Разработка урока по теме "Решение квадратных уравнений" (8 класс)

РАЗРАБОТКА УРОКА  ТЕМА    :  Решение квадратных уравнений.   (8 класс)        Цель урока:   закрепление   темы:   «Квадратное   уравнение»;     создание   условий   для осознанного и уверенного владения навыком решения квадратных уравнений, рассмотрение различных  способов решения квадратных уравнений.         Образовательные задачи урока: закрепить знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных   уравнений,   расширить   и   углубить   представления   учащихся   о решении   уравнений,   организовать   поисковую   деятельность   учащихся   при решении  квадратных уравнений  и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.        Развивающие задачи урока:  развивать математическое мышление, память, внимание;  развивать сравнивать, анализировать,   умение       обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;  развивать  коммуникативные   навыки  через   коллективный   способ обучения; развивать навыки  самостоятельной  работы;  развивать устную и письменную речь учащихся;  привить любовь к предмету, желание познать новое.          Воспитательные задачи урока:     воспитывать культуру умственного труда; воспитывать культуру коллективной работы; воспитывать информационную культуру; воспитывать потребность добиваться успехов   в приобретении знаний; воспитание   навыков   самоконтроля   и   взаимоконтроля,   развитие самостоятельности и творчества.   групповая   парная   работа,   фронтальная   работа,           Формы обучения:  Индивидуальная, (коллективная) деятельность.          Тип урока:  Урок закрепления изученного материала.          Оборудование: Компьютер, мультимедийная установка, презентация, карточки.  Структура урока: I этап. Организационный момент.  II этап. Актуализация знаний учащихся III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности. 1 IV   этап.   Самостоятельная   работа,   с   последующей   проверкой,     в   форме дидактической игры. V этап. Физкультминутка VI этап. Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение проблемной ситуации. VII этап. Разноуровневая  работа в группах. VIII этап. Подведение итогов урока. IX этап. Домашнее задание.  X этап. Рефлексия. Ход урока I этап. Организационный момент. Содержание   деятельности:   приветствие,   определение   отсутствующих; проверка   готовности   учащихся   к   уроку;   готовность   наглядных   пособий, доски, мела и т.д. Раскрытие общей цели урока. Учитель.  Здравствуйте! Садитесь. Ребята!  Сегодня  мы  проведем урок   еще   раз   вспомним   о   способах   решения   квадратных обобщения,   где   уравнениях и оценим свои знания.  Девизом   нашего   сегодняшнего   урока   станут   слова   Рене   Декарта (презентация 1, слайд 2), прочтем все вместе:  «Для разыскания истины вещей ­ необходим метод». Сегодня   на   уроке   мы   продолжим   работу   по   закреплению   и систематизации   знаний,   умений,   навыков   решения     квадратных   уравнений различными способами (слайд 3). II этап. Актуализация знаний учащихся. Содержание деятельности 1)  Фронтальная работа (презентация «Фронтальная работа ») 1)Когда уравнение ах² + bх + с = 0 называется квадратным? 2)Какой вид примет уравнение: а) если     b = 0, с = 0;     б) если     b = 0, с ≠ 0; в) если     b ≠ 0, с = 0? 3) Имеют ли  данные уравнения корни, если имеют, то сколько? 4) Как называются такие уравнения? Приведите примеры таких уравнений.   5) От чего зависит наличие корней уравнения  ах² + bх + с = 0?  6)Формулы для нахождения корней уравнения  ах² + bх + с = 0. 