Презентация по алгебре и началам анализа "Общие методы решения уравнений", 11 класс УМК А.Г. Мордкович (профильный уровень)

«Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах» Г. Цейтен 11 класс Общие методы решения уравнений УМК А.Г. Мордкович (профильный уровень) Халфина Елена Анатольевна, учитель математики г. Нижневартовск, 2019

Цели урока:  Рассмотреть общие методы решения уравнений.  Научиться применять эти методы при решении уравнений.  Формировать навыки применение наиболее рациональных способов решения уравнений.

Рассмотрим уравнения: 1) х² - 2 х = 0; 2) sin²x + sinx = 0; 3) 7 52  х х ;49

Рассмотрим уравнения: 2 2 x  log)4 )5 х x  ;03 2 log4 1 х 

Общие методы решения уравнений:  Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).  Метод разложения на множители.  Метод введения новой переменной.  Функционально-графический метод.

1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).    Этот метод мы применяем:  при решении показательных уравнений, xg )( когда переходили от уравнения (а>0, а≠1) к уравнению f(x) = g(x);  a )( xf a  при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения log f(x) = log g(x) к уравнению f(x) = g(x); а а  при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(x) = g(x). )(  xh xg )( n n

Пример 1: Решить уравнение 2 2 х 2 2 х  х 3 0  х 3 5 5 2 2 х 2 2 х х  1 5  1 ;5   х ;11 3   х 3 ;0  х ;0  .5,1 Ответ: 0; 1,5.

Пример 2:   3 ;27  x Проверка :   ,0 х 3  27 х 4 х корень  х  посторонни й 5 .0    2 2    3 x x 5 log 3   5 3 х ;27 х  х  12 ;0   х ,4 2 .3 log 2 х 2 х х 1 Ответ .3: 

2. Метод разложения на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений: )( xf xg )( xh )(    ;0 ;0 .0      Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Пример 3: х  62 х   232 х  ;032 х 62  х х 5 Решить уравнение  5 х х х  ;1  .0)8 2 ln( х                 .0 )8   1 ln( х  ;9 2   2 6 х  .18 5 ;0

Пример 3: :ОДЗ      2 х 3  ;5  ;7  ;1  .9 : Проверка  ,0   .0 х 1 х х 4 Из найденных корней этой системе неравенств удовлетворяет только х = 9, остальные являются посторонними для данного уравнения. 2 8 х х        Ответ: 9.

3. Метод введения новой переменной. Если уравнение f(x)= 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений:  u ; 1  ; u 2     xg )(  xg )(   ....  xg )(   nu где и , и ,… и - корни уравнения р(и) = 0. 1 2 п

Пример 4: Решить уравнение 7 5 Введём новую переменную 1 3    3 х   х  2 х . 3 х 2   2   3 1 х 2  у х 7 5 . . Получим: 1  у 3  2  1 у  Освободившись от знаменателей, 7 2 у  29 у  4 ;0 получим:

Пример 4: Найдём корни квадратного уравнения: у 1  у ;4 2  1 7 . Выполним проверку корней на выполнение условия: 5(у – 3)(у + 1) ≠ 0. Оба корня удовлетворяют данному условию.

Пример 4: Вернёмся к замене переменной и решим два уравнения:  х 32  х 2 х 4 3 и х .4;1 1 1 7 469 х . 2 х 3 4 21  14 . Ответ: 21;4;1  14 469 .

3. Функционально- графический метод. Чтобы графически решить уравнение f(x) = g(x) нужно построить графики функций у = f(x) и у = g(x) и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек.

1) Решить уравнение           = | x – 2 | х х Пример 5: 1 шаг: построить графики функций у =           и у = | x – 2 | 2 шаг: найти абсциссы точек (или точки) пересечения графиковху2ху Ответ: x1 = 1,  х2 = 4

2.2. xx33 – 5 + – 5 + х х = = 00 Пример 6: хх33 = 5 - х = 5 - х f(x)f(x) = = хх33   g(x)g(x) = 5 - = 5 - хх   х х ≈ 1,5≈ 1,5 Решением является абсцисса точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения

Графические методы решения уравнений Графические методы решения уравнений Построение  Построение  графиков  графиков  функций левой  функций левой  и правой частей  и правой частей  уравнения   уравнения (решением  (решением  является  является  абсциссы точек  абсциссы точек  (точки)  (точки)  пересечения  пересечения  графиков) графиков) Функционально – графические  Функционально – графические  методы методы Использование  Использование  свойств   свойств   функций левой  функций левой  и правой частей  и правой частей  уравнения  уравнения  (монотонность,  (монотонность,  четность,  четность,  нечетность) нечетность) Использование  Использование  ограниченности  ограниченности  функций левой  функций левой  и правой частей  и правой частей  уравнения   уравнения (метод оценки) (метод оценки)

Пример 7: 2 х     Рассмотрим функцию у = х² - 2х + Решить уравнение 2 х x 2 cos   .2 2. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. В вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.

Пример 7: Найдём координаты вершины параболы. х  ху (  ); у 0 0 0 b 2 a ; )1;1( Для функции у = х² - 2х + 2 . наим .1 Функция у = cos 2πx обладает у     свойством: у .1. наиб

Пример 7: Задача сводится к решению системы уравнений   х² - 2х + 2 = 1, cos 2πx = 1. Решив 1 уравнение получили: х = 1. Это значение удовлетворяет и 2 уравнению системы, следовательно, является единственным корнем заданного уравнения. Ответ: 1.

Мы рассмотрели общие работе. методы решения уравнений, примеры применения этих методов. Перейдём к практической Решаем № 27.5 (в), 27.9 (б), 27.12 (б), 27.14 (а), 27.19 (б), 27.21 (а), 27.25 (а,б).

№ № 27.25 (а) 27.25 (а) y log  x sin x Ответ: одно решение Ответ: одно решение

№ № 27.25 (б) 27.25 (б) xx22 + 1 = + 1 = cos xcos x y = x2 + 1 y = 1 у 0 1 х x = 0x = 0 y = cos x x2 + 1 ≥ 1cos x ≤ 1  x2 + 1 = 1cos x = 1 Ответ: 1 корень.

Подведем итоги Общие методы решения Общие методы решения   уравнений уравнений Аналитические Аналитические Функционально­графические Функционально­графические 11 22 33 По По  графику графику По По  свойствам свойствам