Программа курсов по математике «Функции и их свойства в решении нестандартных математических задач» для обучащихся 11 класса

ГБОУ РМЭ «Школа­интернат  г.Козьмодемьянска «Дарование» Утверждаю: Директор школы­интерната ____________Н.А. Толстова   «     »   ____________2016 г Согласовано: с зам. директора по учебной работе __________ О.В. Толстова «     »   ____________2016 г Рассмотрено: заседании методического  объединения учителей  естественно­ научного цикла __________________________ «        » _____________2016г. Программа  курсов по математике  «Функции и их свойства в  решении  нестандартных математических задач»   для обучащихся 11класса   Составила: Введенская С.П.,  учитель математики ,  первая  квалификационная  категория г. Козьмодемьяск 2016 Пояснительная записка Математика практически единственный учебный предмет, в котором задачи используются   и   как   цель,   и   как   средство   обучения,   а   иногда   и   как   предмет изучения.   Ограниченность   учителя   временными   рамками   урока   и   временем изучения   темы,   нацеленность   учителя   и   учащихся   на   достижение   ближайших целей,   к   сожалению,   мало     способствует   решению   на   уроке   задач   творческого характера,   нестандартных   задач,   задач   повышенного   уровня   сложности,   при решении которых необходимы знания разделов математики, выходящих за пределы школьного курса.  Большое   количество   математических   методов   основано   на   применении свойств функций. С функциями, или функциональными зависимостями, человек встречается постоянно в своей профессиональной, учебной и другой деятельности. Задачи экономики, оптимального управления и многие другие  требуют описания и исследования функциональных зависимостей между переменными и параметрами реальных   процессов.  В  последние  годы  математическое   моделирование  широко используется   во   многих   областях,   а   это   требует   основательной   подготовки будущих специалистов, а ныне – школьников в области математического анализа. Поэтому в программу  включено большое количество задач, требующих понимания основных   свойств   функций   и   умения   использовать   эти   свойства   при   решении уравнений, неравенств или задач, содержащих  неизвестный параметр.  Представленная   программа   курсов   предполагает   решение   дополнительных задач, многие из которых понадобятся как при подготовке к экзаменам и при учебе в высших учебных заведениях. А так же призван решить проблему повторения и обобщения   отдельных   тем   математики.   Кроме   этого   он   поможет   учащимся систематизировать свои математические знания, поможет с разных точек зрения взглянуть на уже известные темы, значительно расширить круг математических вопросов   и   позволяет   учащимся   осознать   практическую   ценность   математики, проверить свои способности к математике. Цель   курса:  создание   условий   для   развития   логического   мышления, математической   культуры   и   интуиции   учащихся   посредством   решения   задач повышенной сложности нетрадиционными методами; Основные задачи: систематизация   изученного   на   протяжении   ряда   лет   учебного   материала, посвященного основным элементарным  функциям, изучение   методов   решения   нестандартных   задач,   использующих   свойства функций.  актуализировать   полученные   учащимися   знания, практического применения формул и законов математики, формировать и развивать у старшеклассников аналитического и логического мышление при проектировании решения задачи; расширение и углубление курса математики;   отработать   навыки формировать навык работы с научной литературой, использования различных Интернет­ресурсов сформировать   у   учащихся   устойчивый   интерес   к   предмету   для   дальнейшей самостоятельной деятельности. развитие   коммуникативных   и   общеучебных   навыков   работы   в   группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д. Общими принципами отбора содержания программы являются: 1. Системность 2. Целостность 3.  Научность. 4. Доступность,   согласно   психологическим   и   возрастным   особенностям учащихся профильных классов. Программа содержит материал необходимый для достижения запланированных целей.   Данный   курс   является   источником,   который   расширяет   и   углубляет базовый   компонент,   обеспечивает   интеграцию   необходимой   информации   для формирования   математического   мышления,   логики   и   изучения   смежных дисциплин. Программа курса предназначена для учащихся 11 классов,  рассчитана на 50 часов. Формы организации учебных занятий В   процессе изучения   материала   используются   как   традиционные   формы обучения,   так   и   самообразование,   саморазвитие   учащихся   посредством самостоятельной работы с информационным и методическим материалом. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от   целесообразности.  Основные   формы  проведения   занятий:   беседа,  дискуссия, консультация,   практическое   занятие,   защита   проекта.  Основной   тип   занятий  комбинированный   урок.   