7)Найти   корни   уравнения   способом.  8) Если в уравнении  ах² + bх + с = 0,  а = 1, то уравнение называется…?    наиболее   рациональным   1978х²­1984х+6=0   2 9) Как можно найти корни этого уравнения, какую теорему можно употребить для нахождения корней?  10) Можно ли выполнить обратную операцию, зная корни ­ найти p и q?  2) Устная работа Учитель. Перед вами 8 уравнений (слайд 4): 1 2 3 4 5 6 7 8 Я сейчас задаю вам вопросы по способам решения квадратных уравнений, а вам надо указать уравнение которое проще всего решить этим способом. Если ответ верный, то откроется буква, соответствующая номеру этого уравнения и мы узнаем имя математика, который занимался изучением уравнений.  3x2 –  2x – 5= 0; х2=5; 7x2  + 14x  = 0; х2 + 5x + 4= 0; х2 + 4x +4 = 0; х2 – 4 =0; 2x2 – 11x +5 =0; х2 + 2x = x2  + 6.  1)Какое   уравнение   решается   вынесением   общего   множителя   за   скобки? №3  (Д) 2)Какое уравнение можно решить, методом выделения полного квадрата? №5  (И) 3)   Какое   уравнение   решается   по   формуле,   используя     четный   второй коэффициент? №1 (О) 4)Какое уравнение удобно решить по теореме Виета? №4 (Ф) 5)Какое   уравнение   можно   решить   разложением   разности   квадратов   на множители? №6 (А) 6)В каком уравнении надо применять общую формулу  корней квадратного уравнения? №7   (Н) 7)Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней? №2  (Т) Вы догадались, о ком идет речь? Да  имя математика, который занимался изучением   уравнений,   их   классификацией,   способами   решения   –   Диофант (слайд 5). Диофант смекалку проявил Много нового в науке открыл. Он ввел обозначения неизвестной величины, Чтобы его уравнения решать все могли. А также знак равенства ­ как без него, И методы решения алгебраического уравнения ­ заслуга его. Если хочешь больше о Диофанте узнать, Можно в Интернете, в энциклопедиях почитать. 3)Если класс работает в хорошем темпе, можно разгадать кроссворд  (слайды 6,7) 3 x2 + 4x – 12 = 0; 3x2 – 48 = 0; 2a2  – 5a + 2 = 0; 4x2 = 7; –4x2 – 4x + 15 = 0; 5x2 + 10x = 0. III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности. Содержание деятельности 1)Решение примеров (слайд  8) 1 2 3 4 5 6 1. «Выберите неполные квадратные уравнения и решите их». 2) 3х2 – 48 = 0;                  4) 4х2 = 7;                         6) 5х2 + 10х = 0. Учащиеся   самостоятельно   решают.   После   решения   называются   корни уравнений, и учащиеся комментируют выбранный способ решения. 2. «Выпишите приведённое квадратное уравнение и решите его». 1)  х2 + 4х – 12 = 0. Выбранный способ решения аргументируется. 3. «Как называются оставшиеся в данном списке уравнения?» Уравнения №4 и №6 анализируются и прорешиваются у доски. 2)   Решение   задачи   из   китайского   трактата   «Математика   в   девяти книгах» (примерно II в. до н.э.) (слайд 9) «Имеется   город   с   границей   в   виде   квадрата   со   стороной   неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Решение. Обозначим сторону квадрата через   х. Из подобия треугольников  BED  и ABC (см. рис. на слайде 10) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d.  Поэтому,   чтобы   определить   неизвестную   сторону   квадрата,   получаем квадратное уравнение х2+(k+l)­2kd=0.  В данном случае уравнение имеет вид х2+34х­71000=0, откуда х=25000 бу.  Отрицательных корней (в данном случае х=­284) китайские математики не рассматривали,   хотя   в   этом   же   трактате   содержатся   операции   с отрицательными числами. IV этап.  