Система работы с одарёнными детьми

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ГОРОД НОЯБРЬСК АДМИНИСТРАЦИЯ ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ЯНАО Система работы с одарёнными детьми Материалы городской творческой группы учителей математики по реализации концепции математического образования Ноябрьск 2015 ВВЕДЕНИЕ. Каждый   человек   целая   вселенная,   а   его   жизнь   уникальна.   В   школе   мы наблюдаем, как растут наши дети, насколько они все разные, неповторимые, кто­то проявляет интерес к науке, кто­то хорошо рисует и пишет стихи. Сколько детей столько способностей. Главные задачи современной школы – раскрыть способности каждого   ученика,   воспитать   граждан,   готовых   к   жизни   в   высокотехнологичном, конкурентном   мире,   способных   решать   стратегические   задачи   государства   и обладающих   важнейшими   качествами   личности.   В   формировании   многих   качеств, необходимых   успешному   современному   человеку,   может   большую   роль   сыграть школьная   дисциплина   –   математика.   На   уроках   математики   школьники   учатся рассуждать,  доказывать,  находить   рациональные   пути   выполнения   заданий,  делать   Правильно   поставленное   обучение   должно соответствующие   выводы. совершенствовать   склонность   к   познанию   и   исследованию   окружающего   мира, способствовать   развитию   соответствующих   умений   и   навыков.   Выявление   и поддержка   одаренных   учащихся   ­   важная   цель   всей   учебно­воспитательной деятельности. «Одаренность»   происходит   от   слова  «дар»  и   означает,   прежде   всего,   особо благоприятные внутренние предпосылки развития. В законе РФ «Об образовании» указывается на необходимость развития творческих возможностей одарённых детей, которые в дальнейшем станут носителями ведущих идей общественного процесса. Сегодня   необходимо   предоставить   каждому   обучающемуся   сферу   деятельности, необходимую   для   реализации   интеллектуальных   и   творческих   способностей, формирования потребности в непрерывном самообразовании, активной гражданской позиции,  культуры   здоровья,  способности   к   социальной   адаптации   и   творческому самовыражению.  «Одаренный ребенок — это ребенок, который выделяется яркими, очевидными, иногда   выдающимися   достижениями (или  имеет  внутренние предпосылки  для  таких достижений)   в   том   или   ином   виде   деятельности.  В   специальной   литературе   чаще всего выделяют несколько категорий детей, которых обычно и называют одаренными: 1. дети   с   высокими   показателями   по   специальным   тестам   интеллекта (интеллектуальная одаренность); 2. дети с высоким уровнем творческих способностей (творческая одаренность); 3. дети, достигшие успехов в каких­либо областях деятельности (юные музыканты, художники, математики, шахматисты и др.); эту категорию детей чаще называют талантливыми; 4. дети, хорошо обучающиеся в школе (академическая одаренность). Одаренность представляет собой сочетание трех характеристик: 1. интеллектуальных способностей (превышающих средний уровень); 2. творческости; 3. настойчивости (мотивация, ориентированная на задачу). Для   того   чтобы   рассмотреть   проблему   развития   общих   и   специальных способностей,   можно   применить  популярный   в   биологии   и   практически   не используемый в психологии научный прием­метод модельных систем. Как известно, природа   строит   свои   системы   по  общим   законам,   и   алгоритмы   развития используются  одни и те же, то есть одна природная система вполне может служить моделью другой. В качестве такой модельной системы нам послужит... живое дерево! Корни   дерева   скрыты   под   землей   —   так   скрыты   от  непосредственного наблюдения природные, генетические задатки человеческой психики. Ствол дерева, его  мощь, крепость и другие характеристики  зависят и от  того, каковы скрытые корни, и от влияния многих внешних параметров и условий. Ствол — это в нашем случае аналог тех самых общих способностей или общей одаренности, той универсальной характеристики,   от   которой   берут   начало   многочисленные   «ветви»   —   частные проявления одаренности.  От ствола отходят сначала крупные ветви, они становятся тоньше, делятся; тонкие ветви, в свою очередь, делятся еще и еще... Чем больше у человека развитых частных способностей — «ветвей», чем выше уровень развития каждой,  тем пышнее, ветвистее крона нашего воображаемого де­ рева. Чем равномернее, гармоничнее развиты эти частные способности (ветви), тем более органичным выглядит воображаемое дерево. Салтыкова О.В. учитель математики  МБОУ СОШ №7  Долгий путь начинается с первого шага. (восточная мудрость)  «Организация  подготовки учащихся 5­6 классов к математическим олимпиадам» 1 занятие 1.1. Света, Марина, Андрей, Кирилл и Юра держат домашних животных. У каждого либо   кошка,   либо   собака,   либо   попугай.   Девочки   не   держат   собак,   а   мальчики попугаев. У Светы нет кошки. У Светы и Марины разные животные. У Марины и Андрея   –   одинаковые.   У   Андрея   и   Кирилла   –   разные.   У   Кирилла   и   Юры   – одинаковые. Какие животные у каждого из них? 1.2.  Решите ребус  AAA  AA  A CC . 1.3.   Паша   задумал   число.   Прибавил   к   нему   три.   Умножил   на   два.   Вычел   пять. Разделил на три. Получил пять. Какое число он задумал? 1.4. У почтальона несколько коробок, в каждой из которых ровно 100 конвертов. Чтобы отсчитать 10 конвертов почтальону требуется 10 секунд. За какое наименьшее время он отсчитает 70 конвертов? 1.5. Покажите, как разрезать изображенный на рисунке прямоугольник с «дыркой» на пять различных фигур, состоящих из одинакового количества клеток.   2 занятие 2.1.   Сумма   уменьшаемого,   вычитаемого   и   разности   равна   32.   Чему   равно уменьшаемое? 2.2.   Среди трех одинаковых по виду монет одна фальшивая. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивая монета легче. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?  2.3.     Докажите,   что   из   трех   натуральных   чисел   всегда   можно   найти   два,   сумма которых делится на 2 2.4.  Было 8 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на четыре части. Всего стало 20 листов. Сколько листов бумаги разрезали? 2.5.  Разделите фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части, в   каждой   части   был   ровно   один   кружок   (нарисовать   крупный чтобы рисунок). 2.6. В зоопарке живут птицы и звери. У птиц две ноги, у зверей 4. Всего в зоопарке 30 голов и 100 ног. Сколько птиц живет в зоопарке. 3 занятие 3.1. Кирилл пошел с братом в тир. Уговор был такой: Кирилл делает 9 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 6 выстрела. Всего он сделал 99 выстрелов. Сколько раз Кирилл попал в цель?   3.2.   Разрежьте   данную   фигуру   по   сторонам   клеток   так,   чтобы   все   части   были одинакового размера и формы. 3.3 Можно ли из таблицы выбрать 5 чисел, так, чтобы их сумма делилась на 20? 5 7 9 3 5 7 1 3 5 9 1 1 1 3.4 Петя пронумеровал все страницы в тетради. При этом он написал 207 цифры. Сколько страниц в тетради? 3.5.   Вставьте числа от 1 до 8 так, чтобы все равенства выполнялись (находить все решения не требуется). Домашняя олимпиада № 1 : + = = + = + = 7553753119911 1. Докажите, что из трех натуральных чисел всегда можно найти два, сумма которых делится на два. 2. Есть девять монет. Одна из них фальшивая, она весит меньше чем настоящие (все настоящие весят одинаково). Как за два взвешивания на чашечных весах найти фальшивую монету? 3. Две черепахи ползут наперегонки. Первая проползает 4 метра за 7 часов, а вторая 5 метров за 9 часов. Какая черепаха ползет быстрее? 4. Найдите значение выражения  НОСЛРАК ЕЬНЕРАВ   .  5. Разделите   фигуру   на   четыре   равные   части   (сделать   крупный 4 занятие 4.1. Группа детского сада построилась парами мальчик с девочкой. Илья, идущий в паре с Юлей, насчитал впереди себя 5 мальчиков, а Юля позади себя — 4 девочки. Сколько детей в группе?  4.2. Как расставить 5 стульев вдоль стен в прямоугольной комнате, чтобы у каждой стены стояло ровно по 2 стула? 4.3  Замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные — разными так, чтобы выполнялось равенство:  Д – В – А = Д : В : А = 2. 4.4  Ручка с колпачком стоит 10 рублей, при этом колпачок на 9 рублей дешевле ручки. Сколько стоит ручка? 4.5. В кастрюле ухи плавают по 10 кусочков моркови, картошки, курицы и колбасы. Сколько кусочков надо домовому вытащить не глядя, чтобы среди них нашлись 3 одинаковых? 4.6. На первых трех уроках Вася получил по одной оценке: 3, 4 и 5. Дома он сказал: «Пятерку я получил не на третьем уроке. А четверку получил на втором». Потом оказалось, что оба раза Вася сказал неправду. На каком уроке Вася получил тройку? 4.7.  Из 2011 монет одна отличается по весу. Как за два взвешивания определить, легче она или тяжелее? Находить фальшивую монету при этом не нужно. 4.8. Расставьте в квадрате 4×4 одного короля, одного слона и двух ладей так, чтобы они не били друг друга. 4.9. Неправильные пчелы сделали килограмм меда и складывают его в огромные соты в виде квадрата 4×4. Винни­Пух сумел договориться с директором пасеки, что пчелы разрешат ему съесть весь мед из любых трех подряд идущих ячеек (по вертикали или по горизонтали). При этом пчелы могут разложить мед по ячейкам так, как считают нужным, даже весь мед в одну ячейку. Винни­Пух хочет получить как можно больше. Пчелы   хотят   отдать   как   можно   меньше.   Винни­Пух   очень   умный.   Пчелы   тоже. Сколько меду достанется Винни? 5 занятие 5.1. Расставьте цифры от 1 до 9 в кружки так, чтобы получалось три верных равенства. 5.2. Разность двух чисел равна 57. Если у большего числа (двузначного) зачеркнуть цифру единиц, равную 3, то получится меньшее число. Найти эти числа. 5.3. Три ёжика делили три кусочка сыра массами 15 г, 18 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 2 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра? 5.4. В ящиках  №1, №2, №3 – лежит по одному шарику: белый, черный, зеленый. На первом ящике надпись: “белый”, на втором – “черный”, а на третьем – “белый или зеленый”. Но ни одна надпись не соответствует действительности. Где какие шарики? 5.5. На доске написано 2011 натуральных чисел. Доказать, что одно из них можно стереть так, чтобы сумма оставшихся чисел была чётной. 6 занятие (Домашняя олимпиада № 2) 6.1. Расставьте числа 1, 2, 3, ..., 10 по кругу так, чтобы разность любых двух соседей была равна 2 или 3. Написать ход решения. Найти все решения. 6.2.  Пройдите   лабиринт.     Дважды   проходить   через   одно   место   нельзя.   Закрасить коридоры, по которым прошел путь. (Вырежьте рисунок и наклейте в тетрадь) 6.3. Два пирата играли в лото на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго ­ 33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры? 6.4.  Есть три монеты. Две настоящие. Одна фальшивая, она весит по­другому, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих. Как ее найти всего за два взвешивания? 6.5. Расстояние между Атосом и Арамисом, едущими верхом по дороге, равно 20 лье. За один час Атос проезжает 4 лье, а Арамис ­ 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час? 7 занятие 7.1. Аквариум с рыбками стоит 100 рублей. Причем рыбки стоят на 90 рублей дороже аквариума. Сколько стоит аквариум? 7.2. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к тому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале? 7.3. На окраску кубика 2x2x2 требуется 12 г краски. Сколько краски потребуется, чтобы окрасить кубик 6х6х6? 7.4 Во сколько раз число, показывающее, во сколько раз скорость секундной стрелки больше скорости минутной, больше числа, показывающего, во сколько раз скорость минутной стрелки больше скорости часовой стрелки (обосновать решение)? 7.5. Проведите 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было ровно три из отмеченных точек. 8 занятие (Домашняя олимпиада № 3)  8.1. Во время прогулки по лесу Коля каждые 40 метров находил гриб. Какой путь он прошёл от первого гриба до последнего, если всего он нашёл 15 грибов (шел он по прямой)? 8.2.   Между   цифрами   двузначного   числа   вставили   ноль,   в   результате   чего   оно увеличилось в 9 раз. Найдите все такие числа. 8.3. Как отмерить 20 минут для варки каши, имея песочные часы на 9 минут и на 7 минут? 8.4. 108 спичек разложили в 15 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечетным числом? 8.5.  Из книги  выпал  кусок, состоящий  из  подряд идущих листов. Оказалось, что номера   первой   и   последней   его   страниц   –   трехзначные   числа,   в   записи   которых участвуют   цифры   1,   5,   и   8   (каждая   цифра   по   разу).   Сколько   страниц   содержит выпавший кусок? 8.6. Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на равные части по линиям сетки так,   чтобы   в   каждой   из   частей   был   только   один   кружок 9 занятие 9.1. Если в неизвестном пятизначном числе зачеркнуть крайнюю справа цифру 2, то оно уменьшится на 31061. Найдите это число (решение полностью обосновать). 9.2. Как построить 6 маяков, чтобы из каждого было видно ровно 4 остальных (маяк на маяк ставить нельзя, гор и других препятствий нет)?  Маяк считать точкой. 9.3.   Найдите   все   простые   двухзначные   числа,   для   записи   которых   используются цифры,   не   являющиеся   простым   числом.   (Простым   числом   называется   число, которое имеет ровно два делителя: себя и единицу). 9.4. В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если 15 из них занимаются математикой, биологией – 20, а математикой и биологией – 10? 9.5.   Профессор  латыни  выиграл  10 000  евро.  Деньги  он  решил разделить  между внуками: Марина (Marina) получает 1000 евро, Даниэль (Daniel) – 500, Кристина (Christine) – 100, Леон  (Leon) – 50, Ксафер (Xaver) – 10, Виктория (Viktoria) – 5, а Инго (Ingo) – только 1 евро.   Дед говорит: ”Кто угадает, почему я так поделил деньги, получит оставшиеся 8334 евро”. 10 занятие 10.1.   В   первый   день   на   озере   расцвела   одна   лилия.   Каждый   следующий   день количество   цветов   на   озере   удваивалось,   и   через   20   дней   все   озеро   покрылось цветами. Через сколько дней все озеро покрылось бы цветами, если бы в первый день на озере расцвели две лилии? 10.2.  а)  Можно  ли  разрезать  шахматную  доску   с  вырезанной  угловой   клеткой  на «доминошки»? б) А если вырезаны две противоположные угловые клетки? 10.3. Можно ли отмерить 8 литров воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью 15 литров, другое —16 литров? 10.4. В двух кучках лежат конфеты — по 8 конфет в каждой. Играют двое. Ход состоит в том, что игрок съедает несколько конфет, но только из какой­либо одной кучки.   Побеждает   тот,   кому   достанется   последняя   конфета.   Кто   выиграет   при правильной игре и как он должен играть? 10.5.   Плоскость   окрашена   в   два   цвета.   Докажите,   что   найдутся   две   точки   на расстоянии ровно 1 м, которые окрашены  а) в один цвет; б) в разные цвета. 10.6. Разрежьте каждую из фигур на четыре равные части. (Резать можно только по сторонам и диагоналям клеточек.) 11 занятие 11.1. Вася провел каникулы на даче. На велосипеде он катался по вечерам, а в теннис играл по утрам. Но сил его хватало только на одно развлечение в день. А иногда он целый день ничего не делал. Итак, 13 раз он ничего не делал утром, 14 вечеров он оставался дома, и было 11 дней, в которые он катался или играл в теннис. Сколько дней длились его каникулы? 11.2.   Алфавит   племени   Мумбо­Юмбо   состоит   из   трех   букв:   А,   Б   и   В.   Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо­Юмбо? 11.3.   Если   Сережа   поедет   в   школу   автобусом,   а   обратно   пойдет   пешком,   то   он затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же туда и обратно он поедет автобусом, то потратит 30 мин. Сколько времени он потрптит, если пройдет весь путь пешком? 11.4. Сколько нулей стоит на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 30 (ответить на вопрос не производя вычислений)? 11.5 На доске были написаны натуральные числа 23, 22, 8, 5, 24, 12, 7, 13, 4. Вася и Леша стерли по четыре числа. Оказалось, что сумма чисел, стертых Лешей, втрое больше, чем сумма чисел, стертых Васей. Какое число осталось на доске? 12 занятие 12.1. Если кубический метр разрезать на кубические миллиметры и составить из них столб, то какова будет его высота? 12.2.  Сумма цифр  некоторого натурального числа A равна B, сумма цифр числа B равна   C.   Известно,   что   сумма   чисел   A,   B   и   C   равна   60.   Чему   равно   число   A? Замечание: Сумма цифра однозначного числа равна этому числу. 12.3. Сколько раз к наибольшему однозначному числу нужно прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трехзначное число? 12.4. Продолжите ряд 77, 49, 36, 18... Объясните закономерность. 12.5. Петя говорит: «Вася, знаешь, у меня есть три гири (каждая гиря весит целое число килограмм). Если перемножить их вес получится 100, а если сложить, то получится твой возраст. Догадайся, сколько весит каждая из гирь».  Вася: «Не знаю».  Петя: «Ой забыл сказать, самая легкая гиря синяя».  Вася: «Ну тогда ясно! Они весят…». А сколько они весят? 13 занятие 13.1. Сколько пересечений нельзя получить с помощью 4­х отрезков: 3, 4, 5, 6, 7? Если какой­то нельзя то почему, как можно получить остальные? 13.2.   Используя   ЧИСЛА   2,   5,   8,   9   и   знаки   арифметических   действий   (сложить, вычесть, умножить, разделить и скобки) получите 52. 13.3. На электронных часах высвечиваются 4 цифры – часы (от 0 до 23) и минуты. Сколько времени в сутки хотя бы на одном из мест горит цифра 2? 13.4.   Можно   ли   соединить   13   городов   дорогами   так,   чтобы   из   каждого   города выходило ровно 5 дорог? 13.5. Все целые числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Какая цифра стоит на 2009 месте? (ответ полностью обосновать). 14 занятие  14.1. Закончите следующие утверждения:  А) Произведение нескольких множителей нечетно тогда и только тогда, когда … Б) Произведение нескольких множителей четно тогда и только тогда… В) Сумма нескольких слагаемых четна тогда и только тогда… 14.2.     Придумайте   а)   три;   б)   четыре   натуральных   числа,   сумма   и   произведение которых нечетны 14.3.  Можно ли разменять купюру в 25 рублей на десять купюр по 1, 3 и 5 рублей? 14.4.   Можно ли расставить в клетках таблицы 4х4 натуральные числа так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждой строке, и произведения чисел, стоящих в каждом столбце, были нечетны?  14.5.  В конференции принимало участие 19 ученых. После конференции каждый из них отправил по 2 или 4 письма другим ученым, бывшим на конференции. Каждый из участников получил по 3 письма.  Докажите, что некоторые письма затерялись. 14.6.   Парламент некоторой страны состоит из двух палат, имеющих равное число депутатов.   В   голосовании   по   важному   вопросу   приняли   участие   все   депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как он это понял? 14.7.  Можно ли доску размером 5х5 разрезать на прямоугольники размером 1х2? 15 занятие (Домашняя олимпиада № 4) 1. Вася провел каникулы на даче. На велосипеде он катался по вечерам, а в теннис играл по утрам. Но сил его хватало только на одно развлечение в день. А иногда он целый день ничего не делал. Итак, 13 раз он ничего не делал утром, 14 вечеров он оставался дома, и было 11 дней, в которые он катался или играл в теннис. Сколько дней длились его каникулы? 2. Алфавит племени Мумбо­Юмбо состоит из трех букв: А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо­Юмбо? 3. Если Сережа поедет в школу автобусом, а обратно пойдет пешком, то он затратит на весь путь 1 ч 30 мин. Если же туда и обратно он поедет автобусом, то потратит 30 мин. Сколько времени он потратит, если пройдет весь путь пешком? 4. Сколько нулей стоит на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 30 (ответить на вопрос не производя вычислений)? 5.  На доске были написаны натуральные числа 23, 22, 8, 5, 24, 12, 7, 13, 4. Вася и Леша стерли по четыре числа. Оказалось, что сумма чисел, стертых Лешей, втрое больше, чем сумма чисел, стертых Васей. Какое число осталось на доске? 6. Нарисуйте фигуру, которую можно одним прямым разрезом разделить на 5 частей (не обязательно одинаковых. 16 занятие (Домашняя олимпиада № 5)  1. Расставьте в квадратной комнате вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну. 2. Пока Фродо спал, кто­то украл у него Кольцо. Гендальф спросил, кто из  пяти их спутников его украл.  Леголас сказал:  “Это Гимли или Арагорн”.  Гимли сказал: “Это сделал не я и не Мерри”.  Арагорн сказал:  “Вы оба ошибаетесь”.  Пипин сказал: “Нет. Один сказал правду, а другой солгал”. Мерри сказал: “Пипин, ты не прав”. Гендальф знает, что трое из опрошенных всегда говорят правду. Кто украл Кольцо? 3. По кругу выписаны 10 чисел. Известно, что сумма любых 3 подряд идущих равна 18. Чему равна сумма всех чисел? 4. В наборе 23 гири массой 1, 2, ..., 23 кг. Можно ли их разложить на две равные по массе кучки, если гиря в 21 кг потеряна? 5.  Упакуйте 5 плиток   указанной формы в коробку размера 7х7. Плитки можно поворачивать и переворачивать, но нельзя   накладываться друг на друга (в коробке могут оставаться незаполненные места)  6. Деревянный куб размера 4×4×4 покрасили красной краской и распилили на кубики 1×1×1. а)Сколько кубиков 1×1×1 получилось? б)Сколько кубиков 1×1×1 оказалось неокрашенными? в)У скольких кубиков 1×1×1 окрашено ровно две грани? 7.  Программисты   одного   НИИ   решили   соединить   имеющиеся   у   них   2011 компьютеров   проводами   так,  чтобы   каждый   из   них   был   соединен   ровно   с  пятью другими. Удастся ли программистам осуществить свой замысел? 8. Художник Худобеднов за месяц работы написал 42 картины. На 17 из них есть лес, на 29 — река, а на 13 — и то, и другое; на остальных картинах — не пойми что. Сколько картин изображают не пойми что? 9. В прямоугольной таблице 8 столбцов чисел, сумма чисел в каждом столбце — по 10, а в каждой строке — по 20. Сколько в таблице строк? 10.  На очень узкой дороге встретились 6 машин: три ехали в одну сторону и три в другую. Как им разъехаться, если сбоку есть стоянка, куда может заехать только однамашина?  17 занятие 17.1. В комнату в первый час влетел 1 комар, во второй – два комара, в третий – три, и так далее. На второй час в комнату ворвался Вася и начал истреблять комаров. Он сразу убил одного. На следующий час – двух, еще на следующий – трех, и так далее. Сколько комаров будет в комнате на 24 час с момента залетания в комнату первого комара? 17.2. Можно ли доску а) 10х10, б) 12х12 замостить плитками указанного вида (плитки можно поворачивать и переворачивать)?  17.3. Можно ли расставить в вершинах куба различные натуральные числа так, что каждое число — делитель произведения трех чисел, соединенных с данным числом ребром куба? 17.4. Профессор и его Помощник по очереди пилили кость. В свой черед Профессор пилил   какой­нибудь   фрагмент   кости   на   шесть   частей,   а   Помощник   на   девять.   В результате   кость   была   распилена   на   279   кусков.   Кто   начал   пилить   кость   и   кто закончил? 17.5. Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части. Резать можно только по линиям сетки.  18 занятие 18.1.Восстановите   поврежденную   арифметическую   запись.   Со   всеми пояснениями. 18.2. У  Маши  было  несколько  конфет (меньше  100). Если  их  разложить   парами, тройками, четверками, то каждый раз будет оставаться одна конфета. Если же их разложить по 5 штук, то ни одной лишней конфеты не останется. Сколько конфет может быть  у Маши (найти все варианты)? 18.3. На скамейке сидели три девочки Надя, Валя и Маша. На них были   красное, белое, синее платья. Туфли их были тех же цветов, но только у Нади цвет туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была   в   красных   туфлях.   Определите   цвет   платьев   и   туфель   каждой   из   девочек. (Решение полностью объяснить) 18.4. На столе лежат 100 внешне одинаковых гирек. Известно, что все они весят 1 г, но одна или две из них — по 2 г. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без других гирь узнать, сколько гирек по 2 г среди имеющихся гирек? 18.5. Фигуры вдвинуты в коробку сверху (т.е. их опускали ровно вниз, двигать их внутри коробки какой влево­вправо нельзя).     