Практическое занятие по математике на тему "Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений" (1 курс колледжа)

Министерство образования и науки Челябинской области государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  «Южно­Уральский многопрофильный колледж» СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКГО ЗАНЯТИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» Тема: «ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ» (гуманитарный профиль) Составитель:  Кондратьева Евдокия Андреевна,  преподаватель математики высшей квалификационной  категории ГБПОУ «Южно­Уральский многопрофильный колледж» 1 г. Челябинск, 2017г. НАЗВАНИЕ ТЕМЫ ПО ПРОГРАММЕ:  «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА» ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2 «ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ» 1. Цели занятия: Обучающая: Освоение   знаний   основных   приемов   решения   уравнений   и   способов решения систем уравнений.  Развивающая: Формирование   умений   рационально   использовать   приемы   решения уравнений и систем уравнений. Воспитательная: Воспитание   умения   быстро   и   правильно   выбирать   прием   решения уравнений и способ решения систем уравнений, проводить вычисления с привлечением   простейших   вычислительных   средств,   что   является важным качеством будущего специалиста среднего звена.  2. Дидактическое оснащение  практического занятия: 1)порядок проведения:   изучить теорию;  разобрать предложенные примеры;   ответить на контрольные вопросы. выполнить самостоятельно индивидуальные задания; 2)комплект заданий для занятия 2; 3)содержание отчета и образец решения варианта; 4)контрольные вопросы; 5)компьютер, электронного курса УД «Математика» ЮК. ПСО АСУ ProCollege.   мультимедийный   проектор,   информация   из   занятия 3. Комплект заданий: 3.1 Изучить теорию. Основные приемы решения уравнений: а) Разложение на множители уравнения вида  f(х)=0квидуg(x)∙Y(x)=0 . А так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю или оба одновременно. 2 Пример 1 sin2х−3cosх=0 ОДЗ:   х∈R=(−∞;+∞) Сведем уравнение к аргументу х по формуле  sin2х=2sinх∙cosх 2sin х∙cosх−3cosх=0 cosх(2sinх−3)=0 cosх=0                                       V             2sinх−3=0 х=π ∈[−1;1] 2 +πk,k∈Z                                 sinx=3 2 ,3 2 Ответ:π 2 +πk,k∈Z  Решения нет б)    Введение   новых   неизвестных  (или   замены   переменной)   в   уравнении вводят так, чтобы привести уравнение к стандартному виду Пример 2 (х2+3х)2+2(х2+3х)−120=0 ОДЗ:  х∈R Замены:  х2+3х=а а2+2а−120=0 а1,2=−2±22 2 ,а1=−12иа2=10 х2+3х=−12                                                х2+3х=10 x2+3х+12=0                                           х2+3х−10=0 Д = 9 ­ 4 ∙12<0                                            Д = 9 + 4 ∙10=49>0 НетрешенийвобластиR                         х1,2=−3±7 2             х1=−5х2=2 Ответ:  −5,2 в)    графический   прием.   Для   уравнения   f(х)=g(x) изобразим графики   у=f(х)иу=g(x) 3   на   одном   рисунке . Точкам пересечения графиков этих функций соответствуют те значения аргумента х, при которых совпадают значения функции, то есть корни данного уравнения. Итак, абсциссы точек пересечения графиков   у=f(х)иу=g(x) корнями уравнения  f(х)=g(x)   являются y o x1 Пример 3 y y=f(x) y=g(x) x2 x (х−1)2=√х ОДЗ:      х ≥   0 Ответ:  ≈0,2;≈2,2 1 x−¿ y=¿ ¿ y=√x 1 1 x1 x2 x 4 1 o 3.2 Основные способы решения систем уравнений а)     способ подстановки. Если удастся одно уравнение преобразовать так, чтобы одно неизвестное явно выражалось как функция   другого, тогда подставляя   его   во   второе   уравнение,   мы   получим   уравнение   с   одним неизвестным. Пример 4 4 {1 х+ 3 у=2 ху=3 Выразим  у  из уравнения   ху=3,у=3 х   и подставим в первое уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным: 1 х+х=2 ⟨ ¿⟩х2−2х+1=0                                          х=1,у= 3 1=3 Ответ:  х=1,у=3 б)    способ   алгебраического   сложения  используется,   если   в   системе уравнений есть уравнения, содержащие выражения, которые отличаются только коэффициентами, то:  уравниваем модули этих коэффициентов, умножая каждое из уравнений  на некоторое число; складываем   или   вычитаем   полученные   уравнения,   чтобы   получить уравнение, не содержащее данного выражения. Пример 5          {3х+5у=2∗2 6х+у=3                                           { у=1 9 9=3           6х+ 1 ⟨ ¿⟩           { у= 1 9 х= 4 27                                   ­   {6х+10у=4 6х+у=3                    { 9у=1 6х+у=3 ⟨ ¿ ⟩ Ответ:  ( 4 27 9) ;1 в)  геометрический   способ.   