Методическая разработка урока «Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений» (урок алгебры в 7 классе)

Тема урока:    Тема урока:    Арифметическая и  Арифметическая и  геометрическая прогрессия геометрическая прогрессия Подготовила :учитель Подготовила :учитель Математики и Математики и информатики, информатики, Калымова Улмекен Калымова Улмекен Кулумбетовна Кулумбетовна

Цель урока: обобщение тем  «Арифметическая прогрессия» и  «Геометрическая прогрессия». Задачи урока:  ­­ обобщить и систематизировать теоретические знания   учащихся, а именно –нахождение  п­ого члена и суммы п­  первых членов данных прогрессий с помощью формул; ­­ проконтролировать и развивать умения и навыки; ­­ развивать познавательный интерес учащихся, учить их  видеть связь между математикой  и окружающей жизнью.

Эпиграф: « Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартного вида, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Д. Пойа.

Историческая справка. В XVIII в в английских и французских .учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий . Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям , были известны китайским и индийским ученым. Например Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена и суммы арифметической прогрессии. Слово прогрессия ( лат.progressio) означает «движение вперед»( как и слово «прогресс»), встречается впервые у римского автора Боэция. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. В древнеегипетском папирусе Ахмеса ( около 2000 лет до н.э) приводится такая задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя ,полученного каждым человеком и его соседом , равнялось 1/8 меры» А в одном из древнегреческих папирусов приводится следующая задача: «Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей , каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Нужно посчитать сумму мер зерна».

Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками третьего класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. И таких чисел будет 50. Осталось 101 умножить на 50. это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже назвали «царем математики».

•Легенда о создании шахмат. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета , издеваясь над царем, потребовал… Что потребовал Сета? «Чтобы разместить это зерно в амбаре, то его размеры будут: высота 4 м, ширина 10 м, длина будет 30 000 000 км – вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца. А чтобы его получить, то надо засеять пшеницей площадь всей Земли, считая моря, океаны, горы, пустыни, Арктику с Антарктикой, то лет за пять царь смог бы рассчитаться с просителем»

Опрос теоретического материала Что называется последовательностью? Какие виды последовательностей вы знаете? Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Назовите формулу п +1 –го члена арифметической прогрессии.          (аn+1 = an + d ) 5.Назовите формулу n –го члена арифметической прогрессии.          (an = a1 + d* (n – 1) 6.Какая прогрессия называется геометрической? 7.Назовите формулу п +1 –го члена геометрической прогрессии.          (bn+1 = bп *g) 8. Назовите формулу n –го члена геометрической  прогрессии.          ( bп = b 1 * g n-1 ) 9.Назовите формулу суммы n –первых членов арифметической прогрессии 10. Назовите формулу суммы n –первых членов

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…  • 1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…  2) 3; 9; 27; 81; 243;…  • 2) 3; 9; 27; 81; 243;…  3) 1; 6; 11; 20; 25;… • 3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32; …  • 4) –4; –8; –16; –32; …  5) 5; 25; 35; 45; 55;… • 5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2; –4; – 6; – 8; … • 6) –2; –4; – 6; – 8; … последовательность чисел арифметическая прогрессия d = – 2– 2 арифметическая прогрессия   d = 3   геометрическая прогрессия    q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия     q = 2

Устный счет  = 11    dd = 2       = 2      используя формулу а а nn= = а а 11+ (+ (  n n –– 1)   1) dd 3)   Дано: (а а nn  ) ) арифметическая прогрессия  • 3)   Дано: ( арифметическая прогрессия    аа44 = 11     • Найти: аа11 . . • Найти:  Решение: используя формулу  • Решение:   = аа11 +3    аа44 =   =11 –   3 .. 2 = 5  2 = 5 •                                         Ответ: 5. Ответ: 5.                                           +3 dd ;  ; аа11= а= а4 4 – 3 – 3 dd =11 –   3  •

• Найти:  • • • • • геометрическая прогрессия 4) Дано: (b b nn )  ) геометрическая прогрессия 4) Дано: ( bb44= = 40 40       qq = 2       = 2      Найти: bb11. .  используя формулу  b b nn =  Решение: используя формулу Решение:  bb44  =b=b11qq33 ;  ; bb11 =   = bb44  : : qq33 =40:2  = bb1 1 qq  n­1n­1   =40 ::8=58=5    =40:233  =40                             Ответ:                             Ответ: 5.  5.

Работа в парах = – 3, аа22  = 4.        Найти: • 1)Дано: ( • 2)Дано • 3)Дано: ( • 44)Дано: ( • 55) Дано: ( 1)Дано: (а а nn  ),), а а1 1 = – 3,   ) , b b 1212  = – 32,  2)Дано: (: (b b nn ) ,  3)Дано: (а а nn ), ), а а2121 = – 44,  )Дано: (а а nn ), ), а а11 = 28,  ) Дано: (b b nn  ) , ) , ,,  qq = 2.                                 = – 16.Найти  = – 44, аа2222 = – 42.   Найти:  = 28, аа2121 = 4.           Найти:  = 2.                     Найти: = – 32, bb  1313 = – 16. = 4.        Найти: а а1616 – ?         – ?         q – ?– ?    = – 42.   Найти:  dd ­  ­ ?   ?     = 4.           Найти:  dd ­  ­ ?    ?     Найти:: q  Найти:  bb55  – ?         – ?