Самостоятельная работа, с последующей проверкой,   в форме дидактической игры. Содержание деятельности           Учащимся   выдаются   карточки   с   заданиями   2­х   вариантов   (см.   приложение ) Для каждого последующего уравнения значение коэффициента «а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения. Поэтому в 4 четырех   из   них   вместо   этого   коэффициента   свободное   окошко.   После выполнения работы – самоконтроль выполненной работы Вариант 1.    х2+3х ­28 = 0      x1 =­7, x2 =4   4х2 +16x+12=0    x1 =­3, x2 =­1 ­1х2 ­x+2=0             x1 =­2, x2 =1   1х2 +3x­4=0         x1 =­4, x2 =1   1х2 ­4x­12=0        x1 =6, x2 =­2 2 вариант.     х2+4х ­21 = 0      x1 =­7, x2 =3     3х2 +6x­9=0        x1 =1, x2 =­3    1х2 +6x­7=0      x1 =­7, x2 =1    1х2 +10x+9=0    x1 =­9, x2 =­1   ­1х2 +7x­10=0     x1 =5, x2 =2 V этап. Физкультминутка Содержание деятельности Гимнастика для глаз (презентация «Физкультминутка») На уроке мы сидим И во все глаза глядим, А глаза нам говорят, Что они уже болят. VI   этап. проблемной ситуации. Содержание деятельности (Учащиеся работают в тетрадях). Задание. Найдите значение выражения   Усвоение   новых   знаний.   Формулирование   и   разрешение , где х1 и х2 корни уравнения   + 1 х 1 1 х 2 2х2 + 7х + 2= 0. Можете   обсудить   решение   с   соседом   по   парте.   Сколько   времени   вам понадобится на выполнение этого задания?  (Можно предположить, что решения в тетрадях учащихся будут следующие  записи: 2х2 + 7х + 2 = 0 Д = 49 – 4*4 = 33            x1 =       x2 = ) 33 7  4 33  7  4 На самом деле это задание можно решить намного рациональнее. 5 Теорему Виета мы применяли для приведенных квадратных уравнений, а это неприведенное. А чем отличается приведенное квадратное уравнение от неприведенного? (У  приведенного квадратного уравнения коэффициент «а» равен 1.) Как это уравнение свести к приведенному? (Разделить обе части уравнения на 2.) Запишем в тетрадях правильное решение. 2х2 + 7х + 2 = 0 х2 + 3,5х + 1 = 0 Чтобы найти значение данного выражения, его надо преобразовать так, чтобы в него входила сумма корней и их произведение. Как это можно сделать? Привести дроби к общему знаменателю. = + 1 х 2 1 х 1 х  х 1 2 х * х 1 2 = 5,3 1 =­3,5 , т.к.    x1 +x2 =­3,5     x1 *x2 =1 Делаем вывод. Было неприведенное квадратное уравнение ах2 +  bх +  c = 0, мы его свели к уравнению х2  +     = 0 и тогда получается, теорема Виета для любого х +   b a c a квадратного уравнения звучит так: Если x1, x2 – корни уравнения ах2 + bх + c = 0, то  x1 +x2 =­     x1 *x2 = c a b a Аналогично, звучит и обратная теорема. Закрепление изученного материала. (Ученик работает у доски). Задание. Найти х  2 1 х 2 2 , где х1 и х2 корни уравнения  3х2 ­5х ­7 = 0. 1) Сведем это уравнение к приведенному. х2 ­   = 0 х ­  5 3 7 3 2) Запишем чему равна сумма и произведение корней x1 +x2 =     x1 *x2 =­  5 3 7 3 3)Рассмотрим выражение. Это выражение надо записать в таком виде, чтобы в него входила сумма чисел x1 +x2  и произведение  x1 *x2                                                                                  6 х  2 1 х 2 2 Значит,  х  2 1 х 2 2  =    (x1 +x2 )² ­ 2 x1x2     = ­ 2 =7 4 9     7 3    2     5  3  VII этап. Разноуровневая  работа в группах. Содержание деятельности Класс делится на группы. Группа получает карточку с заданиями (см.  