Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"
Оценка 4.9

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Оценка 4.9
Разработки уроков
docx
математика
11 кл
04.05.2018
Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"
Цель урока: определение иррациональных уравнений и их систем, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умение учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций. Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 3-4 человека, в каждой группе обязательно есть сильные ученики). Ожидаемый результат: решать иррациональные уравнения различными способами
++ур.docx
Алгебра и начала анализа                                                       Учитель: Шеварёва Людмила Алексеевна Дата:                                                                                            Класс: 11    урок 28 Тема:  Решение иррациональных уравнений и их систем Цель урока: определение иррациональных уравнений и их систем, демонстрация различных методов  решения иррациональных уравнений, умение учащихся подходить к решению уравнений с  исследовательских позиций.  Оборудование:  компьютер,   проектор,   интерактивная   доска,   таблица   «Правила   решения иррациональных уравнений», карточки. Тип урока:  урок­семинар (работа в группах по 3­4 человека, в каждой группе обязательно есть сильные ученики). Ожидаемый результат: решать иррациональные уравнения различными способами 3   м и н. 1 0   М и н Деятельность учителя I. Организационный момент. Приветствует учеников, проверяет готовность к  уроку, желает  успеха.  II. Мотивация к изучению нового.   С помощью наводящих вопросов, учитель подводит учащихся к теме нового урока. На экране появляются вопросы с 1 по 3 –й и первый кроссворд. Первый кроссворд.  1.    Что требуется для полученных значений переменной при решении  иррациональных уравнений? (проверка) 2.    Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений  (подстановка) 3.    Как называется знак корня? (радикал) 4.    Сколько решений имеет уравнение  х2 5.    Как называется уравнение, в котором под знаком корня содержится  переменная? (иррациональное) 6.    Как называется корень второй степени? (квадратный) Получилось имя Евклид. Евклид – это великий ученый, он жил в 3 веке до нашей  эры в Древней Греции..   = а, если а < 0? (ноль) Понятие иррациональности ассоциируется с изображением корня. Знак корня  впервые появился в 1525 году. За это время его изображение менялось. Кто  ввел это изображение?       Об этом мы узнаем, ответив на следующие вопросы: :  На экране вопросы и следующий кроссворд Второй кроссворд.  1.    Сколько решений имеет уравнение х2 2.    Корень какой степени существует из любого числа? (нечетной )  =0. (одно) наг ляд ност и Инт ерак тивн ая  доск а. През ента ции  уча щих ся Деятель ность обучаю щихся Ученики осмысли вают  поставле нную  цель.  Ученики отвечаю т на  вопросы  учителя. Получаю т  стикеры  за  правиль ные  ответы. Презент ации  учащихс я по  историч ескому  материа лу. =а, если а >0? (два) 3.    Как называется корень третьей степени? (кубический) 4.    Сколько решений имеет уравнение  х2 5.    Как называется корень уравнения, который получается в результате  неравносильных преобразований? (постороннний) 6.    Корень, какой степени существует только из неотрицательного числа? (четной) Итак, впервые изображение корня ввёл Декарт, французский ученый. Им положено начало исследования важных свойств алгебраических уравнений. Третий кроссворд. Кто же ввел современное изображение корня? Ответим на следующие вопросы.  1.    Как называется равенство двух алгебраических выражений? (уравнение) 2.    Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в  верное числовое равенство (корень) 3.    