Презентация по дисциплине "Математика" " Уравнения и неравенства первой и второй степени и их системы" (первый курс, первый семестр СПО)

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ И ИХ СИСТЕМЫ» Преподаватель высшей категории дисциплины «Математика» филиала ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия Сидорова Л.В.

 Уравнения первой степени и их системы.  Квадратные уравнения.  Системы уравнений, в которых хотя бы одно из них квадратное.  Неравенства первой и второй степени и их системы. 5x+y = -9 3X + 2Y = 8

разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению Алгебра возникла в связи с решением одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

5X – 7Y = 9  Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений.  Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами.  Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами.  В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.  Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

b 42  ac  0352  õõ  Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.  Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1)  В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными.  Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорилось «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи»

 Задачи часто облекались в стихотворную форму.  Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. «ОБЕЗЬЯНОК РЕЗВЫХ СТАЯ ВСЛАСТЬ ПОЕВШИ,РАЗВЛЕКАЛАСЬ ИХ В КВАДРАТЕ ЧАСТЬ ВОСЬМАЯ НА ПОЛЯНЕ ЗАБАВЛЯЛАСЬ А ДВЕНАДЦАТЬ ПО ЛИАНАМ СТАЛИ ПРЫГАТЬ, ПОВИСАЯ СКОЛЬКО Ж БЫЛО ОБЕЗЬЯНОК ТЫ СКАЖИ МНЕ, В ЭТОЙ СТАЕ?»  Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.  Соответствующее задаче уравнение Бхаскара пишет под видом  x2 - б4х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений  1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.  2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.     3) «Корни равны числу», т. е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2.

ДЛЯ АЛЬ-ХОРЕЗМИ, ИЗБЕГАВШЕГО УПОТРЕБЛЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ЧЛЕНЫ КАЖДОГО ИЗ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ СЛАГАЕМЫЕ, А НЕ ВЫЧИТАЕМЫЕ. ПРИ ЭТОМ НЕ БЕРУТСЯ ВО ВНИМАНИЕ УРАВНЕНИЯ, У КОТОРЫХ НЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ.  АВТОР ИЗЛАГАЕТ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УКАЗАННЫХ УРАВНЕНИЙ, ПОЛЬЗУЯСЬ ПРИЕМАМИ АЛ-ДЖАБР И АЛ-МУКАБАЛА. ЕГО РЕШЕНИЕ, КОНЕЧНО, НЕ СОВПАДАЕТ ПОЛНОСТЬЮ С НАШИМ. ПРИ РЕШЕНИИ НЕПОЛНОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ВИДА АЛЬ-ХОРЕЗМИ, КАК И ВСЕ МАТЕМАТИКИ ДО XVII В., НЕ УЧИТЫВАЕТ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ, ВЕРОЯТНО, ПОТОМУ, ЧТО В КОНКРЕТНЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ОНО НЕ ИМЕЕТ ЗНАЧЕНИЯ.  ПРИ РЕШЕНИИ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ АЛЬ- ХОРЕЗМИ НА ЧАСТНЫХ ЧИСЛОВЫХ ПРИМЕРАХ ИЗЛАГАЕТ ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ, А ЗАТЕМ ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).  Решение автора гласит примерно так:  раздели пополам число корней, получишь 5,  умножь 5 само на себя,  от произведения отними 21, останется 4.  Извлеки корень из 4, получишь 2.  Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень.  Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.  Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Уравнения первой степени ДВА ЧИСЛА ИЛИ КАКИЕ-НИБУДЬ ВЫРАЖЕНИЯ, СОЕДИНЁННЫЕ ЗНАКОМ «=«, ОБРАЗУЮТ  Уравнением называется равенство, РАВЕНСТВО. содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами.  Эти буквы называют неизвестными. Неизвестных в уравнении может быть несколько.  В уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у.  Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством.  Утверждение, что при любом действительном а:  а + 1 = 1 + а, здесь равенство является тождеством.  Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.  Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.  Если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 - решение или корень данного уравнения.

 ДВА УРАВНЕНИЯ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНОСИЛЬНЫМИ (ИЛИ ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ), ЕСЛИ ВСЕ РЕШЕНИЯ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ВТОРОГО И НАОБОРОТ, ВСЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО УРАВНЕНИЯ ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ПЕРВОГО.  К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.  Уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8;  уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.