Каждая   тема   курса   начинается   с   постановки   задачи. Теоретический   материал   излагается   в   форме   мини   ­     лекции.   После   изучения теоретического   материала   выполняются   задания   для   активного   обучения, практические   задания   для     закрепления,   выполняются   практические   работы   в рабочей   тетради,   проводится   работа   с   тестами.  Особое   значение   отводится самостоятельной   работе   учащихся,   при   которой   учитель   на   разных   этапах изучения темы выступает в разных ролях, чётко контролируя и направляя работу учащихся. Преподавание   курса   строится  как   углубленное   изучение   вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения   методам   и   приемам   решения   математических   задач,   требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно­ теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности ­ повышенный.         В процессе работы возможно   перераспределение   часов   в   зависимости   от   уровня   подготовки старшеклассников. Занятия строятся с учётом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа   восприятия   и   уровня   усвоения   материала.   Систематическое   повторение способствует   более   целостному   осмыслению   изученного   материала,   поскольку целенаправленное   обращение   к   изученным   ранее   темам   позволяет   учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний. Средства   обучения:   дидактические   материалы,   творческие   задания   для самостоятельной работы, мультимедийные средства, справочная литература. Курс представлен в виде практикума, который позволит систематизировать и расширить знания учащихся в решении задач по математике. Технологии   обучения:   информационные,   проектные,   исследовательские. Занятия   носят   проблемный   характер.   Предполагаются   ответы   на   вопросы   в процессе дискуссии, поиск информации по смежным областям знаний. Формы   организации   познавательной   деятельности   учащихся: индивидуальные, групповые, коллективные. Формы учебных занятий:   лекции, практикумы, уроки решения ключевых задач. Контроль результативности изучения учащимися программы Эффективность   обучения   отслеживается   следующими   формами   контроля: самостоятельная работа, практикумы, тестирование. Формы,   методы   контроля   образовательных   достижений   учащихся: тестирование, зачётный практикум. Показателем   эффективности   следует   считать   повышающийся   интерес   к математике, творческую активность учащихся Требования к уровню усвоения содержания курса В результате освоения программы курса учащиеся должны знать: Основные элементарные функции и их характеристики (область определения, множество значений, вид графика), основные свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность, Должны уметь применять эти знания:  При решении уравнений и неравенств,   Нестандартных задач,  Для построения и исследования графиков функций.  Предполагаемые результаты. Изучение данного курса даёт учащимся возможность: 1. Повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;  Освоить основные приёмы решения задач; 2. 3. Овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения  поставленной задачи; 4. Познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения  задач; 5. Повысить уровень своей математической культуры, творческого развития,  познавательной активности; 6. Познакомиться с возможностями использования электронных средств  обучения, в том числе Интернет – ресурсов, в ходе подготовки итоговой  аттестации в форме ЕГЭ. Литература: 1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для Литература для учителя. 10­11 кл. средней школы. М.: Просвещение, 2005. 2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами. Справ.пособие по  математике. ­ Мн.: Асар, 1996.  3. М.И Башмаков.  «Алгебра и начала анализа». Москва. «Просвещение». 1992  г.  4. Р.К. Гордин «ЕГЭ­2016. Математика,  задача С4.» М.МЦНМО 2016год  5. Математика ЕГЭ,  вступительные экзамены, изд. Легион,  2014г.  6. Мордкович   А.Г.  и  др.  Алгебра   и  начала   анализа.  Учебник   для  10­11  кл. средней   школы.   Учебник   в   двух   частях.   Профильный   уровень.   М.: Мнемозина, 2012.  7. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учебное пособие для 10 кл., 11 кл. Средняя школа. М.: Просвещение, 2001. 8. Шарыгин И.Ф. Геометрия 10­11 кл. Средняя школа. М.: Просвещение, 2007. 9. И.Ф Шарыгин.  «Факультативный курс по математике. Решение задач. 10  кл.». Москва. «Просвещение» 1990 год.  10.И.Ф.  Шарыгин «Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 кл» Москва. «Просвещение». 1991 год.  11.В.В. Вавилов,  И.И. Мельников «Задачи по математике. Уравнения и  неравенства». Справочное пособие. Издательство «Наука» 1988 год.  12.Саакян С.М. Задачи по алгебре и началам анализа. Пособие для учащихся 10­11 кл. средней школы. М.: Просвещение, 2001. 13.Рязановский   А.Р.   Алгебра   и   начала   анализа:   способы   и   методы   решения задач. М.: Дрофа, 2001. 14.М.И. Сканави «Полный сборник решений задач для поступающих в ВУЗы».  Москва. «Альянс – В». 1999 год.  15.М.И.  