Решение показательных уравнений

Расскажи – и я забуду         Покажи – и я запомню Дай мне сделать самому – и я научусь. Китайская мудрость

Тема. Решение показательных уравнений.  Цель : повторить свойства показательных функций и  рассмотреть различные способы решений показательных  уравнений. Психологическая установка учащимся: 1. Продолжаем отрабатывать навыки решения показательных  уравнений. Продолжаем учиться решать. Формируем  математическую интуицию, которая поможет  ориентироваться в способах решения уравнений. 2. На уроке можно ошибаться, сомневаться,  консультироваться. 3. Дать самому себе установку: “Понять и быть тем первым,  который увидит ход решения”

Ход урока  (выбирай раздел по порядку) •Повторение темы “показательная функция”. • Решение показательных уравнений. •Практическое применение показательной функции  и показательных уравнений

Повторение темы “показательная функция”. Функция, заданная формулой  y = ax  (где а>0;  а≠1), называется показательной функцией с  основанием а. Свойства  показательной функции

У Свойства показательной функции 1. Область определения – R (множество  действительных чисел). 2. область значений – R + (множество  всех положительных действительных  чисел)  3. При а > 1 функция возрастает на всей  числовой прямой, при 0 < a < 1 функция  убывает на всей числовой прямой. 4. .При любых действительных  значениях X и Y справедливы равенства. 0 При а > 1 При 0 < a < 1  a  yx  yx Х У y 0 x x x x   a   b     yx a a a b  xy a 1 x a  x    a 0  1   x aa x a a  ab y  a  x  x ba x Свойства показательной функции

Новая тема. Показательными уравнениями называются уравнения, в которых  неизвестные содержатся в показателе степени, а основаниями степеней  являются положительные числа не равные 1. (аx = b). В основе решения показательных уравнений лежит  следующая теорема: Показательное уравнение af(x) = ag(x)      равносильно  уравнению f(x) = g(x). Примеры 1,2,3,4,5,6,7

Пример 1 Пример 1 Показательное уравнение af(x) = ag(x)       равносильно уравнению f(x) = g(x). ________________________________________________ Решить уравнение:  2 2   x x 2 3 2 x  6

Проверка 1 примера  6 x   x 2 3 2 2 2 x ______________________________________________ • Заданное уравнение равносильно уравнению x x  ;6 3 x  ;06  22 x  52 x Ответ: 2; 3.

Пример 2 Пример 2 Показательное уравнение af(x) = ag(x)       равносильно уравнению f(x) = g(x). _____________________________________ Решить уравнение:  7 2 x 3 ;49

2 x 3 ;49 7 _______________________________________________ • Заданное уравнение равносильно уравнению Проверка 2 примера 2 x 2 ;7 3 7 • Можно записать 2x 2 x ; 2 3 • Ответ 2 2 3 2 3

Пример 3 Пример 3 Показательное уравнение af(x) = ag(x)       равносильно уравнению f(x) = g(x). __________________________________________ Решить уравнение x 5 25  1 22  x

x 22  x 5  1 25 Проверка 3 примера  2 2 x _____________________________________________ • Заданное уравнение равносильно уравнению 5 2  x 1 5 • поэтому    22 x 21 x 1 x x;3 ;1 2 • Ответ: 3; ­1;  22 x x  03

Пример 4 Пример 4 Использование свойств степени, вынесение общего  _______________________________________________ множителя за скобки Решить уравнение  1 x 635  71 x  1 6 

 1 x 6 ______________________________________________ 71 1  Проверка 4 примера  x  635 1 6  ;71 x x 6(6 35 6 )  ;71      Использование  свойств  степени,  вынесение  общего  множителя за  скобки x 66  635 ) x 56(6 5 6 x 11 71 6  ;71 6 x 11 ;71 5 6 ; 6 x  5 6  671 71 ; x 6  ,6 ет 6.. x  16 Ответ: 1.

Пример 5 Пример 5 Применение способа замены и  приведения к квадратному уравнению ___________________________________ Решить уравнение:     04 25 x x 4

x x 25 Проверка 5 примера ___________________________________________________  04 4 • Сделаем замену переменной t = 2 x . Заметим, что     4 х = (2х)  2 = t 2  • Поэтому данное уравнение примет вид t 2– 5t + 4=0 • По теореме Виета t1*t2=4       t1+t2=5, то t1=1; t2=4; •            2х=1   и  2х=4            2х=20      2х=22           х = 0      х = 2 Ответ : 0 ; 2.       Решая уравнения вида

Метод приведения к одинаковому показателю ______________________________________________ x 6 Пример 6 Пример 6 Решить уравнение:   x  3 2 3 5