В   последовательности   они   были   положены? Сколько всего есть различных способов? 19 занятие 19.1. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти баллов получили  180  человек,  а  выдержали   экзамен  210  абитуриентов.  Сколько   человек получили оценки 3 и 4? 19.2. В саду нужно посадить 9 яблонь так, чтобы они образовывали 10 рядов по три яблони. : + = = = + = 19.3. Расставьте в клетки цифры от 1 до 9 так, чтобы все равенства выполнялись 19.4. Ученики матшколы участвуют в спортивных соревнованиях. Команда из трех человек   должна   преодолеть   дистанцию   в   3   км.   На   команду   выдается   один одноместный   велосипед.   Трасса   –   прямая,   все   трое   стартуют   одновременно, результат команды – время последнего прибежавшего. Лучшее время соперников – 21 минута. Как учащимся матшколы пробежать/проехать трассу, чтобы победить? Каждый из матшкольников бежит со скоростью 125 м/мин, а едет на велосипеде  – 250 м/мин (решение обосновать). 19.5. Сколько произведений, кратных 77, можно образовать из чисел 3, 5, 7, 7, 9, 11 (обосновать)?  20 занятие 20.1. Заполнить таблицу: Каждой букве соответствует единственное число от 1 до 5. Разные буквы ­  разные числа. При замене букв соответствующими числами равенства оказываются   верными.       На   пересечении   столбца   с   цифрой   и   строки   с   буквой ставится «+» если буква соответствует данной цифре, в противном случае ставится «­». Обосновать заполнение каждой клетки таблицы.  1) D + B = A + C; 2) 2E = C + 5; 3) D + C = E. 1 2 3 4 5 A B C D E 20.2.  Гора  Фудзияма   имеет   высоту  300м   и  весит  900 000  тонн.  В сувенирной   лавке   продается   ее   уменьшенная   копия,   всего   30   см высотой. Сколько она весит?  20.3. Продолжите последовательность и укажите закономерность: 2, 12, 1112, 3112, 132112, 1113122112, …. 20.4. Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если:   а)   никакая   цифра   не   повторяется   более   одного   раза;   б)   повторения   цифр допустимы;  в) числа должны быть нечетными и повторений цифр быть не должно? 20.5.   Расставить   числа   от   1   до   8   в кружочки так, чтобы никакие две соседние цифры не находились в соседних кружочках (на концах одного отрезка). 21 занятие 21.1. Маша купила в магазине тетради по 13 рублей и блокноты по 15 рублей. За всю покупку  она  заплатила  ровно 339 рублей. Сколько  тетрадей и блокнотов  купила Маша? (Решать без уравнений и систем!) 21.2. Найдите четырёхзначное число, у которого сумма первых трёх цифр равна 19, а сумма последних трёх цифр равна 27. 21.3. Из стандартных игральных кубиков ученики строили башни, причем любые два кубика касаются гранями, сумма точек на которых равна 8. Вася утверждает, что его пятиэтажная   башня   самая   высока   из   возможных,   а   Петя   утверждает,   что   можно сделать и 8 этажную башню. Кто прав (обосновать)? 21.4.   Данилко   продает   Жигули   за   200   000   гривен.   Сашко   соглашается   купить Жигули, но говорит, что у него есть чек на 500 000 гривен и предлагает Данилко его обналичить.   Данилко   обналичивает   в   банке   чек   и   возвращает   Сашко   300   000   и Жигули.   Через   несколько   дней   из   банка   сообщают,   что   чек   был   поддельный   и требуют с Данилки 500 000. Сашко уехал за границу и потребовать от него деньги или   машину   у   Сашко   дне   может.   Сколько   денег   потерял   Данилко   в   результате сделки? 21.5. Можно ли в клетки таблицы 4 х4 записать числа 1, 2, 3, ..., 16 так, чтобы сумма чисел   в   каждой   строчке   делилась   на 3?   Если   возможно,   то   покажите   как,   иначе обоснуйте, почему этого сделать нельзя. 22 занятие 22.1. Разделите фигуру на четыре равные части: 22.2.  Два   попугайчика   и  хомячок   стоят  176  рублей,  а  два   хомячка   и попугайчик – 139 рублей. Сколько стоят один хомячок и один попугайчик вместе? Решить   задачу   не   решая   уравнений,   и   не   находя   стоимости   ни хомячка, ни попугайчика. 22.3.   Есть   5   прозрачных   вертикальных   полосок   с   числами   и знаками.   Их   можно   располагать   в   любом   порядке   и   можно   перевернуть.   Нужно получить запись 4­х верных равенств (горизонтальных строк). По пунктам указать все выполненные действия. 22.4.   Два   охотника   отправились   одновременно   навстречу   друг   другу   из   двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шел со скоростью 5 км/ч, а второй – 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8   км/ч.   Собака   сразу   же   побежала   навстречу   второму   охотнику,   встретила   его, тявкнула, повернула и с той же скоростью побежала навстречу хозяину, и так далее. Так   она   бегала   до   тех   пор,   пока   охотники   не   встретились.   Сколько   километров пробежала собака? 22.5.   Кот   Матроскин   изготовляет   сосиски   длинными   связкам   –   они   соединены целлофановой пленкой. Связку из трех сарделек легко превратить в треугольник. Сколько   треугольников   можно   сделать   из   связки   в   9   сарделек,   не   разрывая   ее, указать все варианты (все треугольники должны быть правильными, т.е. все стороны треугольника   равны;   не   должно   оставаться   сосисок     не   входящих   ни   в   один   из треугольников)? 23 занятие 23.1.   Назовем   число   «нечетным»,   если   сумма   любых   двух   его   соседних     цифр окажется   нечетной.   Сколько   существует   «нечетных»   девятизначных   чисел, последняя цифра которых равна 3 (Обосновать)? 23.2. В пакете лежали яблоки. Сначала из него взяли половину всех яблок без пяти, а затем   одну   треть   оставшихся   яблок.   После   этого   в   пакете   осталось   10   яблок. Сколько яблок было в пакете? 23.3. У Вани три карточки с числами (не обязательно различными). Он сложил из них трехзначное число, потом две крайние карточки поменял местами. Посчитал сумму полученных   чисел,   она   оказалась   четырехзначным   числом   –   полиндромом   (т.е. читаемое одинаково как справа­налево, так и слева­направо). Найдите значение цифр на   карточках   Вани.   Сколько   таких   наборов   карточек   могло   быть   (укажите   все варианты)? Какие числа он составил? 23.4. Среднее арифметическое шести чисел равно 350, а среднее арифметическое четырех   других   чисел   равно   225.   Найдите   среднее   арифметическое   этих   десяти чисел. 23.5. Даны два квадрата 3х3 и 4х4. Разрезать их по линиям сетки на 4 части (всего частей в сумме должно быть 4, в начале задачи их две – сами квадраты). Из этих 4 частей  собрать квадрат 5х5. Показать  на какие  части вы  разрезали  и  как  из  них собирается квадрат. Рисунок должен быть крупным и по линейке! 24 занятие 24.1. Есть две кучки карточек – в первой кучке карточки с числами 9, 8, 7, 5, во второй – 3, 6, 4, 11. Можно менять карточки в кучках. Можно ли уравнять эти кучки? 24.2. Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше, чем   ему   лет.   Меньший   брат   был   сообразительный   и   предложил   поменять   часть бубликов: «Я,— сказал он,— оставлю себе половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого Давид также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и Расулом. Затем и Расул поделит так же». Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет Давиду? 24.3. У хозяина гостиницы есть ключи от комнат. На вид ключи неразличимы. Сделав ключи, он надел их на кольцо и покрасил в два цвета (каждый ключ окрашен ровно в один из двух цветов, ключи покрашенные в один цвет неотличимы). Какое наименьшее  число  ключей  может  быть  у  хозяина   гостиницы,  чтобы  он  мог различить, какой из них от какой комнаты, если известно, что ключей больше двух? 24.4. В коробку 6х7 положить 5 плиток такого вида. Рисунок должен быть выполнен аккуратно, карандашом по линейке. Крупно. 24.5. Если ученик купит 11 тетрадей у него останется 500р. А если захочет купить 15 тетрадей, то ему будет не хватать 700р. Сколько денег у школьника? 25­26  занятия («Графы и обход графов») 1.   В   шахматном   турнире   по   круговой   системе   участвуют   семь   школьников. Известно, что Ваня сыграл шесть партий, Толя – пять, Леша и Дима – по три, Семен и Илья – по две, Женя – одну. С кем сыграл Леша? 2.   а)   12   команд   сыграли   турнир   по   олимпийской   системе   (встречаются   две команды,   победитель   играет   дальше,   проигравший   выбывает).   Сколько   всего было сыграно матчей? б) а если турнир проходил по круговой системе в один круг? (каждая команда играет с каждой один раз) 3.   а)   Художник­авангардист   нарисовал   картину   “Треугольники”.   Мог   ли   он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды? б) А если его картина называлась “Треугольник и отрезки”?  4. В углах шахматной доски 3*3 стоят 4 коня: 2 белых и 2 черных (см. рис). Можно ли за несколько ходов поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони разного цвета. Б Ч Б Ч 5. Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было также   решено,   что   если   с   кем­то   созвониться   не   удастся,   то   поход   в   кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Кто собрался у кинотеатра? 6.   Однажды   утром   кто­то   принес   букет   цветов   и   поставил   его   вазу   на учительском столе. Когда ребята собрались, учительница спросила: «А знаете ли вы, кто принес цветы?». Ребята стали гадать. Были высказаны предположения: цветы принесли Андрей и Борис, Андрей и Даша, Андрей и Сергей, Борис и Даша, Борис и Володя, Володя и Галя, Галя и Даша. Учительница сказала, что в одном   из   этих   предположений   одно   имя   названо   правильно,   а   второе   ­ неправильно.   Во   всех   же   остальных   предположениях   оба   имени   названы неправильно. Кто принес цветы? 7. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13. 8.   Дима,   приехав   из   Врунляндии,   рассказал,   что   там   есть   несколько   озер, соединенных между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается. 9.  а)   Расположите   на   плоскости   6  точек   и   соедините   их   непересекающимися линиями так, чтобы из каждой точки выходили 4 линии. б) проведите 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было ровно три из отмеченных точек. Дополнительные задачи 10.  Посёлок построен  в  виде  квадрата 3 квартала  на 3  квартала  (кварталы  ­ квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата ­ тоже улицы). 11. В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более 5 дорог. а) Докажите, что это возможно. б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым. Домашнее задание 1.Соедините 13 звёздочек на рисунке, пятью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя никакую линию дважды. * * * * * * * * * * * * * 2.а)Художник­авангардист   нарисовал   картину   “Контур   квадрата   и   его диагональ”.   Мог   ли   он   нарисовать   свою   картину,   не   отрывая   карандаша   от бумаги и не проводя никакую линию дважды? б)А   если   его   картина   называлась   “Контур   квадрата   и   его диагонали”? 3.Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть? Домашняя олимпиада № 6 1.   Экзамен   по   математике   сдавали   250   абитуриентов,   оценку   ниже   пяти   баллов получили  180  человек,  а  выдержали   экзамен  210  абитуриентов.  Сколько   человек получили оценки 3 и 4?   2.  В саду нужно посадить 9 яблонь так, чтобы они образовывали 10 рядов по три яблони. 3. Расставьте в клетки цифры от 1 до 9 так, чтобы все равенства выполнялись      = = + = : + = 4.  Ученики матшколы  участвуют в спортивных соревнованиях. Команда из трех человек   должна   преодолеть   дистанцию   в   3   км.   На   команду   выдается   один одноместный   велосипед.   Трасса   –   прямая,   все   трое   стартуют   одновременно, результат команды – время последнего прибежавшего. Лучшее время соперников – 21 минута. Как учащимся матшколы пробежать/проехать трассу, чтобы победить? Каждый из матшкольников бежит со скоростью 125 м/мин, а едет на велосипеде  – 250 м/мин (решение обосновать). 5.  Сколько произведений, кратных 77, можно образовать из чисел 3, 5, 7, 7, 9, 11 (обосновать)?  6.  Назовем число «нечетным», если сумма любых двух его соседних  цифр окажется нечетной. Сколько существует «нечетных» девятизначных чисел, последняя цифра которых равна 3? (Обосновать) 7. В пакете лежали яблоки. Сначала из него взяли половину всех яблок без пяти, а затем   одну   треть   оставшихся   яблок.   После   этого   в   пакете   осталось   10   яблок. Сколько яблок было в пакете? 8.  У Вани три карточки с числами (не обязательно различными). Он сложил из них трехзначное число, потом две крайние карточки поменял местами. Посчитал сумму полученных   чисел,   она   оказалась   четырехзначным   числом   –   палиндромом   (т.е. читаемое одинаково как справа налево, так и слева направо). Найдите значение цифр на   карточках   Вани.   Сколько   таких   наборов   карточек   могло   быть   (укажите   все варианты)? Какие числа он составил? 9. Разделите квадрат размером 6*6 клеток, изображенный на   рисунке,   на   четыре   одинаковые   части   так,   чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки. Резать можно только по линиям сетки. 10.  Четыре   ученицы:   Мария,   Нина,   Ольга   и   Поля   –   участвовали   в   лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа: Ольга заняла первое место, Нина – второе Ольга – второе, Поля – третье Мария – второе, Поля – четвертое Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая – неверна. Какое место заняла каждая из учениц? Домашняя олимпиада № 7 1. Ковбой Билл играл на одноруком бандите. Если выпадают "три семёрки", то он выигрывает   80   долларов,   а   если   "три   яблока",   то   24   доллара.   Любая   другая комбинация   –   проигрыш.   Билетик   для   игры   стоит   4   доллара.   Однажды   он похвастался: "Я начал с 10 долларов, а через час у меня была тысяча!" Могло ли так быть?  2. Задумано число от 1 до 6. Про него известно следующее: 1. Оно кратно 2; 2. Оно кратно 3; 3. 8 делится на это число; 4. 10 делится на это число; 5.   27 10 это число  13  Какое число задумано, если верных утверждений 4?  А если неверных утверждений 4? 3. Расставьте на доске (5x5) два ферзя и ладью так, чтобы все остальные поля доски оказались под боем. 4. Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.  5. Каждую из фигур разрежьте на две части и сложите из этих двух частей квадрат (рисунки должны бить крупными, карандашом по линейке). Домашняя олимпиада № 8 1.  На   контрольной  учительница  дала  пример:   1 2  1 4  1 8  1 16  1 32  1 64  1 128  1 256  1 512  1 1024  1 2048 . После   урока   дети   сверили   ответы.   Петя   сказал:   «Я   не   помню,   сколько   у   меня получилось,   но   больше   единицы».   «Ты   неправ»,   ­   сказал   Коля   и   начал   делить нарисованный квадратик. Кто прав,  как Коля делил квадрат и зачем? (Отвечая на вопрос, кто прав, не производить подсчетов!!!) 2. По кругу написано 31 натуральное число. Верно ли, что среди этих чисел найдутся два соседних, сумма которых четна? 3. Если 188  это 4, 112 – 0, 605 – 2, а 1329 – 1. То сколько же 298 (Найти и объяснить закономерность)? 4. 11235 – такое число, что каждая его цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих. Найдите наибольшее пятизначное число такого типа. 5. В комнате сидят мальчики и девочки. Мальчики сидят на трехногих табуретках, а девочки на обычных стульях. Всего в комнате 49 «ног» (ноги всех детей стоят на полу). Сколько в комнате мальчиков и сколько девочек? Решать без уравнений и систем, разумным перебором. Летняя олимпиада 1. По   всем   вагонам   поезда   разместили   поровну   737   туристов.   Сколько   было вагонов   и   сколько   туристов   в   каждом   вагоне?   (в   поезде   не   один   вагон,   но пятидесяти не наберется)  2. Из Парижа в Англию друг за другом несутся Атос, Портос, Арамис, Рошфор и Миледи.   Известно,   что   Атос   прибудет   в   Англию   раньше   Портоса,   но   позже Миледи. Арамис и Миледи скачут не друг за другом. Ни за, ни перед Рошфором нет   Миледи,   Атоса   и   Арамиса.   В   каком   порядке   они   движутся   (решение полностью обосновать)? 3. Сумма двух чисел равна 1244. Они станут равными, если в конце первого числа написать цифру 3, а в конце второго – отбросить цифру 2. Найдите эти числа. 4. В пустые клетки нужно вписать числа 1,2,3...10,11 так, чтобы все равенства были верны. Каждое число использовать один и только один раз. (Ответ пояснить) 5. В   коробке и белые   будут лежат   шарики   трех   цветов:   цвета   желтые,   Если   достать   (наугад)   100 зелёные. произвольных шариков, то среди них точно присутствовать   шарики   всех   трех   цветов. Какое   наибольшее   число   шариков   может   быть   в   этой   коробке?   (Решение полностью обосновать) 6. Женя  и Аня  живут  в  одном  доме,  на  каждой  лестничной  клетке   которого  4 квартиры. Женя живет на пятом этаже, в квартире 83, а Аня ­ на 3­ем этаже в квартире 169. Сколько этажей в доме?  7. В  карьере  заготовлено  200 гранитных  плит, 120 из  которых  весят  по  7 тонн каждая, а остальные по 9 тонн. На железнодорожную платформу можно грузить до 40 тонн. Какое наименьшее число платформ понадобится для вывоза плит? 8. Дана клетчатая фигура 3х3 клетки, длина каждого маленького отрезка равна длине   спички.   Какое   наибольшее   число   спичек   можно   выложить   на   стороны клеток так, чтобы не образовалось ни одного квадратика 1х1, выложенного из спичек? 9. Расставьте в вершинах и серединах сторон квадрата числа 1, 2, 3,…, 8 так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих на одной стороне, была одна и та же. 10.Все гномы делятся на лжецов и рыцарей. На каждой клетке доски 4 на 4 стоит по гному. Известно, что среди них есть и лжецы, и рыцари. Каждый заявил: среди моих соседей лжецов и рыцарей поровну. Сколько всего лжецов? (Два гнома считаются соседями, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону) 11.Петя нарисовал 3 красных и 3 синих прямых, и отметил те точки пересечения, через   которые   проходят   прямые   разных   цветов.   Могло   ли   оказаться,   что отмечена ровно половина  всех точек пересечения? 12.Четыре хоббита Фродо, Сэм, Мерри и Пиппин собирали грибы. Все без Пиппина собрали 63 гриба, все без Сэма – 67 грибов, а Сэм и Пиппин вместе – 42 гриба. Пиппин говорит: «Я собрал больше всех грибов, а Фродо – меньше всех». Может ли такое быть? 13.Знаменитый преступник проник в банк, но так и не смог подобрать трёхзначный код от сейфа. Шерлок Холмс по отпечаткам пальцев обнаружил, что преступник успел попробовать комбинации 543, 142 и 562, после чего его спугнул охранник. Оказалось, что в каждом из этих вариантов преступник угадал ровно одну цифру кода. Узнав это, Шерлок Холмс тут же назвал код от сейфа. А вы сможете его назвать? 14.Можно ли расставить в квадратной комнате вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло одинаковое число кресел? 15.Первая слева цифра десятизначного числа равна числу единиц в записи этого числа,   вторая   —   числу   двоек,   третья   —   числу   троек,   ...,   девятая   —   числу девяток, десятая — числу нулей. Найдите это число. 16.В   строящемся   небоскрёбе   еще   нет   лифта,   но   есть   строительный   подъёмник. Подъёмник   управляется   двумя   кнопками:   при   нажатии   на   одну   из   них   он поднимается на 6 этажей, а при нажатии на другую опускается на 11 этажей. Как строителям, пользуясь этим подъёмником, довезти десять мешков цемента с 6­го этажа на 11­й, если уже возведено 16 этажей небоскреба? 17.В стране три города: Правдин, Лгунов и Переменск. Жители Правдина всегда говорят правду, жители Лгунова — всегда лгут, а жители Переменска строго попеременно   лгут   и   говорят   правду.   Пожарным   позвонили:   «У   нас   в   городе пожар!» — «Где горит?» — «В Переменске». Пожарные уверены, что пожар есть. Куда им ехать? 18.У Максима были гири 1 г, 2 г, 4 г, 8 г, 16 г и 32 г и чашечные весы. На левую чашку весов он положил конфету весом 25 г и ещё часть гирь, на правую — все остальные гири. Весы пришли в равновесие. Определите, где какая гиря лежит. 19.Винни­Пух,  Пятачок,  ослик   Иа­Иа   и   Кристофер   Робин   качаются   на   качелях. Известно, что Винни­Пух и Пятачок вместе перевешивают ослика Иа­Иа, а Иа­ Иа перевешивает Кристофера Робина и Пятачка вместе. Кто перевесит, если на качели сядут Кристофер Робин и Винни­Пух? 20.Нарисуйте   как   можно   больше   различных   фигурок   из   5   клеток.   (Всего   таких фигурок 12 штук.) 21.Нарисуйте   как   можно   больше   фигурок   площади   две   с   половиной   клетки, составленных   из   5   «половинок»   клеток.   («Половинка»   получается   из   клетки разрезанием по диагонали.) 22.Разрежьте   квадрат   7×7   на   наибольшее   число   различных   прямоугольников   по линиям сетки. 23.Расставить на шахматной доске как можно меньше шахматных коней так, чтобы они били все черные поля. 24.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежат яблоки только одного сорта. Найдутся ли 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта? 25.В   классе   30   человек.   Андрей   сделал   в   диктанте   13   ошибок,   а   остальные   — меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали равное количество ошибок. 26.Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов. 27.Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам   ещё   раз.  Получившийся   квадратик   разрезали   ножницами   по   прямой. Могла ли салфетка распасться: а)на 2 части; б)на 3 части; в)на 4 части; г)на 5 частей? 28.Однажды по лесу гуляли три рыцаря, каждый со своим оруженосцем. Как им переправиться через реку на двухместной лодке, если оруженосцы отказываются оставаться на берегу (и в лодке) с незнакомыми рыцарями без своих хозяев? Запрещается   также   ситуация,   когда   к   берегу,   где   находится   оруженосец   без своего   хозяина,   причаливает   чужой   рыцарь   (даже   если   он   на   берег   не высаживается), или наоборот. 29.Шпион   одной   из   иностранных   разведок   сообщил,   что   пятнадцать   республик бывшего   Советского   Союза   заключили   несколько   двухсторонних   соглашений так, что каждая из них заключила договор ровно с тремя другими. Заслуживает ли шпион доверия? 30.В   шахматном   турнире   по   круговой   системе   участвуют   семь   школьников. Известно, что Ваня сыграл шесть партий, Толя — пять, Леша и Дима — по три, Семен и Илья — по две, Женя — одну. С кем сыграл Леша? Литература: 1.Чулков П.В. Математика: Школьные олимпиады: Метод. Пособие. 5 ­ 6 кл. – М.: Изд­во НЦ ЭНАС, 2003 2. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. 5­6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений/ 5­е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2002 3. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5­11 классы/ ­ 5­е изд. – М.: Айрис­пресс, 2006 4. Лепехин Ю.В. Олимпиадные задания по математике. 5­6 классы/ ­ Волгоград: Учитель, 2010 5.   Г.И.   Григорьева.   Подготовка   школьников   к   олимпиадам   по   математике:   5­6 классы. Методическое пособие/ ­ М.: Издательство «Глобус», 2009 Савельева Т.В.  учитель математики и физики МБОУ СОШ №13 Математику затем учить следует,  что она ум в порядок приводит. М.В. Ломоносов. «Организация  подготовки учащихся 7­ 8 классов к математическим олимпиадам» Занятие 1. 1.В сказочном озере плавает сказочная лилия. Эта лилия за сутки вдвое увеличивает свои размеры и полностью заполняет озеро за 137 суток. За какое время заполнят озеро две сказочные лилии? 2.Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите и получила 2 011 533. Как ее зовут? 3.Пруд имеет форму квадрата , в его вершинах растут деревья. Надо увеличить вдвое поверхность пруда, сохранив его форму и не трогая деревья. Как это сделать? 4.Арбуз весит 20 кг и содержит 99% воды; через некоторое время он стал содержать 98 % воды. Сколько теперь весит арбуз? 5.15 плотников построили дом за 28 дней. За сколько дней 35 плотников построят 8 таких же домов, если будут работать с такой же производительностью? 6.Известно, что  х−у у =5 .Найдите значение выражения  3х−2у х  . 7.  Ученик утверждает, что знает решение уравнения   ху6 + х2у = 1999 в натуральных числах. Докажите, что он ошибся. 8.Под   кукурузу   отвели   участок   поля   в   форме   прямоугольника.   Через   некоторое время  длину  этого   участка  увеличили  на 35%, а ширину  уменьшили  на  14%.  На сколько процентов изменилась площадь участка? 9.