Приближение по ортогональной системе

Приближение по ортогональной системе. Aппроксимация функций ортогональными многочленами Чебышева Для приближения непериодических функций используется ортогональная система функ­ ций – многочлены Чебышева, которые, в сущности, являются функциями Фурье cos nq, за­ маскированными простым преобразованием переменной q = arccos x. Tаким  образом, Tn (x) = cos(n arccosx). Mногочлены Чебышева связаны рекуррентным  соотношением: Tn+1(x) = 2xTn(x) – Tn–1(x). причем T0(x) = 1, T1(x) = x. Приближающая функция ищется в виде суммы многочленов Чебышева, т. е. . (5.8) Используя узловые точки многочленов, т. е. систему точек, на которой многочлены Чебы­ шева ортогональны, получаем следующую формулу для вычисления коэффициентов ci: . Узловые точки многочленов распределены неравномерно (они сгущаются к концам  интервала [­1, 1]), а именно . (5.9) (5.10) Программа CHENSP вычисляет коэффициенты ci для дискретной функции, заданой в  равноотстоящих точках, используя при этом соответствующее преобразование  переменной (5.10). После того, как коэффициенты известны, программа позволяет  вычислить значения функции на заданной равномерной сетке, опять­таки с преобра­ зованием переменной. Cледует заметить, что коэффициенты ci (см. (5.9)) не зависят от M, т. е. от количества  многочленов, входящих в сумму (5.8). Этот факт используется в примере, который  приводится вслед за описанием программы. Программа CHENSP(YM,N,YH,K,C,M) позволяет вычислить коэффициенты приближаю­ щей функции C (если N > 0) и ее значения YH (если K > 0) на множестве равноотстоящих  точек, используя ортогональную систему функций ­ многочлены Чебышева. Eсли N = 0, то  значения YH вычисляются в предположении, что коэффициенты C вычислены ранее  (см. пример). Программа имеет следующие параметры: YM вектор значений дискретной функции длины |N|; YH вектор значений приближающей функции длины |K|; C вектор коэффициентов приближающей функции длины |M|. Hа рис.5.7 изображена часть синусоиды, на которую наложен шум (Y=SIN(X)+RAND(­0.1,  0.1, 1937)), и приближение этой функции многочленами Чебышева (два случая: M = 12  и M = 6). Рис.5.7. Пример, иллюстрирующий аппроксимацию функции многочленами Чебышева.      DIMENSION YM(100),YH(100),C(12)      KR=1937      XM=0.      YM(1)=RAND(­1.01,0.01,KR)      DO 1 I=2,100      XM=XM+0.0314159  1   YM(I)=SIN(XM)+RAND(­0.1,0.1,KR)      CALL CHENSP(YM,100,YH,100,C,12)      CALL PAGE(17.,26., '5.7',3,0)      CALL REGION(1.,1.,13.,10.,0,0,0) CALL LIMITS(0.,3.3,­0.2,1.15)      CALL AXES('M=12',4,0.,0,0,0,0.,0,0)      CALL INCLIN(0.,0.0314159,0,YM,100,0,0)      CALL INCLIN(0.,0.0314159,0,YH,100,0,0)      CALL CHENSP(0.,0,YH,100,C,6)      CALL REGION(1.,13.,13.,10.,0,0,0)      CALL AXES('M=6',3,0.,0,0,0,0.,0,0)      CALL INCLIN(0.,0.0314159,0,YM,100,0,0)      CALL INCLIN(0.,0.0314159,0,YH,100,0,0)      CALL ENDPG(0)      END Функция RAND(A,B,KR) позволяет генерировать псевдослучайные числа с равномерным  распределением в интервале (A,B), где A < B. Функция имеет следующие параметры: A,B нижняя и верхняя границы интервала; KR целая переменная, принимающая значения в диапазоне от 1 до 67108863. Перед первым обращением к функии RAND необходимо занести в KR нечетное число в  указанных пределах. Значение KR не следует изменять между обращениями к функции. ртогональные системы функций и ряды Фурье в пространстве L2. Наилучшее  приближение частичными суммами ряда Фурье                                                         Пусть имеется некоторое евклидово пространство со скалярным произведением. Функции f и g, принадлежащие евклидову пространству, называются ортогональными,  если .                                           (5.1.7) Система функций  системы попарно ортогональны, то есть  называется ортогональной, если все функции   при  .                                 (5.1.8) Система функций  ортогональна и нормирована. Последнее означает, что  называется ортонормированной, если она    .                          (5.1.9) Из всякой ортогональной системы  систему   по формуле  можно получить ортонормированную  .                                      (5.1.10) Пусть в евклидовом пространстве  система функций  последовательность чисел  задана некоторая бесконечная ортогональная  . Сопоставим каждой функции     .                       (5.1.11)   Эти числа будем называть коэффициентами ряда Фурье для функции f по системе  ряд , а                                     (5.1.12) рядом Фурье для функции  f по системе  ортонормированной, то коэффициенты ряда Фурье вычисляются по более простой  формуле . Если система функций   является                               (5.1.13) Обозначим через  ортогональной системе функций  частичную сумму ряда Фурье для функции  f  по бесконечной  Если то говорят, что ряд Фурье сходится к порождающей его функции  f  по норме  пространства   и пишут  при  ,                               (5.1.14) Пусть  Рассмотрим множество функций, представленных в виде линейной комбинации  ­ бесконечная ортогональная система функций из  .  ,                           (5.1.15)  ­ произвольные вещественные числа. Очевидно, что множество этих функций с  , также будет  где  введенным на нем скалярным произведением, как и в пространстве  евклидовым подпространством пространства  наилучшее среднеквадратическое приближение для функции f. Обозначим его  Функция   должна удовлетворять условию . Будем искать в этом подпространстве .                       (5.1.16) Теорема 1. Наилучшее среднеквадратичное приближение  множестве функций  есть  , причем  представляет собой n­ю частичную сумму ряда Фурье, то   функции  f  на Доказательство. Рассмотрим Здесь была использована ортогональность системы функций   и свойства скалярного  произведения. Очевидно, что наименьшее  значение функция  функция  ) будет иметь при условии, что  (и, следовательно,  ,  ,                               (5.1.17) то есть, когда   совпадает с  . Причем это наименьшее значение  равно  . Следовательно, функция      и ,                        (5.1.18) что и требовалось доказать. Поскольку  , из формулы (5.1.16) следует, что                                   (5.1.19) Это неравенство выполняется для любого n. Переходя в нем к пределу при  получим неравенство  мы  ,                                  (5.1.20) которое получило название неравенства Бесселя. Если для любой функции  f  из пространства   выполняется равенство ,                                (5.1.21) то система функций  (5.1.21) называется равенством Парсеваля.  называется замкнутой (полной) в пространстве  . Равенство  Если система функций   является замкнутой, то           (5.1.22) Это означает, что ряд Фурье для функции  f  будет сходиться к этой функции по норме в  пространстве  , то есть                                 (5.1.23)  можно приближать в пространстве    частичной суммой  В этом случае функцию  ряда Фурье  предела  (5.1.22) следует, что для любого   с любой заданной точностью. В самом деле, из определения   найдется такая частичная сумма ряда  Фурье  неравенство    (найдется номер n такой), что  будет выполнено  . Разлагать функции в ряд Фурье можно по любой бесконечной ортогональной замкнутой  системе функций в пространстве  является тригонометрическая система. . Наиболее известной замкнутой системой функций В основе        [13].Условием ортогональности системы действительных линейно­независимых  функций (х) с весом р (дс) иа конечном отрезке а, Ь) является соотношение [c.164]  такого метода лежит представление об ортогональных функциях       Аналогично  вводится определение ортогональности функций в системе функций (х), (( 2 х),. ... ( п(х), определенных в интервале а х Ь. Две функции фт и ф  считаются ортогональными, если выполнено условие [c.54]      Систему взаимно ортогональных функций можно было бы использовать для того,  чтобы получить соответствующие разложения для потока ср (г) и ядра К (г г ). Чтобы  такие разложения существовали, система функций я 5, должна быть полной [65].  Предположим, что это имеет место. Тогда можно написать [c.353] Из определения  эрмитова оператора и уравнения (2.9) не следует, чтособственные       функции / f , fkg принадлежащие одному собственному значению, будут  ортогональны друг другу. Но, построив из этих функций линейные комбинации, можно  получить систему полностью ортогональных функций. Систему ортогональных функций  можно нормировать, т. е. для каждой из них найтинормирующий множитель Nk  (уравнение (2.9) решается с точностью до произвольного множителя) и путем умножения  на него перейти к системе функцииф1, Фа,. .., Фй. для которой [c.13] В общем случае можно нормировать ряд ортогональных функций вида ф = 1 СгХ при       помощи нормировочного мно­ [c.50]     Важная особенность аппроксимации ортогональными функциями заключается в том,  что добавление новых членов a +i, Ф ,1 не меняет ранее вычисленных коэффициентов.  