Какая черта личности поможет при решении иррациональных уравнений?  (трудолюбие) 4.    Какой должен быть взгляд на уравнения, чтобы, не вычисляя сказать ответ?  (пристальный) 5.    Как называют уравнения, если они имеют одни и те же корни или не имеют  корней вообще? (равносильные) 6.    Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное  арифметическое действие? (сопряженное) Это Ньютон – английский физик, открывший основные законы природы, законы  Ньютона. Он ввёл современное изображение корня.  Мы повторили теорию решения иррациональных уравнений, которая является  фундаментом для познания мира. III. Устные упражнения:     1. Найти значение выражений: 7 м и н.    2. Какие из уравнений являются иррациональными? 1  IV.    Для   решения   иррациональных   уравнений   требуется   знание   формул Решают  примеры ,  отвечаю т на  вопросы м и н. 2 0  м и н. сокращенного   умножения.   Каких?   (Квадрат   суммы   и   разности,   куб   суммы   и разности) ­   Чтобы   вспомнить   эти   формулы   и   проверить,   как   вы   их   знаете,   я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу малыми группами, т. е. работу в парах. Я вам раздам разрезанные карточки (приложение 1), и вы из них должны   за   одну   минуту   собрать   правильные   формулы   и   записать   их   на листочек.  ­ Посмотрите на экран (слайд ) и определите, какие ошибки вы допустили при написании формул, а я раздам вам карточки – подсказки (приложение 2) с данными формулами. разр езан ные  кар точ ки карт очки –  подс казк и V. Актуализация знаний Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой Метод равносильных преобразований Метод введения новых переменных Функционально графический метод (Учащиеся оформляют флипчаты, постеры)     Способ I Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой 2 x  3 4 x  1 4 , возведем обе части уравнения в квадрат x  x 2   22 223  43 x  43  1 x  41 x  241 , x  16 6 x  ,2 82 x 2  2 x  12 x  18 3 ,6 x 8 2 x  10 x  ,39 x 3 возведем обе части уравнения в квадрат. 8  39  , 10 3 x x 2 x   2 2 8 x  10 x  81 3 54 x  2 ,9 x 2 x  44 x  84 ,0 По теореме Виета:  ,44 x x 1 2  xx ,84 2 1  x ,42 x 1 2  .2 Проверка: 1). Если х=42, то    4 42 ,4  42 2 3  169 81  13 ,4  ,4 неверно 9 22  1 ,4 Значит, число 42 не является корнем уравнения. 2). Если х=2, то 18  ,4 34  31  ,4 4  ,4 верно Значит, число 2 является корнем уравнения. Ответ: 2                                    Достоинства                                                              Недостатки 1. Понятно 2. Доступно                                                             2. Громоздкая проверка иногда занимает                                          1. Словесная запись много времени и места Вывод: При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже  степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако  обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно  использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1­2 радикала. Способ II Метод равносильных преобразований 2 x  3 4 x  4 1 x  43 x  41 x 2 2 4 x x x  223  ,03  01  2 ,41  43 x  1  16 6 x  ,2  2 x  12 x  18 3 ,6 x  ,39 x 54 x  2 9 x ,      2 x 5,1 84   x  3 44 x ,0   x ,5,1 1 4 3 x    22  x         8 x  5,1  81 10 3 x x 2 x       10 x  ,5,1  3 2                        82  x 2 8 x  x  39 2  x 5,1  10 ,5,1  x x 0  39 3   x 2 ,  8 x x       x  x  5,1    3 ,42 ,2 x  x .2    2 x  44 x  84 0   По теореме Виета:     ,44 x x 1 2  xx ,84 2 1  x x ,42 1 2  .2   Ответ: 2.                          