Сканави «Сборник задач по математике»,  «Высшая школа» 1973 год.  16.С.И.  Колесникова «Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ»,   Айрис Пресс. 2007 год. 17. Е.А. Семенко.,  «Обобщение  и повторение по курсу алгебры основной  школы». Краснодар.,  2003г 18.С.А. Шестаков,  П.И. Захаров «ЕГЭ­2016. Математика,  задача С1.»  М.МЦНМО 2016год 19.И.Н. Сергеев,  В.Ц.  Панферов «ЕГЭ­2015. Математика,  задача С3.»  М.МЦНМО 2015год 20.В.А. Смирнов.  «ЕГЭ­2016. Математика,  задача С2.» М.МЦНМО 2010год 21.А.И.  Козко, В.С.Панферов,  И.Н.Сергеев .  «ЕГЭ­2016. Математика,  задача С6.Задачи с параметрами» М.МЦНМО 2010год  22.  Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. ­ М.: Илекса, Гимназия, 1998. 23.Гусев   В.А.   Литвиенко   В.Н.   Мордкович   А.Г.  Практикум   по   элементарной математике. М.: Просвешение,2001. 24.Саакян СМ. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10­ 11 кл. ср. шк. М.: Просвещение, 2001. 25.Рязановский   А.Р.   Алгебра   и   начала   анализа:   способы   и   методы   решения задач. М. Дрофа, 2001. 26.Тиняков И.Г. Задачи с параметрами. М.: 2001. 27.Натяганов В.Л., Лужина Л.М. Методы решения задач с параметрами: Учеб.  пособие.­М.: Изд­во МГУ, 2003.  28.ЕГЭ  2014.  Математика.  ЕГЭ. 3000  задач   с  ответами   по   математике.  Все задания группы В. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В.  29.ЕГЭ   2015.   Математика.   Задачи   с   параметрами   при   подготовке   к   ЕГЭ. Высоцкий В.С.  30.ЕГЭ 2014. Математика. 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С. Сергеев И.Н., Панферов В.С.  31.ЕГЭ   2016.   Репетитор.   Математика.   Эффективная   методика.   Лаппо   Л.Д., Попов М.А. М.: Экзамен,  32.ЕГЭ  2014.  Самое   полное   издание   типовых   вариантов   заданий   ЕГЭ:  2016. Математика.   Высоцкий   И.Р,   Гущин   Д.Д,   Захаров   П.И.   и   др.  М.:   АСТ, Астрель,  33.ЕГЭ 2014. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5. Иванов С.О. и др. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Ростов н/Д: Легион­М, 34.ЕГЭ 2014. Математика. Решение заданий типа С1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней. a. http://down.ctege.info/ege/2014/book/matem/matem2014reshenieC1korya nov.zip 35.ЕГЭ   2014,2015.   Математика.   Подготовка   к   ЕГЭПод   ред.   Лысенко   Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Ростов н/Д: Легион­М, 36.ЕГЭ   2014.   Математика.   Решение   типа   С4.   Планиметрические   задачи   с неоднозначностью в условии. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. a. http://down.ctege.info/ege/2014/book/matem/matem2014­C4prokofev­ koryanov.z 37.Шарыгин   И.Ф.,   Голубев   В.И.   «Факультативный   курс   по   математике»: Решение   задач;   Учебное   пособие   для   10   кл.,   Нкл.   Средняя   школа.   М.: Просвешение,2001. 38.Шарыгин И.Ф., Геометрия 10­11кл. Средняя школа. М.: Просвешение,2001. 39.Шарыгин   И.Ф.,   Голубев   В.И.   «Факультативный   курс   по   математике»: Решение   задач;   Учебное   пособие   для   10   кл.,   Нкл.   Средняя   школа.   М.: Просвешение,2001. a. Интернет­источники: b. Открытый банк задач ЕГЭ: http://mathege.ru c. Он­лайн тесты: d. http://uztest.ru/exam?idexam=25 40.          http://egeru.ru a. http://reshuege.ru/ КАЛЕНДАРНО­ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ №  урока . Тема урока Кол­во часов   Форма проведения занятий Формы контроля (измерители) Дата  Тема 1 «Способы задания функции. Область определения  и область значения функций» 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 10 11 12 13 Понятие функции Решение заданий повышенной сложности по теме:  «Способы задания функции» Область определения и  множество значений  функции. Сложная функция. Область определения и  множество значений  функции. Сложная функция Решение заданий повышен­ ной сложности на  нахождение области  определения и множества  значений функции.  Решение нестандартных  заданий  на нахождение  области определения и  множества значений  функции 1 1 1 1 1 1 Лекция Практикум Работа в группах Фронтальный опрос Самостоятельн ая работа ИДЗ  Тест  Работа на ПК с ЦОР Тема 2: Основные свойства функций Решение нестандартных  заданий  по теме: «Четные и  нечетные функции». Решение нестандартных  заданий  по теме: «Четные и  нечетные функции» Решение заданий повышен­ ной сложности по теме:  «Периодические функции». Решение заданий повышен­ ной сложности по теме:  «Периодические функции». Наибольшее и наименьшее  значение функции. Решение заданий повышен­ ной сложности по теме:  «Наибольшее и наименьшее  значение функции». Свойство монотонности  функций 1 1 1 1 1 1 1 Фронтальный опрос  Самостоятель ная работа Самоконтроль  Тест  Работа на ПК с ЦОР Лекция Практикум   Урок­семинар Работа в группах      Самостоятел ьная работа №  урока . Тема урока Кол­во часов Форма проведения занятий Формы контроля (измерители) Дата   1 1 1 14 Решение заданий повышен­ ной сложности по теме:  «Свойство монотонности  функции». 15 Наибольшее и наименьшее  значение функции на отрезке Решение заданий повышен­ ной сложности по теме:  «Наибольшее и наименьшее  значение функции». 