Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)
Оценка 4.7

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Оценка 4.7
Занимательные материалы
docx
математика
7 кл
04.03.2018
Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)
Измерение площадей3.docx
МКУ «Отдел образования Администрации муниципального района Зианчуринский район Республики Башкортостан» Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение  средняя общеобразовательная школа №  2 с.Исянгулово Научно-исследовательская работа по математике на тему: «Измерение площадей» Выполнила ученица 7 Г класса МОАУ СОШ №2 с. Исянгулово Алтынчурина Вилена Руководитель Карагузина Фания Хакимовна с.Исянгулово 2017г. Оглавление Введение_______________________________________________________3 I. Теоретическая часть______________________________________________3 1. Общие сведения_________________________________________________3 2. Разные способы вычисления площадей_____________________________ 4 II. Практическая часть______________________________________________7 III. Результаты измерений___________________________________________11 IV. Выводы_______________________________________________________11 V. Список литературы______________________________________________11 VI. Приложение. Введение Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы. Цель исследования состоит в том, чтобы изучить и сравнить эффективность различных способов практического измерения площадей. Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы: 1. Применение формул; 2. Использование палетки; 3. Применение формулы Пика; 4. Разбиение на части; 5. Метод взвешивания. Предметом исследования является площадь фигуры произвольной формы. Гипотеза исследования заключается в том, что площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей. Для доказательства гипотезы были поставлены следующие задачи: - изучение методов измерения площади с помощью взвешивания, палетки и применения формулы Пика; - измерение площади контрольной фигуры и произвольных фигур с помощью изученных методов. Для решения поставленных задач использовались следующие методы: поиск, отбор и анализ содержания источников информации; сравнение и классификация; эксперимент. Актуальность и практическая значимость исследования. В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников, поэтому хотелось найти другие способы их вычисления. I. Теоретическая часть. 1.Общие сведения.   Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, площадь садового участка равна восьми соткам и т.д. Измерение площадей – одна из самых первых математических задач, возникших в глубокой древности. Среди самых старых древневавилонских клинописных табличек, смысл которых удалось расшифровать, - а их возраст составляет более четырех тысяч лет, - нашлись таблички с расчетами количества зерна, которое требуется для посева в зависимости от площади поля. Для вычисления площади геометрических фигур существует много различных способов: 1. Самый простой способ – это использование палетки. 2. Не менее простой – разбиение на части. 3. Распространенный способ – вычисление по формуле. 4. В старших классах мы пройдем вычисление площади используя интеграл. 5. Очень интересный способ – взвешивание. Все формулы и способы подсчета площадей можно вывести из небольшого числа основных свойств. Перечислим эти основные свойства площади. Но верные способы нахождения площади были придуманы далеко не сразу. Так древние вавилоняне считали, что площадь четырехугольника равна произведению полусумм противоположных сторон. Отсюда следует нелепое утверждение: если у двух ромбов равны стороны, то равны и площади. Лишь после открытия верной формулы для площади треугольника (а неверных было предостаточно) стало возможным вычислять площадь любого многоугольника, разделив его предварительно на треугольники. Конечно же, всякий многоугольник можно многими способами разрезать на треугольники. Ясно, что если два многоугольника так разрезаны на треугольники, что полученные наборы одинаковы, то площади этих многоугольников равны. 2. Разные способы вычисления площадей. 1) Использование палетки. В повседневной жизни измерение площадей встречается очень часто, например: Мастер-плиточник – человек, который в процессе своей работы все время занимается измерением площадей. Покрыв стену в плитках, он может легко определить площадь стены в плитках, пересчитав количество уложенных плиток. Но на самом 1. Площадь каждого многоугольника – положительное число 2. Площади равных многоугольников равны. 3. Если многоугольник разрезать на несколько частей, то его 4. Площадь квадрата со стороной длины 1 равна 1. площадь будет равна сумме площадей этих частей. деле он всегда решает обратную задачу: сначала измеряет площадь стены, а потом вычисляет необходимое количество плиток. «Способ плиточника» оказывается полезным и при вычислении площадей сложных фигур. Если мы нанесем квадратную сетку на прозрачную бумагу и наложим ее на фигуру, то ее площадь будет не меньше, чем количество квадратиков сетки, лежащих целиком внутри фигуры, умноженное на площадь одного квадратика, и не больше, чем количество клеток, имеющих общие точки с этой фигурой, также умноженного на площадь одной клетки. Такая сетка называется палеткой. Она представляет собой лист прозрачной бумаги, разграфленной на одинаковые квадраты. Площадь одного такого квадрата называется ценой деления палетки.В этом случае площадь фигуры вычисляют по формуле где n — количество целых квадратиков; k — количество нецелых квадратиков, С — площадь одного квадратика. Для измерения площади фигуры мы накладываем на нее палетку и считаем, сколько квадратов попало в площадь фигуры. При этом к числу полных квадратов, попавших полностью в контур фигуры, прибавляем половину от числа квадратов, через которые прошла граница фигуры. После этого полученное число нужно умножить на цену деления палетки, то есть на площадь одного квадрата. Конечно же, при вычислении площадей простейших геометрических фигур – многоугольников – палетка явно ни к чему. 2) Разбиение на части.  