В   треугольнике   АВС   биссектрисы   углов   А   и   В   пресекаются   под   углом   128º. Найдите угол С. 10.У ученика есть обычный школьный прямоугольный треугольник с углами 30º, 60º и   90º.   Ему   нужно   построить   угол   в   15º.   Как   это   сделать,   не   используя   других инструментов? 11.Найдите   натуральное   число,   которое   в   7   раз   больше   своей   последней   цифры. Существуют ли еще такие числа? 12.   Как   от   куска   материи   в   2 3   метра   отрезать   полметра,   не   имея   под   рукой измерительных инструментов? 13.Что больше : 5300 или 3500? 14.Ужасный вирус пожирает память компьютера. За первую секунду он управляется с   половиной   памяти,   за   вторую   секунду   –   с   одной   третью   оставшейся   части,   за третью секунду – с одной четвертью того, что еще сохранилось, за четвертую ­   с одной   пятой   остатка.   Тут   его   настиг   могучий   антивирус.   Какая   часть   памяти уцелела? 15.Кусок туалетного мыла имеет форму прямоугольного параллелепипеда. После 7 дней использования все его размеры уменьшились вдвое. На сколько дней еще хватит этого мыла? Занятие 2. 1.Попробуйте быстро найти сумму всех цифр: 7 3 6 4 1 9 8 2 4 6 4 6 2 8 7 3 9 1 6 4 5 5 2 8 9 1 8 2 4 6 5 5 7 3 6 4 4 6 3 7 9 1 7 3 8 2 2 8 6 4 1 9 9 1 9 1 8 2 6 4 2 8 7 3 8 2 6 4 1 9 9 1 2 8 5 5 5 5 1 9 6 4 9 1 3 7 7 3 5 5 2.Разместите числа от 1 до 6 так, чтобы сумма всех четырех чисел на каждой стороне треугольника была равна 20. 3.Сократите дробь:  609609609 205205205 . 4.Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось три четырехугольника? Если да, то выполните рисунок.  6.Вписав недостающее пятое число, завершите ряд: 77; 49; 36; 18;… 7.Имеется 5 гномов. Им показали 3 красных и 4 синих капюшона. В темноте на них надели 3 красных и 2 синих капюшона, а остальные спрятали. После чего включили свет. Кто из гномов может определить цвет надетого на него капюшона? 8.Одну овцу лев съедает за 2 дня, волк за 3 дня, собака за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу? 9.Как купюру достоинством 50 рублей разменять 15 монетами достоинством 1 и 5 рублей? 10.В наборе было 23 гири массой 1 кг,2 кг, 3 кг,…,23 кг. Гирю в 21 кг потеряли. Как разложить оставшиеся гири на 2 равные по массе кучки? 11.Бригада из 4 человек выложила за 6 часов стену из кирпича высотой 4,8 м. За какое время могла бы выложить стену такой же ширины и высотой 8 м бригада из 2 человек, работающих с такой же производительностью? 12.Для 3 лошадей запасли 900 кг сена на 60 дней. Сколько сена надо запасти для 5 лошадей на 120 дней, если расход сена на каждую лошадь одинаков? 13.Для 8 человек, отправляющихся в экспедицию на 30 дней, заготовлено 180 кг крупы. Сколько килограмм крупы при той же норме потребуется для 5 человек на 80 дней? 14.100 мышей за 100 дней съедают 200 кг крупы. Сколько зерна съедят 10 мышей за 10 дней? 15.Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время  длину  этого   участка  увеличили  на 35%, а ширину  уменьшили  на  14%.  На сколько процентов изменилась площадь участка? 16.Свежие грибы содержат 90% влаги, а сухие 12% влаги. Сколько свежих грибов надо взять, чтобы получить 1 кг сушеных? 17.Арбуз массой 20 кг содержал 99%воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза? 18.Яблоки, содержащие 70% влаги, потеряли при сушке 60% своей массы. Сколько процентов влаги содержат сушеные яблоки? Занятие 3. 1.Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят десять судаков? 2.Счетчик   автомобиля   показывает   12 921   км.   Через   2   часа   на   счетчике     опять появилось   число,   которое   одинаково   читалось   в   обоих   направлениях.   С   какой скоростью ехал автомобиль? 3.Кубический   метр   разрезали   на   кубические   сантиметры   и   поставили   друг   на друга.Какой высоты получилась башня? 4.Восстановите цифры и знак действия:          3*5,67*                                                                            20*,**9                                                                            *96,889 5.В бассейне с ровным горизонтальным дном площадью 1 га содержится 1 миллион литров воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию? 6.3 утенка и 4 гусенка весят 2кг 500г, а 4 утенка и 3 гусенка весят2 кг 400г. Сколько весит 1 утенок и 1 гусенок? 7. Цена на товар уменьшилась на 10%, а потом еще на 10%. Стал бы товар дешевле, если бы его цену сразу снизили на 20%? 8.Поставьте   между   цифрами   1   2   3   4   5   6   7   8   9   цифры   так,   чтобы   в   результате получилось число 100. 9.Сторона квадрата увеличилась на 20%. На сколько процентов увеличился периметр квадрата и на сколько процентов увеличилась площадь квадрата? 10.Назовите числа, равные сумме своих делителей, кроме самого себя. Как называют такие числа? 11.Расставьте числа  9 10 ;10 11 ;11 12 ;12 13 . 12.Сравнить:  2005 2006  или  2006 2007 13.Если     из   двузначного   числа   вычесть   сумму   его   цифр,   то   получится   число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найди данное число. 14.Если к деньгам Сергея прибавить еще 80% этих денег, то получится 9000рублей. Сколько денег у Сергея? 15.Нескольбко кошек съели 157 мышек, причем все кошки съели по одинаковому числу мышек. Сколько было кошек , если каждая кошка съела больше мышек, чем было кошек? 16.Найдите все двузначные числа, которые одновременно являются квадратами и кубами. 17.Указать последнюю цифру числа 2001∙2002∙2003∙2004∙2005+20062 ∙20072. 18.Прямоугольная   плитка   шоколада   разделена   углублениями   на   4х5   маленьких прямоугольников. Сколько раз нужно разламывать шоколад, чтобы разделить его на эти прямоугольники? 19.На окраску куба размерами 3х3х3 необходимо 3 г краски. Сколько краски пойдет на окраску куба размерами 6х6х6? 20.Какая правильная дробь увеличится в 7 раз, если к ее числителю прибавить ее знаменатель? Занятие 4. Устная работа 1.Одного человека спросили: ­ Сколько Вам лет? ­Порядочно, ­ ответил он.­ Я старше некоторых своих родственников в шестьсот раз. Может ли это быть? 2.Назовите   числа,   у   которых   количество   цифр   равно   количеству   букв,   которыми записано каждое из чисел. 3.За 3 минуты определи закономерность и запиши еще по 2 числа в каждом ряду:    1) 2  3  4  5  6  7  …                                  11) 21  18  16  13  11  8…   2)10  9  8  7  6  5  …                                  12) 12  14  13  15  14  16…   3) 5  10  15  20  25 30…                            13) 16  12  15  11  14  10…   4) 6  9  12  15  18  21 …                            14) 25  24  22  21  19  18…   5) 8  8  6  6  4  4  …                                    15) 16  8  4  2  1  ½…   6) 3  7  11  15  19  23…                              16) 3  4  6  9  13  18…   7) 9  1  7  1  5  1 …                                      17) 1  4  9  16  25  36  … 8) 4  5  8  9  12  13…                                   18)15  16  14  17  13  18…   9) 25  25  21  21  17  17 …                          19) 21  18  16  15  12  10…   10) 1  2  4  8  16  32…                                 20) 4  8  10  20  22  44… 4.В  колесе 10  спиц.   Попробуйте   прикинуть   в  уме,  сколько  промежутков  между спицами? 5.Если дома на улице пронумерованы от 1 до 50, то сколько раз встречается цифра 4? 6.Если от трехзначного числа отнять 7, то оно разделится на 7, если от него отнять 8, то оно разделится на 8, если от него отнять 9,то оно разделится на 9. Какое это число? 7.Один парень всегда подбирал на улице брошенных котят. Бывало, спросят у него: ­Сколько у тебя котят? ­Немного,­ отвечает он.­ Три четверти их числа, да еще три четверти одного котенка. Товарищи думали, что он шутит, а между тем парень задавал им задачу, которую совсем несложно решить. Попытайтесь! 8.Представьте себе корабль со спущенной на воду веревочной лестницей. У лестницы 10   ступенек.   Расстояние   между   ступеньками   30   см.   Самая   нижняя   ступенька касается воды. Начинается прилив, который поднимает воду каждый час на 20 см. Через какое время покроется водой третья  снизу ступенька  лестницы? 9. Найдите значение дроби   В∙А∙Р∙Е∙Н∙Ь∙Е К∙А∙Р∙Л∙С∙О∙Н  . Здесь разные буквы – это разные цифры, а между буквами – знаки умножения. 10.Какова концентрация раствора соли, если к 720 г воды добавлено и растворено  в ней 80 г соли?  Задания для письменного решения 1.В киоске продают5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами  можно купить конверт и марку? 2.В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? 3.Крыса бежит по лабиринту, который устроен так, что сначала она выбрать одну из двух дверей, затем одну их трех дверей, а за каждой из них ее ожидает по четыре двери. Пройдя какую­нибудь дверь, крыса не может вернуться через нее обратно. Сколькими разными путями крыса может пройти лабиринт от начала до конца? 4.Сколькими   способами   можно   выбрать   гласную   и   согласную   буквы   из   слова КОНВЕРТ? 5.РАННИМ   УТРОМ   НА   РЫБАЛКУ     УЛЫБАЮЩИЙСЯ     ИГОРЬ     МЧАЛСЯ БОСИКОМ. Сколько осмысленных предложений можно составить из этих слов? (Во все предложения должны входить слова ИГОРЬ и МЧАЛСЯ). 6.Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры чисел: а) 133;    б) 9854; в) 98561. 7.Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в театральной кассе? 8. Вычислите:  а) 5!;    б) 10!;      в)  7 9−47 72 ¿:1,25+(6 9.Вычислите: (( 10.Вычислите:  100! 98! . 28):(0,358−0,108)¿∙1,6−19 25 . 7−17 17 40 ¿ 1 1 5 ¿ ¿ :¿ 1    1 5 :    17 40 5 6  005,06,0   1 1 3  1 23 30      7,1   1 2 :    6 5 75,4  7 4:33 5 7 .     95,0 11.Хозяин обещал работнику за год 12 рублей и кафтан. Но то ушел через 7 месяцев. При расчете он получил 5 рублей и кафтан. Сколько стоит кафтан? 12.Волк и Заяц купили теннисный мяч за 25 рублей. У Зайца было в 2 раза меньше денег, чем у Волка, да еще рубль. Сколько денег  внес каждый из  них? 13.Два   поезда   вышли   в   разное   время   навстречу   друг   другу   из   двух   пунктов ,расстояние между которыми 1231 км. Скорость первого поезда 50 км/ч, а второго 59 км/ч. Пройдя расстояние 700 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько часов один из них вышел раньше другого? 14.Из­под земли бьют 4 источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня и четвертый – за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе? 15.Из канистры отлили   1 4   часть бензина, потом   10% ее общей емкости. После этого в канистре осталось 26 л бензина. Какова емкость канистра? Дома: Вычислите     . 1    1 7  23 49    : 13  2 1  2 3 4    3:6,0 3 4   2  1 2  75,3  1 1   6,0 1 2 Занятие 5. Устная работа  1.Три   друга  –  Алеша,  Коля   и  Саша  –  сели  на   скамейку  в  один  ряд.  Сколькими способами они могли это сделать? 2. Сотню орехов надо разделить между 25 людьми так, чтобы никому не досталось четное число орехов. Можете ли вы это сделать? 3.Пильщики распиливают бревно на метровые обрубки. Длина бревна – 5 метров. Распиловка бревна поперек отнимает каждый раз полторы минуты. Сколько минут потребуется, чтобы распилить все бревно? 4.Между цифрами 1  2  8  6 поставьте знаки арифметических действий так, чтобы в результате получилось 98. 5. Перед вами кувшин, содержащий 4 литра молока. Вам необходимо разделить эти 4 литра поровну между двумя друзьями, но из посуды у вас имеются только еще два пустых кувшина: один, вмещающий 3 литра, и другой, вмещающий 1 литр. Как же поделить молоко поровну с помощью только этих трех сосудов? Придется, конечно, несколько раз переливать молоко из сосуда в сосуд. Но как? 6. Как с помощью пятилитровой и трехлитровой банок налить из крана в ведро ровно 4 литра воды? 7. Как с помощью двух бидонов емкостью 5 литров и 8 литров отлить из молочной цистерны 7 литров молока? 8. Какой цифрой оканчивается произведение 13 *14*15* 16*17? 9. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3. 12, 9, 15. 6. 27  подберите такие три числа, сумма которых будет равна 50. 10.В семье трое детей – два мальчика и одна девочка. Их имена начинаются с букв А. В и Г. Среди имен, начинающихся с букв А и В, есть имя одного мальчика. Среди имен, начинающихся с букв В и Г, также есть имя одного мальчика. С какой буквы начинается имя девочки? 11. В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребёнка ­ простое, число. Сколько лет младшему? 12.79 лошадей разместили в 13 конюшен. Почему хотя бы в одной конюшне будет обязательно нечетное число лошадей? 13.Доказать, что при любом целом а выражение (а2 – 3а) делится на 2.  14.Как изменится величина дроби, если числитель увеличится на 50%, а знаменатель уменьшить на 50%? 15.Длину   каждой   стороны   квадрата   увеличили   на   40%.   На   сколько   процентов увеличилась площадь квадрата? Письменная работа  1.Догадайтесь, какая цифра в выражении заменена буквой А: 9А : 1А = А.  2. Три дюжины лимонов стоят столько рублей, сколько дают лимонов на 16 рублей.  Сколько стоит дюжина лимонов? (Одна дюжина =12.) 3. Можно ли четырьмя двойками выразить число 111?       4.  За 1 час турист проходит 6 км. Сколько метров он проходит за 1 минуту? Сколько сантиметров за 1 секунду?    5. В мастерской отремонтировано в течение месяца 40 машин – автомобилей и  мотоциклов. Всех колес было выпущено из ремонта ровно 100. Сколько было в  ремонте автомобилей и мотоциклов? 6. В саду   1/6 всех деревьев – персики. Из оставшихся деревьев 1/6 часть – вишни.  Половина оставшихся деревьев – груши, а ещё 25 деревьев – яблони. Сколько всего  деревьев в саду? 7. На складе имеются гвозди, упакованные в ящики по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли  кладовщик отпустить 140 кг, не вскрывая ни одного ящика? 8. Задуманное число добавили к числу, большему его на единицу. Затем из суммы  вычли число, на единицу меньшее задуманного. В итоге получилось 23. Какое число  было задумано? 9. Оттолкнувшись левой ногой, Кенгуру прыгает на 2 метра, правой – на 4, а обеими  – на 7. Какое наименьшее число таких прыжков нужно сделать, чтобы набрать в  точности 300 метров? 10. Из квадрата со стороной 100 вырезали квадрат со стороной 80. Оставшийся кусок разрезали на единичные квадратики (это можно сделать), из которых Павел хочет  сложить новый квадрат. Чему будет равна его сторона? 11. Любитель математики Адамс, после пятидесяти летних проб, составил фигуру –  магический шестиугольник. Восстановите недостающие числа в магическом  шестиугольнике. Используйте числа от 1 до 19 так, чтобы сумма в любом ряду (по  трем направлениям) всегда была равной 38. Занятие 6. Устная работа 1.Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 пинт. У него имеется два сосуда: один вместимостью в 8 пинт, а другой вместимостью в 5 пинт. Каким образом налить 6 пинт меда в сосуд на 8 пинт? 2.Когда спросили  пастуха, сколько овец в отаре, то он ответил: «60 овец пьют воду, а остальные  2 3  всех овец пасутся».Сколько  овец в отаре? 3.Найдите наибольшее двузначное число, которое делится на 4. 4.Какое одно и то же натуральное число надо прибавить к числам 100 и 164, чтобы обе полученные суммы были полными квадратами? 5.Из Москвы в Петербург помчал на «Вольво» предприниматель Вася со скоростью 150 км/ч. Навстречу ему выехал на велосипеде доцент Иван Петрович со скоростью 15 км/ч. В  спину Ивану Петровичу дул ветер со  скоростью 7 км/ч. Определите, Вася или Иван Петрович в момент встречи был ближе к Москве? 6.Сын вдвое моложе отца. Родился он, когда отцу было 24 года. Сколько лет сыну? 7.Я задумал число, умножил его на 2, прибавил три и получил 17. Какое число я задумал? 8.Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, который отбирал у женщины половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам? 9.Придумайте   трехзначное   число,   у   которого   с   любым   из   чисел   543,   142,   562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. 10. На одну чашку весов положили круг сыра, а на другую ­   3 4   круга такого же круга сыра. И еще килограммовую гирю. Установилось равновесие. Сколько весит круг сыра? 11.В тетради написано 100 утверждений: В этой тетради ровно одно ложное утверждение. В этой тетради ровно два ложных утверждений. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. В этой тетради ровно сто ложных утверждений. Какое из этих утверждений верно? 12.До царя дошла весть, что кто­то из трех богатырей убил Змея Горыныча. Приказал царь им явиться ко двору. Молвили богатыри: Илья Муромец: ­Змея убил Добрыня Никитич. Добрыня Никитич: ­Змея увил Алеша Попович. Алеша Попович: ­ Я убил Змея. Известно, что только один из богатырей сказал правду, а двое слукавили. Кто убил Змея? Письменная работа 1.Длина и четверть ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе ­10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности? 2.На какое наибольшее число частей можно разделить тремя прямыми а) блин;   б) булку? 3.Винни­Пух,   Пятачок,   Кролик   и   ослик   Иа­Иа   вместе   съели   70   бананов,   причем каждому сколько­то досталось.  Винни ­ Пух съел больше всех остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику? 4.Закрасьте несколько   клеток квадрата 4х4 так, чтобы любая закрашенная клетка имела общую сторону ровно стремя незакрашенными, а любая незакрашенная – с одной закрашенной. 5. Расставьте в клетках квадрата 4х4 знаки «+» и «­« так, чтобы для любой клетки ровно с одной соседней с ней по стороне был противоположный знак. 17 40 ¿ 1 1 5 ¿ ¿ :¿ 1    1 5 :    17 40 5 6  005,06,0   1 1 3  1 23 30      7,1   1 2 :    6 5 75,4  7 4:33 5 7 .     95,0 1    1 7  23 49    : 13  2 2 1  3 4    3:6,0 3 4   2  1 2  75,3  6,0 1   1 1 2 6. Вычислите:  7. Вычислите     Дома: Клоуны Бим , Бам и Бом вышли на арену в красной, синей и зеленой рубашках. Их туфли были тех же цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зеленые, а рубашка нет. Каких цветов были туфли и рубашка у Бома и Бима? Занятие  7. Задания для устной работы 1. За круглым столом сидят 100 человек: 51 мужчина и 49 женщин. Докажите, что найдутся двое мужчин, сидящий друг напротив друга. 2. В   школе   370   учеников.   Найдутся   ли   в   этой   школе   хотя   бы   два   ученика,   у которых день рождения приходится на одну и ту же дату?  3. Десять участников математических боев решили 35 задач, причем есть участники, которые решили ровно по одной задаче, ровно по две задачи и ровно по три задачи. Докажите, что есть хотя бы один ученик, который решил не менее 5 задач. 4. Пять мальчиков собрали вместе 14 грибов, каждый нашел хотя бы один гриб. Докажите, что хотя бы два мальчика нашли одинаковое число грибов. 5. В ящике лежат шары:  5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Какое наименьшее число шаров надо вытащить (наугад) из мешка, чтобы точно достать два шара одного цвета? 6. Произведение 22 целых чисел равно 1. Может ли сумма этих чисел быть равной нулю? 7. Катя и ее друзья встали в круг. Оказалось, что оба соседа у каждого – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей – 5. А сколько девочек? 8. Есть песочные часы на 4 минуты и на 13 минут. Как сварить яйцо за 5 минут? 9. Есть ведра по 9л и по 13л. Как набрать из реки 8л воды? 10.В букете 11цветов, причем 5 из них – красные, а 6 – розы. Какое число белых гвоздик может быть в букете? 11.Запишите в строчку три числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была нечетная. А сумма всех чисел была четной. 12.Работали два крестьянина в поле и решили позавтракать. У первого было два хлеба, а у второго – один. В это время подошел к ним третий крестьянин  и попросил поделиться с ним. Ему дали один хлеб, и, таким образом, каждый съел по хлебу. За свою долю крестьянин дал им 6 копеек и, поблагодарив, ушел. Как поделить деньги? Занятие 8. Задания для устной работы 1.Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Какого возраста отец и сын? 2.Я задумал число, умножил его на два, прибавил три и получил 17. Какое число я задумал? 3.Математик, оказавшись в небольшом городке, решил подстричься. В городке было лишь   две   парикмахерских.   Заглянув   к   одному   мастеру,   он   увидел,   что   в   салоне грязно, сам мастер одет неряшливо, плохо выбрит и небрежно подстрижен. В салоне второго мастера все было чисто, а сам владелец безукоризненно одет и аккуратно подстрижен. Тем не менее математик выбрал первого парикмахера. Почему? 4.Мише учитель   поставил   по математике «2» в дневник. Миша решил   скрыть от мамы данный факт. Он вырвал лист с двойкой и порвал его на 4 части. Этого ему показалось мало, поэтому некоторые из этих частей(может быть и не все) он порвал на 4 части и т.д. Мама нашла 20 кусочков дневника. Все ли кусочки нашла мама? 5.В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой елке не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым количеством иголок. 6. В классе 26 учеников, из них больше половины – мальчики. Докажите, что какие­то 2 мальчика сидят за одной партой, если в классе 13 парт. 7.   На   дискотеку   в   студенческое   общежитие,   в   котором   42   комнаты,   пришло   36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришел ни один гость. 8. Как­то в праздник один мой знакомый сказал мне: «Позавчера мне было 40 лет, а в будущем году исполнится 43 года. Могло ли такое быть? 9. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Каша должна вариться 15 минут. Как сварить ее, перевернув часы минимальное число раз? 10.Верно ли, что из любых трех целых чисел можно выбрать два, сумма которых четна? 11.Как перевезти в лодке с одного берега на другой волка, козла и капуста, если известно, что волка нельзя оставлять с козлом, а козла – с капустой. В лодке только два места, поэтому перевозчик может брать с собой только или одно из животных, или капусту. Задачи для письменной работы 1.Играя в рулетку, Виктор удвоил количество своих денег, потом потерял 10 рублей, затем он утроил количество своих денег и потерял 12 рублей. После этого у него осталось 60 рублей. С какой суммой он начинал игру? 2.Над озерами летели гуси. На каждом озере садились половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей? 3.  Метаграмма   получается   заменой   одной  буквы   в  слове,  чтобы   из   одного  слова получилось другое. Например: Коза­поза­пола­полк­волк. Составьте цепочку, переводящую МИГ в ЧАС, ЧАС в ГОД, ГОД в ВЕК, ВЕК в ЭРА. 4. У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец? 5.Игнату сейчас вчетверо больше лет, чем было его сестре в тот момент, когда она была вдвое моложе его. Сколько лет сейчас Игнату, если через 15 лет ему и сестре будет вместе 100 лет? 6.Александр, Борис, Виктор и Григорий – друзья. Один из них – врач, другой – журналист, третий – спортсмен, а четвертый – строитель. Журналист написан статью об   Александре   и  Григории.  Спортсмен   и   журналист   вместе   с  Борисом   ходили   в поход. Александр и Борис были на приеме у врача. У кого какая профессия? 7.Сколькими нулями оканчивается число 1 ∙2∙3∙4∙5∙…∙99∙100 ? 8.Сколько всего пятизначных чисел можно составить из цифр 0 и 1. Цифры могут повторяться. 9. 4 маляра окрашивают 6 комнат за 5 часов. За какое время 12 маляров окрасят 18 комнат? 10. Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади . Чему равна его площадь? 11.Сейчас угол между часовой и минутной стрелками настенных часов прямой. Чему может быть равен угол между этими стрелками через полчаса? 12. Путешественник  в первый день прошел 20% всего пути и 1 км. Во второй прошел 50%   остатка   и   еще  2  км.  В  третий   день  – 25 %   оставшегося   пути   и   еще  3  км. Остальные 18 км пути он прошел в четвертый день. Какова длина пути, пройденного путешественником? Домашнее задание: 1. Волк и волчонок, медведь и медвежонок, лис и лисенок решили переправиться с левого берега реки на правый. У них была лодка , в которую помещались любые двое   из   них.   Как   им   переправиться   на   другой   берег,   если     нельзя   оставлять детенышей с чужими папами без своего папы? 2. Слова   в   фразе   стоят   на   своих   местах,   но   буквы   внутри   каждого   слова переставлены местами. Например: «ПШЬОПЕШИС – ЙЮДЛЕ  ШЕСАМЬШИН» это «ПОСПЕШИШЬ – ЛЮДЕЙ НАСМЕШИШЬ». Прочитай фразу: « КОМСАВ ЕН СУЗАР ЛИСТАСОРЬ». 3. Может   ли   прямая,   не   проходящая   через   вершины   замкнутой   11   –   звенной ломаной линии пересекать все ее звенья? 4. Сережа любит подсчитывать сумму цифр на табло электронных часов. Например, если   часы   показывают   21:17,   Сережа   получает   число   11.   Какую   наибольшую сумму он может получить? 