Достоинства                                                Недостатки 1. Отсутствие словесного описания                1. Громоздкая запись  2. Нет проверки                                                 2. Можно ошибиться при комбинации знаков 3. Четкая логическая запись                                 системы и совокупности и получить  4. Последовательность равносильных                неверный ответ     переходов Вывод: При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда  ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков  системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных  переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются  бесспорными плюсами данного способа. Способ III Метод введения новых переменных + 2 x 3 =4. 4 x 1 Введем новые переменные, обозначив  ,  Получим первое уравнение системы: a+b=4.  Составим второе уравнение системы: 2 a 2 b  x  x  a ,  b ,  x  4 ,1 ,3 ,1 3 1 2 4 a b 2 4 4 x x x   2 2 2 ,6 a b   ,0 .0 2 2 a 2  b  7 Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:        , a 4    2 4 a   b ,0 , a  16 8  b 0  4  2 a  ,0   0  aa b 2 a b 2 a a 0         ,7 ,7 ,0 7   2 2       b a a  4  2 8 a  b ,0 , a  9  0      ,0  ,4 2  ba  2 2 b a  b a ,0  b 4   ,1 a   a   a ,0         a ,     b a  4  1 a ,     b a   ,3 .1 0 ,9  b 2 a  a 8  9 ,0 2 по теореме Виета:  ,8 a a 1  aa ,9 1 2   a a ,9 1 2 .1 Вернемся к переменной х:  2 x Ответ: 2.  13 4 2 2 1 3 x x x .2                         Достоинства                                                Недостатки 1. Этот метод для данного уравнения             1. Словесное описание.                                            2. Громоздкое решение.  не рационален.   Способ IV Функционально графический метод + 2 x 3 4 x 1 =4,  2 x  4 3 4 x  1 . Рассмотрим функции   и  . 1). у = 2 x 3  ­ степенная функция. Найдем область определения функции D(x). 2  03 .5,1 3 2 x x x )(xD   ;5,1  . Составим таблицу значений х и у: х у 1,5 0 2). у =4 ­ 4 x 6 3 2 1  ­ степенная функция. 1 Найдем область определения функции D(x). 4 x  01 4 1 x x 1 4 . )(xD    1 4  ; .    Составим таблицу значений х и у: х у ­0,25 4 0 3 2 1 6 ­1 Построим данные графики функции в одной системе координат. Графики функции пересекаются в точке с абсциссой х=2. Ответ: 2                         Достоинства                                                Недостатки 1. Наглядность 2. Если ответ точный, то не нужна проверка.          2. Ответ может быть приближенным, не                                                                                             точным                                                   1. Словесная запись Вывод: Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда  легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ  приближенный, то лучше воспользоваться другим методом. Способ V Рубрика ­ это интересно. А   ряд иррациональных уравнений можно решить методом  «пристального взгляда», суть которого заключается в очевидности корней или их явного отсутствия по причине разногласия с ОДЗ.  Например: 1. ; х   2 3 10 0  2. 3. 4. 5. 2 х   5 х  15   20 ; х   5 2 х   4 0 ; ; 4 4 х   16  х 2 3 х   8 0 ; х    7 3 5  х 6. 7. 8. ;   4 2 х  12  = 0 ; 8 х  х 2  64 х   3 х   1 ; 2 х 9. 10. 7 х   4 3   х 9 х   2 х  3 ; . х   2 х   7 5 7  м и н. VI. Закрепление урока. По методу «Путешествие по галерее» проводит  закрепление урока. Работа в группах. Развиваем   алгебраическую   зоркость. На   доске  записаны  решения  иррациональных  уравнений, в  которых  допущены «стандартные» ошибки.  Найти   их. 1. Решить уравнение : х   2 2 х  1 Решение : х    х 2 2 1 Ответ : 1 Пос теры Ученики демонст рируют  свои  знания.  На  постерах записыва ют  ошибки.  Ошибка. Ученик возвел в квадрат формально. На области  ;   обе части уравнения не определены. х х     2 0, 2 2 х  1, х х  2,   2; 2. Решить уравнение : х   1 х   2  х     х 1  2    х  5    х   3 Решение : Ответ : нет решений. Ошибка. -5 - посторонний корень Ответ : 3       , ,  х     1 х  2    х     1 х  2    х  5    х  3  . Ответ : -5 ; 3 3. Решить уравнение : Ошибка. Ученик не оценил при х=0,5 х   24 1 0. Ответ : 0,5 4 х   1 2 4 х   1 1 Решение : х 6  м и н 4 х   1 4 1     1 1 1, 2 Т.