Решения и пояснения к материалу "Подборка заданий ЕГЭ по теме "Пирамида""

Задачи ЕГЭ по теме «Пирамида»

B 13 № 901.  В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка .

По­яс­не­ние.

От­ре­зок  вы­со­та тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Таким об­ра­зом,

B 13 № 911.  В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де  точка  – центр ос­но­ва­ния,  – вер­ши­на, , . Най­ди­те бо­ко­вое ребро 

По­яс­не­ние.

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но  яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 17.

B 13 № 920.  В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  точка  – се­ре­ди­на ребра ,  – вер­ши­на. Из­вест­но, что =3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка .

По­яс­не­ние.

Най­дем пло­щадь грани :

От­ре­зок  яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, его вы­со­той. Тогда

B 13 № 27074.  Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да  равен 9. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

По­яс­не­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен  , где  – пло­щадь ос­но­ва­ния,  – вы­со­та. Объем пи­ра­ми­ды равен

,

где  – пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по по­стро­е­нию рав­ная по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда объем пи­ра­ми­ды в 6 раз мень­ше объ­е­ма па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

B 13 № 27085.  Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

По­яс­не­ние.

Объёмы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му если все ребра уве­ли­чить в 2 раза, объём уве­ли­чит­ся в 8 раз.

Это же сле­ду­ет из фор­му­лы для объёма пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра , где  — длина его ребра.

B 13 № 27089.  Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пи­ра­ми­ды, если ее вы­со­ту уве­ли­чить в че­ты­ре раза?

По­яс­не­ние.

Объем пи­ра­ми­ды равен

,

где   – пло­щадь ос­но­ва­ния, а   – вы­со­та пи­ра­ми­ды. При уве­ли­че­нии вы­со­ты в 4 раза объем пи­ра­ми­ды также уве­ли­чит­ся в 4 раза.

B 13 № 27113.  Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды , равен 1. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

По­яс­не­ние.

Дан­ные пи­ра­ми­ды имеют общую вы­со­ту, по­это­му их объ­е­мы со­от­но­сят­ся как пло­ща­ди их ос­но­ва­ний. Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной  равна  Пло­щадь же рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка  с бо­ко­вой сто­ро­ной  и углах при ос­но­ва­нии  равна  По­лу­ча­ем, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка    в   раз и равна 6.

B 13 № 27114.  Объем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды  равен 12. Точка  – се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

По­яс­не­ние.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды  по усло­вию в 2 раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды . Также вы­со­та дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды в 2 раза мень­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды  (т.к. точка  – се­ре­ди­на ребра ). По­сколь­ку объем пи­ра­ми­ды равен , то объем дан­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды в 4 раза мень­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды  и равен 3.

Ответ: 3.

B 13 № 27115.  От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

По­яс­не­ние.

Объем пи­ра­ми­ды . Пло­щадь ос­но­ва­ния от­се­чен­ной части мень­ше в 4 раза (так как вы­со­та и сто­ро­на тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии мень­ше ис­ход­ных в 2 раза), по­это­му и объем остав­шей­ся части мень­ше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.

B 13 № 27131.  Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

По­яс­не­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра равна сумме пло­ща­дей его гра­ней, ко­то­рые равны . По­это­му при уве­ли­че­нии ребер вдвое, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

B 13 № 27157.  Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти ок­та­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в 3 раза?

По­яс­не­ние.

При уве­ли­че­нии ребер в 3 раза пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­ю­щих грани ок­та­эд­ра, уве­ли­чат­ся в 9 раз, по­это­му сум­мар­ная пло­щадь по­верх­но­сти также уве­ли­чит­ся в 9 раз.

B 13 № 27172.  Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

По­яс­не­ние.

B 13 № 27175.  Ребра тет­ра­эд­ра равны 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны че­ты­рех его ребер.

По­яс­не­ние.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре скре­щи­ва­ю­щи­е­ся ребра пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Каж­дая сто­ро­на се­че­ния яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей со­от­вет­ству­ю­щей грани, ко­то­рая, как из­вест­но, в 2 раза мень­ше па­рал­лель­ной ей сто­ро­ны и равна по­это­му 0,5. Зна­чит се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат со сто­ро­ной 0,5. Тогда пло­щадь се­че­ния .

B 13 № 27182.  Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 12. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

По­яс­не­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен  а объем пи­ра­ми­ды равен . Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна вы­со­те па­рал­ле­ле­пи­пе­да, а ее ос­но­ва­ние вдвое мень­ше, по­это­му

B 13 № 27184.  Объем куба равен 12. Най­ди­те объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся грань куба, а вер­ши­ной — центр куба.

По­яс­не­ние.

Объем пи­ра­ми­ды равен

.Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

Куб со­сто­ит из 6 таких пи­ра­мид, объем каж­дой из них равен 2.

B 13 № 77154.  Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да , если объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды  равен 3.

По­яс­не­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где  – пло­щадь ос­но­ва­ния,  – вы­со­та. Объем пи­ра­ми­ды равен , где  – пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, рав­ная по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в 6 раз боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды .

B 13 № 284351. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де   — се­ре­ди­на ребра ,  — вер­ши­на. Из­вест­но, что, а . Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти.

По­яс­не­ние.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му:

B 13 № 284356. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Объем пи­ра­ми­ды равен , . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка .

По­яс­не­ние.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, по­это­му,  яв­ля­ет­ся цен­тром ос­но­ва­ния, а  — вы­со­той пи­ра­ми­ды . Ее объем вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Тогда

.

Ответ: 3.