Презентация по математике "Радианное измерение дуг и углов. Градусная мера измерения углов и дуг"

Радианное измерение дуг и углов Пусть одна из сторон угла на плоскости совпадает с положительным  направлением оси Ох (луч t1), а вершина угла  ­ с началом координат. На луче t2 на  расстоянии R=1 от начала возьмём точку А. Тогда при вращении луча t12 точка А  опишет окружность с радиусом R=1, которую мы будем называть единичной  окружностью. Угол, полученный при повороте отрезка ОА, можно охарактеризовать двумя  способами – радианной и градусной мерой. При градусном измерении за 1° принимается  1/360 полного угла. Тогда полный угол равен  360°, развернутый 180°, прямой угол 90°. В  радианной мере величина угла измеряется  длиной соответствующей ему дуги. Например,  величина полного угла равна длине окружности,  т. е. в данном случае 2п, величина развернутого  угла есть п, величина прямого угла равна п/2.  Часто вместо записи величины угла в виде  бесконечной десятичной дроби ее записывают в  долях п. Так, величину прямого угла записывают  п/2 вместо 1,57. Градусный и радианный способы измерения  углов равноправны и используются достаточно  широко. y О t2 А I t1 IV x II III

длине ее радиуса R  называется  радианной мерой этой дуги: l R При радианном измерении дуг за  a  Отношение длины дуги окружности L к  единицу измерения принимается дуга,  длина которой равна радиусу этой дуги.  Эта дуга называется радианом

При радианном измерении углов за единицу  принимается центральный угол, опирающийся  на дугу в один радиан. Такой угол также  называется радианом. Число радиан в данной дуге (и в  соответствующем ей центральном угле)  является радианной мерой этой дуги                    (и соответствующего ей центрального угла)

Градусная мера измерения углов и  дуг: 1 360 10  0 1  / / 1,60  60 //

 Окружность  имеет  радианную  меру,  равную 2        радиан  Полуокружности соответствует         рад. a  2  R  2 R 

Формула перехода от  градусного измерения к   радианному      180 При        = 1° по формуле  получим  радианную меру дуги  0 1 .0   0175 ( ) рад   180

Зависимости между градусной и  радианной мерами для некоторых  часто встречающихся дуг (углов)  Градусы  30°  45°  60°  90°  180°  270°  360°  Радианы   6    4    3  32 22

Формула перехода от радианного  измерения к градусному    0 à 180  При        = 1° получим градусную меру   одного радиана:  1   0 180  57 / 0 17 // 8,44  0 3,57

Длина дуги окружности  l  Ra Длина дуги окружности равна радианной  мере дуги, умноженной на радиус этой дуги. При R = 1 длина дуги равна ее радианной  мере. Это обстоятельство делает радианную  меру весьма удобной для вычисления длин  дуг.

Положительные и  отрицательные дуги и углы В прямоугольной системе координат хОу круг с  центром в начале координат и с радиусом, равным 1  будем называть единичным кругом, а его  окружность — единичной окружностью. Точку пересечения A(1; 0) единичной окружности с  осью Ох примем за начало отсчета дуг

Вращение радиуса­вектора ОМ от  положительной полуоси Ох против  движения часовой стрелки назовем  положительным, Вращение радиуса­ вектора ОМ от положительной полуоси  Ох по часовой стрелке назовем  отрицательным.

Дуги и углы, большие 2 (360°)

Единичная числовая окружность  Длина всей числовой единичной окружности равна 2   .  Поэтому, если два числа отличаются друг от друга на  целое, кратное 2  , то им на числовой единичной  окружности будет соответство­вать одна и та же точка.  Если два числа соответствуют одной и той же точке  числовой единичной окружности, то их разность будет  кратной 2    Установим соответствие между точками числовой оси и  точками числовой единичной окружности. Каждому  действительному числу на числовой оси соответствует  точка Р(   )  причем каждой точке числовой оси  соответствует одна и только одна точка числовой  окружности.   

Определение тригонометрических функций  числового аргумента  Абсцисса х точки М(   ) числовой  единичной окружности называется  косинусом числа    õcos  Абсцисса х точки М(   )  числовой единичной  окружности называется  косинусом числа   ysin

Положительные и  отрицательные дуги и углы   Вращение радиуса­вектора ОМ от положительной полуоси Ох  против движения часовой стрелки назовем положительным, а  дугу     АМ =    , образуемую концом радиуса­вектора ОМ, и  соответствующий этой дуге центральный угол АОМ — также  положительными. Вращение радиуса­вектора ОМ от  положительной полуоси Ох по часовой стрелке назовем  отрицательным, а дугу АОМ1  образуемую концом радиуса­ вектора ОМ, и соответствующий центральный угол  АОМ1 —  отрицательными.  Если отсчет дуг вести против движения часовой стрелки, то  дуги равны АВ = /2, АВС = ,АВD = З/2 и АВА = 2. Если отсчет дуг  вести по часовой стрелке, то дуги АD = — /2, АDС = ­, АDВ = ­З/2 и  АDА = ­2Дуга, равная нулю (нулевая дуга), имеет совпадающие  точки А и М. Центральный угол равен нулю, если радиусы­ векторы ОА и ОМ совпадают.

Длины дуг L1 и L2 двух концентрических  окружностей, соответствующих одному и тому же  центральному углу, пропорциональны их радиусам R1 и  R2:  L  1 R 1 L2 L R 2 2 R1 0 L1 R2 0 R R L+R