При т = п многочлен совпадает с интерполяционным многочленом. [c.165]     Первый способ состоит в линеаризации (2.4.55) с последующим  аналитическимрешением линейной системы [70]. Однако получаемый при этом  характеристический определитель равен (4 4­4т), где ш — число ходов потрубному  пространству, что исключает возможность аналитического решения. Аппарат  аппроксимации трансцендентных передаточных функций не может быть использован,  поскольку сами функции весьма трудно получить. Методы сведения дифференциальных уравнений в частных производных ксистеме обыкновенных дифференциальных  уравнений аппроксимациейизображения координат в комплексной  плоскости ортогональными функциями не облегчают задачу, так как получаемая система  обыкновенных дифференциальных уравнений не может быть решена аналитически  ввиду ее высокой размерности. [c.81] Для  непрерывных плотностей распределения р вместо гистограммы случайной       величины могут быть использованы различные аппроксимации р отрезками рядов,  составленных из нормированных и ортогональных функций (полиномов) г , 5 = 1,. .. [c.182] Разложение (5.79) является аналогом рядов, получаемых при      плотностей распределения по ортогональным функциям. Это станет еще более очевидным, если (5.79) записать в виде [c.101]  разложении  Если подставить эти соотношения в уравненпе (7.67) и произвести интегрирование с       учетом ортогональности функций У , то можно показать, что [c.245]     Используя свойства ортогональности функции Р и пренебрегая на время  зависимостью ф , получаем [c.246] Задача 2.3. Присоединенные полиномы Лежандра являются ортогональными       функциями, т. е. [c.30] В дальнейшем нам понадобится      иногда упростить сложные математические выражения. Это понятие легче всего усвоить, если исходить, из аналогии со скалярным произведениемвекторов. [c.54]  понятие ортогональности функций, позволяющее       Примером ортогональности функций могут служить, например, функции  [c.55]      Из  условия ортогональности функции и фа. т. е. равенства [c.129]           Из ортогональности функции Yj и Yj и выражений  [c.125] В том, что такая (ОРЩ волна действительно ортогональна функциям  [c.93]     Волновые функции гармонического осциллятора являются эрмитовыми  ортогональными функциями [ПО], которые для нескольких первых значений v  представлены на рис. 12. Следует отметить, что даже на самом низкомколебательном  уровне (у = 0) колебательная энергия не равна [c.27]      Используя этот результат и  свойство ортогональности функций а и fi [c.97] Во       втором порядке теории возмущений для энергии получается формула,  аналогичная (2), но уже содержащая вместо одной из функций 4 0 =< Ч доЧ зо И Ч  >. Функция первого порядка ортогональна функции нулевого приближения фр и может  быть записана в виде суммы трех членов  [c.477] Предположим, например, что функцию 1 ф) можно представить как      комбинацию ортогональных функций (/>  [c.43]  линейную  ункций (1.83) и (1.84)  Если принять во внимание явный вид дублетных спиновых ( )      для трехзлектронной системы, то нетрудно убедиться, что каждая избазисных функций в  (2.48) является собственной функцией 8 и 8г. В трехзлектронной задаче имеются  две линейно независимые дублетные спиновые функции с Ms = Л. с чем и связано  появление в (2.48) двух взаимно ортогональных функций и Ф при условии р Ф д Ф 1. Если  же два из трех индексов р, ц, I совпадают, то в разложении возникает только один тип  детерминантов Фр ,. После некоторых размышлений можно понять и указанную в  (2.47) область измененияиндексов. [c.69] Подобным образом ортогонализуется  пара функций в таблице с квантовыми       числами Лi = —2 и М5 = 0. Остается распутать систему из четырех функций с М1 = О и М = 0. Обратимся с этой целью предварительно к паре триплетных функций (Г, ­1 ) и (­Г, 1 ). отвечающих квантовым числам М/, = О и Л/5 = 1. Эти две взаимные ортогональные  функции не обладают правильными