5. В очереди за билетами стоят Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что: a. а) Юра купит билеты раньше, чем Миша, но позже, чем Олег; b. б) Володя и Олег не стоят рядом; c. в) Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. d. Кто за кем стоит? 6. В нашем классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – ровно с четырьмя мальчиками. Кого у нас больше: девочек или мальчиков? 7. Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шел со скоростью 5 км/ч, а второй – 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, повернула и с той же скоростью побежала к хозяину. Встретив его, повернула и побежала навстречу второму охотнику и т.д. Так она бегала, пока охотники не встретились. Сколько километров пробежала собака? 8. Ире не хватает 2р. для покупки 8 воздушных шариков. Если она купит 5 шариков, то у нее останется 10р. Сколько стоит шарик? 9. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5р. А на 15 тетрадей у него не хватило 7р. Сколько денег было у мальчика? 10.Десяти собакам и кошкам вместе скормили 56 галет. Каждой собаке досталось  6 галет, а каждой кошке – 5 галет. Сколько было собак и сколько  кошек? 11.Какое наибольшее число клеток доски 6х6 можно покрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не соприкасались(даже в одной точке). 12.Отрежьте  от   куска  ленты   длиной 2/3  м   кусок  длиной   полметра   не  пользуясь линейкой. 13.Впишите в пустые клетки таблицы недостающие числа: 14.7 17.22 20.4 Занятие 9. 15.10 18. 21.9 16.13 19.30 22. Устная работа 1.Кенгуру способен прыгнуть на 1 сантикилометр. Сколько метров составляет длина такого прыжка? 2.Часы лежат на столе циферблатом вверх. Минутная стрелка сейчас показывает на северо­восток. Через сколько минут она укажет на северо­запад? 3.В каком из следующих выражений при замене цифры восемь на любую другую цифру результат не изменится? а)  (8+8):8+8;     б) 8 ∙(8+8):8  ;      в)8+8­8+8;       г) (8+8­8) ∙ 8;        д) (8+8­8):8. 4.Натуральные числа х и у таковы, что 12х и 18у являются точными квадратами. Чему равно наименьшее возможное значение суммы х+у? 5. Чему равен куб периметра квадрата площадью 4? 6.Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению? 7.Сумма каких  двух натуральных чисел больше, чем их произведение? 8.Полтрети  числа равны  100. Что это за число? 9.Половина от половины числа равна половине. Какое это число? 10.Один   биолог   открыл   удивительную   разновидность   амеб.   Каждая   из   них   через минуту делится на две. В пробирку биолог кладет одну амебу, и ровно через час вся пробирка   оказывается   заполненной   амебами.   Сколько   потребовалось   бы   времени, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее положили вначале не одну, а две амебы? 11.Для   устройства   прямоугольной   изгороди   вкопали   100   столбов   с   расстоянием между осями соседних столбов в 3 м. Какой длины получится изгородь? 12.Чему   равно   произведение   последовательных   целых   чисел   от   ­5   до   5 включительно? 13.В корзине лежат яблоки двух сортов. Наугад берут из этой корзины несколько яблок. Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказалось хотя бы два яблока одного сорта? Письменная работа 1.За один шаг робот может либо умножить данное число на2, либо поделить его на 3, либо возвести его в квадрат. За какое наименьшее число шагов этот робот может превратить число 45 в число 200? 2.Запишите число100, используя все десять цифр и знаки действий. 3.Что больше: 1020  или  2010 ? 4.Что больше: 10020  или  900010  ? 5.Во сколько раз километр длиннее миллиметра? 6.Сколько суток составляет миллион минут? 7.Какое расстояние пройдет человек, сделав миллион шагов, если средняя длина его шага 0,75 м? 8. Сколько биений сделает сердце человека за 75 лет, если в 1 минуту оно делает в среднем 75 биений? 9.Может ли человек поднять 3 000 000 см3 пробки (плотность пробки 127 кг/м3)? 10.В   1л   морской   воды   содержится   в   среднем   0,00001мг   золота.   Сколько   золота содержится в 1 км3 морской воды? 11.Из толстой железной проволоки в мастерской могут сделать цепь, состоящую из 80 или 100 звеньев. Если сделать цепь из 100 звеньев, то каждое ее звено будет на 5 г легче, чем в том случае, если бы цепь сделали из 80 звеньев. Какую массу имеет проволока? 12.Собака   погналась   за   лисицей,  находящейся   от   нее   на   расстоянии  120м.  Через сколько времени собака догонит   лисицу, если лисица в минуту побегает 320 м, а собака 350м? 13.Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей, ­ отвечает ему вожак стаи, ­ если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолька, да четверть столька, да еще ты, гусь с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было гусей в стае? 14.Некто продает свою лошадь по числу подковных гвоздей, которых у нее 16. За первый гвоздь он просит 1к., за второй – 2, за третий – 4, за четвертый – 8 и всегда за каждый следующий вдвое больше, чем за предыдущий. Спрашивается, во сколько он ценит лошадь? Дома:  У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семи мер   зерна.  Сколько   мер  зерна   сохраняется   благодаря  этим  кошкам? (Египетский папирус  – около 2000лет до н.э.) Занятие 10. Устная работа 1.Три   мальчика   играли   в   шахматы.   Всего   было   сыграно   три   партии.   По   сколько партий сыграл каждый мальчик? 2.Через   реку   нужно   было   перевезти   тяжелую   чугунную   трубу.   Когда   груз   был положен в лодку, она так осела, что гребец уже не мог в нее сесть. Никаких других перевозочных   средств   не   было.   Однако   гребец   придумал   способ,   с   помощью которого, сидя в лодке, все­таки перевез трубу на другой берег. Как? 3.В ящике перемешаны яблоки трех сортов. Каково наименьшее количество яблок которое надо взять наугад из ящика, чтобы среди вынутых яблок оказалось хотя бы два яблока одного сорта? 4.Определите и продолжите закономерность  1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19;… 5.Если дом анна улице пронумерованы от 1  до 50 , то сколько раз встречается цифра 4? 6.Как   набрать   ровно   половину   бочки   воды,   не   имея   никаких   измерительных емкостей? 7.У Акулины и Анфисы денег поровну. Сколько   денег должна дать одна из них другой, чтобы у Анфисы стало на 10 р. больше, чем у Акулины? 8.Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла из школы Аня, взяла треть слив и ушла. Потом вернулся из школы Боря, взял треть оставшихся слив  и ушел. Затем  пришел Витя, взял 4 сливы – треть от числа слив, которые он увидел. Сколько слив оставила мама? 9.На сковороде могут одновременно жариться 2 котлеты. Каждую надо обжарить с двух сторон, причем для обжаривания одной стороны требуется 1 минута. За какое наименьшее время можно поджарить 3 котлеты?   10.В мешке 24 кг гвоздей. Как на чашечных весах без гирь и без стрелки отмерить 9кг гвоздей? Письменная работа 1. Напишите пять нечетных цифр так, чтобы их сумма была равна 14. 2. Если от трехзначного числа отнять 7, то оно разделится на на 7, если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если отнять 9, то оно разделится на 9. Что это за число? 3. В 5 кульках 100 орехов. В первом и втором кульках вместе 52 ореха, во втором и третьем – 43 ореха, в четвертом и пятом – 30 орехов. Во всех кульках число орехов разное, и ни в одном из них нет меньше 14 штук. Сколько орехов в каждом кульке? 4. Разделите число 100 на 4 неодинаковые части так, чтобы если от первого числа отнять 4, ко второму прибавить 4, третье умножить на 4, а четвертое разделить на 4, во всех четырех случаях получился одинаковый результат. 5. Двумя цифрами напишите наименьшее положительное целое число. 6. Число 37 можно записать при помощи пяти троек: 37 = 33 + 3 +  3 3  . Найдите дрогой способ представить число 37 при  помощи пяти троек. 7. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней? 8. На  сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни? 9. Пастух привел к водопою две трети от трети своего стада. Оказалось, что это 70 быков. Сколько скота в стаде? 10.10.При каких целых значениях а число    а+9 а+6   целое? 11.11.Цена товара вначале увеличилась на 100%, а потом уменьшилась на 50%. Как изменилась цена товара? 12.12.Как   изменится   цена   товара,   если   сначала   ее   увеличить   на   100%,   а   потом уменьшить на 50%?Цена картофеля повысилась на 20%. Через некоторое время цена   понизилась   на   20%.Когда   картофель   стоил   дешевле:   до   повышения   или после понижения? Занятие 11. Устная работа 1.В библиотеке на двух полках было 19 книг. Купили новые книги и на каждую полку поставили еще столько книг, сколько на ней было. Сколько теперь книг на двух полках? 2.   Однажды   15   человек   играли   в   шахматы.   После   каждой   партии   выбывал проигравший. В первый день состоялось 5 партий, во второй – 6, а в третий день соревнование закончилось. Сколько партий было сыграно в третий день? 3.Роман   и   Федор   –   братья.   Вместе   у   них   100   марок.   На   день   рождения   Роман подарил Федору 20 марок и у них стало одинаковое количество марок. Сколько марок было у каждого брата вначале? 4. Вода из источников с мертвой водой ядовита, смерть наступает через час после испития. Только выпив в течение этого часа мертвой воды из источника большей силы, можно избежать смерти.  9 источников пронумерованы в порядке возрастания их   силы.   Война   Змея   Горыныча   с   Иваном   Царевичем   привела   к   тому,   что   под контролем Ивана оказались источники 1, 5, 7, 8, под .контролем Змея ­ источника 2, 4, 9, источники 3, 6 ­ на нейтральной территории. Обе противоборствующие стороны устали от войны и решили закончить ее переговорным процессом. Пришли к такому соглашению: противники встречаются, принеся с собой некоторое количество воды, наливают друг другу, выпивают на брудершафт и расходятся. Как Ивану построить стратегию так, чтобы остаться единственным выжившим после такого совместного распития? 5.Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправляться двое мальчиков или только один солдат. Смогли ли солдаты переправиться на другой берег? 6.Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2 минуты, малыш – за 5 минут, а бабушка за 10 минут. У них есть один фонарик.. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? Если переходят двое, то они идут с меньшей из скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить   издали   нельзя.  Перебрасывать   фонарик   через   реку   нельзя.   Носить   друг друга на руках нельзя. 7.Какое число в 7 раз больше своей последней цифры? 8.Весы пришли в равновесие, когда на одну чашу поставили гири по 2 кг, а на другую – по 5 кг, всего 14 гирь. Сколько двухкилограммовых гирь поставили на весы? 9.От куска сукна длиной в 16 м портной отрезает ежедневно по 2 м. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок? 10.За сутки до дождя кот Пети  всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Завтра будет дождь», ­ подумал Петя. Прав ли он? Письменная работа 1.За неделю туристы прошли 100,7 км, что составляет 106% того, что они должны были пройти. Сколько километром туристы должны были пройти? 2. Разность двух чисел  равна 5. Найдите эти числа, если 0,2 большего из них равны 2 9  меньшего. 3.Если из суммы двух чисел вычесть третье, то получится 182,9. Найти эти числа, если третье число в 7 раз меньше второго , а первое на 11,3 больше второго. 4. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов   простой воды надо добавить к 24 кг морской воды, чтобы содержание соли в ней стало 3% ? 5.Поезд едет со скоростью 50 км/ч. Пассажир поезда замечает, что встреченный поезд мимо него прошел за 10 секунд. Определить длину встречного поезда, если его скорость 58 км/ч. 6. На поляне ребята пасут жеребят. У всех 22головы и 74 ноги. Сколько ребят и сколько жеребят?  7.Число 222122111121 получается, если в некотором слове заменить буквы на их номера в алфавите.  Какое это слово? 8.Два пакета молока и пачка творога стоят 38 руб . А две пачки творога и пакет молока стоят 34 руб. Что дороже и на сколько? 9.Используя   четыре   раза   цифру   7,   знаки   арифметических   действий   и   скобки, представьте все числа от 0 до 10. 10.Найдите наименьшее четное число, в записи которого участвуют все цифры. 11. . Вычислите     1    1 7  23 49    : 13  2 2 1  3 4    3:6,0 3 4   2  1 2  75,3  6,0 1   1 1 2 12.Написали     два   числа.   К   первому   прибавили   второе   и   получили   третье.   Ко второму прибавили третье и получили четвертое и т.д Чему равна сумма шести написанных чисел, если пятое равно 7? 13.В узлах решетки   5 х 5   расставьте 10 точек так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. Занятие 12. Устная работа 1. За книгу заплатили 100 рублей и еще половину ее стоимости. Сколько стоит книга? 2. Известно, что одна из четырех монет – фальшивая, но неизвестно, легче она или тяжелее настоящих. За какое число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно это определить? 3. Углы   в   40 °   и   60 °   имеют   общую   сторону.   Какой   угол   образует биссектриса большего угла с общей стороной этих углов? 4. Число разделили на 7 и в частном получили 5, а остаток на 1 больше частного. Какое число делили на 7? 5. Дедушка на лифте, а внучка по лестнице поднимаются на 7 этаж за 36 с. За сколько секунд каждый из них поднимается на один этаж? 6. Существует ли прямоугольник, у которого периметр численно равен площади? 7. Класс шел парами. Один из учеников глянул вперед и увидел 8 пар, затем обернулся назад и увидел 4 пары. Сколько всего учеников в классе? 8. Является ли старейший шахматист среди музыкантов старейшим музыкантом среди шахматистов? 9. Является ли лучший шахматист среди музыкантов лучшим музыкантом среди шахматистов? 10. Три русалки нашли в море старинную амфору. Одна сказала, что её изготовили финикийцы в V веке до н.э., вторая — что её сделали греки в III веке до н.э., а третья сказала, что амфора не греческая и изготовлена она в IV веке до н.э. Нептун сказал, что каждая из них права наполовину. В каком веке и каким народом, по мнению Нептуна, изготовлена амфора? Письменная работа 1.За сутки коза съедает 10 вилков капусты, волк съедает одну козу, охотник убивает одного волка. На участке росло 350 вилков капусты. В некоторый день все сразу кончилось: козы съели всю капусту, волки съели всех коз, охотник истребил всех волков. Сколько было коз? (Считаем, что каждый день сначала едят козы, потом охотится волк, затем выходит охотник.) 2.В   отделе   научно­исследовательского   института   работают   несколько   человек, причем   каждый   из   них   знает   хотя   бы   один   иностранный   язык.   6   человек   знают английский язык, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? 3.Докажите,   что   произведение   любых   пяти   последовательных   натуральных   чисел делится на 120. 4.Решите ребус: ТИК +ТАК = АКТ. 5.Не вычисляя, определите, правильной или неправильной дробью является значение выражения:  2006∙13−1000 2007∙12+1000  . 6.Участники школьной викторины было предложено 30   вопросов. За правильный ответ давали 13 очков, а за неправильный списывали 10 очков. Один из участников ответил на все вопросы и набрал 160 очков. Сколько правильных ответов он дал? 7.Чтобы испечь хлеб, муку замешивают с равным ей по массе количеством воды.  В печи тесто теряет 30% своей массы. Сколько нужно взять муки, чтобы испечь 7т хлеба? 8. Разделить число 15 000 на две части так, чтобы 5% первой части и 7% второй части составили бы вместе 6,5% всего числа. 9. В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы их сумма по любой вертикали, горизонтали и диагонали была одна и та же. 3 9 1 5 5 1 1 1 7 7 1 3 1 9 10. 17 учеников собрали 100 арбузов. Доказать, что какие­то два из них собрали одинаковое число арбузов. 1313 1717 11.Сравните дроби  и13 17 . 12.Докажите, что при любом целом  а выражение (а2 – 3а) делится на 2. 13.Найти число, 4,8% которого равны 15 +3,625∙15 13 29 ∙9,8+0,625:0,75 28: 7 20 49 14.   Чтобы   попасть   домой,   я   могу   выйти   либо   на   остановке   троллейбуса «Математическая»,   либо   на   следующей   ­   «Физической».   От   остановки «Математическая»   я   иду   к   дому   вдвое   дольше,   чем   от   «Физической»,   но   пока троллейбус подходит к остановке «Физическая», я успеваю пройти треть пути от остановки «Математическая» до дома. Какой путь быстрее? Занятие 13. Устная работа 1.Гребец, плывя по реке, потерял под мостом шляпу. Через 15 минут он заметил пропажу, вернулся и поймал шляпу в 1 км от моста. Какова скорость течения? 2.Трое   учеников   получили   оценки   за   контрольную   работу   3,4   и   5.   Из   трех утверждений:  «Иванов получил 3», «Петров не получил 3», «Сидоров не получил 5» только одно верное. Получил ли Сидоров 3? 3.К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы получилось число, которое делится на 45. 4.У Саши есть 20 разноцветных шариков: желтых, зеленых, синих и черных. Из этих шариков 17­ не зеленые, 5 – не черные, 12­ не желтые. Сколько синих шариков у Саши? 5. Известно, что ляпусики, у которых есть варкала, не все бармаглоты. Кроме того, у тех ляпусиков, которые умеют хрюкотать и при этом не бармаглоты, варкал нет. Верно ли, что не все ляпусики, у которых есть варкала, умеют хрюкотать? 6. Вовочка пришёл сдавать компьютерный тест. На экране появились 6 вопросов, на  каждый из которых надо ответить «да» или «нет». После ответа на все вопросы  компьютер вычисляет количество правильных ответов и ставит: двойку, если  правильных ответов не больше двух; тройку, если три; четвёрку — если четыре;  пятёрку — если пять или шесть. Вовочка не знал ответа ни на один из вопросов. Тем не менее по предыдущему опыту он знал следующее: первый и последний вопросы требуют противоположных ответов; не бывает, что на три подряд вопроса ответ один и тот же; не бывает, что  утвердительные и отрицательные ответы строго чередуются; последовательность  ответов на первые три вопроса не бывает в точности такой, как последовательность  ответов на последние три вопроса. Помогите Вове не получить двойку. 7. Иванушка увидел двух двухголовых дракончиков, головы которых спутались.  Драконы бывают либо правдивые, все головы которых говорят только правду, либо  лживые, все головы которых всегда лгут. Иванушка решил помочь дракончикам  распутать головы. Но для этого полезно знать, где чья голова. Он спросил это у них и услышал в ответ:   Первая голова: «Я — правдивая голова».   Вторая голова: «Третья голова — моя родная голова».   Третья голова: «Вторая голова — не родная мне голова».   Четвёртая голова: «Третья голова — лживая». Какая голова родная первой голове? Письменная работа 1. Число а увеличили на четверть, а затем получившееся число уменьшили на  1 5  . Сравните последнее получившееся число с первоначальным. 2. Покупатель купил у торговки яйцами половину всех яиц и еще половину яйца, второй   покупатель   купил   половину   остатка   и   еще   половину   яйца.   Тогда   у торговки осталось 10 яиц. Сколько яиц было у торговки первоначально? 3. Расставьте цифры 1,2,3,4,5,6,7,8 в вершины куба так, чтобы суммы цифр, стоящих в каждой грани, были равны. 4. Отец   подарил     пяти   своим   сыновьям   участок   земли   квадратной формы,   на   котором   посажены   10   фруктовых   деревьев     и   разбиты аллеи. При этом старшему сыну досталась четверть всего участка, а ∙ ∙ остальным – равные части остатка, на каждом участке растет по 2 дерева. Покажите, как разделить участок. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 5. Алеша и Боря вместе весят 82 кг, Алеша и Вова – 83 кг, Боря и Вова – 85 кг. Сколько весят вместе Алеша, Боря и Вова? 6. Поезд проходит мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 200м за 15 секунд. Найдите длину поезда и его скорость. 7. Над имеющимся числом можно производить два действия: умножать его на 2 или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число действий можно получить из числа 1 число 100? 8. На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и расселись на 2 дерева: одна стая на березу, а вторая на ольху. Через  некоторое время с березы на ольху перелетело 5 ворон, с только же ворон совсем улетело с березы, после чего на березе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон   осталось сидеть  на березе? 9. Найти число, 4,8% которого равны 15+3,625∙15 13 29 ∙9,8 +0,625:0,75 28: 7 20 49 10.Чтобы   попасть   домой,   я   могу   выйти   либо   на   остановке   троллейбуса «Математическая»,   либо   на   следующей   ­   «Физической».   От   остановки «Математическая» я иду к дому вдвое дольше, чем от «Физической», но пока троллейбус подходит к остановке «Физическая», я успеваю пройти треть пути от остановки «Математическая» до дома. Какой путь быстрее? 11.В первом бруске металла массой 1 кг содержится 50% меди, а во втором массой 0,5   кг   –   80%   меди.  Бруски   сплавили.   Сколько   процентов   меди   содержится   в бруске? 12.Машина из пункта А в пункт В едет со скоростью 40 км/ч, а обратно со скоростью 60 км/ч. Какова ее средняя скорость? Занятие 14. Устная работа 1)Продолжи каждый ряд на четыре числа, сохраняя закономерность: а) 1;0;1;0;0;1;0;0;0;…                                  б) 2;1;4;3;6;5;8;7;…                             в) 1;9;3;11;5;13;… 2.Какое число между единицей и десятью, если его разделить на 4 или отнять у него 4,   даёт   один   и   тот   же   результат?  Это   удивительное   число   не   является   целым   и содержит дробь. 3.На продуктовом складе мандарины расфасованы в ящики по 24, 23, 17 и 16 кг.  Можно ли отправить в магазин со склада 100 кг мандаринов, не раскрывая ящики? 4.Три мушкетера, выполняя очередное задание на благо Франции, вечером  остановились у трактира. Поужинав, они заказали на десерт большую тарелку  персиков, но, не дождавшись, пока их принесут, тут же за столом уснули, так как  сильно устали в дороге. Первым проснулся Портос. Он честно отсчитал треть персиков, съел их и опять  заснул.  Потом очнулся Атос, увидел персики, подумал, что никто еще не ел, съел третью  часть и тоже отключился. И, наконец, пробудился Арамис и тоже съел треть того, что лежало на тарелке. И  опять задремал. Пока они все трое спали, пришел официант и унес тарелку, на которой лежали  оставшиеся 8 персиков. Сколько персиков было на тарелке в самом начале? (Задачу легко решить в уме.) 5.На   кухне   за   плиту   завалился   кусок   хлеба   и   заплесневел.   С   того   момента,   как плесень начала расти, площадь, которую она занимала, каждый день удваивалась. К концу 8­го дня вся поверхность хлеба покрылась плесенью. Когда хлеб был покрыт плесенью наполовину?  6.Кота Барсика посадили в подвал за дурное поведение. Барсик питался там одними мышами. Он поймал их за 4 дня 80 штук. При этом его мастерство день ото дня возрастало, и он каждый день ловил столько мышей, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мышей поймал Барсик в каждый из этих четырех дней? 7.Два облезлых пса шли по улице. Большой лохматый Капитан пролаял своему другу, которого звали Чемпион: ­ Если на меня перепрыгнет одна из твоих блох, у нас их будет поровну.  ­ А если одна из твоих блох перепрыгнет на меня, моих блох будет в пять раз  больше, чем твоих! 8.Задачка скорее арифметическая, чем логическая, причем лёгкая. Мул и осёл, гружённые мешками, идут рядом. Осёл пыхтит под тяжестью груза.  Когда мул замечает это, он говорит: "Что вздыхаешь и мучаешься, старый серый  осёл? Я потащу вдвое больше тебя, если возьму у тебя мешок. А если возьмёшь мой  мешок, то мы оба понесем поровну." Сколько мешков несёт каждое животное? 9.На колесе рулетки изображены числа от 1 до 36. Шар остановился как раз на том номере, на который я сделал ставку. Известно, что это число нечётное и делится на 3. Если сложить цифры этого числа, то результат будет между 4 и 8. Если перемножить цифры этого числа, то результат также окажется между 4 и 8.На какое число я сделал ставку. Задачи для письменного решения 1.Алла, Филипп и Максим пошли в лес за грибами. Всего они нашли 49 белых грибов. Часть грибов они решили засушить на зиму, а из остальных сварить грибной суп. Алла отложила для засушки 9 грибов, Филипп ­ 5 грибов, а Максим ­ 11 грибов. В кастрюлю   для   супа   каждый   из   них   положил   грибов   поровну.   Сколько грибов нашел каждый из них? 2.Фрёкен Бок съедает торт за полчаса, Малыш ­ за час, а Карлcон ­ за 5 минут. За какой время они съедят торт вместе?  3.Один человек может вырыть яму за 4 часа. Второй человек может вырыть ту же яму за 5 часов. 