16 Тема 3 «Использование области определения  и множества значений функции при решении уравнений 17 18 19 20 Использование области  определения функций при  решении уравнений Использование области  определения функций при  решении уравнений Использование множества  значений функций при  решении уравнений Использование множества  значений функций при  решении уравнений 21 Метод оценок при решении  уравнений Решение заданий повышен­ ной сложности по теме:  «Метод оценок при решении уравнений». 22 1 1 1 1 1 1 Фронтальный опрос  Самостоятель ная работа Самоконтроль  Тест  Работа на ПК с ЦОР Лекция Практикум   Урок­семинар Работа в группах Фронтальный опрос    Самостоятел ьная работа Тема 4 «Применение различных свойств функций  к решению уравнений и неравенств» 23 24 25 26 Применение различных  свойств функции к решению  уравнений Применение различных  свойств функции к решению  уравнений Применение стандартных  неравенств при решении  уравнений Решение заданий  повышенной сложности по  теме: «Применение  стандартных неравенств при  решении уравнений». 1 1 1 1 Работа в группах Форма проведения занятий Формы контроля (измерители) Дата Фронтальный опрос    Самостоятел ьная работа Лекция Практикум   Урок­ семинар Фронтальный опрос  Самостоятель ная работа Самоконтроль  Тест  Работа на ПК с ЦОР Тестовые  задания Тема урока Кол­во часов   1 1 1 1 1 1  1  1 Применение свойств  функций к решению  неравенств Решение заданий  повышенной сложности по  теме: «Применение свойств  функций к решению  неравенств». Решение заданий  повышенной сложности на  нахождение наибольшего и  наименьшего значения  функции. Решение заданий  повышенной сложности на  нахождение наибольшего и  наименьшего значения  функции. Решение заданий  повышенной сложности на  нахождение наибольшего и  наименьшего значения  функции. Задачи на нахождение  значения функции в точке  максимума (минимума) Решение заданий  повышенной сложности по  теме «Функции и их  свойства» Решение заданий  повышенной сложности по  теме «Функции и их  свойства» Тема 5 Функционально – графический подход к решению задач  с параметром и модулем №  урока . 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Простейшие задачи с  параметрами. Задачи с  параметром, сводящиеся к  использованию квадратного  трехчлена. 36 Использование графических  иллюстраций в задачах с  параметрами. 1 1 Лекция №  урока . 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Форма проведения занятий Формы контроля (измерители) Дата Практикум   Урок­семинар Работа в группах Фронтальный опрос Самостоятел ьная работа Лекция Практикум   Урок­семинар Работа в группах Фронтальный опрос  Работа по индивидуальны м карточкам Самоконтроль  Тест  Работа на ПК с ЦОР Работа по индивидуальны м карточкам Работа на ПК с ЦОР Тема урока Кол­во часов   1 1 1 1 1 1 1 1 Приемы составления задач с  параметрами, используя  графики различных  соответствий и уравнений. Использование  ограниченности функций,  входящих в левую и правую  части уравнений и  неравенств. Сочетание графического и  алгебраического методов  решения уравнений. Использование производной  при решении задач с  параметрами. Задачи на  максимум и минимум. Решение уравнений и  неравенств с параметром,  содержащих модуль. Решение уравнений и  неравенств с параметром,  содержащих модуль.   Комбинированные   задачи   с модулем   и   параметрами. Обобщенный метод областей. Комбинированные   задачи   с модулем   и   параметрами. Обобщенный метод областей.   Т е м а   6 .   Нестандартные задания Решение заданий  повышенной сложности и  нестандартные задачи по  теме: « Задачи  экономического  содержания». Решение заданий  повышенной сложности и  нестандартные задачи по  теме: « Задачи  экономического  содержания». Практикум   Урок­семинар Работа в группах Фронтальный опрос  Работа по индивидуальны м карточкам №  урока . Тема урока Кол­во часов   Форма проведения занятий Формы контроля (измерители) Дата 47 48 49 50 Решение заданий  повышенной сложности по  теме: «Комбинированные  уравнения и неравенства». Решение заданий  повышенной сложности и  нестандартные задания  группы "С" из экзамена. Решение заданий  повышенной сложности  группы "С" из экзамена Решение заданий  повышенной сложности  группы "С" из экзамена.  Итоговое занятие Самостоятел ьная работа Самоконтроль  Тест  Работа на ПК с ЦОР ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА Тема  1.  Способы     задания   функции.   Область   ее   определения   и   область значения  функции   Определение   функции,   графика   функции.   Способы   задания   функций: графический,   аналитический,   табличный,   параметрический,   словесный.   Область определения функции. Область значения функции. Историческая справка. Основная цель  – систематизировать  и обобщить знания обучающихся по теме «Функция», полученные ими в 7­10 классах; рассмотреть способы задания функций; дать историческую справку о введении термина «функция» и «график функции»; рассмотреть примеры на нахождение области определения и множества значений функции. Тема 2. Основные свойства функций   Наибольшее и наименьшее значение функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Свойство монотонности функций. Основная   цель  –   повторить     основные   свойства   функции;   научить обучающихся применять известные им свойства при исследовании более сложных функций и при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.   