3 x   x  3 2 5 6 Проверка 6 примера ________________________________________________________  Это уравнение не является простейшим показательным  уравнением, так как не одинаковы степени в левой и правой  части.  Но     x  3 (2 )3 5 3 x можно записать в виде 3 x   x 3 25  3 х 3                          х х 3 25 3  1 3    3 25 получим х­3 = 0; х =3  Ответ : 3   0 3 25   

Пример 7 Пример 7 Применение способа замены и  приведения к квадратному уравнению _________________________________________ Решить уравнение:   2 0 15 2   2 x x 2

  x x 2 2  2  15 0 Проверка 7 примера 2 ____________________________________________________ данное уравнение равносильно уравнению x 22  15 0  2 x   2 22 1 x 2 x  24 4  0 15  04 избавляемся от знаменателя, получим далее введем новую переменную 2x = t и получим  квадратное уравнение  4t2­15t­4=0 215  24  2 x x D=225+64=289 t1=(15+17)/8=4 t2=(15­17)/8=­0,25 2x= ­0,25 2x=4 2x=22  нет решения т.к. 2x>0 x=2 Ответ: 2

Практическое применение показательной функции и показательных уравнений Практическое применение показательной функции и показательных уравнений Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и  общественных явлений. Известно, например, что при распадении радиоактивного вещества его масса m  уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз. Если обозначить через t0 (период полураспада) промежуток времени, необходимый для того,  чтобы от первоначальной массы вещества m0 осталось половина её, то оставшаяся через t лет масса  выразится так: mm 0      1 2    t t 0 т.е. радиоактивный распад совершается по закону, выражаемому показательной функцией. Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике. Например, по закону  Стефана – Больцмана излучательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой  степени его температуры. Масса шара является кубической функцией его радиуса. В естествознании и технике встречаются процессы, рост или затухание которых происходит быстрее, чем у  любой степенной функции. С примерами быстро растущих функций человек столкнулся очень давно. В  древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски  одно пшеничное зерно, а за каждую следующую – вдвое больше, чем за предыдущую.  Необходимость изучения функций, у которых производная пропорциональна самой функции, возникла с  обнаружением различных законов естествознания, таких, как законы размножения, законы радиоактивного  излучения, законы движения в тормозящей среде т. д.   Примеры 1, 2, 3,4

Пример 1. Обозначим через m(t) массу колонии бактерий в момент  времени t. Если нет ограничений в количестве питательных веществ и  объёме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти  бактерии, то за равные промежутки времени масса колоний будет возрастать  в одно и то же число раз. Если за единицу измерения массы принять массу  одной бактерии, то m(t) будет равно численности этой колонии.     Аналогично обстоят дела для любой совокупности живых существ при  условии, что нет ограни пище и пространстве и нет истребляющих их врагов.  Поэтому процессы, в которых величина увеличивается за равные  промежутки времени в одно и то же число раз, называют процессами  органического роста.

Пример 2. В процессе  радиоактивного распада  вещества его масса m(t) за  равные промежутки времени  меняется в одно и то же  число раз. Поэтому и здесь  происходит изменение по  закону, но при этом масса  уменьшается. В таких  случаях говорят процессах  органического убывания.

Пример 3. Сумма вклада в сберегательном банке за  данный промежуток времени возрастает в одно и то же  число раз (например, за год на 2%, т.е. в 1,02 раза). Эта  сумма подчинена закону органического роста.

Пример 4. Изучение возрастной структуры популяции рыб имеет большое значение для  рыболовного промысла (предсказание будущих уловов и предотвращение  переуловов).    Популяция рассматривается как “открытая термодинамическая система,  находящаяся в состоянии непрерывного обмена с окружающей средой,  самовоспроизводящаяся и саморегулирующаяся.    Предполагается исходить из принципа стационарного состояния открытых  систем, согласно которому все живые системы стремятся сохранить свою  структуру (и энтропию) неизменной во времени.    Формула расчета численности выглядит как  N i   m i m j  m i m j Ne n  i  1 e Зная по результатам экспериментального лова массу mi особи i­го возраста, а  также число особей Ni, можно найти общую численность популяции N и  остальные численности Nj, общую массу популяции. Были проведены  расчеты для сельди Северного моря с 1947 по 1971 год. Сравнение  расчетных и реальных значений дало совпадение от 70% и выше за каждый  год, кроме одного.

Что быстрее всего ? – Ум. Что мудрее всего ? – Время. Что приятнее всего ? – Достичь желаемого. Фалес.  До свидания