СВОЙСТВА РАВНОСИЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.  Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.  2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.  Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х, получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.  3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.  Уравнение 7х - 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.  4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.  Уравнение 2х - 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х) или 6х – 45 =30 – 9х, которое имеет тот же корень х = 5.

СВОЙСТВА РАВНОСИЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).  Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.  6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).  Уравнение имеет два корня: и . Разделив все его члены на 3, получим уравнение , равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: и .  7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов. 4 5  õ 2  1  16 õ 7  Уравнение после умножения обеих частей на 14 примет вид: 7·(5х-4) =2·(16х+1); 35х-28=32х+2  Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.

Системы двух уравнений первой степени с       y y двумя неизвестными 0;0  b à  Уравнение вида ax+by=c, где называется уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у.  Если находят общие решения двух и более уравнений то говорят, что эти уравнения образуют систему, их записывают обычно одно под другим и объединяют фигурной скобкой.  Например, ,20 .10  Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы.  Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она их не имеет. x x

ДВЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНОСИЛЬНЫМИ (ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ), ЕСЛИ ВСЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ИЗ НИХ ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ДРУГОЙ И НАОБОРОТ, ВСЕ РЕШЕНИЯ ДРУГОЙ ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ПЕРВОЙ.   Например, решением системы ,11 x 2   3 x 9 является пара чисел х = 4 и у = 3. y y    Эти числа являются также единственным решением системы . 3 8 y y   ,11 28 5 x x      Следовательно, эти системы уравнений равносильны.

Способы решения систем уравнений  1. Способ алгебраического сложения.  Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, то складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным.  Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе неизвестное. , 11  Пример 1: Решить системы уравнений: 1) . .9   y y    2 3 x x    Здесь коэффициенты при у по абсолютной величине равны между собой, но противоположны по знаку. Сложив почленно уравнения, получим уравнение с одним неизвестным 5х=20, из которого х=4.  Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы, например в первое, и находим значение у: 2 ∙ 4 + y = 11; 8 + y = 11; y = 11 – 8; y = 3.  Ответ: (4; 3)

 Пример 2. Решить систему уравнений    4 6 x x   3 5 y y   ,4 .7  Уравняем коэффициенты при х. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (– 2) 12 x  12  x 9 y  10  ,12  y .14     Сложим почленно полученные уравнения.  y   x 4    y  3 y ,2  ,2  y 3    ,4 .4 4 x Подставим найденное значение y во второе уравнение 4 ,4 6  системы и найдём x  x y 2 ,2  4  2   1  Ответ:  2   6 x  2 y    1  , 2  .2  x   2; 4 y x y           ,4

т с й и и е м у    x x   y y   ,3 1 с н е т ь н е ш и а р у в Р Способ решения? СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ. Из любого уравнения одну из выражаем через другую, а затем неизвестных значение этой неизвестной в другое подставляем уравнение

 РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ  3   x x   2 2 y y   ,16 .8  Выразить x через y из второго уравнения  8  Подставить выражение для x во второе  y 2 уравнение ,2 y  .16 x x    3 24  ,16  y 6 2 y  y x .28        y  8 5 .2 y  x     8  y 8 ,40 .2 y   8 x   2 y ,2 y  y 2    83   Подставить найденное значение y во второе уравнение и вычислить x .16 x  y 8 2    Ответ: (18; -5) ,5    y  8 ,5 .10 ,5 .18    .5 y x       x x

Квадратные уравнения Квадратное уравнение, или алгебраическое уравнение 2–й степени с одним неизвестным в общем виде записывается следующим образом: ax2 + bx + c = 0, где: a, b, c — известные коэффициенты, причем a ≠ 0, x — неизвестное.  УРАВНЕНИЕ 2 ax  0 bx c a ГДЕ  0 НАЗЫВАЕТСЯ ,0 ,0 b c ПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ. РАЗДЕЛИВ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ СТАРШЕМ ЧЛЕНЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛУЧИМ ПРИВЕДЁННОЕ 0 x КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ , ГДЕ  b  , a px  q c a  q p 2

Если один из коэффициентов b, c или оба одновременно равны 0, то квадратное уравнение называется неполным.  Примеры:  x 0582 x x 3 2 0 5 Полное приведённое квадратное уравнение Не полное не приведённое Квадратное уравнение 2 x   0 8 x Не полное приведённое Квадратное уравнение

x 2 Неполное квадратное уравнение вида m самое простое и самое важное, т.к. к нему приводится решение всякого квадратного уравнения