Тема 3. Использование области определения и множества значений функций при решении уравнений  Использование области определения функций при решении иррациональных, логарифмических, дробно рациональных уравнений. Графический способ решения уравнений. Использование   множества   значений   функций   при   решении   уравнений. «Метод мажорант» (метод крайних). Равносильность уравнений. Решение задач с параметрами с учетом области значений функции. Основная цель – научить применять равносильность уравнений при решении уравнений; свойства функций при решении уравнений, содержащих параметры. Т е м а  4 . Применение различных свойств функции к решению уравнений  Метод оценок при решении уравнений. Графический метод. Метод крайних значений Применение стандартных неравенств при решении уравнений. Основная цель  – выработать умение решать уравнения различного уровня сложности наиболее рациональным способом.  Использование области определения функций при решении иррациональных, логарифмических, дробно рациональных неравенств. Метод оценки при решении неравенств. Нахождение  целого количества решений неравенства. Основная   цель  –   повторить   известные   способы   решения   неравенств. Показать     на   примерах   решение   сложных   неравенств   различными   способами, связанных   с   необходимостью   использования  области   определения   и   множества значений  функции Тема   5   Функционально   –   графический   подход   к   решению   задач   с параметром и модулем Понятие параметра. Две  основных формы постановки задачи с параметром. Графическая интерпретация задачи с параметром. Методы решения простейших задач   с   параметрами.   Условия   существования   корней   квадратного   трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка.   Графическая   интерпретация.   Решение   задач   с   помощью   построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации   с   рисунка.   Область   определения.   Множество   значений.   Четность. Монотонность.   Периодичность.   Симметрия   графика   относительно   начала координат   или   оси   ординат   в   зависимости   от   четности   функции.   Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство для суммы   синуса   и   косинуса   одного   аргумента,   неравенство   между   средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел. Основные   приемы   решения   систем   уравнений   и   неравенств:   подстановка, алгебраическое   сложение,   введение   новых   переменных.   Системы   неравенств   с одной и двумя переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения   уравнений   и   неравенств.     Уравнения,   неравенства   и   системы   с параметрами, их решение и исследование. Применение   производной   при   решении   задач   с   параметрами.   Задачи   на максимум и минимум. Т е м а   6 .   Нестандартные задания  Решение   уравнений   и   неравенств   части   С.  Использование   экстремальных свойств   рассматриваемых   функций.   Нестандартные   по   формулировке   задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с параметром. От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием.  Практикум по решению задач,   относящихся   к   группе   «С»,   входящих   в   контрольно   измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Разбор методов и способов решения заданий Основная цель – расширить и  систематизировать  знания учащихся по теме «Функция», создать условия для более осмысленного понимания теоретических сведений и применению их на практике. Текст пособия 1. Основные понятия Определение.  Функцией  f,   действующей   из   множества  X  действительных чисел, называется закон, по которому каждому элементу x,  Xx   ставится в соответствие единственный элемент   xf y  . Множество  X  называется   областью   определения   функции    xf , множество  Y,   состоящее   из   всех   значений   функции,   называется   множеством значений функции. Тот факт, что задана функция  f  с областью определения  X  и множеством значений Y, часто записывают в следующей форме: y  Xf : Y  или  X f Y . Замечание.  Если   функция   задана   формулой,   то   говорят,   что   она   задана аналитическим способом. Кроме аналитического способа, функцию можно задать графически, таблично, описательно и т.д. Определение.  Графиком   функции    Y плоскости   . xfx,  Xx  ,  , где   xf y   xf   называется   множество   точек   y 2 1 0    x -2 -1 1 2 Рис. 1.а Рис. 1.б y 2 1 0 x 1 2 -1 -2 Область   определения   функции   может   быть   указана   при   задании   функции.   В противном   случае   функция   считается   заданной   на   ее   естественной   области, которая     называется   областью   существования   функции   и   определяется   как множество всех значений x, для каждого из которых выражение    имеет смысл. xf  Например,   рассмотрим   функцию,   заданную   аналитически   1 .   