к. неотрицателен на этом множестве, то уравнение не имеет решений VII. Тестирование в двух вариантах  (  раздается каждому ученику с таблицей ответов, которую они заполняют и сдают учителю). (10мин) I вариант                                а) 2;                б) 4;               в) 8;               г) 9. 1 х 3 х  3 2 х  4         а) ­7;             б) ±7;               в)  ;          г) 7. 7               а) 8;              б) 3; 8;             в) 3;             г) ­3; ­8. х  х 1 5        II вариант Кар точк и Карточк и  каждому ученику  с  таблице й  ответов,  которую они  заполня ют и  сдают а) 1;                б) 7;               в) 5;               г) 9. 2 х 3             а) 1; 5;              б) 1;             в) 5;             г) ­1; ­5. 2 х  х 1 2 х  4 3 х  12         а) ­4;                б) ±4;           в)4;              г) 8. учителю все, что  узнали  на  сегодня шнем  уроке.                                                                          Ответы Ф. И. ученика № 1 2 3 2  м и н 2 0  м и н Проверяются с помощью слайда  VIII.   Физминутка Примем царственную позу, добиваясь хорошей осанки. Три раза вдохнём.  Массажируем кончики пальцев каждой руки. Поставьте указательный палец  на точку между бровями и массажируйте три раза.  Физмину тка   Презентация   исследовательской   работы   «Методы   решения IX. иррациональных уравнений» (Работу представляет учащиеся, которые ее проводили.) По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими   способы   решения.   Каждая   группа   анализирует   один   из   способов   решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными. 1V способ: Умножение на сопряженное выражение Решение основано на применении формулы (√f(x)−g(x))(√f(x)+g(x))=f(x)−g(x) Пример 1. Решить уравнение   √5x+7−√x+4=4x+3 . Решение. Умножая обе части уравнения на сопряженное выражение, получим уравнение 5x+7−x−4=(4x+3)(√5x+7−√x+4) ¿>(4x+3)(1−(√5x+7−√x+4))=0≤¿ { √5x+7+√x+4=1 x=−3 4 , Для   решения   уравнения   √5x+7+√x+4=1   используем   рассмотренные раньше методы. Пусть t = √x+4 , тогда х = t2 ­ 4. Получим уравнение  ≤¿{2t2+t−7=0, √5t2−13=1−t≤¿{5t2−13=(1−t)2, 1−t≥0 t≤1 ≤¿t=−1−√57 4 . −1−√57 Тогда x= ( 2 ) −4=√57−3 8 . √57−3 8 4 3 4 ;  Ответ: ­ V способ: метод введения вспомогательных переменных.  Этот   метод   позволяет   свести   иррациональное   уравнение   к   системе рациональных уравнений. Пример 2. Решить уравнение  3√x−2+√x+1=3. Решение.  Положим u= уравнение,   связывающее  u    и    v:   u3=x−2,v2=x+1,тоv2−u3=3. получает систему 3√x−2,v=√x+1.   Тогда u+v=3.  Найдем еще одно     Тогда { u+v=3, v2−u3=3 ≤¿{ v=3−u, u3−u2+6u−6=0. Решим   второе   уравнение   системы, u2(u−1)+6(u−1)=0.   записав   его   в   виде Получим u=1, значит, x=3. Ответ: 3. VI способ: метод выделение полных квадратов. При   решении   некоторых   иррациональных   уравнений   используется формула √а2=|а| . Пример 3. Решить уравнение  √x+3−4√x−1+√x+8−6√x−1=1 Решение. Преобразуем уравнение следующим образом: √x−1−4√x−1+4+√x−1−6√x−1+9=1, |√x−1−2|+|√x−1−3|=1 или Обозначим     y=√x−1,y≥0     и   решим   полученное   уравнение   методом интервалов. |y−2|+|y−3|=1 Рассматривая   отдельно   случаи     y<2,2≤y<3,y≥3 ,   находим,   что решениями последнего уравнения являются    2≤y≤3 . Возвращаясь к переменной x , получаем   2≤√x−1≤3, 4≤x−1≤9, 5≤х≤10 Ответ:   5≤х≤10 VII способ: Графический метод Пример 4. Решить уравнение   графическим способом. x  x 1 5 Решение. Иногда при решении иррационального уравнения полезно использовать графики. Построим в одной системе координат графики функций  y 1 x  и y 5x Графики пересекаются в точке с абсциссой  . Ответ: 8. VIII способ. Выделение полного квадрата. Решить уравнение    (cos 5,0 x  2 )3  2( cos 5,0 x  2 )3  1 cos 5,0 x  3  2 cos 5,0 x  1 3 . Раскроем модули. Т.