Чтобы найти площадь многоугольника этим способом необходимо: 1. Разделить многоугольник на более простые фигуры, такие как квадрат, прямоугольник, прямоугольный треугольник. 2. Найти площади фигур, на которые разделен многоугольник. 3. Сложить полученные площади. Конечно же, всякий многоугольник можно многими способами разрезать на части. Но получить такое разрезание не всегда просто. 3) Формула Пика. Любопытно, что площадь многоугольника, все вершины которого лежат в узлах квадратной сетки, выражается довольно простой формулой: S=Г/2+В-1 Где В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника, а Г – количество узлов сетки, лежащих на его границе (в частности, площадь, Она называется в вершинах). «формулой Пика». 4) Использование формул. Площади плоских фигур правильной геометрической формы, например, прямоугольников, треугольников, кругов, обычно определяют с помощью измерений. Сначала измеряют линейные размеры фигуры (длину, высоту, ширину, радиус), а потом вычисляют соответствующими математическими формулами. Для вычисления площади фигур существует много различных 1) S= (a*h)/2 формул. Например: 2) S=ah 3) S= (a*b)/2 * h 5) Использование интеграла. Площадь также можно измерить с помощью интеграла. S=∫ f(x)dx . Но этот способ мы пройдем лишь в старших классах. пользуясь b а 6) Определение площади плоской фигуры взвешиванием. Кроме традиционных способов вычисления площадей есть очень интересные, увлекательные, забавные, неординарные способы. Один из таких способов – вычисление площади при помощи взвешивания. Даже если задуматься в название способа, то сразу становиться понятно, что в этом способе площадь вычисляется по весу, какой-либо фигуры в сравнение с эталоном такой же плотности, как и материал из которого сделана данная фигура. Затем по формуле вычисляем его площадь. Sф –площадь фигуры неправильной формы; Sкв- площадь квадрата; Sф= mф/mкв · Sкв mф – масса фигуры неправильной формы; mкв – масса квадрата. Этот способ удобен для измерения площадей более сложных фигур, площадь которых нельзя измерить другими способами. Практическая часть Рассмотрим применение всех этих способов, вычисляя площадь трапеции. 1. Измерим площадь при помощи палетки, квадратик которой равен 6,25 см2. Теперь посчитаем, сколько квадратов попало в площадь фигуры, их всего28. Квадратов, через которые прошла граница фигуры оказалось 11. При этом к числу полных квадратов, попавших полностью в контур фигуры, прибавляем половину от числа квадратов, через которые прошла граница фигуры. После этого полученное число нужно умножить на цену деления палетки, то есть на 6,25 см2 . S=6,25(28+11/2)=209,375 см2. 2. При разбиение на части, я разделила трапецию на прямоугольник и два треугольника. Sт=S1+Sп+S2. S1=b1h/2 – площадь 1 треугольника. Sп=ah – площадь прямоугольника. S2т=b2*h/2 – площадь 2 треугольника. Измерив трапецию, я получила что: h=12,5 b1=6,5 b2=6,5 Если подставить числа в формулы, то получится что: S1=(12,5*6,5)/2=40,625 см2 S2=12,5*10,5=131,25 см2 S3=(12,5*6,5)/2=40,625 см2 S4=40,625+131,25+40,625=212,5 см2 3. Вершины данной трапеции не расположены в узлах квадратной сетки 1см*1см, поэтому вычислить площадь по формуле Пика не сможем. 4. При вычислении площади я воспользовалась формулой S= (a*b)/2 * h. S=((23,5+10,5)/2)*12,5=212,5 см2. 5. Измерение площади при помощи интеграла я не рассмотрю, т.к. этот способ мы пройдем лишь в старших классах. 6. И наконец, самый интересный способ – взвешивание. Взвешивая эталон, получила, что его масса равна 28,2 г. Площадь эталона равна 100 см2. А масса трапеции, сделанной из того же материала, что и эталон равна 60,0 г. Затем по формуле вычисляем его площадь. S = 60,0*100/ 28,2 = 212,76 см2. Я вычислила площадь еще одной фигуры - сердечка. Здесь я смогла применить только 2 способа. 1) m =26,5г. S = 26,5*100 / 28,2 =93,9 см2. 2) S = (9 + 10/2)*6,25 =87,5 см2. По формул е Пика Разбиен ие на части Результаты всех измерений приведены в таблице Фигура С помощ ью палетк и 209,3 Трапец ия 75 Сердце 87,5 Использова ние формул 212,5 212,5 - - - - - - III. Результаты измерений. Использов ание интеграла Взвешив ание 212,76 93,9 IV. Выводы с равными размерами 1. Прием измерения площади с помощью палетки даёт приближённый результат, громоздкий , может быть использован только для измерения площадей фигур небольших размеров. Совсем не просто начертить сетку клеточек 2. Прием измерения площади взвешиванием даёт приближённый результат, может быть использован только при наличии очень чувствительных весов. Не может применяться для измерения площади маленьких фигур. 3. Прием разбиения на части даёт более точный результат и может быть использован для измерения площади произвольного многоугольника. Как показали проведенные исследования, и метод взвешивания, и измерение площади с помощью палетки являются пригодными для приближенного нахождения площадей фигур сложной формы. Точность измерений можно повысить, используя более точные весы или палетки, с разбиением на более мелкие квадратики. Гипотеза исследования о том, что площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей подтверждена. V. Список литературы. 1.Геометрия: Учебник для 7-9 класса общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2017. 2.Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1964. 3.Депман И. Мир чисел. - М., Детская литература, 1982. 4.Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1985. VI. Приложения. 1. Презентация. 2. Модели геометрических фигур: а) квадрата, б) трапеции, в) сердечка.

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)

Научно- практическая работа и презентация по математике на тему "Измерение площадей" (5, 6, 7 классы)
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
04.03.2018