Ответы: Ответы: •               1) 1) 102102;     ;                          2) 2) 0,50,5;     ;     •                      3)  3)  2;2;            •            – 1,2;             44) ) – 1,2; •                      55)   )   88;      ;      •

Выполните задания. В восточных странах Китае, Корее, Японии и других, люди едят при помощи палочек. Часто их делают из бамбука, древесины, слоновой кости и металла. В Китае такие палочки называют «Куайцзы». Узнайте как палочки для еды называют в Японии. Для этого выполните задания , учитывая. Что (ап)- арифметическая прогрессии. Зачеркните в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. 1) а1 =20; d =4. Найдите а5 ; 2) а1 =1,7 ; в =- 0,2 ; Найдите а8. 3) -8 ; -6,5; … Найдите а4 ; 4) а8 = -14; а10 = -9,5. Найдите d.

­3,5   3,5   36    0,3   33   ­2,5   2,5   0,7    Г    Х    У     Ф    А    С    Е   И Ответ: ХАСИ

Фигуры составлены из квадратов, как показано на рисунках: а) Сколько квадратов в 15-ой строке ? б) Сколько квадратов 11-ом столбце ? 1 2 3 4 … b 11 b 11  qb 1 10  21 10 1024 А. 29 a 15 a 15 Б. 32  a 1  3 31 В. 31 Г. 15 14 14 d  2 1 2 3 4 В. 1024 Г.128 5.. Б. 256 А.512

3.Вычислите сумму:    502 – 492 + 482 – 472 + 462 – 452 +…                                                … + 42 – 32 +22 – 12; 1) Воспользуйтесь формулой разности квадратов: (50-49)(50+49) + (48-47)(48+47) + (46-45)(46+45) +… …+ (4-3)(4+3) + (2-1)(2+1); 2) Выполните действия в скобках: 99 + 95 + 91 + 87 +… + 7 + 3; эти числа образуют убывающую арифметическую прогрессию a1=99, an=3, n=25. S 25   а 1  25  а 2  25  3   99 2 51 25 1275   25 S25 Ответ: сумма равна 1275.

«Покупка лошади»           В старинной арифметике Магницкого есть следующая забавная задача. Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу говоря: -Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: -Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6 шт. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй 1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Покупатель принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 руб. На сколько покупатель

Решение: за 24 подковных гвоздя пришлось уплатить копеек. 16;8;4;2;1; 1 2 1 4 ;... ; Эти числа составляют геометрическую прогрессию b1= , q=2, n=24. Найдите сумму первых 24-х членов этой прогрессии: s 24 4194303  2 1  12  коп . 41943 1 4 руб .  3 4  1 4 24   То есть 41943 рубля. За такую цену и лошадь продать не жалко!

Задания из сборника предназначенного для  Задания из сборника предназначенного для  подготовки к итоговой аттестации в новой форме по  подготовки к итоговой аттестации в новой форме по  алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые  алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые  оцениваются в 2 балла: оцениваются в 2 балла:       1) Пятый член арифметической прогрессии равен  1) Пятый член арифметической прогрессии равен  8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите  8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите  пятнадцатый член этой прогрессии.  пятнадцатый член этой прогрессии.  1) Число –3,8 является восьмым членом  1) Число –3,8 является восьмым членом  арифметической прогрессии (а(апп), ), а число –11  а число –11  арифметической прогрессии  является ее двенадцатым членом. Является ли  является ее двенадцатым членом. Является ли  членом этой прогрессии число   –30,8? членом этой прогрессии число   –30,8? 1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так,  1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так,  чтобы вместе с данными числами они образовали   чтобы вместе с данными числами они образовали   арифметическую прогрессию. арифметическую прогрессию. 1) В геометрической прогрессии bb1212  = З= З1515 и       и      1) В геометрической прогрессии  .    Найдите bb11.. bb1414  = З= З1717.    Найдите

Ответы: Ответы: • 6.16.1 (20,4)    (20,4)     • 6.2.6.2. (является),  (является),     • 6.5.6.5. (6;8,2;10’4;12’6;14’8;17.),  (6;8,2;10’4;12’6;14’8;17.),   • 6.8.6.8. ( (bb11=3=344  илиили b b11= = ––3344).).

Итог урока. Сегодня на уроке мы повторили определения арифметической и геометрической прогрессий, формулы n-го члена, суммы n первых членов. Наряду с простейшими задачами разобрали нестандартные задачи, поговорили о связи математики с жизнью. Чтобы преуспеть в бизнесе, нужно хорошо знать математику. Эти знания помогут избежать невыгодных сделок. •Рефлексия(На столе у учителя лежат смайлики, ученики оценивают себя и комментируют свой выбор) Я готов! Мне есть над чем поработать! Я ничего не знаю!

Литература: 1.Глейзер Г.И.История математики в школе.- М.,Просвещение,1992г. 2.МакарычевЮ.Н .и др.Алгебра 9. – М., Просвещение 2008г. 3.Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики .- М., Просвещение ,1990г. 4.Газета «Математика» , Журнал «Математика в школе» 5.Учебный комплект “Алгебра 9” Часть 1.Учебник., Часть 2.Задачник. А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. М.: “Мнемозина”. 6. “Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе” Л.В. Кузнецова. М.: “Просвещение”. 7. Ресурсы Интернет: - festival.1september.ru; - v-sp.ru›festival-pedagogicheskih…matematika.html; - zavuch.info; -nsportal.ru. -И.т.д.