3­й человек справится с этой работой за 6 часов, а 4­й ­ за 7 часов. Сколько времени с точностью до минуты уйдет у всех четверых на эту яму, если они будут копать вместе? 4.Витя   нашел   двузначное   число,   которое,   если   его   умножить   на   2,   даёт   точный квадрат; а если его умножить на 3, даёт точный куб. Что это за число? 5.Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: "Если бы я взял   из   ваших   денег   по   половине,   то   у   меня   было   бы   17   рублей".   Второй   же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если бы они дали ему по 1/3 своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они   то   и   у   него   стало   бы   17   рублей. дали   ему   1/4   своих   денег, Сколько денег имеет каждый?  6.Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий   день   по   40   верст.   На   следующий   день   вслед   ему   послан   2­й   человек,   и верст. приказано проходить день ему   45     в   по       На какой день 2­й человек догонит 1­го? 7.Петров и Сидоров работают менеджерами в одной фирме. Зарплата у них поначалу была   одинаковой,   но   через   год   директор   решил,   что   Петров   работает   хорошо,  а Сидоров   не   очень,   и   увеличил   зарплату   Петрова   на   10%,   а   зарплату   Сидорова уменьшил   на   10%.   Еще   через   год   босс   пришел   к   выводу,   что   ошибся,   и   урезал зарплату Петрова на 10%, а зарплату Сидорова поднял на 10%. Кто теперь больше зарабатывает?  8.Доктор   Айболит   взвешивает   на   своих   весах   воробьев   и   ласточек.   5   воробьев оказались   тяжелее   6   ласточек.   Когда   доктор   Айболит   поменял   местами   одного воробья   и   одну   ласточку,   то   веса   сравнялись.   Сколько   весит   воробей   и   сколько ласточка, если общий вес 5 воробьев и 6 ласточек равен 1 кг 140г? 9.На   вопрос   о   том,   сколько   у   него   учеников,   древнегреческий   учёный   Пифагор отвечал так: "Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы". Сколько учеников было у Пифагора? 10.Папа и Лёня делают цветник   квадратной   формы.   Папа   сказал:   "Сделаем   так,   чтобы   сторона   нашего квадрата была на 12 метров меньше его периметра". Узнайте, какой будет длина стороны этого цветника. 11.Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит кирпичик, сделанный из того же материала, если все его размеры в два раза меньше?  12.У Василия Пупкина была своя ферма. Там жили коровы и куры. Однажды, когда голов   и   34   ноги. Василий   их   кормил,   он   насчитал   12   Сколько у Пупкина было коров? А сколько кур? 13.Летела стая птиц на рощу; если по две на дерево — одно дерево осталось; сели по одной — одного не достало. Много ль птиц и дерев?  14.Сидоров идет от своего дома до работы 30 минут, а его сосед и коллега Барбосов ­ 40 минут. Через сколько минут Сидоров догонит Барбосова, если выйдет из дома на 5 минут позже него? 15.Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от пола к потолку и обратно. Первая муха   бежит   в   обе   стороны   с   одинаковой   скоростью.   Вторая   бежит   вниз   вдвое быстрее,   чем   первая,   а   вверх   –   вдвое   медленнее,   чем   первая.   Которая   из   мух победит? Занятие 15. Устная работа 1. Длины сторон треугольника являются целыми числами. Известно, что длины двух из них 1 и 3 см. Какова длина третьей стороны? 2. На одну чашку весов положили круг сыра, а на другую ¾ такого же круга и еще килограммовую   гирю.   Сколько   весит   круг   сыра,   если   на   весах   установилось равновесие? 3. В очереди стоят Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Юра стоит раньше Миши, но после Олега. Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не стоит рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. В каком порядке стоят мальчики? 4. Винни­Пуху подарили на день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни­Пух   съел   половину   меда,   то   бочонок   с   оставшимся   медом   стал   иметь массу 4 кг. Сколько килограммов меда было первоначально в бочонке? Письменная работа 1. Из Сочи в Саратов везли 80 тонн персиков, которые были на 99% из воды. По дороге в Саратов они подсохли, и стали из воды только на 98%. Сколько тонн персиков привезли в Саратов? 2. На русском, английском или испанском языках в мире говорят 896 миллионов человек.   На   русском   и   английском   языках   говорят   651   млн.   человек,   на русском и испанском ­ 510 млн. человек. Сколько миллионов человек говорит на русском языке? 3. Учащиеся школы решили организовать инструментальный ансамбль. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится в 9 классе. Ударника зовут не  Валерий, а ученика 10 класса зовут  не Леонид. Михаил учится не в 11 классе. Андрей – не пианист и не ученик 8 класса. Валерий учится не в 9 классе, а ударник – не в 11 . Леонид играет не на контрабасе. На каком инструменте играет Валерий   в каком классе он учится?    4. Найдите значение дроби  382+498∙381 382∙498−116       5. В некоторой семье имеется пять голов и четырнадцать ног. Сколько в семье людей, а сколько собак? 6. Задуманное число добавили к числу, большему его на единицу. Затем из суммы вычли число, на единицу меньшее задуманного. В итоге получилось 23. Какое число было задумано? 7. Из квадрата со стороной 100 вырезали квадрат со стороной 80. Оставшийся кусок разрезали на единичные квадратики (это можно сделать), из которых Павел хочет сложить новый квадрат. Чему будет равна его сторона? 8. На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое ребро увеличить на 20%? 9. Найти   четыре   последовательных   четных   числа,   если   известно,   что   сумма наименьшего и наибольшего из них равна 1202. 10. Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в разные стороны. Через 5 минут Вася решил помириться и стал догонять Петю, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю? 11.У Коли на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму — 1/5 остатка, третьему — 1/4 того, что осталось, четвертому — 1/3 нового   остатка.  Последний  кусок   Коля  разделил   пополам  с  пятым   другом. Кому достался самый большой кусок?  12.. В записи * 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 27 вместо знаков «*» поставить знаки «+» или  «­» так, чтобы равенство стало верным. Литература: 1. Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 5­8 класс. Часть 1/Под ред. Лысенко Ф.Ф. – Ростов – на –Дону: Легион; Легион – М, 2010 2. Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 6­9 класс. Часть 2/Под ред. Лысенко Ф.Ф. – Ростов – на –Дону: Легион; Легион – М, 2010 Кирьянова О.П., Зарецкая И.Ф. Учителя МБОУ СОШ мкр. Вынгапуровский Лучший способ изучить что­либо –  это открыть самому. (Д. Пойа)         Решение олимпиадных задач нестандартными способами Задачи на переливание Задачу   на   переливание  называют   задачей  Пуассона,   это   знаменитый французский математик, механик и физик. Когда он был еще молодым и колебался в выборе жизненного пути, приятель, показал ему несколько задач, которые сам не смог решать. Пуассон быстро развязал все. Но особенно ему понравилась задача о двух сосудах: «Кое­кто имеет 12 пинт виноградного сока(пинта это 0,568л) и хочет подарить половину вторую, но у него лишь два пустых сосуда: одна ­ 8, вторая ­ 5 пинт. Каким образом налить в больший сосуд 6 пинт»?. «Эта задача определила мою судьбу, ­  говорил Пуассон. ­ Я решил, что обязательно стану математиком». Задачи   на   переливание   помогают   развивать   логическое   мышление,   настойчивость   в   нахождении пространственное   воображение, оптимального   решения.   Традиционно   в   задачах   на   переливание   сосуда   не   имеют   выдержку, делений, то есть переливать можно лишь до тех пор, пока сосуд, в который наливаем, не заполнится до конца, или пока вовсе не опустеет сосуд, из которого переливаем. Просто так остановиться на середине или разлить содержимое сосуда на две равных части тоже не выйдет. При использовании олимпиад них задач на переливание нужное средство для развития зрительной памяти, потому что поиск правильного хода решения требует контроль нескольких параметров емкостей. Если в одном из них находится вещество, то вместе с объемом налитого нужно помнить еще об объеме пустой части. А это уже целых два параметра. Чтобы   упростить   счет   всех   возможностей   по   изменению   состояния   лучшие занести   данные   об   объемах   каждой   емкости   в   специальную   таблицу.   В   каждую колонку   занести   состояние   всех   емкостей   после   каждого   измерения.   От   ученика требуется   возможность   внимательно   следить   за   их   параметрами,   во   избежание повторений. Если перечислить все возможные варианты, ни повторяясь, то среди них обязательно найдется искомая величина. Задача 1 .   Как с помощью 3­литрового и 5­литрового ведер набрать 1 литр воды? В нашем распоряжении   есть водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение.   Решение этой задачи можно записать в виде таблицы. Сначала оба ведра пустые. Наполняем 3­литровое ведро и выливаем воду из него в 5­литровое. Опять наполняем 3­литровое ведро и выливаем ее в 5­литровое, пока оно не наполнится. В  3­литровом ведре останется 1 литр воды. 3 литры 5 литров 0 0 3 0 0 3 3 3 1 5 Задача 2 .   Имеем две емкости 5 и 7 л. Как с помощью емкостей отмерять 6 л воды из крана? Решение. Сложим таблицу решения :  2 5 2 0 0 2 7 0 7 л 5 л   Задача 3 .  Имеем три емкости: 9 л, 5 л, 3 л. Первая наполнена водой, а другие две пустые. Как с помощью этих емкостей отмерять 1 л воды? Как отмерять 4 л воды? 77 2 7 4 6 5 4 5 4 0 0 4 Решение:    3 л 5 л 9 л 0 0 9 3 0 6 3 5 1 4 5 0    Задача 4 .  В трех кучках лежат 22, 14 и 12 орехов. С помощью трех переложений  уравняйте количество орехов в кучках. Решение:    Поскольку орехов всего 48, то в каждой кучке должно очутиться по 16. Переводить из одной кучки в другую можно столько орехов, сколько их есть в куче, в которую перекладывают. Схематически переложение можно показать так: (22,14,12) — (8,28,12) — (8,16,24) — (16,16,16).  Задача 5.    Как  отмерять 4л воды с помощью банок вместимостью 3л и 5л? Решение банки 5л 3л Переливание 0л 3л 3л 0л 3л 3л 5л 1л 0л 1л 1л 0л 1л 3л 4л 0л Задача 6.   Как с помощью двух бидонов вместимостью 4л и 5л налить в ведро 3л воды, если объем ведра не меньше чем 3л? Решение. Сосуды  5л 4л Не меньше чем 3л Переливание  0л 4л 0л 4л 0л 0л 4л 4л 0л 5л 3л 0л 5л 0л 3л Задада   7    Рядом   с   лабораторией   протекает   бурная   река.   Как   с   помощью   двух сосудов объемом 3 и 5 литров отмерять ровно 4 литра речной воды? Решение  Шаг 3л 5л река 1 0 0  2 0  5  3 3  2 4 0  2  5 2 0  6 2  5  7 3 4 4 литра   могут поместиться лишь в 5­литровый сосуд. Они могут быть получены после доливания 1 литра до 3, 2 литров до 2, 3 литров до 1, или путем отливания от 5 литров 1 литра. Чтобы можно было отлить, ровно 1 литр, нужно, чтобы в сосуде назначения было свободное место, ровно для 1 литра, то есть, чтобы в 3­литровом сосуде перед этим были 2 литра. Разницу объемов сосудов легко получить: 2 литра выходят, если набрать полный 5­литровый сосуд и отлить из нее в пустой 3­литровый сосуд.   После   этого   их   надо   перелить   в   3­литровый   сосуд,   загодя   опорожнив   ее обратно в реку.  Задача 8. У большого алхимика есть нерастворимая колба, в которой содержится 12 миллилитров серной кислоты, а также две нерастворимых мензурки объемом 5 и 7 миллилитров.   Как   ему   получить   две   порции   по   6   миллилитров   серной   кислоты, необходимых для опыта? (Кислота растворит любую другую посуду в лаборатории.) Решение шаг 12 мл 5мл 7 мл 1 12 0 0 2 5 0 7 3 5 5 2 4 10 0 2 5 10 2 0 6 3 2 7 7 3 5 4 8 8 0 4 9 8 4 0 10 1 4 7 11 1 5 6 12 6 0 6 Задача 9  Однажды Винни­Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости.   По   пути   нарвал   букет   цветов,   чтобы   подарить   пчелкам.   Пчелки   очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с   медом.   Мы   дадим   тебе   меду,   если   ты   сможешь   с   помощью   двух   сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л»! Винни­Пух долго думал, но все­таки смог развязать задачку. Как он это сделал? Решение шаг 5л 3л Или шаг 5л 3л 1 5 0 1 0 3 2 3 0 2 2 3 3 3 3 3 2 0 4 5 1 4 0 2 5 0 1 5 5 2 6 4 3 6 1 0 7 1 3 8 4 0 Задача 10.  Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: одна ­ вместимостью в 8 л, а другая ­ вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать? Решение Шаг 12л 8л 5л 1 12 0 0 2 4 8 0 3 4 3 5 4 9 3 0 5 9 0 3 6 1 8 3 7 1 6 5 8 6 6 0 Задачи на соответствии между множествами В каждой из этих задач нужно установить такие соответствия между двумя или тремя множествами, чтобы они удовлетворяли приведенные условия. Обычно задачи на   соответствии   между   множествами   решают   с   помощью   таблиц,   в   строках   и столбцах которых записывают элементы поданных множеств, а в соответствующих ячейках ставят знаки « ­» или «+» в зависимости от того, выполняется или нет и или другое условие. Задача 1.  В бутылку, стакан, крынку и банку налито молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко ­ не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между крынкой и сосудом с квасом, в банке ­ не лимонад и не вода, стакан стоит около банки и сосуды с молоком. В который из сосудов налит каждый из напитков? Решение. Нужно установить соответствие между двумя множествами ­ сосудов и напитков. Бутылка  Стакан  Крынка  Банка  Сложим таблицу: Молоко  Лимонад  Квас  Вода  За условием вода и молоко ­ не в бутылке, а в банке ­ не лимонад и не вода. Следовательно, в соответствующие ячейки ставим знаки «­» : Молоко  Лимонад  Квас  Вода  Бутылка  ­ ­ Стакан  Крынка  Банка  ­ ­ Поскольку сосуд с лимонадом стоит между крынкой и сосудом с квасом, то в крынке ­ не лимонад и не квас. Поскольку стакан стоит около банки и сосуды с молоком, то в стакане и в банке ­ не молоко. Ставим знаки «­» в соответствующей ячейки таблицы : Бутылка  ­ Стакан  ­ Крынка  Молоко  Лимонад  Квас  Вода     Теперь очевидно, что в крынке ­ молоко, а в банке ­ квас. Тогда в крынку не может ­ ­ ­ ­ Банка  ­ ­ быть налитой воды, а квас не может быть налитым ни в бутылку, ни в стакан: Бутылка  ­ Стакан  ­ Крынка  Молоко  Лимонад  Квас  Вода  Расставив знаки «+» и «­» в соответствующие ячейки таблицы, делаем вывод, что в бутылке налит лимонад, тогда в стакане ­ вода.  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ Банка  ­ ­ Молоко  Лимонад  Бутылка  ­ + Стакан  ­ ­ Крынка  + ­ Банка  ­ ­ Квас  Вода  Ответ: в бутылке ­ лимонад, в стакане ­ вода, в крынке ­ молоко, в банке ­ квас. ­ + ­ ­ ­ ­ + ­ Задача 2.  В гонках участвовали три гонщика: Иваненко, Петренко, Сидоренко. Они   выступали   на   красном,   желтом   и   белом   автомобилях.   Гонщик   на   красном автомобиле   пришел   к   финишу   раньше,   чем   Сидоренко.   Гонщик   на   желтом автомобиле пришел к финишу не первым. Гонщик на белом автомобиле перегнал Петренка, хотя Петренко был не последним. Кто на каком автомобиле выступал? Решение. Нужно   установить   соответствие   между   двумя   множествами   ­   фамилиями гонщиков и цветами автомобилей. Поскольку гонщик на красном автомобиле пришел к   финишу   раньше,   чем   Сидоренко,   то   Сидоренко   выступал   не   на   красном автомобиле.   Дальше   из   условия   задачи   делаем   вывод,   что   Петренко   пришел   к финишу   вторым.   Поскольку   Сидоренко   не   был   первым,   потому   что   за   условием гонщик на красном автомобиле пришел к финишу раньше, чем Сидоренко, то первым пришел к финишу Иваненко, и он был на белом автомобиле, потому что за условием гонщик на белом автомобиле перегнал Петренка. Сложим таблицу и ставим «+» и «­» в соответствующих ячейках: Иваненко Петренко  Сидоренко  Красный  ­ ­ Желтый  ­ Белый  + ­ ­ Теперь очевидно, что на красном автомобиле выступал Петренко, а Сидоренко выступал на желтом автомобиле: Иваненко Петренко  Сидоренко  Красный  ­ + ­ Желтый  ­ ­ + Белый  + ­ ­ Ответ:   Иваненко   выступал   на   белом   автомобиле,   Петренко   ­   на   красном, Сидоренко ­ на желтом. Задача   3.  В   соревнованиях   по   бегу   на   100м   участвовали   четверо   друзей: Котиков, Маслов, Зайцев и Чижов. Один из них брюнет, второй, ­ блондин, третий, ­ шатен,  четвертый,  ­  рыжий.  Котикову   удалось   перегнать   рыжего,  однако   Маслов прибежал   впереди   Котикова.   Зайцев   прибежал   раньше   Чижова,   но   позже   шатена. Маслов не шатен. Кто какое место занял? Решение. Нужно установить соответствие между множеством фамилий и множеством мест. Поскольку   Котикову   удалось   перегнать   рыжего,   то   Котиков   не   мог   занять последнее   место.   Поскольку   Маслов   прибежал   впереди   Котикова,   а   тот   не   на последнем месте, то маслов не мог занять ни третье, ни четвертое место. Поскольку Зайцев прибежал раньше Чижова, то Зайцев также не мог занять последнее место. Следовательно,   последнее   место   занял   Чижов.   Сложим   таблицу   и   ставим   в соответствующие ячейки знаки «+» и «­»: Котиков  Маслов  Зайцев  Чижов  1 место 2 место 3 место ­ ­ ­ ­ 4 место ­ ­ ­ + Поскольку Зайцев прибежал позже, по крайней мере, за шатена, то он не мог занять   первое   место.   Поскольку   Маслов   не   шатен,   то   Зайцев   прибежал   позже Котикова. За условием Маслов прибежал впереди Котикова. Следовательно, первое место занял Маслов: Котиков  Маслов  Зайцев  Чижов  1 место ­ + ­ ­ 2 место 3 место ­ ­ ­ ­ 4 место ­ ­ ­ +  Поскольку Зайцев прибежал позже за Котикова, то Котиков занял второе место, а Зайцев ­ третье: Котиков  1 место ­ 2 место + 3 место ­ 4 место ­ Маслов  Зайцев  Чижов  + ­ ­ ­ ­ ­ ­ + ­ ­ ­ + Ответ: Котиков занял второе место, Маслов ­ первое, Зайцев ­ третье, Чижов ­ четвертое. Задача 4. Белочка заготовила на зиму орехи, грибы, ягоды и шишки, положила их в разные шкатулки: красную, синюю, белую и желтую, ­ и поставила на полку  в строку.   Шкатулка   с   грибами   не   крайняя.   Шкатулка   с   шишками   стоит   между шкатулкой с ягодами и желтой шкатулкой. Чтобы сварить компот, надо залезть не в синюю шкатулку, а в соседнюю с ней. Ягоды находятся не в белой шкатулке. В каких шкатулках лежат заготівки белки? Решение. Нужно установить соответствие между двумя множествами ­ цветов и заготовок. Поскольку   шкатулка   с   шишками   стоит   между   шкатулкой   с   ягодами   и   желтой шкатулкой,   то   в   желтой   шкатулке   не   могут   быть   ни   шишек,   ни   ягод.   Также   по условию   задачи   ягод   не   может   быть   ни   в   синей,   ни   в   белой   шкатулках. Следовательно,   ягоды   лежат   в   красной   шкатулке.   Сложим   таблицу   и   ставим   в соответствующие ячейки знаки «+» и «­»: Орехи  Грибы  Ягоды  Шишки  Красная  ­ ­ + ­ Синяя   Билла  Желтая  ­ ­ ­ ­ Шишки могут лежать или в синей, или в белой шкатулке. Поскольку шкатулка с шишками   стоит   между   шкатулкой   с   ягодами   и   желтой   шкатулкой,   то   возможны такие варианты расположения шкатулок : красная, синяя, желтая, белая или красная, белая, желтая, синяя. Но за условием шкатулка из ягодам (то есть красная шкатулка) стоит   рядом   с   синей   шкатулкой.   Следовательно,   расположение   шкатулок   будет таким: красная, синяя, желтая, белая. Тогда шишки лежат в синей шкатулке: Орехи  Грибы  Красная  ­ ­ Синяя  ­ ­  Билла  Желтая Ягоды  Шишки  + ­ ­ + ­ ­ ­ По  условию   шкатулка   с   грибами   не   крайняя,   следовательно,   грибы   не   могут лежать в белой шкатулке: Красная  ­ ­ + ­ Красная  ­ ­ + ­ Синяя  ­ ­ ­ + Синяя  ­ ­ ­ +  Билла  Желтая  Орехи  Грибы  Ягоды  Шишки  Теперь очевидно, что грибы лежат в желтой шкатулке, а орехи ­ в белой: ­ ­ ­ ­ ­  Билла  + ­ ­ ­ Желтая  ­ + ­ ­ Орехи  Грибы  Ягоды  Шишки  Ответ: в красной шкатулке лежат ягоды, в синей ­ шишки, в белой ­ орехи, в желтой ­ грибы. Задача 5. Иринка, Даринка и Маринка пришли на вечеринку в белой, зеленой и синей платьях. Их туфли также были белого, зеленого и синего цветов. Известно, что только в Иринки платье и туфли были одного цвета. Ни платье, ни туфли Даринки не были белыми, Маринка была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из девушек. Решение.  Нужно установить соответствие между тремя множествами: именами девушек, цветами платьев и цветами туфель. Воспользуемся таблицей: Белый Платье Туфли Зеленый Платье Туфли Синий Платье Туфли Иринка  Даринка  Маринка  По   условию   ни   платье,   ни   туфли   Даринки   не   были   белыми,   потому   в соответствующих клетках таблицы ставим знак «­». Также по условию Марина была в зеленых туфлях, потому в соответствующей ячейке ставим знак «+»: Белый Зеленый Синий Платье Туфли Платье Туфли Платье Туфли Иринка  Даринка  Маринка  ­ ­ Из этого следует, что + 1) ни Иринка, ни Даринка не могли быть в зеленых туфлях; 2) Маринка не была обута ни в белые, ни в синие туфли; 3) платье Марины не зелено. Следовательно Белый Платье Туфли Зеленый Платье Иринка  Даринка  Маринка  ­ ­ ­ Туфли ­ ­ + Синий Платье Туфли ­  Теперь можем сделать вывод, что туфли, а следовательно, и платье Иринки были белыми: Зеленый Платье Синий Платье Туфли Туфли ­ ­ + Белый Платье + ­ Туфли + ­ Иринка  Даринка  Маринка  Тогда платье у Маринки не белая, а в Иринки ­ не зеленое платье, не сини платье и туфли : ­ ­ Белый Платье + ­ ­ Туфли + ­ ­ Зеленый Платье ­ ­ Туфли ­ ­ + Синий Платье ­ Туфли ­ ­ Иринка  Даринка  Маринка  Теперь очевидно, что платье Маринки может быть только синим, тогда в Даринки зеленое платье и синие туфли : Белый Платье + ­ ­ Туфли + ­ ­ Зеленый Платье ­ + ­ Туфли ­ ­ + Синий Платье ­ ­ + Туфли ­ + ­ Иринка  Даринка  Маринка  Ответ: в Иринки белое платье и белые туфли, в Даринки зеленое платье и синие туфли, у Маринки зеленые туфли и синее платье. Задача 6.  Четыре брата  Юрий, Михаил,  Петр  и  Николай учатся  в 1, 2, 3, 4 классах. Петр ­ отличник, младшие братья старше его берут из него пример. Михаил учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто из них в каком классе учится? Решение.  Нужно установить соответствие между двумя множествами именами и классом. За условием Михаил учится в 4 классе.  1 класс 2 класс  3 класс  4 класс  Юра Михаил  Петр  Николай  ­ ­ ­ + У Петра есть младшие братья, значит, он не может учиться ни в первом, ни во втором классе, значит, он учится в третьем классе. 1 класс 2 класс  3 класс  4 класс  Юра Михаил  Петр  Николай  ­ ­ ­ ­ ­ + + ­ Так   как   Юра   помогает   решать   задачи   брату,  то   он   не   может   быть   младшим, значит, он учится во втором классе. Тогда Николай учится в первом классе. 1 класс 2 класс  3 класс  4 класс  Юра Михаил  Петр  Николай  ­ ­ ­ + + ­ ­ ­ ­ ­ + ­ ­ + ­ ­ Ответ: Юра учится в 2 классе, Михаил ­ 4 классе, Петр ­ в 3 классе, Николай ­ 1 классе. Задача 7.   Татьяна сказала: « В Андрюши больше ста книг». Данила отрицала: «Нет, меньше». Марийка сказала: « Ну, хотя бы одна книга у него, наверное, есть». сколько   книг   может   быть   в   Андрюши,   если   из   этих   утверждений   ровно   одно истинное? Решение.  Возможны три случая: правду сказала или Татьяна, или Данилко, или Марийка. Если правду сказала Тетянка, то Марийка тоже сказала правду, что противоречит условию. Если правду сказала Марийка, то Тетянка и Данилко, за условием должны сказать   неправду.   Это   возможно,   если   в   Андрюши   ровно   100   книг.   Если   правду сказал Данилко, то утверждение Тетянки неправильно, а утверждение Марийки тоже должно быть неправильным. Это возможно, если в Андрюши книг нет. Ответ: 0 или 100. Задача 8.  На одном заводе работают три вторая: слесарь, токарь, сварщик.  Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и жонат на сестре Борисового. Назовите приз вещая слесаря, токаря и сварщика. Решение.  Сложим таблицу соответствий фамилий и профессий. Борисов  Иванов  Семенов  слесарь ­ + ­ токарь + ­ ­ сварщик ­ ­ + Слесарь самый младший, а Семенов старше токаря, значит слесарь не Семенов и не Борисов (так как у Борисового есть сестра). Значит, слесарь ­ Иванов. Тогда Иванов не может быть не токарем, ни сварщиком. Борисов и Семенов не могут быть слесарями. Ставим минусы в соответствующие клетки в случаях «невозможно» и плюсы с правильным ответом.  Семенов не токарь(он старше токаря за условием), тогда он сварщик. Остается Борисов ­ токарь. Ответ: Иванов ­ слесарь, Борисов ­ токарь, Семенов ­ сварщик. Задача 9.  