Подготовка к ЕГЭ 2017.Задача на сечение призмы

Сечение PD1QB (обозначим σ) проходит через прямую      PQ  AC║ , значит σ ║ АС. Дано σ–ромб, поэтому PQ  BD1 и его стороны равны. Тогда ∆APB= ∆ PA1D1= ∆ D1C1Q= =∆  BCQ по гипотенузе и катету (равному  3). Отсюда AB=BC=CD=DA  и ABCD­ квадрат, ч.т.д.( А )

φ S∆ BKQ  = ½  BQ• KH, с другой  стороны: S∆ BKQ = ½ S BCQK = = ½ • 3 • 4=6;  KH=6 •2:5=12/5. □ Напомним ,что  AB=BC=CD=DA =4, QB=5 как гипотенуза ∆  BCQ с катетами 3 и 4 (пифагоровы тройки). Для этого проведём PK  BB1 , KH  BQ , отрезки PH и KQ. , значит PK  (BB1C1С) KQ  (перпендикуляр к 2­м пересекающимся   BC║ прямым). По ТТП ВQ  PH , следовательно < PHK  ­линейный искомый угол φ  между σ и BB1C1С . Из ∆PKH : tgφ = PK/ KH.  PK=4 .Найдём KH из ∆ BKQ .  arctg 4 5/12  arctg 20 12  arctg 5 3 . ОТВЕТ: arctg 5/3

Есть и другие способы Высоту КН можно найти из ∆ BKQ , выразив его площадь  двумя способами: S∆ BKQ  = ½  BQ• KH,  с другой стороны: S∆ BKQ= ½ BK • KQ= ½ • 3 • 4= 6;  KH=6 •2:5=12/5. Доказать часть А) можно , используя свойства проектирования, а именно  «прямоугольная проекция сохраняет величину угла» Так что , если диагонали ромба перпендикулярны ,то и диагонали  его проекции на основание (ABCD) перпендикулярны; но тогда  прямоугольник ABCD –квадрат , и А) доказано.

Можно вычислить угол, используя зависимость между площадью оригинала и его проекции: Sďđ cosS Отсюда : cos   S ďđ  S  ; arccos S ďđ S . При этом не надо строить сам угол.  Смотрите чертёж далее…

S проекции S оригинала  ­ это S ромба = ½  PQ • BD1 cos    S ďđ  S ; arccos S ďđ S .

264 S проекции = BC•CC1­2S∆BCQ ďđS 12 S QCBB S 1 2 12  BD 1 S ďđ S PQ 34 PD QB 1  cos    11  1 2 12  6 2  4  2 4  ;  arccos   2 4 3 34 2 4 .  3 34  2 22 12  342  ОТВЕТ: arccos 3 / √ 34

Докажем , что этот ответ равен arctg 5/3 cos   1  tg  2 ; cos 2    tg   9 34 ; 1 2 cos  9 34 9  34 9 ;   5 3 ; 3 34 34 9 5 3   arctg  arccos 3 34 . Ч.т.д. Можно также вычислить угол, используя метод координат ,через скалярное произведение.

продолжение следует…