Разработка проблемного урока по теме: «Касательная к окружности» (геометрия, 8 класс)

Разработка проблемного урока по теме: «Касательная к окружности» Урок направлен на достижение следующих целей: 1) в предметном направлении:  Ввести понятие касательной к окружности,  изучить свойство касательной, свойство отрезков касательных. 2) в метапредметном направлении:             Развитие   представлений   о   математике   как   форме   описания   и   методе   создание   условий   для   приобретения познания   действительности, первоначального опыта математического моделирования;  Формирование   общих   способов   интеллектуальной   деятельности, характерных   для   математики   и   являющихся   основой   познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности; 3)  в направлении личностного развития:              Развитие   логического   и   критического   мышления,   культуры   речи, способности к умственному эксперименту;  Формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;  Воспитание   качеств   личности,   обеспечивающих   социальную   мобильность, способность принимать самостоятельные решения; Развитие   интереса   к   математическому   творчеству   и   математических  способностей Задачи урока: Образовательные:  Формирование у обучающихся системы научных знаний.   Совершенствование умений запоминать, выделять главное.  Формирование представлений о значимости.  Совершенствование умений в решении практических задач. Развивающие:  Формирование у обучающихся регулятивных компетенций  (управление своей деятельностью, инициативность, самостоятельность).  Развитие коммуникативной деятельности (речь, навыки сотрудничества).  Применение обучающимися  учебного материала, имеющего опорный характер.  Совершенствование умений анализировать предложенную ситуацию и устанавливать причинно­следственные связи.   Развитие преобразований и применение новых знаний к решению задач, связанных с  конкретными ситуациями.  Совершенствование  умений и навыков в решении исследовательских задач. УУД, осуществляемые на уроке: Предметные:  Формирование системы научных знаний.  Использование знаний по предмету для решения конкретных задач. Метапредметные:  Регулятивность ( управление своей деятельностью, инициативность,  самостоятельность)  Коммуникативность ( речь, навыки сотрудничества) Личностные:   Самоопределение (внутренняя позиция школьника).   Смыслообразование (мотивация, границы познания).         План проведения урока: Этапы технологии «Индукция» Самоконструкция Социоконструкция Социализация Социализация Этапы урока 1.Организационный момент 2.   Мотивация   к   получению   знаний   —   работа   с определениями 3.Целеполагание 4. Исследовательская работа в группах — вывод  свойства касательной 5.Первичное закрепление — решение задачи 6.Физминутка  7.Творческая работа в группах — доказательство  свойства отрезков касательной 8. Отработка умений ­ решение задачи   Самоконструкция Афиширование Рефлексия  9. Самостоятельная работа  с самопроверкой по  эталону 10.Практическое применение — примеры из  жизненных ситуаций  11. Рефлексия. Подведение итогов. ХОД УРОКА.  1. Орг. Момент. «Индукция»    Сегодня у нас не просто урок. Сегодня у нас целая мастерская. А что такое  мастерская? Это место, где происходит рождение чего­то нового. В  мастерской работают настоящие мастера и подмастерья (их ученики). В  мастерской художника рождаются– картины. В мастерской ювелира –  украшения. А в мастерской ландшафтного дизайнера – уютные композиции.  ­ А мы с вами будем работать в мастерской геометрических фигур.  Народная  мудрость гласит: "Ум без догадки ­ гроша не стоит", поэтому на уроке нам  нужны эмоции, образы, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно  без знаний и вдохновения. И я вам желаю: ­ Вдохновения  на протяжении  всего урока! Мотивация. Самоконструкция   ­ Работать вы будете в группах. ­ Я думаю, что вам комфортно и удобно. ­ Назначьте ответственного в своей группе, который должен следить за тем,  чтобы каждый в группе работал. У вас имеются сигнальные карточки.    Зеленая – это сигнал того, что группа выполнила работу,  красная – есть вопрос. ­ На каждом этапе урока вы должны будете оценить свою деятельность в  баллах, заполняя листы самооценки,  в которых указаны критерии. ­ Итак, перенесемся в нашу мастерскую геометрических фигур.   ­ Каждый из нас мечтает создать комфортные условия для проживания.  (слайд) Кто­то живет в загородном доме, а кто­то ездит на дачу. И за наше короткое  лето нам хочется создать уют в маленьком, родном уголке природы.   ­ И сейчас я предлагаю  вам выступить в роли ландшафтных дизайнеров, и  выполнить не большой проект. Нам необходимо проложить от дома до  бассейна дорожку. (слайд) ­ Представим, что бассейн имеет форму круга. Расположите его на заданном  расстоянии от дома и проложите дорожку (с помощью маркера и линейки),  которая будет иметь  общую точку с бассейном.  ­Возникли ли у вас затруднения? (нет, т. к. у нас был задан уже размер  бассейна, расстояние) ­А как вы думаете: возникнут ли трудности у дизайнера при выполнении этой работы на практике? (нужны расчеты, нужны знания геометрических понятий) Каких? (Окружность, центр, радиус, диаметр) ­ И сейчас я предлагаю повторить эти определения. Возьмите конверт №1 и  соберите определения: начало – на …, продолжение – на… 1.Окружность­ геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от заданной точки. 2.Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. 3. Радиус­это отрезок, соединяющий центр окружности и точку, лежащую на  окружности. 4. Центр – это точка, равноудаленная от любой точки, лежащей на окружности. (проверка) ­ Оцените свою работу, за каждое правильно составленное   определение поставьте 1 балл. Целеполагание. Социоконструкция ­ Вернемся к нашему дизайну. ­ Так как мы находимся в мастерской геометрических фигур, давайте  переформулируем условие проекта на геометрический язык.  Дорожка – это…   Граница бассейна – это…. ­ как расположена прямая по отношению к окружности? (имеет одну общую  точку). А как иначе можно сказать про эту прямую, то есть как проходит по  отношению к окружности? (касается) ­И поэтому эта прямая называется касательной.  ­ Как вы думаете какая тема нашего урока? (Касательная к окружности. (пишем на доске и в тетради, делаем чертеж­ окр., касательная, точка  ­подписать) ­ Пусть нам задана окружность – начертите в тетради любого радиуса,  отметим на ней точку. Проведите касательную. А общая точка называется  ­точка касания. ­ Касательная обладает свойствами, имеющими ценность при решении задач. ­ Как вы думаете, что мы будем изучать на уроке? (касательную, ее свойства) ­ А для чего нужно их изучить нам? (чтобы решать задачи) ­ Итак, сегодня на уроке мы изучим свойства касательной и научимся  применять их на практике. Исследовательская работа ­ Вернемся  вновь к нашему проекту и я предлагаю вам провести небольшую  творческую работу, в результате которой мы и познакомимся с одним из  свойств касательной. Работу выполните согласно инструкции.                   Инструкция для творческой работы. 1. Проложите дорожку к бассейну по – другому,  соблюдая все заданные условия.  2. Обозначьте точки касания буквами В и С.  3. Соедините центр бассейна с точками касания. 4. Определите градусную меру углов между    радиусами и касательными. 5. Сделайте вывод.    ­ Какой вывод вы получили? (спросить в двух группах) ­ Это и есть одно из свойств касательной:   «Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,  проведенному в  точку касания». (плакат) Оцените свою деятельность при выполнении  творческой работы. Если вы выполнили работу, согласно инструкции, но не сделали  вывод – 2 балла. Если есть вывод – 4 балла.  Задача 1. – Применим это свойство на практике. Физминутка. ­ Мы устали чуточку, отдохнем минуточку. ­ Кто согласен с тем, что «Прямая является касательной по отношению к  окружности, если она имеет одну общую точку с ней». – встаньте. ­ Нарисуйте глазками окружность, а теперь головой, туловищем. ­Улыбнитесь соседу справа, улыбнитесь соседу слева. ­ Молодцы, тихонечко садитесь. Творческая работа в группах   ­ Продолжим нашу работу. ­Касательная, ребята, обладает еще одним уникальным свойством.  ­ Я напомню, что мы работаем с дизайнерским проектом.  При выполнении  предыдущей работы у вас образовались треугольники АОС и АОВ, сравните  их.  1. Что вы можете сказать про стороны АВ и АС. (АВ и АС – называются  отрезками касательных) 2. И углы ОАВ и ОАС тоже будут равны. А почему?                 ­ И мы с вами подошли еще к одному  свойству: (Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и  составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр  окружности) ­ И сейчас мы докажем это свойство. (плакат) Попробуйте составить цепочку доказательства, опираясь на полученные  знания с помощью фраз из конверта №2. Рассмотрим треугольники АОС и АОВ По свойству касательных   АОС и АОВ ­ прямоугольные треугольники Катеты ОВ=ОС=R и ОА ­общая гипотенуза Треугольники АОС = АОВ                                                    Следовательно  АВ=АС  и  ­ Проверьте работу и Оцените свою работу на данном этапе макс. – 4 балла.  Каждая допущенная ошибка минус 1 балл. 7. Первичное закрепление н    ового материала. ­ Мы познакомились еще с одним свойством касательной. Применим на  практике: устно решить задачу.    ­ 1)То есть какой угол? Из каких углов он состоит? Как можно найти маленький  угол? Вид треугольника? Почему? ­2) Вид треугольника? Какая теорема нам поможет найти катет? 8. Самостоятельная работа  с самопроверкой по эталону. №1.  Прямые АВ и АС касаются окружности с  центром О в точках А и В.  ОВ = 5 см, ОА = 13 см. Найдите АВ и АС. №2. Окружность с центром О касается прямой  АВ в точке М. Угол МВО равен 210. Чему  равны остальные углы треугольника МВО? №1.  Прямые АВ и АС касаются окружности с  центром О в точках А и В.  ОВ = 5 см, ОА = 13 см. Найдите АВ и АС. №2. Окружность с центром О касается прямой АВ в точке М. Угол МВО равен 210. Чему  равны остальные углы треугольника МВО? Оцените свою работу на данном этапе – макс. 4 балла. Практическое применение. ­ Мы сегодня работали в мастерской дизайнера. Как вы думаете в жизни  можно встретить касательную к окружности? ­Все катались на велосипеде? Обращали внимание на цепь, которая помогает  движению колес? Видим касательную? (даже 2)­слайд. ­ А кто из вас помогал делать ремонт автомобиля?   ­ Обращали внимание на ремни – с помощью, которых происходит передача   механической энергии от двигателя, различные конвейеры.    передвигались по воздуху.        ­  Воздушный   шар,  наполненный   горячим   воздухом,   на   котором Это   говорит   о   том,   что   геометрические   задачи   находят   широкое практическое   применение:   в   инженерном   деле,   физике,   строительстве   и многих других областях.  ­ Работа по учебнику: № 635, № 639. 9. Подведение итогов. ­ Итак, подведем итоги нашего сотрудничества в мастерской. Мы с вами  хорошо потрудились и я рада такому сотрудничеству и думаю, что вы еще раз убедились на сколько значимы математические познания в нашей жизни . А на  память о нашей встрече хочу подарить вам ромашку. И ромашка эта не  простая, а умная­ она знает все о касательной и окружности. А что же узнали  вы? ( По очереди выходят к доске и срывают лепесток с вопросом).     Вопросы: 1)Какая прямая называется касательной к окружности? 2)Назовите случаи взаимного расположения прямой и окружности? 3) Какая точка называется точкой касания? 4) Как наиболее точно провести касательную к окружности? 5) Сколько радиусов можно провести перпендикулярно к данной  касательной? 6) Что вы знаете об отрезках касательных? 10. Рефлексия, дифференцированное дом. Задание.  ­ Попробуйте определить, насколько хорошо вы усвоили новое знание.  Выберите смайлик по цвету:  ­ красный цвет, если испытывали затруднения на уроке;  ­ жёлтый цвет, если усвоили новое знание, но затрудняетесь применить его на  практике;  ­ зелёный цвет, если усвоили новое знание и научились применять его на  практике. П. 69 № 638              п. 69 № 642                  п. 69, доказать признак касательной, № 644 ­ Оцените свою активность на уроке и подсчитайте общее количество баллов.  Согласно критериям, поставьте себе оценку за урок.  Критерии оценивания    20­18  баллов – оценка 5,  17­15 баллов –  оценка 4 учени…     8   класса  Ф. И.__________________________ Работа с  определения ми  макс. –  4 баллов Исследова тельская  работа  макс. – 4  балла Творческая работа (доказательство свойства) макс. – 4 баллов Самостоя тельная  работа  макс. – 4  балла Моя  активность на уроке макс. – 4  балла Всего баллов Оценка  за урок Количе ство  баллов