Если   задать ,   то   множеством   ее   значений   будет   отрезок x y область   определения   2,1X  Y  1,   1 2    и   графиком   является   часть   гиперболы   (рис.   1.а)   Если   же   область определения   не   задана,   то   функция   рассматривается   на   всей   области  существования   .   В   этом   случае   множество   значений X   и графиком является гипербола (рис. 1.б) Y 0, 0, ,0 ,0       2. Основные свойства функций 1) Четность, нечетность  Определение.  Функция     называется   четной,   если   ее   область определения  X  является   симметричным   относительно   начала   координат промежутком и для любого  Xx   выполняется равенство    xf y  x .   f xf  Определение.  Функция     называется   нечетной,   если   ее   область определения  X  является   симметричным   относительно   начала   координат промежутком и для любого  Xx   выполняется равенство    xf y  x .   f xf  Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида. 2) Монотонность Определение.  Функция   промежутке  U,   если   для   любых    xf 1  xf y  2   .  xf   называется   монотонно   возрастающей   на   выполняется   неравенство Uxx 1, 2   Определение.  Функция   промежутке  U,   если   для   любых    xf 1  xf y  2  .  xf    называется   монотонно   убывающей   на   выполняется   неравенство Uxx 1, 2   3) Экстремумы xf  Определение. Точка  1x  называется точкой максимума функции  существует   некоторый   промежуток  U  такой,   что   для   любого   выполняется неравенство   xf  xf y  .  1 , если   Ux  Замечание.  Значение   функции   в   точке   максимума   является   наибольшим значением функции на промежутке   U,  но не обязательно является наибольшим значением   функции   на   всей   области   определения.   Слева   от   точки   максимума функция возрастает, справа – убывает. xf  Определение.  Точка   существует   некоторый   промежуток  U  такой,   что   для   любого   выполняется неравенство  2x   называется точкой минимума функции    xf  xf y  .  2 , если   Ux  Замечание. Значение функции в точке минимума является наименьшим значением функции на промежутке  U,  но не обязательно является наименьшим значением функции   на   всей   области   определения.   Слева   от   точки   минимума   функция возрастает, справа – убывает. Точками экстремума называются точки минимума и максимума функции. 4) Ограниченность, неограниченность Определение.  Функция   существует такое число  M, что для любого     Mxf  . В противном случае говорят, что функция неограниченна сверху.   называется   ограниченной   сверху,   если Xx    выполняется неравенство y  xf  Определение.  Функция   существует такое число  m, что для любого     mxf  . В противном случае говорят, что функция неограниченна снизу.   называется   ограниченной   снизу,   если Xx    выполняется неравенство y   xf y   xf   называется ограниченной, если она ограничена Определение.  Функция   сверху и снизу.  5) Периодичность  xf y  Определение.  Функция     называется   периодической,   если   ее   область определения есть неограниченный промежуток и  существует такое число T, называемое периодом функции, что для любого  Xx   выполняется равенство  .   В   противном   случае   говорят,   что   функция   является Txf непериодической.   xf  Напомним   свойства   основных   элементарных   функций,   на   которые   будем ссылаться в дальнейшем при решении задач. Свойства основных элементарных функций Функция Область cущество­ вания Множество значений y  x y 1 x  R  0,  R  0\R   ,0 ь т с о н т е Ч Неч. Неч. y 2 nx y 2  nx 1 R R y 2 n x  ,0  ,0 y 2  n 1 x y  xa R R R  ,0 y log x a  ,0 R  ,0 Чет. R Неч. Общ вида Неч. Общ вида Общ вида ь т с о н ч и д о и р е п ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ Монотонность, экстремумы Возрастает на R экстремумов нет   0,  ,0 Убывает на  экстремумов нет 0, Убывает на    , , возрастает на  ,0 точка минимума , x=0 – Возрастает на R,экстремумов нет Возрастает на  ,0 ,экстремумов нет Возрастает на R,экстремумов нет При а>1 возрастает на R,при 01 возрастает на  ,0 на  ,при 00 и направлены вниз, если a<0. 5.   Парабола   имеет   две   точки   пересечения   с   осью  Ox,   если  D>0;   одну   точку пересечения с осью Ox, если  D=0  и не имеет точек пересечения с осью Ox, если D<0. Возможные случаи расположения параболы изображены на рисунке 2.  y 0 y 0 y 0 a>0, D>0 x 0  b a 2 x1 Рис. 2.1 x2 x a>0, D=0  x 2 x 1 b a 2 Рис. 2.3 a>0, D<0 x x x 0  b a 2 Рис. 2.5 y 0 y 0 y 0 a<0, D>0 x1 x2 x x 0  b 2 a Рис. 2.2  x 2 x 1 b 2 a a<0, D=0 Рис. 2.4  x 0 b 2 a a<0, D=0 Рис. 2.6 x x 6.Парабола имеет единственную точку (0, с) пересечения с осью Oy. 7.Парабола симметрична относительно прямой  x  b 2 a . 8.Если  a>0,   то   функция   y  2 ax bx  c   имеет   единственную   точку   минимума ,   наименьшее   значение   функции   достигается   в   этой   точке   и   равно . Из этого следует, что множество значений функции   y  2 ax bx  c , заданной на всей числовой прямой, есть луч  Y  ,0y  . 