к. ­1≤сos0,5x≤1,  то ­4≤сos0,5x­ 3≤­2, значит,  . Аналогично,  Тогда получим уравнение cos0,5x = 1 x = 4 nπ ,   nZ. Ответ: 4 nπ ,   nZ. IX способ. Метод оценки Решить уравнение  3 х  2 2 х  4 х  8 3 х  2 2 х  4 х  8 ОДЗ: х3 ­ 2х2 ­ 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть ­х3 + 2х2 + 4х ­ 8 ≥ 0 получим       3 3 х х   2 2 2 2 х х   4 4 х х  0  0 8 8   т.е.   х3  ­   2х2  ­   4х   +   8   =   0.   Решив   уравнение разложением на множители, получим х = 2,     х = ­2 Ответ: х = 2,     х = ­2 X способ: Использование свойств монотонности функций. Решить уравнение  х  х  3 х  6 8 . Функции  у  , ух  х ,3 у  х 8 строго   возрастают.   Сумма   возрастающих   функций   есть   возрастающая   и   данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим х = 1. Ответ: 1. XI способ. Использование векторов. Решить уравнение  .    ОДЗ: ­1≤х≤3. Пусть   вектор    ха  ,1; в  1  х 3;  х .   Скалярное   произведение   векторов ва  х 1  х 3  х ­   есть   левая   часть.   Найдем   произведение   их   длин  х 3 1 1 х .   Это   есть   правая   часть.   Получили 2 2 х  1 . Возведем х  1 х  1  3 х . 1 2 ва  2 х ва  ва , т.е. векторы а и в – коллинеарны. Отсюда  обе части в квадрат. Решив уравнение, получим х = 1 и х = Ответ: х = 1 и х = 5  м и н. X. Итог урока. Этап рефлексии: Стратегия «Телеграмма»  Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте  и отправить.  Подведите итоги своей работы на уроке в своей рабочей карте. “Да, мир познания не гладок. И знаем мы со школьных лет Загадок больше, чем разгадок. И, поискам предела нет!” XI. Домашнее задание. (Дифференцированное)   Решить уравнение  Вариант 01  2 м и н. Знакомая задача:  Решить уравнение  Модифицированная задача:   Решить уравнение  Незнакомая задача:   Решить уравнение  Вариант 02 фиш ки стик еры Оценива ют  работу  своих  однокла ссников, пишут  телегра ммы. На  стикера х  записыва ют свое  мнение  по  поводу  урока. Записыв ают  домашн юю  работу в дневник ах. Знакомая задача:  Решить уравнение  46  х  2 х  х 4 Модифицированная задача:   Решить уравнение  Незнакомая задача:  Найти сумму корней уравнения  8 2 х  3 7 х 4 Вариант 03 Знакомая задача:  Решить уравнение  х  6 2 х  3 Модифицированная задача:   Решить уравнение  Незнакомая задача:  Найти произведение корней уравнения  2 х  3 2 х  3 х 2  2 2 х  4 х  5 х  3 х 10 Список литературы: 1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват.  учреждений /     С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин.  М:  Прсвещение, 2009 2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса     /Б.М.  Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003. 3. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для  общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.  4. Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по  алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2004  5. КИМы ЕГЭ 2002 – 2010 г. г 6.  Алгебраический тренажер. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Пособие для  школьников и абитуриентов. Москва.: «Илекса» 2001г.   7.   Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учебно – методическое  пособие. 10 – 11 классы. С.Н.Олейник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко. Москва.  «Дрофа». 2001г.

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"

Открытый урок по алгебре и началам анализа на тему; "Решение иррациональных уравнений и их систем"
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
04.05.2018