС через гипотенузу и синус  противолежащего угла. Чтобы найти катет, противолежащий углу, нужно _______________________ умножить на тангенс этого угла.  Заполните пропуски Находим (выражаем) отношение прилежащего  катета к противолежащему. Это значение и будет  котангенсом острого угла. Выражаем катет ВС через второй катет АС  и  косинус прилежащего угла. Чтобы найти катет, прилежащий к  углу, нужно ___________________________  умножить на котангенс этого угла. Заполните пропуски Деятельность учащихся: записывают отношения, заполняют пропуски. Деятельность учителя – предъявляет правильный ответ: ОТВЕТЫ Решение задач на вычисление стороны прямоугольного треугольника по известным одной стороне и острому углу Чтобы найти катет, противолежащий углу, нужно гипотенузу умножить на синус этого угла. Чтобы найти катет, прилежащий к углу, нужно гипотенузу умножить на косинус этого угла.  Чтобы   найти   катет,   противолежащий   углу,   нужно   другой   катет   умножить   на тангенс этого угла.  Чтобы   найти   катет,   прилежащий   к   углу,   нужно   другой   катет   умножить   на котангенс этого угла. II. Мотивационный  этап Цель этапа: возбуждение интереса к изучаемой теме через создание ситуации затруднения и  ознакомление с историческими фактами. Деятельность учителя – озвучивает задание.  Примените правила при вычислении высоты  елки и высоты горы, не используя теорему Пифагора.  Деятельность учащихся: учащиеся пытаются решить задачи самостоятельно. Ситуация затруднения возникла при невозможности вычислить значения тригонометрических  функций острого угла, так как угол не является табличным.  Как древние ученые вычисляли синусы и т.д. для каждого угла, причем с высочайшей точностью? ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА (при наличии времени) Изначально синус напрямую был связан с другим элементом в окружности ­ с её диаметром. Если  мы рассмотрим окружность с произвольным диаметром и вписанный в эту окружность  произвольный треугольник (не прямоугольный), то синус получается путем деления стороны  треугольника на диаметр этой окружности. То есть, синус ­ это коэффициент пропорциональности  стороны вписанного в окружность треугольника. Понятие "синус" напрямую связано со стороной  треугольника. Но традиции есть традиции ­ принято говорить "синус угла". Как получаются синусы сторон треугольника видно на иллюстрации ниже. Мы можем вычислить  синусы всех сторон (или синусы всех углов, как принято говорить), измерив точной линейкой  стороны треугольника и диаметр описанной окружности, и разделив каждую сторону на диаметр.  Величины углов нам для этого не нужны. Опишем вокруг треугольника окружность и точно измерим стороны треугольника и диаметр  окружности. В результате мы получим пропорционально уменьшенный треугольник, вписанный в окружность с  единичным диаметром, стороны которого и будут синусами сторон исходного треугольника. Стороны треугольника стали синусами, когда мы уменьшили окружность до единичного  диаметра Усвоив понятие синуса, визуализировав его у себя в воображении, поняв, откуда оно появилось,  легко переходить к частным случаям синуса и косинуса, изложенным в учебниках. Легко заметить,  что в прямоугольном треугольнике одна из сторон (гипотенуза) одновременно является и  диаметром описанной окружности. Теперь становится более понятным определение из учебника  геометрии, по которому синус угла – это отношение катета к гипотенузе (т.е., к диаметру  окружности). Деятельность учителя    работы с таблицами,  разрешает пользоваться памяткой и калькулятором.  –    демонстрирует справочные   таблицы Брадиса      , объясняет принцип  Этап обучения пользованию таблицами Брадиса  Работа с таблицей Памятка. 1). Найти     sin700.  На пересечении строки, имеющей в заголовке   (слева) 700  и столбца имеющего в заголовке (сверху) 0/ находим число 0,9397.  sin700 = 0,9397.  Та   же   таблица  VIII    служит   для   разыскания   косинусов,     причём   надо   пользоваться нумерацией градусов справа, нумерацией минут снизу. 2).  Найти   cos 700.  На  пересечении строки, имеющей в заголовке  (справа) 700 и столбца имеющего в заголовке (снизу) 0/ находим число   0,3420,      cos 700 = 0, 3420.                   Значение  тангенса  любого     острого  угла,  содержащее   целое  число   градусов   и  минут определяется  по таблице  IХ, если угол заключен между 00 до 760, и по таблице Х, если между 760 и 900.  Работа ничем не отличается от работы по таблице VIII. 3). tq 70 0 = 2,747  II. По значениям   sin , α cos  и  α α tq  найти соответствующий угол, содержащий  целое  число градусов.  Таблицы  VIII.,  IХ,  Х   позволяют   решать  и   обратный   вопрос,   то   есть  находить   острый   угол  по данному значению его синуса, косинуса и тангенса. 1).   Дано:    sin β = 0,9848.      Найти: β  Решение: Находим число   0,9848. Опускаем перпендикуляр на столбцы (слева) и находим значение  β.      β = 8000/.         β = 800  1). Дано:    cos β = 0,9877.      Найти: β  Решение: Находим число  0,9877. Опускаем  перпендикуляр на столбцы (справа) и находим значение  β.      β = 8000/.         β = 800  Проверь себя!           Деятельность учащихся: слушают, записывают Решают прикладные задачи, проверяют друг у друга. V    этап – этап контроля усвоения понятий Самостоятельная работа 1. По таблицам Брадиса определить значения синуса, косинуса, тангенса углов: 2.   б)   в)  3. В треугольнике АВС   ,   , АС=4см. Найти АВ. 4. В треугольнике АВС   ,  ВС =  см,  . Найти АВ. 5. В треугольнике АВС   ,  ВС = 6см,  . Найти АВ. 6. В треугольнике АВС   ,  ВС = 9см,  . Найти АВ. 7. В треугольнике АВС   ,  ВС = 8см ,  . Найти АВ. 8. В треугольнике АВС   ,  АС= 5см,  . Найти АВ. VI    этап ­ этап домашнего задания Цель:  развитие поисковых и коммуникативных умений, навыков самоорганизации и  совершенствование умения применять знания: Деятельность учителя     –    озвучивает задание Задания   по   группам:   Рассмотреть   задачу   нахождения гипотенузы через катет и острый угол (смотри задачу про самолет   и   корабль   ­   как   найти   кратчайшее   расстояние между   самолетом   и   кораблем).   Привести   примеры (придумать   по   4   задачи   от   группы   с   конкретными числами) с решениями. Задание оформить на отдельных листах:   на   первом   –   задачи   без   решений,   на   втором   – подробные   решения.   Задачи   будут   использованы   для самостоятельной   работы   по   группам   (взаимообмен заданиями). Деятельность учащихся: записывают, самоорганизуются в группы