0 x 4 y 0  b a ac 4 2 b  a 0 x ,   наибольшее   значение   функции   достигается   в   этой   точке   и   равно y  2 ax bx  c  имеет единственную точку максимума Если a<0, то функция  b a ac 4  a b 2 4 y 0  . Из этого следует, что множество значений функции   y  2 ax bx  c , заданной на всей числовой прямой, есть луч  Y   , y 0 . 4. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от  параметра Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется определить расположение   корней   квадратного   трехчлена   на   числовой   оси.   Опираясь   на основные   положения   и   обозначения   предыдущего   параграфа,   рассмотрим следующие случаи: 1. Пусть задан квадратный трехчлен  Ox. Тогда оба коня   тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:  c   квадратного трехчлена   , где   xf 1, xx 2 bx  2 ax  xf  0a  и точка   m на оси   будут строго меньше  m         ,0 a  D ,0  mx , 0    0 mf                      или                                ,0 a  D ,0  mx , 0    mf 0 Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 3.1 и 3.2. y f(m) a>0, D>0 x0 m f(m) y 0 a<0, D>0 x1 x2 x x0 m 0 x1 Рис. 3.1 x2 x Рис. 3.2 2.Пусть задан квадратный трехчлен   Ox. Неравенство  имеют разные знаки, то есть  xmx 1  mfa    2 0  выполняется тога и только тогда, когда числа a и   xf   2 ax bx  c , где  0a  и точка   m на оси  mf y 0 f(m) a>0  (рис. 4.1 и 4.2.) y f(m) a<0 x1 m x2 x1 x2 x0 Рис. 4.1 x 0 x0 m x Рис. 4.2 3. Пусть задан квадратный трехчлен  Ox. Тогда оба коня   тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:  c   квадратного трехчлена   , где   xf 1, xx 2  2 bx ax  xf   и точка   m на оси 0a   будут строго больше  m         ,0 a  D ,0  mx , 0    0 mf                      или                                ,0 a  D ,0  mx , 0    mf 0 Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 5.1 и 5.2. a>0 y a<0 y 0 m x0 x m0 f(m) x1 x2 Рис. 5.1 f(m) x x0 x1 x2 Рис. 5.2 4. Пусть задан квадратный трехчлен  Тогда   оба   корня   интервалу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:    квадратного   трехчлена    и  интервал (m,M)   принадлежат   указанному , где  c  xf 1, xx 2  2 0a bx ax  xf   ,0  ,0  Mxm  ,0   0 a D  0   mf  Mf         ,                или                        ,0  ,0  Mxm  ,0   0 a D  0   mf  Mf         ,     Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 6.1 и 6.2. y f(m) f(M) a>0 y a<0 x1 x0 x2 0 m x0 M m0 M x Рис. 6.1 f(M) f(m) x1 x2 x Рис. 6.2 5. Пусть задан квадратный трехчлен  и   отрезок   Mm, тогда, когда выполняются следующие условия: .  Отрезок   Mm, ax  2  , где  xf   лежит   в   интервале   bx  c   ­ его корни ,  0a 1, xx 2 2   тогда   и   только 1, xx   mfa  Mfa    ,0  0     Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 7.1 и 7.2. y x1 0 f(m) f(M) a>0 m x0 M x x2 y f(M) f(m) 0 a<0 x1 x2 m x0 M x Рис. 7.1 Рис. 7.2 Пример. Найти все значения параметра a, при каждом из которых оба корня уравнения   больше ­2.  01  1 ax  a x   2 Решение.  В  условии задачи указано.  Что уравнение  имеет  два  корня, поэтому . Рассматриваемая ситуация описывается случаем 3 и изображена на рисунке 0a 5.1. и 5.2. Найдем   aD  2  1  0 4 a a 2   1 ,  x 0   a 1 a 2 ,  a 4 f     2 систем:  2 a   211  a 1 .   Учитывая   все   это,   запишем   совокупность   двух  ,0 a   2  1 a ,0  a 1  ,2 a 2  01 2 a                              или                    a ,0   2  1 a ,0  a 1  ,2 a 2  a 01 2        Решая эти две системы, получим  a   5,0,     ,0 . Ответ.  При каждом значении параметра  a  из промежутка    оба корня уравнения    больше ­2.  01 ax  1  a x   2   5,0,     ,0 a Пример.  При   каких   значениях   параметра  a  неравенство   выполняется для любых  1x ? 2 ax   a   3 x  4 0 Решение.  Если множество  X  – решение данного неравенства, то условие задачи означает, что промежуток      должен находиться внутри множества  X, то есть   ,1 Рассмотрим все возможные значения параметра а.   X ,1  . 1.Если  а=0,   то   неравенство   примет   вид    a   x 3  4 0 ,   и   его   решением   будет промежуток     является решением задачи.      4 3 X , . В этом случае условие  X ,1   выполняется и а=0 0a 2.Если   ,   то   графиком   правой   части   неравенства   является   квадратный трехчлен, ветви которого направлены вверх. Решение неравенства зависит от знака  aD   a  3 2  1 9 16 a a    . Рассмотри   случай,   когда      a .  Тогда   для   того,  чтобы   для   всех   выполнялось неравенство     4 трехчлена были меньше числа ­1, то есть: 1x , требуется, чтобы корни квадратного 0D  x  3 ax  0 2        a D x 0   f  ,0  ,0  ,1   1 0                     или                                Решив эту систему, получим  1,0a  . ,0  ,0 a    9 a 1  3 a  ,1 2 a   a 04 3  a  a    0D Если  число из множества действительных числе, в том числе, и промежуток    Найдем такие а из условия: , то парабола лежит выше оси Оx, и решением неравенства будет любое  . ,1 a D   ,0 0                               или                            a  a  1  ,0  a 9   0 Решив эту систему, получим  9,1a  . 0a , то при   3.Если   который  не может  включать   в себя  промежуток    неравенство не имеет решений.   решением неравенства является промежуток    0D ,  а  при    ,1 0D 2 , 1, xx   данное Объединяя все найденные значения а, получим ответ. Ответ.  