ПРОЕКТНАЯ РАБОТА Тема:«Загадка чисел Фибоначчи» (естественно-математическое направление)

Аннотация Данная работа «Загадка чисел Фибоначчи» выполнена учащимися 9Д класса Болотиной Олесей и Елеусиз Аружан. Ученицы провели исследовательскую работу по изучению загадки чисел Фибоначчи и проявлении их в окружающем мире. Объект исследования: - человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека, окружающий растительный и животный мир. Предмет исследования: - форма и строение исследуемых предметов и явлений. Цель исследования: - изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов; - найти примеры использования чисел Фибоначчи. Задачи работы: - описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи; - увидеть математические закономерности, в строении человека, растительного мира и неживой природы с точки зрения феномена Золотого сечения. Новизна исследования: Открытие чисел Фибоначчи в окружающей нас действительности. Практическая значимость: Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении других школьных предметов. Умения и навыки: - организация и проведение эксперимента; - использование специальной литературы; - приобретение умения делать обзор собранного материала (доклад, презентацию); - оформление работы рисунками, диаграммами, фотографиями; - активное участие в обсуждении своей работы. Методы исследования: - эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение); - теоретический (логическая ступень познания); - практический (расчеты числа фи). Ученицы практическим путем нашли пропорции различных частей нашего тела, и убедились, что они, действительно, составляют число, очень близкое к золотому сечению. Результаты измерений и вычислений занесли в таблицу.ПРОЕКТНАЯ РАБОТА «Загадка чисел Фибоначчи» Оглавление Пояснительная записка……………………………… 3. Введение. История чисел Фибоначчи.……………… 4. Глава 1. Числа Фибоначчи в живой природе.......… 5. Глава 2. Спираль Фибоначчи ................... 9. Глава 3. Числа Фибоначчи в изобретениях человека ........13 Глава 4. Наши исследования………………………………… 16. Глава 5. Заключение, выводы………………………………… 19. Список используемой литературы и сайтов Интернета………..21. • Объект исследования: • человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека, окружающий растительный и животный мир. • Предмет исследования: • форма и строение исследуемых предметов и явлений. • Цель исследования: изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов, найти примеры использования чисел Фибоначчи. • Задачи работы: • Описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи. • Увидеть математические закономерности, в строении человека, растительного мира и неживой природы с точки зрения феномена Золотого сечения. • Новизна исследования: • Открытие чисел Фибоначчи в окружающей нас действительности. • Практическая значимость: • Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении других школьных предметов. • Умения и навыки: • Организация и проведение эксперимента. • Использование специальной литературы. • Приобретение умения делать обзор собранного материала (доклад, презентацию) • Оформление работы рисунками, диаграммами, фотографиями. • Активное участие в обсуждении своей работы. • Методы исследования: • эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение). • теоретический (логическая ступень познания). • практический (расчеты числа фи) Пояснительная записка. «Числа управляют миром! Число – это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние пифагорейцы. Актуальна ли в наши дни эта основа учения Пифагора? Изучая в школе науку чисел, нам хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям, найти эту невидимую связь между математикой и жизнью! Неужели в каждом цветочке, И в молекуле, и в галактике, Числовые закономерности Этой строгой «сухой» математики? Мы обратились к современному источнику информации – к Интернету и прочитали о числах Фибоначчи, о магических числах, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого сердца и в музыкальных ритмах... Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире? Мы захотели узнать о тайнах чисел Фибоначчи. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа. • Гипотеза: Если в окружающей нас действительности всё построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью, то всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой! Введение. История ряда Фибоначчи. Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики, способствовал передаче их на Запад. В одном из своих трудов под названием «Книга вычислений» он представил Европе одно из величайших открытий всех времён и народов – десятичную систему счисления. Однажды, он ломал голову над решением одной математической задачи. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность размножения кроликов. Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. «Ну и что?» - скажете вы, - «Мали ли мы сами можем придумать подобных числовых рядов, нарастающих по заданной прогрессии?» Действительно, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания! Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его. Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой ряд. В числах Фибоначчи существует интересная особенность: частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне именуется как золотое сечение или золотая пропорция. В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф) Итак, φ = 1,618 233 / 144 = 1,618 377 / 233 = 1,618 610 / 377 = 1,618 987 / 610 = 1,618 1597 / 987 = 1,618 2584 / 1597 = 1,618 Сколько бы раз мы не делили одно на другое, соседнее с ним число, мы всегда получим 1, 618. А если сделаем наоборот, то есть разделим меньшее число на большее, то получим 0, 618, это число, обратное к 1, 618, тоже называется золотой пропорцией. Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления. Учёные, анализируя дальнейшее применение этого числового ряда к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке. Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом Вселенной. Рассмотрим примеры, где встречаются числа Фибоначчи в живой и неживой природе. Числа Фибоначчи в живой природе. Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и закон золотого сечения. Если вы зададитесь целью отыскать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений. Например, черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: полного оборота - у орешника, - у дуба, - у тополя и груши, - у ивы. Семена подсолнечника, эхинацеи пурпурной и многих других растений, расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления - числа Фибоначчи. Подсолнечник, 21 и 34 спирали. Эхинацея, 34 и 55 спиралей. Чёткая, симметричная форма цветов также подчинена строгому закону. У многих цветов количество лепесточков – именно числа из ряда Фибоначчи. Например: ирис, 3леп. лютик, 5 леп. златоцвет, 8 леп. дельфиниум, 13 леп. цикорий,21леп. астра, 34 леп. маргаритки,55леп. Ряд Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Мы уже говорили, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число φ = 1,618. Оказывается, что и сам человек – просто кладезь числа фи. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы. M/m=1,618 Первый пример золотого сечения в строении тела человека: Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1,618. Рука человека Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи. Золотая пропорция в строении легких человека Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618. Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. Есть и другое, более прозаическое применение пропорций тела человека. Например, используя эти соотношения, криминальные аналитики и археологи по фрагментам частей человеческого тела восстанавливают облик целого. Золотые пропорции в строении молекулы ДНК. Все сведения о физиологических особенностях живых существ, будь то растение, животное или человек, хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618. Не только прямоходящие, но и все плавающие, ползающие, летающие и прыгающие не избежали участи подчиняться числу фи. Сердечная мышца человека сокращается до 0, 618 своего объёма. Строение ракушки улитки соответствует пропорциям Фибоначчи. И таких примеров можно найти предостаточно – было бы желание исследовать природные объекты и процессы. Мир настолько пронизан числами Фибоначчи, что порой кажется: только ими Вселенная и может быть объяснена. Спираль Фибоначчи. В математике нет иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами, как спираль, потому, что в основе строения спирали лежит правило Золотого сечения! Чтобы понять математическое построение спирали, повторим, что такое Золотое сечение. Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. То есть (a+b) /a = a / b Прямоугольник с именно таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168 : 1. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов. Например, спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и так далее. Нас удивляет и восхищает спиральное строение ракушек. У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину. Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет спиральная форма ракушки? Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением. Спирали есть и в человеке. С помощью спиралей мы слышим: Также, во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и сотворена в форме улитки, имеющей в себе золотые пропорции. Спирали есть на наших ладошках и пальцах: В животном мире мы также можем найти множество примеров спиралей. В форме спирали развиваются рога и бивни животных, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Интересно, что спиралью закручивается ураган, облака циклона и это хорошо видно из космоса: В океанских и морских волнах спираль можно математически отразить на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55. Такую «бытовую» и «прозаическую» спираль тоже все узнают. Ведь вода убегает из ванной по спирали: Да и живём мы с вами в спирали, ведь галактика – это спираль, соответствующая формуле Золотого сечения! Итак, мы выяснили, что если взять Золотой прямоугольник и разбить его на более мелкие прямоугольники в точной последовательности Фибоначчи, а потом каждый из них разделить в таких пропорциях еще и еще, то получится система, которая называется спираль Фибоначчи. Эту спираль мы обнаружили в самых неожиданных предметах и явлениях. Теперь понятно, почему спираль называют ещё «кривой жизни». Спираль стала символом эволюции, ведь и развивается всё именно по спирали. Числа Фибоначчи в изобретениях человека. Подсмотрев у природы закон, выраженный последовательностью чисел Фибоначчи, учёные и люди искусства стараются подражать ему, воплощать этот закон в своих творениях. Пропорция фи позволяет создавать шедевры живописи, грамотно вписывать в пространство архитектурные сооружения. Не только деятели науки, но и архитекторы, дизайнеры и художники поражаются этой безупречной спирали у ракушки наутилуса, занимающей наименьшее пространство и обеспечивающей наименьшую потерю тепла. Американские и тайские архитекторы, вдохновленные примером «наутилуса с камерами» в вопросе размещения максимума в минимуме пространства, заняты разработкой соответствующих проектов. С незапамятных времен пропорция Золотого сечения считается наивысшей пропорцией совершенства, гармонии и даже божественности. Золотое отношение можно обнаружить и в скульптурах, и даже в музыке. Примером являются музыкальные произведения Моцарта. Даже биржевые курсы и алфавит иврита содержат золотое отношение. Но мы хотим остановиться на уникальном примере создания эффективной солнечной установки. Американский школьник из Нью-Йорка Эйдан Дуайер свёл воедино свои знания о деревьях и обнаружил, что эффективность солнечных электростанций можно повысить, если привлечь математику. Будучи на зимней прогулке, Дуайер задумался, зачем деревьям такой «рисунок» веток и листьев. Он знал, что ветки на деревьях располагаются согласно последовательности Фибоначчи, а листья осуществляют фотосинтез. В какой-то момент сообразительный мальчуган решил проверить, не помогает ли такое положение ветвей собирать больше солнечного света. Эйдан построил на своём заднем дворе опытную установку с маленькими солнечными батареями вместо листьев и проверил её в действии. Оказалось, что в сравнении с обычной плоской солнечной панелью его «дерево» собирает на 20% больше энергии и на 2,5 часа дольше эффективно работает. Модель солнечного дерева Дуайера и графики, построенные школьником. "А ещё такая установка занимает меньше места, чем плоская панель, собирает на 50% больше солнца зимой даже там, где она не смотрит на юг, да и снег в том количестве она не накапливает. Кроме того, дизайн в виде дерева гораздо больше подходит для городского пейзажа", — отмечает юный изобретатель. Эйдана признали одним из лучших молодых естествоиспытателей 2011 года. Конкурс «2011 Young Naturalist» проводил музей естествознания Нью-Йорка. Эйдан подал предварительную заявку на патент своего изобретения. Ученые продолжают активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал. Итак, мы видим, что сфера применения последовательности чисел Фибоначчи очень многогранна: Наблюдая за явлениями, происходящими в природе, учёные сделали поразительные выводы о том, что вся последовательность событий, происходящих в жизни, революции, крушения, банкротства, периоды процветания, законы и волны развития на фондовом и валютных рынках, циклы семейной жизни, и так далее, организуются на временной шкале в виде циклов, волн. Эти циклы и волны тоже распределяются в соответствии с числовым рядом Фибоначчи! Опираясь на эти знания, человек научится в будущем прогнозировать различные события и управлять ими. 4. Наши исследования. Мы продолжили наши наблюдения, и изучили строение • Сосновой шишки • тысячелистника • комара • человека И убедились, что в этих, таких разных