свойствами симметрии при отражении в плоскости  симметрии. Нетрудно построить такую их линейную комбинацию 2 , 2" которая бы  обладала требуемыми свойствами симметрии  [c.205] Из функций Is(Hi), IsiHi), 1х(Нз) в      ортогональные и ортогональные функции. Построим функцию еу с тем расчетом, чтобы  она преобразовалась подобно орбитали Ру атома азота (см. рис. 10)  [c.212]  молекуле аммиака следует построить две взаимно       На коэффициенты q j в этом выражении накладываются ограиичения, вытекающие  из условия нормировки и ортогональности функций Ли и R s­ В отношении числовых  значений как полной, так и орбитальной энергий эта аппроксимация не может  претендовать на большую точность. Уточнение вида радиальных функций  достигается введением дополнительных базисных функций (см. гл. 4, 5). [c.223] Учитывая      [c.15]  условие нормированности и ортогональности функций Р и 4 2, получаем  Значение ортогональных функций определяется тем, что      ортогональности обладают собственные функции важных квантово­механических  операторов. Физический смысл равенства нулю интеграла S(pm(pndx можно понять, если  вспомнить, что квадрат волновой функции естьмера вероятности найти частицу  микромира в данном состоянии. [c.55]  свойством  Идея  вычисления вероятности того, что каждое измерение даст одно из этих       значений, заключается в разложении функции вряд по собственным (взаимно  ортогональным) функциям оператора, т. е. по функциям )1, г 2, 111п. Каждую из них надо умножить на какой­то коэффициент Си С , С так, что получится ряд  [c.57]     Основной целью квантово­механического рассмотрения металлов являетсярасчет  зонной структуры. Наиболее простым является приближение почти свободных  электронов, в котором собственная функция разлагается пофункциям плоских волн.  Коэффициенты при этом разложении получаются на основе решения уравнения  Шредингера с потенциалом свободных атомов. Для решения возникающих  сотен линейных уравнений используютсявычислительные машины. Медленная  сходимость связана с тем, что вблизи сердцевины ионов волновые функции электронов  проводимости имеют сильные осцилляции, отвечающие собственным функциям атомов.  Чтобы их описать в рамках разложения по плоским волнам, нужно вводить в  разложениебольшое число плоских волн. Положение существенно улучшается в методе  ортогонализованных плоских волн. В этом методе функции, описывающиеплоские  волны, ортогонализируются по отношению к собственным функциям  электронов внутренних оболочек ионов. Как указывалось, ортогональность функций  в квантовой механике означает, что они разные . [c.644] Ряд Пайка и Сильвербергера [3]. Наилучшую сходимость при      функций двух переменных обеспечивает их представление в виде ряда — см. уравнение  (IV. 9)—по двум заранее неизвестным системам ортогональных функций gl x ), /г (д 2) (/  = О, 1,2,. .., й), т. е. таких функций, что для любых не равных друг другу / и 4 [c.100]  аппроксимации       Отсюда сразу видно, что п подынтегральных выражений имеют вид произведения ортогональной функции ф , удовлетворяющей граничным условиям, на соответствующее  приближение левой части уравнения Фурье (10.11), решение которого мы ищем.  Следовательно, при численном расчете самосогласованный метод сводится к  хорошо известному методу Галеркина [87]. Следуя этому методу, надо в уравнение  теплопроводности (10.11) подставить приближение п­го порядка (10.25) (опускаем индекс О ). Тогда п коэффициентов аи определяются п условиями ортогональности  [c.134] Смотреть страницы где упоминается термин Ортогональная функция: [c.200]    [c.13]    [c.353]    [c.222]    [c.49]    [c.138]    [c.54]    [c.93]    [c.169]   [c.172]    [c.1 73]    [c.243]    [c.67]    [c.152]    [c.246]    [c.155]    Физическая химия (1978) ­­ [ c.377 , c.387 ]  Результаты поиска в сети интернет.   нашёл 190 тыс. ответов  Ортогональные функции — Википедия ru.wikipedia.org  Ортогональные функции Примеры ортогональных функций. Пусть где i – мнимая единица; k и n – целые числа.  Ортогональность этих функций на промежутке [0,2 ] при проверяется непосредственным  интегрированием: Учитывая периодичность функций. и. заключаем, что рассматриваемые  функции ортогональны на любом промежутке длиной 2 .