Сборник материалов для подготовки к ОГЭ по математике

Задачи на геометрические прогрессии - простые задачи

Легкий уровень

№1. Найдите знаменатель q геометрической прогрессии (a_n), для которой a₁=5, a₂=15

№2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (a_n), определенной a₁=1 и q=12

№3. Пусть (a_n) есть геометрическая прогрессия, определенная a₁=1 и q=5. Найдите сумму a₁+a₂+a₃+a₄+a₅ 

№4. Пусть (a_n) есть геометрической прогрессией, такой что a₁=2 и q=3. Найдите сумму первых пяти элементов.

№5. Пусть (a_n) - возрастающая геометрическая прогрессия. Если a₁=2 и a₅=162, определите a₃

№6. (a_n) -геометрическая прогрессия. Если a₁=5 и a₂=10, найдите a₆

№7. Пусть (a_n) - геометрическая прогрессия со знаменателем q=13. Если a₄=12, найдите a₁.

№8. Найдите четвертый член геометрической прогрессии (a_n), для которой a₁=2 и q=3.

№9. Найдите знаменатель q переменной геометрической прогрессии (a_n), для которой a₁=125, a₂=−25 и a₃=5.

№10.  Определите знаменатель q геометрической прогрессии (a_n), для которой a₁=5 и a₄=−40

№11. Определите знаменатель q увеличивающейся геометрической прогрессии (a_n), для которой a₁=5 и a₃=20.

№12. Найдите знаменатель q геометрической прогрессии (a_n), для которой a₁=−1, a₂=5

№13. Определите значение a₃, если (a_n)есть геометрическая прогрессия и a₄-a₂=18, a₅ –a₃=36.

Средний уровень

№1. Дана геометрическая прогрессия (a_n), для которой a₁=15 и q=−4. Найдите ее шестой член.

№2. Найдите второй член геометрической прогрессии (a_n), которые удовлетворяет условию a₂+a₅ –a₄=10, a₃+a₆ – a₅=20.

№3. Найдите 0,272727(27) в виде дроби.

№4. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии есть S₁=6. Сумма квадратов всех членов той же прогрессии S₂=18. Найдите первый член этой прогрессии.

№5. Определите знаменатель q геометрической прогрессии (a_n), для которой a₁=1 и S₄=40

№6. Найдите знаменатель q геометрической прогрессии (a_n), для которой S=15 и a₁=9

№7. Найдите знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии (a_n), для которой S=7 и a₁=4

№8. Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (a_n), для которой a_n=.

№9. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, явно определённой a_n=.

№10. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (a_n)=.

№11. Найдите произведение первых 7 членов геометрической прогрессии (a_n), определённой как: a₁=, q=11.

№12. Пусть (a_n) есть переменной геометрической прогрессией. Если a₁=5 и a₇=405.  Чему равно a₄?

№13. Найдите сумму первых 5 степеней 7.

№14. Пусть (a_n) есть геометрической прогрессия, определённая a₁=2 и q=−2. Найдите сумму её первых 10 элементов.

№15. Пусть x₁, x₂ будут корнями произведения x²−3x+a=0 и y₁, y₂ будут корнями произведения x²−12x−b=0. Если x₁, x₂, y₁, y₂ образуют возрастающую геометрическую прогрессию в указанном порядке определения значения a, b.

Сложный уровень

№1. Дана последовательность, определённая как a₁=1;a_n+1−a_n=3n, найдите значение a₁₀.

№2. a,b,c является геометрической прогрессией (a,b,c - действительные числа). Если a+b+c=26 и a²+b²+c²=364, найти b.

№3. Найдите бесконечную сумму S=1+2. +3.)²+...+(n+1).()ⁿ+...

391) Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 18, а ее первый член равен 12.
392) Найдите первый член геометрической прогрессии, если известно, что сумма 6 первых ее членов равна 6552, а знаменатель равен 3.
393) Найдите знаменатель геометрической профессии, если известно, что сумма 4 се первых членов равна 8736, а се первый член равен 56.
394) Найдите третий член бесконечной геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 66, а се первый член равен 33.
395) Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что сумма 5 ее первых членов равна 713, а ее знаменатель равен 2.
398) Первый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии равен 8, а ее сумма равна 16. Найдите сумму третьего и четвертого членов этой геометрической прогрессии.
399) Третий член геометрической профессии с положительным знаменателем равен 9, а сумма первого члена со вторым равна 4. Найдите пятый член этой геометрической прогрессии.
400) В геометрической прогрессии с положительным знаменателем третий член равен 4, а пятый 16. Найдите сумму первых 10 членов этой геометрической прогрессии.