на первый взгляд объектах, незримо присутствуют те самые числа последовательности Фибоначчи. Итак, шаг 1. Возьмём сосновую шишку: Рассмотрим её поближе: Замечаем две серии спиралей Фибоначчи: одна - по часовой стрелки, другая - против, их число 8 и 13. Шаг 2. Возьмём тысячелистник: Внимательно рассмотрим строение стеблей и цветов: Заметим, что каждая новая ветвь тысячелистника растет из пазухи, и от новой ветви растут новые ветви. Складывая старые и новые ветви, мы нашли число Фибоначчи в каждой горизонтальной плоскости. Шаг 3. А проявляются ли числа Фибоначчи в морфологии различных организмов? Рассмотрим всем известного комара: Видим: 3 пары ног, голове 5 усиков – антенн, брюшко делится на 8 сегментов. Шаг 4. Найдём пропорции различных частей нашего тела, и убедимся, что они действительно составляют число, очень близкое к золотому сечению. Занесём данные измерений и вычислений в таблицу. № t/s Наши измерения (в см.) 1. расстояние от кончиков пальцев до локтя / от запястья до локтя 27,6 / 17 ≈ 1,623 ≈ 1,618 2. расстояние от уровня плеча до макушки головы /от плеча до бровей 33,5 / 20,6 ≈ 1,626 ≈ 1,618 3. длина головы / ширина головы 26,2 / 16,2 ≈ 1,6172 ≈ 1,618 4. От макушки головы до пупка/от макушки головы до плеча 80 / 48 ≈ 1,66 ≈ 1, 618 5. От макушки головы до плеча/ длина головы 40 / 25 ≈ 1,60 ≈ 1, 618 6. От бровей до середины губ/ от бровей до основания носа 10 / 6 ≈ 1, 66 ≈ 1, 618 Видим, что пропорция "фи", которая равна отношению соседних чисел из ряда Фибоначчи , проявляется и в человеческом теле. Вывод: В наших исследованиях мы увидели, что в окружающих нас растениях, живых организмах и даже в строении человека проявляют себя числа из последовательности Фибоначчи, что отражает гармоничность их строения. Сосновая шишка, тысячелистник, комар, человек устроены с математической точностью. Мы искали ответ на вопрос: как проявляет себя ряд Фибоначчи в окружающей нас действительности? Но, отвечая на него, получали новые и новые вопросы. Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Спираль скручивается или раскручивается? Как удивительно человек познаёт этот мир!!! Найдя ответ на один вопрос, получает следующий. Разгадает его, получает два новых. Разберётся с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведётся пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55... Узнаёте? Заключение. Самим творцом во все объекты Заложен уникальный код, И тот, кто дружен с математикой, Его познает и поймёт! Мы изучили и проанализировали проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Также мы узнали, что закономерности этого числового ряда, в том числе и закономерности «Золотой» симметрии, проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Мы обнаружили удивительную математическую связь между числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и числами в последовательности Фибоначчи. Мы увидели, как морфология различных организмов тоже подчиняется этому таинственному закону. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа, дыхательная система, строение уха, - всё подчиняется определённым числовым соотношениям. Мы узнали, что сосновые шишки, раковины улиток, волны океана, рога животных, облака циклона и галактики – все они образуют логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму, когда сжимается. Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остаётся тем же самым: коэффициент 1,618! Возможно, это первостепенный закон, управляющий природными явлениями. Таким образом, наша гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию, подтверждается. Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой! Мы убедились, что у Природы есть свои законы, выраженные с помощью математики. И математика – это очень важный инструмент для познания тайн природы. Список литературы и сайтов Интернета: 1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – М., Наука, 1984. 2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. – М., 1936. 3. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация. // Наука и жизнь, № 5, 2001. 4. Кашницкий С. Е. Гармония, сотканная из парадоксов // Культура и жизнь. – 1982.– № 10. 5. Малай Г. Гармония – тождество парадоксов // МН. – 1982.– № 19. 6. Соколов А. Тайны золотого сечения // Техника молодежи. – 1978.– № 5. 7. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. – М., 1984. 8. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. – М., 1974. 9. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа. – 1968.– № 11. 10. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990. 11.Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972.