Перед соревнованием из плавания каждого из четырех участников А, Б, В, Г спросили, на какое место он рассчитывает. А сказал: «я буду первым», Б: 2 Я не буду последним«, В: » я не буду ни первым, ни останнім2, Г: « Я буду последним». После заплыву оказалось, что только один из них ошибочно сказал результат. Кто ошибся? Решение.  Сложим таблицу, в который знаком «+» укажем ожидаемый результат. Пловец  А  Б  В  Г  Города  1 2 + 3 + 4 + Допустимо, что ошибся А. тогда он смог занять 2­ге город (4­ое занял Г, так как он не ошибся. Ошибся за условием пловец лишь один). Рассмотрим варианты распределения городов при нашем предположении: А) А­2, Б­1, В­3, Г­4 Б) А­3, Б­ 1, В ­ 2, Г ­ 4 Докажем, что ошибся А. если бы ошибся Б, то есть был на 4­ом городе, и Г ­ на 4­ ом,   противоречие.   Если   бы   ошибся   В,   тогда   он   должен   быть   или   первым,   или последним. Но тогда ошибся бы еще один пловец ­А или Г. Если бы ошибся Г, то помылся бы еще один пловец, в противном случае последнее место  не занял никто. Так как за условием задачи мог ошибиться лишь один пловец, то Г не ошибся. Ответ: ошибся пловец А. Задача  10.  Николай,   Боря,   вова   и   Юра   заняли   первые   4   места   в   соревновании, причем   ни   одно   место   не   разделяется   между   несколькими   ребятами.  На   вопрос, какие они заняли, трое ребят ответили: 1) Николай не первое и не последнее; 2) Боря ­ второе; 3)Вова ­ не был последним. Какие места заняли мальчики? Решение. Оформим   решение   в   виде   таблицы.   Как   и   раньше,   будем   ставить   «+»,   если утверждение правильно, и знак «­», если это не так. Из условия выплывает: 1 место ­ 2 место 3 место + 4 место ­ ­ Николай  Боря  Вова  Юра Поскольку Боря занял второе место, то его не заняли ни Николай, ни Вова, ни Юра. Обозначим это в таблице: 1 место ­ 3 место 4 место ­ Николай  Боря  Вова  Юра  Боря     не   мог   занять   несколько   мест   одновременно,   следовательно,   Боря   не   мог занять 1, 3 или 4 места. ­ 1 место ­ ­ 3 место 4 место ­ Николай  Боря  Вова  Юра  Из таблицы видно, что четвертое место не заняли ни Николай, ни Боря, ни Вова. Можно сделать вывод, что четвертое место занял Юра. Следовательно, Юра не занял ­ ­ 1,2 или 3 места. Николай  Боря  Вова  Юра  Николай не занял 1, 2 или 4 места, следовательно, Николай занял 3 место. ­ + ­ ­ ­ 3 место 4 место ­ 3 место + ­ 4 место ­ Николай  Боря  Вова  Юра  Тогда 3 место не занял Вова. Следовательно, вова не занял 2, 3 или 4 места, потому Вова занял 1 место. ­ + ­ ­ 2 место ­ + ­ ­ 2 место ­ + ­ ­ 2 место ­ + ­ ­ 2 место ­ + ­ ­ 1 место ­ ­ 1 место ­ ­ 1 место ­ ­ + ­ Николай  Боря  Вова  Юра  Ответ: Николай занял 3 место, Боря ­ 2, Вова ­ 1, Юра ­ 4. 2 место ­ + ­ ­ 3 место + ­ ­ ­ 4 место ­ ­ + Задачи на взвешивание Задачи   на   взвешивание  ­   достаточно   распространенный   вид   математических заданий. В таких заданиях тот, кто решает задачу   должен локализовать предмет, который отличается   от   других   по   весу   за   ограниченное   число   взвешиваний.   Поиск развязывания в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Решая такие задачи не забывайте разобрать все варианты. Если ищете фальшивую монету, то полезно разделить все монеты на три кучки, при этом количество взвешиваний уменьшается. Задача 1.  У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну   монету   на   фальшивую,   и   она   по   весу   тяжелее   настоящих.   Как   за   три взвешивания на чашечных весах без гир Буратино найти фальшивую монету?    Решение  Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаше весов первую и вторую кучки; в результате этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка   (если   весы   покажут   равенство,   то   она   ­   в   третьей   кучке).   Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаше весов по 1 монете ­ фальшивой более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части.  Задача 2    Среди 101 одинаковых за видом монет одна фальшивая, такая, которая отличается  по  весу. Как с помощью чашечных  весов без  гир  за два  взвешивания определить, легче или более тяжелой является фальшивая монета? Находить ее  не нужно. Решение Взвешиваем 50 и 50 монет, могут быть  два случая. 1 случай. Монеты имеют одинаковый вес. Берем монету, которая осталась, и ставим ее в левую кучку вместо одной из тех, которые есть там, : а) левая кучка более тяжелая => фальшивая монета более тяжелая; б) левая кучка более легкая => фальшивая монета более легкая. 2 случай. Монеты имеют разный вес. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет: а) вес кучек одинаковая => фальшивая монета более легкая; б) вес кучек неодинаковая => фальшивая монета более тяжелая.  Задача   3  Есть   8   монет.   Одна   из   них   фальшивая   и   легче   настоящей   монеты. Определит за 3 взвешивания которая из монет фальшивая. Решение Делимо монеты на две ровных кучки ­ по 4 монеты в каждой. Взвешиваем. Ту кучку, какая более легкая, опять делимо на две одинаковых кучки ­ теперь по две монеты в каждой. Взвешиваем. Определяем, какая из них более легкая. Кладем на чаше весов по 1 монете из этой кучки. Фальшивая и, какая более легкая. Задача 4   Лиса Алиса и Кот Базилио ­ фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса ­ легче. В Буратино есть 15 одинаковых на вид   монет, но какая­то одна ­ фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гир Буратіно может определить, кто сделал фальшивую монету ­ Кот Базилио или Лиса Алиса? Решение  Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет. При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в купцы, которая осталась. Тогда при втором взвешивании на одну чашу весов Буратіно положит кучку с бракованной монетой, а на друге ­ столько настоящих монет, сколько всех монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящая, более тяжелая ли. Если же при первом взвешивании веса оказались не в равновесии, значит, все монеты в купцы, что осталась, настоящие. Тогда Буратино уберет из весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равных части и положит на весы (если в купцы было 5 или 7 монет, загодя прибавит к ним одну настоящую   монету).   Если   при   втором   взвешивании   веса   оказались   в   равновесии, значит, фальшивая монета более легка настоящих, а если нет, то более тяжелая. Задача 5    Есть 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гир, определить которая из монет фальшивая? Решение  Разделим   10   монет   на   2   ровных   кучки   ­   по   5   монет.   Положим   на   чаше   весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки ­ в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в купцы, которая легче. Теперь кладем на чаше весов по 1 монете из этой кучки ­ фальшивой более легка.  Задача 6    известно, что среди 100 монет есть ровно одна фальшивая. С помощью двух   взвешиваний   на   чашечных   весах   без   гир   определить,   легче   или   тяжелее фальшивая монета от настоящей (находить ее не нужно). Решение  Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Потом возьмем более более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче других, напротив ­ тяжелее. Задача 7.   В корзине лежат 13 яблок. Есть весы, с помощью которых можно узнать суммарный   вес   двух   яблок.   Придумайте   способ   выяснить   за   8   взвешиваний суммарный вес всех яблок. Решение  Пронумеруем яблоко. Взвесим  первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, потом сложим полученный вес (где­нибудь в тетради) и получим двойной вес трех яблок, а потом и вес трех яблок, значит, за три взвешивания мы узнаем суммарный   вес   первых   трех   яблок.   Осталось   пять   взвешиваний   и   десять   яблок, которые взвешиваем попарно и, добавляем все  данные, получим вес 13 яблок Делимость чисел. Решение   следующих задач основывается на основной теореме арифметики : каждое натуральное число, кроме единицы, раскладывается   произведение простых множителей, причем единственным образом. Если   сумма   остатков   от   деления   каждого   слагаемого   на   данное   число разделяется на это число, то и вся сумма разделяется на данное число. Если последняя цифра числа разделяется на 2 (парная) или 5 (0,5), то и все число разделяется на 2 или 5. Если   число,   которое   состоит   из   двух   последних   цифр   данного   числа, разделяется на 4 или 25, то и все число разделяется на 4 или 25. Если последняя цифра числа 0 или 1, или 5, или 6, то в произвольной степени число заканчивается той же цифрой. Чтобы число было полным квадратом необходимо и достаточно, чтобы в его расписании на простые множители все множители были в парной степени. Задача 1     .   Или делится 29 ∙ 3 на 6? Решение:    Так, потому что 6 = 2 ∙ 3, а числа 2 и 3 входят  разложения числа 6 на простые множители. Задача 2   оно делящееся на 12?   .   На самом ли деле, что если натуральное число, делящееся на 4 и на 3, то Решение:   Так. В разложении на простые множители числа, которое делящееся на 4, двойка входит дважды Задача 3 .   На самом ли деле, что если натуральное число делящееся на 4 и на 6, то оно делящееся на 24? Решение: Нет. Например, число 12. Если число, делящееся на 4, то в его расписание двойка входит дважды; из делимости на 6 ­ в его расписании числа 2 и 3. Таким образом, однозначно можно утверждать, что в расписании данного числа есть две двойки и тройка, то есть число, делящееся на 12. Задача 4.    Или разделяется сумма 24+35+12+7­14 на 4? Решение.  24:4  →r1=0;35:4→r2=3;12:4→r3 =0; 7;4 →r4=3;14:4→r5=2; r1+r2+r3+r4−r5=0+3+6+3−2=4   поділразделяется на 4. Ответ: сумма разделяется на 4. Задача   5.  К   числу   157   прибавить   справа   две   цифры   так,   чтобы   полученное пятизначное число разделялось на 36. Найти все такие пятизначные числа. Решение. Число разделяется на 36, если оно разделяется на 9 и на 4. Сумма первых трех цифр числа равняется 13. Тогда, чтобы число разделялось на 4, его последние две цифры должны образовывать двусмысленное число, кратное 4. Рассмотрим варианты: 1) сумма равняется 5: А) 0+5. Не удовлетворяет условию задачи, так как 5 не разделяется на 4. Б) 5+0. Не удовлетворяет условию задачи, так как 50 не разделяется на4. В) 1+4.  Не удовлетворяет условию задачи, так как 14 не разделяется на4. Г) 4+1. Не удовлетворяет условию задачи, так как 41 не разделяется на4. Д) 2+3. Не удовлетворяет условию задачи, так как 23 не разделяется на4. Е) 3+2. Удовлетворяет условию задачи, так как 32 разделяется на 4. Получим число 15732. 2) сумма равняется 14: А) 5+9. Не удовлетворяет условию задачи, так как 59 не разделяется на4. Б) 9+5. Не удовлетворяет условию задачи, так как 95 не разделяется на4. В) 6+8. Удовлетворяет условию задачи, так как 68 разделяется на 4. Получим число 15768 Г) 8+6. Не удовлетворяет условию задачи, так как 86 не разделяется на4. Д) 7+7. Не удовлетворяет условию задачи, так как 77 не разделяется на4. Замечание.   Могут   быть   и   другие   способы   решения   задачи.   Например,   можно подобрать одно число, показать, что оно кратно 36, а другие числа искать, добавляя к искомому(или вычитая из него) кратные 36. При этом решение считается полным, если оно обдумано, что других вариантов нет. Ответ: 15732, 15768 Задача   6.К   числу   147   дописать   слева   и   справа   по   одной   цифре   так,   чтобы полученное   пятизначное   число   разделялось   на   15.   Найти   все   такие   пятизначные числа. Решение.  Число разделяется на 15 тогда и только затем, когда оно разделяется на 5 и на 3. Чтобы число делилось на 5 его последняя цифра должна быть 0 или 5. Чтобы число разделялось на 3, сумма его цифр должна разделяться на 3. Рассмотрим случаи: 1)*1470. Сумма известных цифр равняется 1+4+7+0=12, 12 кратное 3. Чтобы сумма цифр искомого числа разделялась на 3, первая цифра (отличающаяся от 0) должна разделяться на 3. То есть может принимать произвольное значение 3, 6, 9. Таким образом, получили три числа 31470, 61470, 91470; 2)*1475. Сумма известных цифр 1+4+7+5=17. Чтобы сумма цифр полученного числа разделялась на 3, первая цифра может быть: 1(17+1=18, 18 кратное 3), 4 (17+4=21, 21 кратное 3) и 7 (17+7=24, 24 кратное 3) Ответ: 31470, 61470, 91470, 11475, 41475, 71475. Задача 7. Делится  ли сумма 1+2+3+.+2005+2006+2007 на 2007? Ответ обоснуйте.  Решение. Да. Представим следующую сумму в виде(2+2005) +.+(1003+1004)+2007. Так как каждое слагаемое разделяется на 2007, то и вся сумма разделяется на 2007. Ответ: так. Задача 8.     Многоцифровое число записано с помощью шести единиц и тридцати нулей. Может ли оно быть полным квадратом? Решение. Подсказкой   служит   то,   что   указанные   цифры,   из   которых   составленное   число. Найдем сумму цифр : единиц 6 и нулей 30. Сумма цифр равняется 6. Значит, число разделяется на 3, но не разделяется на 9. Тройка входит в число в непарной (первой) степени. Значит, никакое число, составленное из 6 единиц и сколько угодно нулей, не может быть полным квадратом. Ответ: нет. Задача 9. Доказать, что 19831984+4 ­ составлено. Решение. Определим какой цифрой заканчивается число  19831984 1 3 2 9 3 7 7 7 8 1 4 1 5 3 6 9 1984 1984:4=496.  Число   19834   заканчивается   цифрой   1,   значит,   19831984=(19834)496 также заканчивается цифрой 1, потому 19831984+4 заканчивается цифрой 5, то есть Т =4 оно кратно 5. Ответ: число 19831984+4 составлено Задача 10. Доказать, что число 49104−1450 делится нацело на 5. Решение.  Определим, какой цифрой заканчивается разница 2 1 6 3 9 4 4 1 6 Т =2 Т =2 = …1­…6=…5; 1 9 4 49 14 49104−1450 104:2=52; 50:2=25. Разница заканчивается на 5, значит, число разделяется на 5. Ответ: число 49104−1450 делится нацело на 5. Задачи с часами Задача 1 1 января в 6 – ть часов  утра трое часов показывали правильное время. Но правильно шли только одни часы; вторые отставали на 1 минуту за сутки; третие спешили на 1 минуту за сутки. Если часы будут так идти и дальше, то через сколько времен все трое часов опять будут показывать правильное время? Решение. Вторые часы будут показывать правильное время, если он отстанет на 12годин, или 720 минут. Аналогично третьей часы будут показывать правильное время, если он пойдет вперед на 12 часов, или 720 минут. Согласно условию задачи это состоится ровно через 720 суток. Ответ: 720 суток. Задача   2.  Вчера   Иванко   выставил   правильное   время   на   настенных   часах   и   на будильнике. Настенные часы отстают на 2 минуты через час, а будильник спешит на 1 минуту за 1 час. Сегодня в 7 часов настенные часы остановились. Иванко заметил это, когда будильник показывал 8­мь часов. В  котором часу Иванко вчера выставил правильное время на настенных часах и на будильнике? Решение. Сравним с  настенными часами будильник спешит на протяжении часа на 3 минуты. На 1 час, то есть на 60 минут он пойдет вперед посравнению с настенными часами в течение   20   часов.   За   эти   20   часов   будильник   пошел   вперед   сравнительно   с правильным   временем   на   20   минут.   Следовательно,   Иванко   выставил   правильное время за 19часов 20минут до 7­го часа, то есть о 11ч40 мин. Ответ:11 час. 40 мин. Задача 3.  –Куда спешите? ­ На шестичасовой поезд. ­ Сколько минут осталось к отправлению? ­ В 4 раза меньше, чем было 50 минут назад после третьего часа. Что означает этот странный ответ? Который был час? Решение. Между третьим и шестым часами содержится 180 минут. Тогда: 1)180­50=130(мин.); 2) 130:5=26(мин.) То есть до шестого часа осталось 26 мин. 50 минут назад до шестого часа осталось 50+26=76(мин.), а после третьей миновало 180­76=104(мин.), что в 4 раза больше, чем осталось от этого момента до шестого часа. Ответ: было 5 год 34 мин. Задача 4. Сейчас ровно 12­й час, и часовая и минутная стрелки совпадают. Но это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются. Через какие промежутки времени часовая и минутная стрелки часов совпадают? Решение. Поскольку   часовая   стрелка   двигается   в   12   раз   медленнее,   чем   минутная,   то ближайший час они встретиться не могут. Через 1 год часовая стрелка будет стоять около числа 1, а минутная ­ около числа 12. То есть часовая стрелка прошла 112, полного оборота,  а минутная ­ полный  оборот.  Чтобы минутной  стрелке  догнать часовую, ей надо пройти еще 112 полного оборота. Для этого ей понадобится не целый час, а менее времени, причем в столько раз, в сколько 112 меньше от 1112, то есть   в   11   раз.   111   от   1   часа   представляет   5511   мин.   Следовательно,   часовая   и минутная стрелки совпадают через промежутки времени, которые равняются 1 год 5511 мин. Ответ: 1 год 5511 мин. Задача 5. Ежечасно количество боев часов с боем отвечает количеству часов. Кроме того, каждые полчаса часы делают один удар. Сколько ударов за сутки делает часы? Решение. Наибольшее количество боев часов равняется 12. Следовательно, нужно вычислить сумму всех чисел от 1 до 12, умножить ее на 2 и к добытому результату прибавить 24 (количество ударов, которые делают часы каждые полчаса). Достанем (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+24=180(ударов). Ответ: 180(ударов). Задача 6.  Петра часы отстают на 10 минут, но Петр уверен, что он спешит на 5 минут. Часы его товарища Богдана спешат на 5 минут, но Богдан думает, что он отстает на 10 минут. Петр с Богданом договорились встретиться о 16год 00хв. Кто из них двух придет на встречу раньше и на сколько минут? Решение. Петр придет на встречу когда его часы будут показывать 16 часов 05 минут, а действительным временем будет 16 часов 15 минут. Богдан придет на встречу когда на его часах будет 15 часов 50 минут, а действительным временем будет 15 часов 45 минут. Ответ: Задача 7. Допустимо, что сейчас угол между часовой и минутной стрелкой такой же, которым он был два часа назад. Почему равняется этот угол? Решение. Через два часа минутная стрелка будет на том же месте, а часовая вернется на 600.   Поэтому   искомый   угол   600:2=300   или   3600−600:2=1500.   Первый   случай возникает от 11:00 к 13:00, а второй ­ с 5:00 до 7:00. Ответ: 300 или 1500 Эти загадочные криптарифмы Криптарифмы   (от   «крипто»   ­   зашифровано   и   «арифметика),   или криптоарифметические   примеры   ­   вид   нестандартных   задач.   Они   сводятся   к решению простого арифметического приклада на добавление (меньше ­ на вычитание, умножение   или   поднесение   к   степени),   в   котором   цифры   зашифрованы   буквами. Особенно ценят кріпторифми, в которых из букв составленные слова или фразы. Задача 1. Попробуем вместе развязать известный крипторифм:       один                                                                                             + один                                                                                              Много Очевидно, что М=1, а О>4, при этом парное, так как сумма Н+Н заканчивается О. Значит, O=6  или  O=8. Если сумма 6+6 или 8+8 соответственно буква Н, ее значение может   быть   2,   3,   6   или   7(учитывая   переход   единицы   от   суммы   Д+Д).   с   другой стороны, если Н+Н заканчивается на Щ, то Н может быть 3, 4, 8 или 9. Из двух списков   вариантов   общее   только   значение   3,   значит,   Н=3,   и   тогда   В=6.   Таким образом, после этих обдумываний имеем следующий результат:    6..3 + 6..3  136.6 Если сумма Д+Д заканчивается 6, то Д=3 или Д=8.Но так как уже Н=3, то Д=8. Сумма И+И=Г менее 10, так как нет перехода через десяток. Остались «свободные» цифры 0, 2, 4, 5, 7 или 9, из них подходит лишь единственный вариант 2+2=4, тогда И=2 и Г=4.                         6823 Ответ:           + 6823                        13646 Задача 2 ветка +ветка=дерево Ответ: 74235+74235=148470 Задача 3: книга+книга+книга=наука Ответ: 28375+28375+28375=85125 Задача 4. Возобновить запись умножения (вместо звездочек поставить числа, чтобы запись умножения была верной) и объяснить свои рассуждения.  6 *         *     *    *            ** * *       * *       * *  * 6 Решение  66 × 111 Задача 5.   Аист+ Аист+ Аист+ Аист=стая Ответ: 1354+1354+1354+1354=5416 Задача 6. Охохо+ахала=ахахах Ответ: 90909+10101=101010 Задача 7. Реши+если=силен Ответ: 9382+3152=12534 Задача 8. Кафтан+кафтан=тришка Відповідь:364768+364768=729536 Задача 9: булок+было=много Ответ: 87130+8213=95343 Принцип Дирихле У   многих   олимпиад   них     задачах   применяется   принцип   Дирихле.   Однако   их содержание   не   отличается   особенным   разнообразием,   потому   что   сюжет   задачи должен  повторить условие принципа.  Принцип Дирихле : если есть n   клеток и n+1 кролик, и все кролики нужно рас сажать  в клетки, то найдется клетка, в которой будут сидеть два кролика. Очень важно точно подобрать слова, которые описывают процесс распределения предметов.   Если   в   условии   задачи   присутствующие   не   предметы,   а   люди   (как   с месяцами   рождения),   то   фраза   «разложим   людей   по   ящикам»   будет   звучать неправильно. Тогда придется говорить об учениках, которые чем­то отличаются один от другого.  Сущность принципа можно понять на таких простых задачах:  Если в классе 15 парт, а учеников 16, то за какой­либо партой будут сидеть 2 ученика;  Если в классе 15 парт, а учеников 31, то за какой­либо партой будут сидеть 3 ученика (31=15∙2+1);  Если в классе 30 учеников, то найдутся три, в которых день рождения в одном месяце (30=12∙2+6) Задача 1. В клетках таблицы 3×3 расставленных числа ­ 1, 0, 1. Рассмотрим 8 сумм: суммы трех чисел каждой строчке, в каждом стовбці и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы быть разными? Решение. Допустимо, что все суммы разные. Тогда они должны принимать именно менее 8 разных значений. Теперь подсчитаем, сколько разных значений на самом Дили могут принимать эти суммы: ­1­1­1=­3 1+1+1=3 0+0+0=0 ­1+1+1=1 ­1­1+1=­1 ­1+0+0=­1 1+0+0=1 0+1+1=2 0­1­1=­2 Мы перебрали все возможные комбинации сумм трех разных чисел. Их 7: ­ 3, ­ 2, ­ 1, 0, 1, 2,3. Они разные. А всего их должно быть 8. Тогда по принципу Дирихле хотя бы две суммы одинаковые. Ответ: не может. Задача 2   треугольника.  .   Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны Решение:  Прямая делит плоскость на две Задача 3.Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседних одноцветных грани. Решение: Рассмотрим   три   грани   куба,   которые   имеют   общую   вершину.   Назовем   их «кроликами», а эти цвета — «клетками». По принципу Дирихле, найдутся две грани, окрашенных в один цвет. Они и будут соседними. Аналогично приходится общая формулировка принципа Дирихле : «Если n кроликов сидят в k ящиках, то найдется ящик, в котором сидят не меньше чем n /  k кроликов». Немного   иначе   это   утверждение   выглядит   так:  «Если  nk  +  1   кролика   сидят   в  k ящиках, то найдется ящик, в котором сидит, по крайней мере, (n + 1) кроликов». Задача 4. Есть 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого­то одного сорта? Решение: Пусть «клетками» у нас будут сорта конфет, а «кроликами» ­сами конфеты. По принципу   Дирихле   найдется   «клетка»,   в   которой   не   менее   25   /   3   «кроликов». Поскольку 8 < 25 / 3 < 9, то найдется 9 конфет одного сорта. Утверждение   можно   довести,   проводя   сразу   рассуждение   от   противного.   Пусть конфет каждого сорта не больше 9, то есть не превышает восьми. Тогда всего конфет не больше 3  × 8 = 24, а по условию их 25. Противоречие. Задача 5   что какие­то три ученика сделали одинаковое количество ошибок.  .   В классе 30 человек. Паш сделал 13 ошибок, а другие меньше. Доказать, Решение:    По   условию   задания,   наибольшее   число   ошибок,   сделанных   в   работе   13.   Значит, ученики   могли   сделать   0,   1,   2,   .13   ошибок.   Эти   варианты   будут   «клетками»,   а ученики станут «кроликами». Тогда по (обобщенному) принципу Дирихле (14 клеток и 30 зайцев) найдутся три ученика, которые попали в одну «клетку», то есть ошибок, которые сделали одинаковое число. Задача 6. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дыру (дыра — точка). Докажите, что некоторым квадратным лоскутком со стороной 20 см можно закрыть не менее трех дыр.    Решение:  Весь ковер можно накрыть такими 25­у заплатами. По принципу Дирихле какая­то из этих заплат накроет не менее трех дыр. Иногда   принцип   Дирихле   не   работает   «прямо»,   что   требует   дополнительных рассуждений. Задача 7  . Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите,   что   в   любой   момент   турниру   найдутся   две   команды,   которые   сыграли   к   этому моменту одинаковое число матчей.  Решение:  Пусть всего n шахматистов. Тогда каждый мог сыграть от 0 к n ­ 1 партии: всего n вариантов.   