π portal.tpu.ru  π 4.9. Ортогональная система функций § 4.9. Ортогональная система функций. Функция называется нормальной, если. . Две  функции называются ортогональными (между собой), если . Система (1) называется  ортогональной и нормальной (ортонормальной) или ортонормированной, если. т. е. она  ортогональна и каждая входящая в нее функция имеет единичную норму. sernam.ru Ортогональная система функций ортогональная система функций — система функций { n(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на  отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где  (х) ρ некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х,  cos х, sin 2х dic.academic.ru  φ Ортогональная система функций — БСЭ — Яндекс.Словари slovari.yandex.ru  10. Ортонормированные системы функций. Обобщенные ряды Фурье.... Функции называются ортогональными на , если . Термин “ортогональность” требует  некоторых пояснений. Функции на отрезке образуют (бесконечномерное) векторное  пространство (сумма функций и произведение функции на число – это снова функция).  Если ортогональная система функций не содержит функций с нулевой нормой, то система ­ ортонормированная. Действительно, . Обобщенные ряды Фурье. matica.org.ua  Ортогональные функции Объясните пожалуйста, почему ортогональность функций это когда именно интеграл  именно произведения данных функций равен нулю Про ноль вроде все понятно по аналогии со скалярным произведением ортогональных векторов, но вот функции... dxdy.ru  § 3. разложение по ортогональным системам функций Определение и примеры ортогональных систем, функций. Если на плоскости выбрать  какие­нибудь два взаимно перпендикулярных вектора единичной длины (рис. 7), то  произвольный вектор в той же плоскости можно разложить по направлениям этих двух  векторов, т. е. представить его в виде. edu.alnam.ru  Ортогональная система функций — Большая Советская Энциклопедия alcala.ru  Ортогональная система функций Ортогональная система функций, система функций {(jn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом r (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что. Примеры. Тригонометрическая система 1, cos  nx, sin nx; n = 1, 2,..., — О. с. ф. с весом 1 на отрезке [—p, p]. Бесселя функции , где n = 1,  2,..., — положительные нули Jn(x), образуют для каждого n > — 1/2 О. с. ф. с весом х на  отрезке [0, l ]. Если каждая функция j (х) из О. с. ф. такова, что (условие  нормированности)... www.booksite.ru  Ортогональная система функций ­ Большая Советская энциклопедия... Ортогональная Система Функций система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке  [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) ­  некоторая функция, называемая весом. Ортогональная система функций. система ф­ций  {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию  ортогональности. при k не равно l, где р(х) ­ нек­рая ф­ция, наз. весом. enc­dic.com  Федосов Б.Т. О построении систем ортогональных функций Статическая характеристика нелинейного элемента должна была бы представлена  некоторым рядом ортогональных функций, либо на ней, как на исходном векторе должна  была быть построена ортогональная система функций. Конечно, никто не обязан присягать  свойству ортогональности базиса, в котором проводится разложение исследуемого  сигнала. model.exponenta.ru  Ортогональная система функций • Помощник кроссвордиста отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям jn (x), n = 1, 2,.... Если  рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова  пространства, то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого  пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. — разложением вектора по  ортам. crosswordhelper.ru  Ортогональные функции Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а  также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области  соответствующей размерности. Полезным обобщением понятия ортогональности является  ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом функции и , если. readtiger.com  Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева knowledge.allbest.ru  ...