Для   любого   значения   параметра   из   промежутка   ax  выполняется для любых  1x   3   0 4 a x .  2 9,0a    неравенство Пример.  При   каких   значениях   параметра   а   множество   значений   функции y  содержит отрезок    1,0  1 2 x  1   2 a a x   2 ? Решение. 1. Если  012 a , то а) при  а =1 функция   примет вид  y  =  2, и множество ее значений состоит из единственной точки 2 и не содержит отрезок  1,0 ; б) при  а =  ­1 функция   примет вид  y  = ­2x+2. Ее множество значений   содержит отрезок  , значит а = ­1 является решением задачи. 1,0 RY  a 012 2.Если   функция принимает в вершине параболы  y  0 ,   то   ветви   параболы   направлены   вверх,   наименьшее   значение  0 xf :   x 0   1  2 a 2 a   1  1  a 1  2 ,  y 0  2  a  a 4  1  1 2     1 a    a 1 2  2 a 3  a 4   5 1 . Множество   значений   функции   есть   промежуток   содержит отрезок  , если выполняются условия: 1,0 Y     a 3  a 4   5  1 ,     ,   который     3 x  a 4 2a ,0   5   1  01 Решая эту систему неравенств, получим  a     5 3  1,    . 3.   Если   a 012 ,   то   ветви   параболы   направлены   вниз,   наибольшее   значение функция   принимает   в   вершине   параболы   y 0  a 3  a 4   5 1 .   Множество   значений функции   есть   промежуток   Y  ,    a 3  a 4    5   1  ,  который  содержит   отрезок   1,0 , если выполняются условия:      3 x  a 4 2a ,1   5   1  01 Решая эту систему неравенств, получим  1,1a  . Объединяя решения, получим  a     5 3   1,  .   Ответ.  При     содержит отрезок  a  5  1, 3  1,0 .   множество   значений   функции     y   a 2  1 2 x   a   1 x  2 Задачи для самостоятельного решения 1. Не вычисляя корней квадратного уравнения  2 x  x  0 12 , найти а)  x  2 1 2 x 2 ,                             б)  x  ,                              в) 3 1 3 x 2 1 x 1  1 x 2 2. Найти множество значений функции а)  y y   x 2 4 x  6 ,              б)  y  2 x  5 x  2 , в)   y  2 x  6 x  10 ,                     г) 1 2 x  7 2 x  3. Решить уравнения а)  2 x  1 4 x  5 3  x 2 6 x  12 x  9 ,    б)  x  1 x x   1 2 4. При каких значениях параметра  а оба корня уравнения   интервале (­5, 4)? 2 x  ax  04   лежат на 5. При каких значениях параметра а неравенство  при всех значениях x? 4 2 x   4 a   2 x  01  выполняется 6. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции  y 2  x 2 ax   2 a  6 a  6  на отрезке  2,0  равно ­1? 7. При каких значениях параметра а уравнение  a    2 x  2 x 1 2     a   3    x 2 x 2  1   01   имеет корни? для учителя: СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2009. М.: Просвещение, 2009. М.: Просвещение, 2008. Лысенко. – Ростов­на­Дону: Легион, 2016. Лысенко. – Ростов­на­Дону: Легион, 2016. Ю.В. Лепехин. – Волгоград: Учитель, 2009. – 187с. 1. Математика.10­11 классы. Функции помогают уравнениям: элективный курс / авт.­сост. 2. ЕГЭ 2014­­2017. Математика [Текст]: тренировочные задания. – М.: Просвещение; Эксмо, 3. Никольский, С.М. Алгебра и начала анализа. 10 класс [Текст] / С. М. Никольский и др. – 4. Никольский, С.М. Алгебра и начала анализа. 11 класс [Текст] / С. М. Никольский и др. – 5. Тематические   тесты.   Математика.   ЕГЭ­2016.   Часть   II.   10­11   классы   /   под   ред.   Ф.Ф. 6. Тематические   тесты.   Математика.   ЕГЭ­2016.   Часть   I.   10­11   классы   /   под   ред.   Ф.Ф. 7. Математика [Текст]: учебно­тренировочные тесты / под ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов­на­ 8. ЕГЭ­2017.  Математика   [Текст]:   вступительные   испытания   /  под   ред.   Ф.Ф.   Лысенко.   – 9. ЕГЭ­2015.  Математика [Текст]: вступительные испытания /  под ред. Ф.Ф. Лысенко. под 10. Функции и графики (основные приемы) / Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. – 6­е 11. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 4­е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007. 12. Алгебра   и  начала   анализа.   10  класс.   В  2  ч.  Ч.  2:   задачник   для  общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. 4­ е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2007. ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов­на­Дону: Легион, 2015. изд., испр. – М.: МЦНМО, 2004. Дону: Легион, 2017. Ростов­на­Дону: Легион, 2017. для учащихся: 1. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 4­е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007. 2. Алгебра   и   начала   анализа.   10   класс.   В   2   ч.   Ч.   2:   задачник   для   общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. 4­ е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2007. 3. Математика [Текст]: полный справочник / под ред. И. Б. Кожухова, А. А. Прокофьева. ­ М.: Махаон, 2009. 4. Математика  [Текст]: школьная энциклопедия. – М.: Науч. изд­во «Большая Российская энциклопедия», 2003.  5. Колесникова,   С.И.  Монотонные   функции   в   уравнениях   и   неравенствах   [Текст]   /   С.И. Колесникова // Потенциал: журнал для старшеклассников и учителей. – 2007. ­ №4. 6. Корешкова,   Т.   А.  ЕГЭ­2009.   Математика   [Текст]:   тренировочные   задания   /   Т.А. Корешкова и др. – М.: Эксмо, 2009.