Изображаются   кривые   уравнений   системы,   а координаты точек пересечения – решения системы.  5 Пример 6 {х2+у2=25 х=у=1  ­ окружность  R=5 , ее центр точка 0 (0, 0) х у 0 ­1 1 0 x2+y2=25 y 5 3 x- y = 1 А(4;3) 4 5 x 5 3 -1 0 В(- 3;4) 1 1 -1 4 5 Ответ: (4; 3);  (­3; 4)  3.3  Проверь себя. Сравнить ответ:  п/п 1 2 3 4 5 Примеры Решить не менее 3­мя способами систему уравнений 2х+5у=19 {3х+4у=18 3√х−4 =2 2х2−7х+12=1 2 sinх−cos2х−2=0 х2+2х2+3х+6=0 6 Ответы (2; 3) 12 3;4 π 2 +2πk,k⋲Z    −2 3.4   Самостоятельная   работа. вариантом.  Выполнить   в   соответствии   со   своим № 1 Примеры 1) 2х−2х−4=15 2) х+√25−х2=7 3) {х+у=1 ху=−2 1 х− х х+1 +х+1 х =0 4) № 2 Примеры 1) 4х+2∙2х−80=0 2) х+√х+11=11 х+1 х−2+ х+2 х−1−2=0 3) 4) {х2+у2=25 х+у=5 5) 6sin2х−5cos(π 2 −х)+1=0 3 1) 2sinх−cos2х∙sinх=0 5) sin2х+sinх∙cosх=0 4 1) 6cos2х−5sin(π 2 −х)=−1 2) 9х+2∙3х=80 {х∙у=24 х+у=10 √3х+1=−4 3) 4) 5) х4+25=26х2 5 1) 72х−6∙7х+5=0 2) 3cosх−2sin 2х=0 {х2+у2=10 х+у=2 3) 2) 2х+3−2х=112 {х2+у2=25 ху=12 3) 4) √2х+3=5 5) х3+х2−4х−4=0 1) 3х+2−3х=72 6 cos2х−4sin(π 2−х)+3=0 2) 7 √9х−1=−5 (х2−4)2+х2−4=0 4) 5) {х+у=8 ху=15 √3х−2+√11−х=5 3) 4) 5) х4−5х2+6=0 4. Содержание отчета: 1) вид и тема работы; 2) решение своего варианта 1 (образец решения). Задание 1 2х−2х−4=15   – показательное уравнение  ОДЗ :  х∈R=(−∞;+∞) 2х(1− 1 16)=15 2х∙15 16=15 2х=16,2х=24,х=4 Ответ:  4 Задание 2 х+√25−х2=7   – иррациональное уравнение ОДЗ :     25−х2≥0 х∈[−5;51] {√25−х2=7−х 7−х≥0              ⟨ ¿⟩               {25−х2=49−14х+х2 х≤7 8 2х2−14х+24=0 х2−7х+12=0 х1=4∈ОДЗ х2=3∈ОДЗ Ответ:  3; 4 Задание 3 {х+у=1 ху=−2 Способ подстановки:  х=1−у у(1−у)=−2 у−у2+2=0,у2−у−2=0 у1=2у2=−1 х1=−1х2=2 Ответ: ( −1;2 ¿;(2;−1) Задание 4 1 х− х х+1 +х+1 х =0 ⟨ ¿⟩{ х≠0,х≠−1 х+1−х2+х2+2х+1=0 3х=−2,х=−2 3 Ответ: ­ 2 3 Задание 5 2−х)+1=0 6 sin2х−5cos(π 6 sin2х−5sinх+1=0 Замена: sinх=а,    а ∈[−1;1] 6а2−5а+1=0 9 Д ¿25−24=1а1,2= 5±1 12 а1=1 2 Va2= 1 3 sinх=1 2 х=(−1)k∙π sinх= 1 3 6 +πk,k∈Zx=(−1)k∙arcsin 1 3 +πk,k∈Z Ответ:  (−1)k∙π 6 +πk,k∈Z ,                 (−1)k∙arcsin 1 3 +πk,k∈Z 5. Контрольные вопросы: 1. Перечислить виды уравнений при решении своего варианта.  2. Сколько   корней   имеет   простейшее   показательное   уравнение   ах=в при различных а и в? 3. При каких значениях а уравнение  sinх=а  не имеет решений? 4. Почему при   решении уравнения вида  f(x)=0 стараются разложить на множители левую часть? 5. В чем состоит способ подстановки при решении систем уравнений? 6. Что такое решение системы уравнений? Критерии оценки: «Отлично»  –   даны   ответы   на   все   контрольные   вопросы;   задание самостоятельной работы выполнено полностью. «Хорошо»  –   даны   ответы   на   все   контрольные   вопросы;   при   выполнении задания самостоятельной работы допущены 1 – 2 ошибки.  «Удовлетворительно»  –   даны   ответы   не   на   все   контрольные   вопросы; выполнено 60% ­ 70% задания самостоятельной работы. «Неудовлетворительно»  – выполнено менее 60% задания самостоятельной работы. 10 6. Литература: Для студентов 1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. – М., 2014. 2. Башмаков М.И. Математика: Электронный учеб. метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. – М., 2015. 3. Колягин Ю.М., Ткачева М.Н., Федорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа   (базовый   и   углубленный   уровни).   10   класс   /под   ред.   А.Б. Жижченко. – М., 2014. Для преподавателей 1. Башмаков   М.И.   Математика:   кн.   для   преподавателя:   методическое пособие. – М., 2013. 2. Башмаков М.И., Цыганов Ш.И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ. – М., 2011. 1. www.  fcior.edu.ru  (Информационные,   тренировочные   и   контрольные Интернет ­ ресурсы материалы). 2. www.  school­collection.edu.ru  (Единая   коллекция   цифровых образовательных ресурсов). 3. Сайт   Южно­Уральского   многопрофильного   колледжа   – http://www.suvc.ru/,             учебный портал колледжа АСУ ProCollege, электронный курс УД «Математика» ЮК. ПСО (01, 02).  11