советую знать 2 способа решения задачи. В 1-ом способе решения, вам нужно узнать лишь знаменатель прогрессии q, который находим делением последующего члена на предыдущий, например, q=1:2=1/2. Значит получается, что каждый следующий член получается делением на 2, их легко угадать: 1/2, 1/4. Затем просто складываем все члены прогрессии и получим ответ 7,75. Во втором способе нужно знать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии S(n), где n-это количество членов прогрессии. Данной формулой есть смысл пользоваться,лишь при большом количестве членов геометрической прогрессии.

В данной задаче на арифметическую прогрессию, мы вначале находим разность d, где из последующего члена отнимаем предыдущий, получим 4. Далее найдем a₁₁ по любой из 3 формул, ответом будет 46.

Следующая задача ГИА по математике 2014 похожа на предыдущую, но здесь вначале надо найти 2-ой член арифметической прогрессии по формуле. Затем находим разность d и 10-ый член прогрессии.

Данная задача гиа по математике на арифметическую прогрессию требует найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии. Для этого как обычно находим разность d, затем 50-ый член прогрессии. В конце решения подставляем готовые числа в формулу суммы и находим ответ 2100.

Простое задание на арифметическую прогрессию, находим разность, а затем нужный член.

В этом задании ГИА по математике мы поочередно подставляем натуральные числа: 1,2,3 и т.д. в формулу вместо буквы n. Считаем результаты и находим, что число 7/2 является членом последовательности.

В начале решения задачи на арифметическую прогрессию, выражение с формулой преобразуем в неравенство большое единицы. Решая неравенство, находим, что n<5,5 и значит n=5, поскольку в условии n - это натуральные числа.

Еще одна интересная задачка на арифметическую прогрессию, когда известны 2 члена, причем не порядковых. В начале мы, как всегда, находим разность d, выражая больший член через меньший, решаем уравнение и получаем d=5. Затем, используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, находим S₄, предварительно найдя a₄ равное 23. Подставим числа в формулу, получим в ответе 62.

Простое задание, здесь нужно знать, что арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, изменяющихся на одно и тоже число (т.е. одинаковое число прибавляется, либо отнимается). Таким образом, верный вариант ответа - 1), т.к. там всё время отнимается число 3.

В этом задании гиа 2014, мы подставляем вместо буквы n число 11, проверкой убеждаемся, что 4)-ый вариант ответа нам подходит, т.к. -14 меньше -11.

Рассмотрим задание ГИА по математике 2014 на геометрическую прогрессию. В задаче нужно найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Для этого вначале мы находим знаменатель q=b₂/b₁ или b₃/b₂, получим число 3. Затем вспоминаем формулу суммы членов геометрической прогрессии S_n=b₁*(qⁿ-1)/(q-1), подставим туда значения первого члена и знаменателя, получим в ответе 242.

В данной задаче по алгебре на геометрическую прогрессию самым главным является нахождение знаменателя q, равный отношению последующего члена на предыдущий. Знаменатель равен 2, на который умножаем каждый член геометрической прогрессии, получим 2/9, 2/3, 2, 6, 18, 54. Сумма со второго по шестой член равна 2+6+18+54=80.

В этой задаче ГИА по математике мы вначале находим знаменатель геометрической прогрессии q, где последующий член делим на предыдущий, получим q=-3. Затем по любой из 3-х формул находим седьмой член геометрической прогрессии b₇, в ответе получим -243.

В этом задании ГИА 2014 вспоминаем понятие геометрической прогрессии - это последовательность чисел, где каждое последующее число увеличивается или уменьшается во сколько-то раз (т.е. умножаем или делим на одно и тоже число). Значит ответом будет вариант 3), т.к. там все время умножаем на (-3).

Вспоминаем, что убывающая геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, которые постоянно уменьшаются во сколько-то раз. Значит ответом будет вариант 3) 16, 8, 4.