приложение ). Каждый член группы выполняет задание в своей тетради. На  проверку берется одна тетрадь из группы. Все члены группы получают  одинаковую  оценку. Для того, чтобы учитель мог быстро осуществить  проверку в каждой карточке закодировано ключевое слово 1 уровень. х2 ­ 7х ­1 = 0 1)   x1 +x2 = 7                                                                             2)  x1 *x2 =­1                                                                               3)  =­7 + 1 х 1 1 х 2 4)  5)  =51 х  2 1 х 2 2 =­7 2 хх 21  2 хх 1 2 Зашифровано слово: КАТЕТ 2 уровень. х2 ­ 6х +2 = 0 1)    =3 + 1 х 1 1 х 2 2)   х  2 1 х 2 2 =32 3)  2 хх 21  2 хх 1 2 =12 7 =16 4)  + х 2 х 1 х 1 х 2 5)(x1 ­3)(x2 ­3)=­7 Зашифровано слово: КОНУС 3 уровень х2 ­ 7х +2 = 0 1)     ххх 2 х  1  21 = 49                                                                         2)  (x1 +2)(x2 +2) = 20 3)  = 45 х  2 1 х 2 2 =22,5 4)  + х 2 х 1 х 1 х 2 5)  х  3 1 х 3 2 = 301 Зашифровано слово: СФЕРА Самое сложное задание из каждой группы проверяется у доски: 1) 2 хх 21  2 хх 1 2 2)(x1 ­3)(x2 ­3)            3)  х  3 1 х 3 2 VIII этап. Подведение итогов урока. Итак,   мы   сегодня   на   уроке   мы   продолжили   работу   по   закреплению   и систематизации   знаний,   умений,   навыков   решения     квадратных   уравнений различными способами, получили новые знания и применили их. IX этап. Домашнее задание. 1) Решить уравнения:                 01  x 8 3 2 x                  ( x  2 )2  (4 x  3)2 0 2) Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны  соответствующим корням уравнения  . 4 2 x  13 x  0 7 8 X этап. Рефлексия. Какой момент на уроке показался вам самым сложным? Какой момент на уроке показался вам самым интересным? Как вам нравится больше работать: в группах или индивидуально? Приложение  Карточки для дидактической игры 1 вариант. Для   каждого   последующего   уравнения   значение   коэффициента   «а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения.              х   2  +3х ­28 = 0 О х2 +16x+12=0 О х2 ­x+2=0 О х2 +3x­4=0 О х2 ­4x­12=0 Решение: 2 вариант. Для   каждого   последующего   уравнения   значение   коэффициента   «а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения.             х  2  +4х ­21 = 0           О х2 +6x­9=0 О х2 +6x­7=0 О х2 +10x+9=0 О х2 +7x­10=0 Решение: Карточки для групповой работы 1 уровень. Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения  х2 ­ 7х ­1 = 0  Найдите: 1)   x1 +x2                                                                             2)  x1 *x2                                                                                  3)  + 1 х 1 1 х 2 Указание: приведите дроби к общему знаменателю. 4)  х  2 1 х 2 2 9 Указание: выделите полный квадрат 5)  2 хх 21  2 хх 1 2 Указание: вынесите общий множитель за скобки Расшифруйте слово. ­1 А 7 К 8 Р 51 Е ­7 Т 47 Л ­51 18 И В 16 Ф 2 уровень. Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения  х2 ­ 6х +2 = 0  Найдите: 1)    + 1 х 1 1 х 2 2)   х  2 1 х 2 2 3)  2 хх 21  2 хх 1 2 Указание: вынесите общий множитель за скобки 4)  + х 1 х 2 х 2 х 1 Указание: приведите дроби к общему знаменателю 5)(x1 ­3)(x2 ­3) Указание: раскройте скобки                                                                             Расшифруйте слово. ­7 С 40 В 32 О 12 Н 29 И 3 К 16 У 6 Л ­16 Е 3 уровень. Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения  х2 ­ 7х +2 = 0 10 Найдите: 1)     ххх 2 21  х  1                                                                          2)  (x1 +2)(x2 +2) Указание: раскройте скобки                                                                            3)  х  2 1 х 2 2 4)  + х 2 х 1 х 1 х 2 5)  х  3 1 х 3 2 Указание: воспользуйтесь формулой  = (a+b)(a2­ ab+ b2) а  3 b 3 Расшифруйте слово. 45, 5 Н 49 С 17 30 1 А М Ф 20 22, 5 Р 32 О 2 И 45 Е 11