сигнала по системе ортогональных и ортонормальных функций.... Рассмотрим ряд функций: . Система функций называется ортогональной, если на отрезке  от "а" до "b" все функции попарно ортогональны. Рассмотрим промежуток где n=m: Если  система функций при n=m имеет коэффициент , то эта функция является ортонормальной. Если ортогональная система функций не ортонормальна, то ее можно получить, произведя  замену vunivere.ru  Реферат: Двоично­ортогональные системы базисных функций ­ Xreferat.ru... Функции Радемахера ортогональные, ортонормированные (3) но являются нечетными, а  значит, не образуют полную систему функций, т. к. существуют и другие функции  ортогональные функциям Радемахера (например: rad(m,Q) = sign[cos(2mpQ)]) поэтому их  применение ограничено. (3). Полными двоично­ортогональными системами базисных  функций являются системы функций Уолша и Хаара. xreferat.ru  Ортогональная система функций ­ Физическая энциклопедия ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (от греч. orthogonios ­ прямоугольный) ­  конечная или счётная система ф­ций , принадлежащих (сепара­бельному) гильбертову  пространству L2(a, b)(квадратично интегрируемых ф­ций) и удовлетворяющих условиям.  Если все = 1, то О. с. ф. наз. ортонормированной. femto.com.ua  Ортогональная система функций. Большая советская энциклопедия.... Эти решения — т. н. собственные функции задачи — образуют О. с. ф. с весом  отрезке [a, b ]. Чрезвычайно важный класс О. с. ф. — Ортогональные многочлены — был  открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном  на базе теории интеграла и меры Лебега. slovare.coolreferat.com  ρ  (х) на Ортогональная Система Функций ­ это ... значение слова Ортогональная... Ортогональная Система Функций в Энциклопедическом словаре: Ортогональная Система  Функций ­ система функций ??n(х)?, n=1, 2,...,заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ­ линейное преобразованиеевклидова векторного пространства,  сохраняющее неизменными длины или (чтоэквивалентно этому) скалярные произведения  векторов. tolkslovar.ru  Многочлены Лежандра аа Многочлен Леж ндра в смысле среднегоквадратического. Образует ортогональную езке   — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля      систему многочленов, на отр       Лебега.Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов   по мере         Грама― ортогонализацией     аа     Шмидта.  — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля Многочлен Леж ндра всмысле среднего квадратического. Образует ортогональную  систему многочленов на отрезке  быть получены из многочленов   по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут   Шмидта  ортогонализацией Грама  ― . Многочлены Лежандра Общая информация Формула Скалярное  произведение Область  определения Дополнительные характеристики Дифференц иальное  уравнение Норма Названы в  честь Лежандр, Адриен Мари ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ сферические многочлены, ­ многочлены, ортогональные на сегменте [  ­1,1] с единичным весом  лой Стандартизованные Л. м. определяются Родрига форму и имеют представление  Наиболее употребительны формулы  Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции где ряд в правой части сходится, если  Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид  Л. м. порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра) к­рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделе ния переменных.Ортонормированные Л. м. имеют вид  и допускают равномерную и весовую оценки  Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала (­1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; ест ь теорема оравносходимости этих двух рядов, к­рая означает, что ряд Фурье ­ Лежандра ф ункции f(х).в точке   сходится тогда и только тогда, когда в точке   сходится тригономе трия, рядФурье функции  Если функция f(x).на гегменте [­ В окрестности концов положение иное, ибо последовательность  коростью  1, 1] непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка  дра сходится к функции f(х).равномерно на всем сегменте [­1, 1]. При условии  этотряд, вообще говоря, расходится в точках x=±1.  возрастает со с  то рядФурье ­ Лежан Эти многочлены введены А. Лежандром [1]. Лит.:[1] Legendre А. М.,  "Memoires de mathematique et de physique, presentes a l'Academie royale des sciencespar diver s savants", 1785, t. 10, p. 411­34;  [2] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций,пер. с англ., М., 1952; с м. также лит. при статье Ортогональные многочлены.