Казалось   бы,   что   принцип   Дирихле   не   работает:   у   нас   есть   n  разных шахматистов и n разных количеств сыгранных партий. Заметим, однако, что если какой­то шахматист не сыграл ни одной партии, то не найдется шахматиста, который сыграл все партии. То есть не может быть ситуации, когда есть игрок, который сыграл 0 партий, и игрока,  n, что  сыграл, ­ 1 партия. Значит, разных количеств сыгранных партий в любой момент турниру может быть не больше n ­ 1 (от 0 к n ­ 2 или от 1 к n ­ 1). По принципу Дирихле в любой момент турниру найдется два игрока, которые сыграли одинаковое количество партий. Задача 8.  В хвойном лесу растут 800000 елей. На каждой ели ­ не больше 500000 игл. Доказать, что существуют хоть бы две ели с одинаковым числом игл. Решение: Допустимо противоположное, то есть, допустимо, что в этом лесу не существуют две ели с одинаковым числом игл. Тогда существуют не больше одной ели (одна ель или ни одной), которая имеет одну иглу. Аналогичным способом, существуют не больше одной ели с двумя иглами и так далее, не больше одной ели с 499999 иглами, не больше одной ели с 500000 иглами. Таким образом, не больше 500000 елей имеют число игл от 1 до 500000. Поскольку всего растут 800000 елей, и каждая ель имеет не дольше 500000 игл, следует, что найдутся хоть бы две ели с одинаковым числом игл. Задача 9. Докажите, что из кого­либо 14 натуральных чисел всегда можно выбрать два числа, разница которых делящаяся на 13.    Решение.  Для решения рассмотрим остатки от деления каждого этого числа на 13. Количество остатков   равняется   14.   Остаток   может   равняться   0,   1,   2,   .12.   Количество   этих значений равняется 13. Следовательно, обязательно хоть бы два остатка совпадают. Но тогда разница тех, которые отвечают им двум начальным числам делящийся на 13. Задание решено. Очевидно,   что   справедливо   такое   утверждение:   Если   количество   некоторых натуральных чисел равно   /, то из них всегда можно выбрать по крайней мере два, разница которых делящаяся на    /. Разные задачи Задача1. 48 карандашей разложено в три коробки так, что количество карандашей во   всех   коробках   разное.   Если   из   первой   коробки   перевести   в   друге   столько карандашей, сколько было во второй, потом из второй коробки перевести в третью столько, сколько было в третьей, и, наконец, из третьей коробки перевести в первую столько, сколько было в первой, то количество карандашей во всех коробках станет одинаковым. Сколько карандашей были в каждой коробке сначала? Решение.  Эту задачу удобно решать «с конца». После последнего переложения карандашей имеем: Первая коробка 16   Третьим   (последним)   переложением   к   первой   коробке   было   положено   столько карандашей,   сколько   в   ней   было,   то   есть   их   количество   удвоилось.   Поэтому   к Вторая коробка 16 Третья коробка 16 последнему переложению в первой коробке было 8 карандашей. В третьей коробке, из которой эти 8 карандашей было взято, перед тем было 16+8=24 карандаша.  Теперь распределение карандашей такой: Первая коробка 8 Вторым   переложением   из   второй   коробки   было   переведено   к   третьей   столько карандашей,   сколько   в   ней   было.   Поэтому   24   ­   это   удвоенное   количество Вторая коробка 16 Третья коробка 24 карандашей, которые были в третьей коробке к этому переложению. Распределение карандашей после первого переложения такой: Первая коробка 8 Вторая коробка 28 Третья коробка 12 Первым  переложением ко второй коробке положили столько карандашей, сколько в ней было, то есть 28 ­ это удвоенное количество карандашей во второй коробке. Поскольку28 :2=14  карандашей  взяло  из  первой  коробки, то  сначала  в ней  было 8+14=22.  Следовательно, сначала распределение карандашей было такой: Третья коробка 12 Вторая коробка 14 Первая коробка 22 Ответ: в первой коробке 22 карандаша, во второй ­ 14 карандашей, в третьей ­ 12 карандашей. Задача   2.трое   мальчиков   делили   между   собой   120   фантов.   Сначала   Петр   дал Іванкові   и   Миколці   по   столько   фантов,   сколько   у   их   было.   Потом   Іванко   дал Миколці и Петру по столько фантов, сколько у их стало. И наконец, Миколка дал Петру и Іванкові по столько фантов, сколько на этот момент было. В итоге всем досталось поровну фантов. Сколько фантов были у каждого мальчика сначала? Решение.  Эту задачу удобно решать «с конца». Выполним все описанные в условии задачи операции в обратном порядке и занесем выполнение этих операций к таблице: Іванко 40 ­20 20 +50 70 ­35 35 Петр 40 ­20 20 ­10 10 +55 65 Ответ: У Петра 65 фантов, в Іванка ­ 35, у Николая ­ 20. Задача 3. Богдан задумал число. Николай умножил его то ли на 5, то ли на 6. Иван прибавил к Миколиного результат то ли 5, то ли 6. Андрей отнял от полученного Николай 40 +40 80 ­40 40 ­20 20 числа то ли 5, то ли 6. В результате получили 73. Какое число задумал Богдан? Решение.   Пусть задуманное число х. Николай умножил его и получил то ли 5х, то ли 6х.Іван прибавил   свое   число,   а   Андрей   отнял   свое.   После   этого   можно   получить   такие выражения:   5х­1,   5х,   5х+1,   6х­1,   6х,   6х+1.   Условию,   что   х   ­   целое   число, удовлетворяет лишь последнее уравнение: 6х+1=73, потому х=12 Ответ: 12. Задача 4.     Если Николай купит 11 тетрадей, то у него останется 7 гривен, а на покупку 15 тетрадей ему не хватит 5 гривен. Сколько денег у Николая? Решение.  Пусть одна тетрадь стоит х гривен. Тогда 11х+7=15х­5 Развяжем уравнение. 4х=12 х=3 Ответ: одна тетрадь стоит 3 гривни. Задача   5.   Возраст   старого   Хоттабича   записывается   разными   цифрами.   Об   этом числе известно, что : 1) если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то достанем двусмысленное число, которое при сумме цифр 13 является наибольшим; 2) первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет старому Хоттабичу? Решение.  Наибольшим двусмысленным числом с суммой 13 есть число 94. Пусть последняя цифра 1. Тогда первая ­ 4, но такая цифра уже есть. пусть последняя цифра 2, тогда первая ­ 8. Все цифры разные, имеем 8942. Если последняя цифра 3, или больше, то при умножении ее на 4 получим двоцифрове число, которое не является цифрой Ответ: 8942 Задача 6.  Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить за днями свою работу, если будет высаживать не меньше одного дерева в день? Решение.  В   первый   день   посаженое   1   дерево,   то   таких   вариантов   8,   если   2   дерева   ­   то вариантов 7, если 3 ­ то 6, если 4 ­ то 5 вариантов, если 5 деревьев ­ то вариантов 4, если 6 деревьев ­ то вариантов 3, если 7 деревьев ­ то вариантов ­ 2, если 8 деревьев ­ то вариантов 1. Следовательно, всех вариантов 8+7+6+5+4+3+2+1=36 Ответ: 36 Задача   7.  Одно   четырехцифровое   число   составлено   из   последовательных   цифр, которые расположены в порядке роста, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке спадения, третье четырехцифровое число составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равняется 12300? Решение. Если одно из этих чисел 1234, то второе ­ 4321. Тогда третье число равняется 12300 ­ (1234+4321)=6745. Этот вариант не подходит, так как третье число состоит из других цифр. Если первое число 2345, то второе 5432, а третье   12300 ­(2345+5432)=4523. Этот вариант подходит. В случае, когда первое число 3456, третье равняется 12300 ­(3456+6543)=2301 ­ не подходит. Если же первое число 4567, то третье 79. В иных случаях третье число будет еще меньшим, что не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 2345, 5432, 4523. Задача 8. Вася задумал число и разделил его на 100. В итоге получил число, которое на 34,65 меньше того, которое он задумал. Какое число задумал Вася? Решение.  Пусть х число, которое получили при делении на 100. Тогда искомое число 100х. Так как  задуманное число на 34,65 больше, то сложим уравнение  100х­х=34,65 х=0,35 Тогда задуманное число 35. Ответ: 35. Задача 9. В озере водятся караси и окуни. Два рыбака поймали 70 рыб, причем 59 улову первого рыбака складывали караси, а 717 улова второго ­ окуни. Сколько рыб поймав каждый рыбак? Решение.  Количество рыб, яки поймал второй рыбак кратное 17, значит, оно может равняться 17,   34,   51   или   68.   Количество   рыб,   которые   поймал   первый,   может   равняться (соответственно)   53,   36,   19   или   2.   Но   количество   рыб,   которое   поймал   первый, должно   быть   кратное  9,  откуда   получим   ответ:   первый   рыбак   поймал  36  рыб,  а второй 34. Ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, а второй 34. Задание 10.  Между городами Но и В по горной дороге через перевал регулярно ездит автобус. При подъеме на перевал он едет со скоростью 25 км\u1075?од, а при спуске ­ 50 км\u1095?ас. Время его движения от А к В ­ 3,5 час., а от В к А ­ 4 часа. Найти расстояние от А к В. Решение.  Рейс автобусу туда и обратно длится 7,5 час., при этом, так как в гору он едет в два раза медленнее, чем под гору, то на все подъемы автобус тратит в два раза больше времени, чем на спуски. Таким образом, на спуски он тратит 2,5 час., а на подъемы 5 часов. Значит, расстояние от А к В равняется  (25 ∙5+50∙2,5¿:2=125  км. Ответ: 125  км. Список литературы  1. Канель­Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О.Бугаенко.|4­е изд., стереотип.|М.: МЦНМО, 2008.| 96 c.  2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки / Под редакцией М.К. Потапова. – 2­е издание.­ М.: Наука. Главная редакция физико­математической литературы, 1981.­ 208с.  3. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей.­ М.: Просвещение, 1982.­ 96с.  4.   Баранова   т.А.,   Блинков   А.Д.,   Кочетков   К.П.,   Потапова   М.Г.,   Семенов   А.В. Олимпиада   для   5­6   классов.   Весенний   тур   Архимеда.   Задания   с   решениями, технология проведения.­М.: МЦНМО – 2003г.­ 125с.  5. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5­11 классы/ А.В. Фарков. ­8­е изд., испр. И доп. – М.:Айрис­пресс, 2009.­256с.  6. Севрюков П.Ф. подготовка к решению олимпиадных задач по математике / П.Ф. Севрюков. –Изд.2­е. –М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2009.­ 112с.  7.   Шарыгин   И.Ф.,   Шевкин   А.В.   Задачи   на   смекалку.   Учебное   пособие   для   5–6 классов общеобразовательных учреждений. 8­е изд.­М.: Просвещение, 2006.  8.   Математика.5­9   классы.   Развитие   математического   мышления:   олимпиады, конкурсы / авт.­сост. И.В. Фотина.­Волгоград: Учитель, 2010.­202.  9. Богомолова О.Б. Логические задачи /О.Б. Богомолова.­ М.:БИНОМ. Лаболатория знаний, 2005. – 271с.:и Афанасьева Е.В. Зам. директора по УВР Учитель математики  МБОУ СОШ №3 «Математика владеет не только  истиной, но и высшей красотой»                                                                                            Бертран Рассел. Сборник задач по теории вероятностей  (с решениями) 1.  Из   1000   собранных   на   заводе   телевизоров   5   штук   бракованных.   Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность бракованным. того, Решение.   При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A   проверяемый   телевизор     что окажется   «выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По определению вероятности                       P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005. 2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар.   Какова   вероятность   того,   что   этот   шар   окажется   жёлтым?   Решение. Общее  число  исходов  равно  числу  шаров: 9  +  6 + 5  =  20.  Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность   равна 6÷20 = 0,3.  Ответ: 0,3.  3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик. Решение.  Вероятность   события   равна   отношению   количества   благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 слу­ чая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. По­         0,5. этому искомое отношение равно 3:6=0,5. Ответ: 4.   В   чемпионате   мира   участвуют   16   команд.   С   помощью   жребия   их   нужно разделить   на   четыре   группы   по   четыре   команды   в   каждой.   В   ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий  m   = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее   число   равновозможных   событий  n  =   16   (16   карточек)   по   определению вероятности         Р= 4: 16 = 0,25. Ответ:0,25 5.    В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. Решение. Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что   первым   будет   стартовать   спортсмен   не   из   России   равна 9:20   =   0,45.       0,45. Ответ:    6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?  Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Ве­ роятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на         0,995. каждые 1005 лампочек, то есть  1000:1005=0,995.Ответ: 7.  В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек,   которые   должны   идти   в   село   в   магазин   за   продуктами.   Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт  в магазин? 6 : 8=0,75.    8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распре­ деляются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда Рос­ сии не попадает в группу A?   Решение.  Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким обра­ зом, вероятность того, что команда не     попадает в группу равна 1­0,25=0,75. Ответ:0,75 9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя.  Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом  разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя  попадут в разные группы. Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в любой группе.  Останется 25 мест, из них в другой группе 13. Исходом считаем выбор места  для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 = 0,52. Ответ:0,52                           10.  В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что группе. Решение. Если Сергею первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 — в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна   Вадим     Сергей окажутся одной и в         3/15. Ответ:0,2                                                                                                         11.  В   классе   21   учащийся,   среди   них   два   друга   —   Вадим   и   Олег.   Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что группе. Решение. Пусть один из друзей   находится в некоторой группе. Вместе с ним в   Вадим   окажутся   Олег одной и в         группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг  окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.          Ответ: 0,3 12.  Перед   началом   первого   тура   чемпионата   по   настольному   теннису участников   разбивают   на   игровые   пары   случайным   образом   с   помощью жребия.   Всего   в   чемпионате   участвует   16   спортсменов,   среди   которых   7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким­либо спортсменом из России? 6:15=0,4. Ответ:0,4.                                                                          13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26  шашистов, среди которых 3 участника  из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким­либо шашистом из России?   2: 25=0,08. Ответ: 0,08. 14. В классе 26 учащихся, среди них два друга —   Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе. Ответ  12 : 25 = 0,48. 15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу. Ответ 6 : 20 = 0,3. 16.  В   классе   21   учащийся,   среди   них   две   подруги   ­   Аня   и   Нина.   Класс случайным  образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.             Ответ: 2: 20 = 0,1.                                                      17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой­то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась,   достигнув   отметки   7,   но   не   дойдя   до   отметки   1. Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений) 18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой­то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. 3:12 = 0,25   При   решении   задач  с   монетами  число   всех   возможных  исходов   можно посчитать по формуле  п=2ª, где  19.   В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.  –количество бросков α Решение. Всего возможны четыре исхода: решка­решка, решка­орёл, орёл­решка, орёл­орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность         0,5. того, что орёл выпадет ровно один раз равна  2:4=0,5.  Ответ: 20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу. Ответ: 1:4=0,25 21.   В   случайном   эксперименте   симметричную   монету   бросают   трижды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.   Решение.  1:8=0,125 Ответ. 0,125                                                                                      22.   В   случайном   эксперименте   симметричную   монету   бросают   четырежды.   что   орёл   выпадет   ровно   2   раза. Найдите   вероятность   того, Решение.  Составим   список   возможных   вариантов.   Бросают   2   раза   может выпасть   О ­ Орел,   Р   ­   Решка: ОО,   ОР,   РО,   РР.   Всего   4   исхода   из   них   только   один   случай   удовлетворяет условию.   Вероятность (P) = 1 / 4 = 0.25.   Ответ: 0.25 23.   В   случайном   эксперименте   симметричную   монету   бросают   четырежды. Найдите   вероятность   того,   что   решка   не   выпадет   ни   разу. Решение.  Всего исходов    24   = 16, благоприятных   1 ( ОООО).   1:16 = 0,0625. Ответ: 0,0625                                                                                      При   решении   задач  с   кубиками  число   всех   возможных  исходов   можно посчитать по формуле  п=6ª, где  α  –количество бросков   24.  Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (пра­ вильной очков. Решение. При бросании кубика равновозможных  шесть различных исходов. Собы­ тию "выпадет нечётное число очков" удовлетворяют три случая: когда на куби­ нечетное выпадет кости)     число       ке выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет         0,5. нечётное число очков равна 3:6=0,5. Ответ: 25.  Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3. Решение. При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Собы­ тию "выпадет не больше трёх очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше   трёх   очков   равна     3:6=0,5   Ответ:          0,5. 26.  Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3. Решение.  При   бросании   кубика   6²=   36   различных   исходов.   Событию   "выпадет больше трёх очков" удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков , благоприятных исходов 9 (4,4; 4,5; 4,6; 5,4; 5,5; 5,6;   6,4; 6,5; 6,6.)       9: 36 = 0,25. Ответ:   27.   В   случайном   эксперименте   бросают   три   игральные   кости.   Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. Решение.  При бросании кубика 6³= 216   различных исходов, благоприятных   14. 14 : 216 = 0,07.  Ответ: 0,07.      28.    Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно де­ лится на 5. Решение.  Всего трехзначных чисел 900. На пять делится каждое пятое их них, то есть таких чисел 900:5=180. Вероятность того, что Коля выбрал трехзнач­ ное число, делящееся на 5, определяется отношением количества трехзначных чисел,   делящихся   на   5,   ко   всему   количеству   трехзначных   чисел:   180:900=0,2.       0,2.      Ответ:   29.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероят­ ность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер? Решение. Всего было подготовлено 50 билетов. Среди них 9 были однозначными. Таким образом, вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет од­   нозначный номер равна 9:50=0,18. Ответ: 30. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузнач­ ное число?       0,18. Решение.  Всего в мешке жетонов ­ 50. Среди них 45 имеют двузначный номер. Таким образом, вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон со­ держит двузначное число равна  45 : 50 = 0,9.  Ответ: 31.  Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3?                                           3 : 10 = 0,3.  Ответ:       0.9.             0,3. Противоположные события. 32.  Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероят­ ность того, что эта ручка пишет хорошо. Решение.  Вероятность   того,   что   ручка   пишет   хорошо,   равна   1 − 0,19 = 0,81. Ответ:         0,81. 33.   Вероятность   того,   что   в   случайный   момент   времени   температура   тела здорового человека окажется ниже 36,8°C       равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше.  Ответ. 1­0,87=0,13                                     34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диа­ метр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите   вероятность   того,   что   случайный   подшипник   будет   иметь   диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм. Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противополож­ ного события равна 1 − 0,965 = 0,035. Ответ:       0,035.   Несовместные и независимые события. 35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Ве­ роятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это   окажется   задача   по   теме   «Параллелограмм»,   равна   0,6.   В   сборнике   нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероят­ ность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.                                Решение. Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятно­   стей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7.  Ответ: 36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит боль­ ше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.       0,7. Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме ве­ роятностей этих событий:  P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные зада­ чи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Ответ:  37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П. верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач.  Решение. Вероятность   решить   несколько   задач   складывается   из   суммы   вероятностей       0,07.   решить каждую из этих задач. Больше 8:  решить 9­ю, 10­ю ... Больше 7:  решить 8­ю, 9­ю, 10­ю ...Вероятность решить 8­ю = 0,54­0,48=0,06.    Ответ:0.06 38. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?    Ответ: 4 : 10 = 0,4.   39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в ми­ шень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые   три   раза   попал   в   мишени,   а   последние   два   промахнулся.   Результат округлите до сотых. Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он про­ махивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых собы­ тий   равна   произведению   их   вероятностей.   Тем   самым,   вероятность   события «попал,   попал,   попал,   промахнулся,   промахнулся»   равна 0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048.  Ответ:0.02048. 40.  Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события не­ зависимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3∙0,3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.   Ответ:         0,91 41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в ма­ газине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Решение.  Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна         0,8836. произведению вероятностей этих событий: 0,94∙0,94 = 0,8836.   Ответ: 4 2.   Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятно­ стью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение.  Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их ве­         0,156. роятностей: 0,52 ∙ 0,3 = 0,156.   Ответ: 4 3.   В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продав­ ца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Решение.  Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца         0,027. заняты равна                       (0,3)³ = 0,027.    Ответ: 44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Веро­ ятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероят­ ность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и  В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и  В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94         0,38. − 0,56 = 0,38.Ответ: 45. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экза­ менационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллело­ грамм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероят­ ностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.        0,35. Ответ:   46.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение.  Пусть   A = «чайник   прослужит   больше   года,   но   меньше   двух   лет», В = «чайник   прослужит   больше   двух   лет»,   С = «чайник   прослужит   ровно   два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и С не­ совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:  P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B)  откуда, используя данные из условия, получаем     0,97 = P(A) + 0,89.Тем самым,         0,08. для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.Ответ:  47. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение.  Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8∙0,8∙0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8∙0,2∙0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008;   P(OOO) = 0,2∙0,8∙0,8 = 0,128.Указанные события несовмест­ ные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:  P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. Ответ:         0,392.    48. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть не­ исправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероят­ ность того, что хотя бы один автомат исправен.  Решение.  Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти собы­ тия   независимые,   вероятность   их   произведения   равна   произведению   вероятно­ стей этих событий: 0,05 ∙ 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя   бы   один   автомат,   противоположное.   Следовательно,   его   вероятность         0,9975.  равна 1 − 0,0025 = 0,9975. Ответ:   49. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение.  Рассмотрим событие А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате.  Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88.   Поскольку   P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A∙B),   имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52. Ответ: 50.  Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Пер­ вая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика вы­ пускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.       0,9975.   Решение. Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно брако­ ванное:   0,45 ∙ 0,03 = 0,0135.   Вероятность   того,   что   стекло   куплено   на   второй фабрике и оно бракованное: 0,55 ∙ 0,01 = 0,0055.  Поэтому по формуле полной ве­ роятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло ока­         0,019. жется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.   Ответ: 51.  Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револь­ вера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хва­ тает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попа­ дет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле   условной   вероятности,   вероятности   этих   событий   равны   соответ­ ственно 0,4∙0,9 = 0,36 и 0,6∙0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, со­ стоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ. 0,52 52.  Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — ма­ тематика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специаль­ ность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по общест­ вознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей. Решение.  В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6∙0,8∙0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на ком­ мерцию: 0,6∙0,8∙0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвисти­ ку»,   и   на   «Коммерцию»:   0,6∙0,8∙0,7∙0,5 = 0,168.   Успешная   сдача   экзаменов   на «Лингвистику»   и   на   «Коммерцию»   —   события   совместные,   поэтому   вероят­ ность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на веро­ ятность их произведения. Тем самым, поступить на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408.  Ответ: 0,408. 53. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет­  магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна  0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван  Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет­магази­ ны работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один  магазин не доставит товар.                                                                                          Ре­ шение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна  1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна  1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения  (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих собы­         0,02. тий: 0,1 ∙ 0,2 = 0,02.  Ответ: 54. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероят­ ность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Ре­ шение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» на­ чинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероят­ ность   произведения   независимых   событий   равна   произведению   вероятностей этих   событий.   Вероятность   каждого   из   них   равна   0,5,   откуда   находим:         0,125. 0,5∙0,5∙0,5 = 0,125.   Ответ: 55. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У боль­ ных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятно­ стью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный поло­ жительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, посту­ пающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Решение.  Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен.  Это несовместные события, вероятность их  суммы равна сумме   вероятностей   этих   событий.   Имеем:   Р(А)=0,9•0.05=0,045; Р(В)= 0,01•0,95=0,0095  ,Р(А+В)=Р(А)(В)=0,045+0,0095=0,0545.      0,0545.  Ответ:    56. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что го­ товая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправ­ ную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно вы­ бранная батарейка будет забракована системой контроля. Решение.  Ситуация,   при   которой   батарейка   будет   забракована,   может   сло­ житься в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и за­ бракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий.   Имеем: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,02•0,99+0,98•0,01=0,0198+0,0098=0,0296  Ответ: 0,0296.   57.  Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна  0,7. Найдите вероятность  того, что мишень  будет  поражена (либо первым, либо вторым выстрелом). Решение.  Пусть  A  — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрел­ ком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела. Вероятность события  A  равна  P(A) = 0,7. Событие  B  на­ ступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся, а, стреляя второй раз, попал. Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятно­ стей этих событий: P(B) = 0,3∙0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероят­ ность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:   P  (A  +  B) =  P(A) +        : 0,91. P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.   Ответ 58. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А. Решение. Рассмотрим все возможные исходы жеребьёвки.  ∙ Команда А в матче в обоих матчах первой владеет мячом.  ∙ Команда А в матче в обоих матчах не владеет мячом первой.  ∙ Команда А в матче с командой В владеет мячом первой, а в матче с командой С — второй.   ∙ Команда А в матче с командой С владеет мячом первой, а в матче с командой В — второй.  Из четырех исходов один является благоприятным, вероятность его наступле­        : 0,25. ния равна 1:4=0,25. Ответ 59. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероятность того, что стре­ лок первые три раза попал в мишени равна 0,53 = 0,125. Откуда, вероятность со­ бытия, при котором стрелок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз промахивается равна 0,125 ∙ 0,5 = 0,0625.     Ответ: 60. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» играет по очереди с командами        0,0625. «Амур», «Енисей», «Иртыш». Найти вероятность того, что команда «Байкал» будет первой  владеть мячом только в игре с «Амуром». Решение. Монету бросают 3 раза.  Для команды «Байкал» возможные исходы в трех бросках {О О О},{Р О О}, {О Р О}, {О О Р},                                   {Р Р О},{Р О Р},  {О Р Р},{Р Р Р}. Всего исходов 8, благоприятныx1(выпадение орла в первой игре)  {О Р Р, 1:8=0,125.Ответ 0,125. 61.У   Пети   в   кармане   лежат     шесть   монет:   четыре   монеты   по   рублю   и   две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие­то три монеты в другой карман. Найдите вероятность  того, что теперь две двухрублевые монеты лежат в одном кармане.  Решение. Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4;  двухрублевые – 5, 6. {123} {124} {125} {126} {134} {135} {136} {145} {146} {156} {234} {235} {236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456}   n = 20     – число всех исходов .Взять три монеты можно так: (числа в порядке возрастания,чтобы не пропустить комбинацию)  m = 8  – число благоприятных исходов (комбинации, в которых монеты 5 и 6 (двухрублевые) не взяты или взяты обе. 8:20=0,4 Источники информации:                                                     Открытый банк ЕГЭ ФИПИ  http://fipi.ru/                                     Решу ЕГЭ по математике Д. Гущин.  https://ege.sdamgia.ru Кизябулатова Л.А., Гриднева Н.А.,            Орлова Е.В., Худякова О.И. учителя математики  МБОУ СОШ №7 «Математика уступает свои крепости  лишь сильным  и  смелым»                                                                                             А.П. Конфорович Рабочая программа по внеурочной деятельности по математике  «Школа олимпийского резерва» Пояснительная записка Рабочая   программа   внеурочной   деятельности   «Школа   олимпийского   резерва на   основе   федерального   государственного (математика)»   составлена  образовательного   стандарта   основного   общего   образования,  примерных   программ внеурочной деятельности начального и основного образования (Примерные программы внеурочной   деятельности.   Начальное   и   основное   образование   /В.А.Горский, А.А.Тимофеев,   Д.В.Смирнов   и   др.;   под   ред.   В.А.Горского.   –   3­е   изд.   –   М.: Просвещение, 2013. – 111 с. – (Стандарты второго поколения),  в соответствии с требованиями к результатам освоения ООП НОО МБОУ СОШ №7.  Актуальность. В соответствии с задачами инновационной деятельности школы по апробации региональной Модели выявления, поддержки и развития одаренных детей   с   целью   создания   условий   педагогической   поддержки   для   талантливых   и высокомотивированных   детей,   для   проектирования   и   реализации   индивидуальных образовательных маршрутов введен курс «Школа олимпийского резерва». Данный курс призван систематизировать работу по подготовке учащихся к олимпиадам по предметам Всероссийской олимпиады школьников.    Курс внеурочной деятельности  «Школа олимпийского резерва» создаёт условия для развития у детей познавательных интересов, формирует стремление ребёнка к размышлению   и   поиску,   вызывает   у   него   чувство   уверенности   в   своих   силах;   внимания,   воображения, позволяет   успешно   решать   проблемы   комплексного   развития   различных   видов памяти,   быстроты   реакции, формирования   нестандартного   мышления.  На   первых   этапах   проведения   занятий определена цель – показать учащимся красоту и занимательность предмета, выходя   наблюдательности, за рамки обычного школьного учебника.  Общая характеристика курса внеурочной деятельности «Школа олимпийского резерва (математика)» Курс реализуется с 5 по 8 класс, рассчитан всего на 140 часов (35 часов в год, 1 час в неделю).   Цель курса: формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для решения практических проблем.   Задачи курса: Образовательные задачи:   Научить   учеников   решать   задачи   более   высокой   по   сравнению   с   обязательным уровнем сложности. Формирование и развитие различных видов памяти, внимания, воображения. Формирование и развитие общеучебных умений и навыков.  Формирование общей способности искать и находить новые решения, необычные способы   достижения   требуемого   результата,   новые   подходы   к   рассмотрению предлагаемой ситуации.   Развивающие задачи: Способствовать интеллектуальному развитию учащихся и прежде всего таких его компонентов,   как   способность   к   усвоению   новой   информации,   подвижность   и гибкость мышления. Развитие мышления в ходе усвоения таких приёмов мыслительной деятельности, как умение анализировать, сравнивать, синтезировать, обобщать, выделять главное, доказывать и опровергать. Развитие воображения и интуиции, воспитание вкуса к исследованию и тем самым содействие формированию научного мышления. Развитие пространственного восприятия. Воспитательные задачи: Усилить практический аспект в изучении математики, развивать умение учащихся применять математику в реальной жизни. Воспитание системы нравственных межличностных отношений. Ознакомление   с  природой   научного   знания,   с   принципами   построения   научных теорий в единстве и противоположности математики и естественных и гуманитарных наук. Курс реализуется в форме кружковой работы. Личностные и метапредметные результаты освоения курса внеурочной деятельности В результате изучения данного курса, у обучающиеся будут сформированы: личностные результаты:  уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать   смысл   поставленной   задачи,   выстраивать   аргументацию,   приводить примеры и контрпримеры;  уметь распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта, вырабатывать критичность мышления;  представлять  математическую  науку как  сферу человеческой деятельности, представлять этапы её развития и значимость для развития цивилизации;  вырабатывать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач;  уметь   контролировать   процесс   и   результат   учебной   математической деятельности;  вырабатывать   способность   к   эмоциональному   восприятию   математических объектов, задач, решений, рассуждений; метапредметные результаты: Регулятивные УДД: уметь выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки; уметь   применять   индуктивные   и   дедуктивные   способы   рассуждений,   видеть различные стратегии решения задач; уметь самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритм для решения учебных математических проблем; уметь планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера; Познавательные УДД: овладевать   современными   средствами   массовой   информации:   сбор, преобразование, сохранение информации; уметь видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни; понимать   сущность   алгоритмических   предписаний   и   уметь   действовать   в соответствии с предложенным алгоритмом; Коммуникативные УДД: учиться аргументировать, доказывать; учиться вести дискуссию. предметные результаты:  знать основные типы сюжетных задач и приемы их решения; овладеть базовыми понятиями по основным разделам содержания; представлениями об   основных   изучаемых   понятиях   как   важнейших   математических  моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления; уметь работать с математическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики; развить представления о числе, овладеть навыками устных, письменных, инструмен­ тальных вычислений; применять изученные методы и приемы при решении сюжетных задач, различных типов производить прикидку и оценку результатов вычислений, использовать рациональные способы решения задач.  Требования к уровню освоения учащимися результатов курса: Первый уровень результатов  — приобретение школьником социальных знаний (об   общественных   нормах,   устройстве   общества,   о   социально   одобряемых   и неодобряемых   формах   поведения   в   обществе   и   т.   п.),   первичного   понимания социальной реальности и повседневной жизни. Для   достижения   данного   уровня   результатов   особое   значение   имеет взаимодействие ученика со своими учителями как значимыми для него носителями положительного социального знания и повседневного опыта. Второй уровень результатов  — получение школьником опыта переживания и позитивного отношения к базовым ценностям общества (человек, семья, Отечество, природа,   мир,   знания,   труд,   культура),   ценностного   отношения   к   социальной реальности в целом. Для   достижения   данного   уровня   результатов   особое   значение   имеет взаимодействие   школьников   между   собой   на   уровне   класса,   школы,   то   есть   в защищенной, дружественной социальной среде. Именно в такой близкой социальной среде   ребёнок   получает   (или   не   получает)   первое   практическое   подтверждение приобретённых социальных знаний, начинает их ценить (или отвергает).  Третий уровень результатов — получение школьником опыта самостоятельного общественного   действия.   Только   в   самостоятельном   общественном   действии, действии   в   открытом   социуме,   за   пределами   дружественной   среды   школы,   для других, зачастую незнакомых людей, которые вовсе не обязательно положительно к нему настроены, юный человек действительно становится (а не просто узнаёт о том, как   стать)   социальным   деятелем,   гражданином,   свободным   человеком.   Именно   в опыте   самостоятельного   общественного   действия   приобретается   то   мужество,   та готовность   к   поступку,   без   которых   немыслимо   существование   гражданина   и гражданского общества. Содержание курса внеурочной деятельности Программа  «Школа  олимпийского   резерва»  состоит   из   пяти   модулей   по   годам обучения.   Геометрия на плоскости (11 ч) 5 класс (35 ч) Все занятия носят практический и игровой характер. Простейшие геометрические фигуры (круг, треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб,   параллелограмм,   трапеция),   их   свойства.   Даются   определения   фигур, рассматриваются   «видимые»   свойства.   Круг,   его   радиус,   диаметр,   хорда. Треугольник.   Виды   треугольников.   Равнобедренный   треугольник.   Равносторонний треугольник. Прямоугольный треугольник, его элементы, египетский треугольник. Задачи   на   разрезание.   Одни   из   самых   сложных   задач.   Разрезать   фигуру   на требуемое число частей так, чтобы из них можно было составить другую заданную фигуру. Можно использовать игру­головоломку «Танграм». Объемы простейших тел в пространстве.   Арифметические задачи. Числовые множества. (10 ч) Арифметические   задачи   таят   огромные   возможности   для   того,   чтобы   научить решающих   их   школьников самостоятельно   думать, анализируя  неочевидные жизненные ситуации, приходя к пониманию первопричин разных явлений природы и жизни, а также к оценке возможных последствий  принимаемых решений. Обучение арифметике включает в качестве одного из основных элементов воспитание умения ориентироваться   в   различных   по   своей   природе   взаимоотношениях   между величинами. Рассматриваются   числа,   числовые   неравенства,   дроби,   действия   с   дробями, простые и составные числа.  Текстовые задачи. Нестандартные задачи (7 ч) Решение   олимпиадных   задач   служит   хорошей   подготовкой   к   будущей   научной деятельности,   заостряет   интеллект.   Многие   рассматриваемые   на   факультативных занятиях задачи, интересны и сами по себе и служат материалом для описания ряда общематематических   идей   решения   задач.   На   занятиях   используется два   способа для освоения новых методов и идей решения задач:  Сначала рассмотреть описание идеи, потом разобрать примеры, потом решать задачи на эту тему;  Сразу начать с задачи, чтобы учащиеся сами смогли найти идею, а уже потом рассмотреть её авторское решение и разобрать примеры. Рассматриваются задачи на проценты, на работу, на движение, на переливания, взвешивания и на возрасты.  Комбинаторика. Математические игры, стратегии. (7 ч) Математическая игра характеризуется тем, что позиция может изменяться только в зависимости от хода игрока (шахматы, шашки, крестики­нолики, игра Баше). В математических играх существует понятие выигрышная стратегия, т.е. набор правил, следуя   которым,  один   из   игроков  обязательно   выиграет  (независимо   от   того   как играет соперник). Идеи разработки стратегии игры:  соответствие (основано на симметричности хода),   решение с конца (попадание в выигрышную позицию), передача хода (заставить противника попасть в проигрышную позицию). 6 класс (35 ч) Арифметические задачи. Числовые множества. (10 ч) Знакомство с заданиями олимпиадного характера: Расставление скобок и знаков арифметических   действий,   восстановление   записи,   влияние   зачеркивания   и приписывания нулей на результат, зашифрованные примеры. Приёмы устного счёта. Числа. Чётность и нечётность. Делимость, Нок и НОД.  Текстовые задачи. Нестандартные задачи (6 ч) Предлагаются задания нестандартного содержания из разных разделов программы: нумерация, арифметические действия, величины, алгебраический и геометрический материал   и   отвечают   определенным   требованиям.   Логические   задачи,   старинные задачи, задачи с историческим содержанием, Принцип Дирихле.  Комбинаторика. Математические игры, стратегии (6 ч) Для   повышения   познавательного   интереса   учащихся,   для   того   чтобы   такой сложный предмет, как математика, стал для них интересен, полезно разобрать с ними стратегии различных игр, жизненные задачи, комбинаторные и логические задачи. Деревья, графы, турниры, разбор олимпиадных задач. Геометрия   на   плоскости   (13   ч)  Задания   предполагают   пропедевтику геометрических   знаний.   Позволяют   проверить   глазомер,   восприятие   формы, величины,   умение   концентрировать   внимание   и   воображение.   Рассмотреть геометрические   головоломки.  Из   планиметрии   рассматриваются   координаты   и ориентация, замечательные отрезки в треугольниках, треугольники, окружность. Из стереометрии развертка многогранников.  7 класс (35 ч) Арифметические задачи. Числовые множества. (11 ч) Знакомство с заданиями олимпиадного характера: задания на делимость и остатки, уравнения   и   системы   уравнений,   линейная   функция   и   их   графики,   задания   на целочисленные решения, приближенные вычисления. Геометрия на плоскости (12 ч) Задания   предполагают   углубление   геометрических   знаний,   применение   своих знаний   при   решении   задач   повышенной   сложности.   Геометрические   задачи   на   геометрические построения,   параллельные   и   перпендикулярные   прямые, преобразования. Из стереометрии рассматривается геометрия на сфере.    Текстовые задачи. Нестандартные задачи (5 ч) Предлагаются задания нестандартного содержания из разных разделов программы и повышенного уровня: текстовые, логические, задачи на проценты, задачи – шутки.   Комбинаторика. Математические игры, стратегии (3 ч) Углубление   в   комбинаторику   и   вероятность:   частота   и   вероятность, математические игры в олимпиадных задачах. Участие в олимпиадах различного уровня (4ч) 8 класс (35 ч) Арифметические задачи. Числовые множества. Алгебра (11 ч)  Решение   заданий   олимпиадного   характера:   функции   и   их   графики,   признаки делимости, решение уравнений и неравенств, системы счисления, степени и свойства степеней с рациональным показателем, тригонометрия. Геометрия на плоскости (13 ч) Задания   предполагают   углубление   геометрических   знаний,   применение   своих знаний при решении задач олимпиадного характера. Рассматриваются прямоугольные треугольники, подобие треугольников, площади многоугольников, теорема Фалеса и задачи на построения с помощью циркуля, циркуля и линейки.   Решаются задачи повышенной сложности на тему «окружность»  Текстовые задачи. Нестандартные задачи (5 ч) Предлагаются задания нестандартного содержания из разных разделов программы и повышенного уровня: текстовые, логические, задачи на проценты, движение и на работу. Рассматривается решение задач на принцип Дирихле.   Комбинаторика. Математические игры, стратегии. (5 ч) Углубление в комбинаторику и вероятность, математические игры на выигрышную стратегию, решение олимпиадных задачах. Перечень контрольных испытаний Годовая   промежуточная   аттестация  проверяет   уровень   освоения   учащимися содержания   курса  «Школа   олимпийского   резерва».   Итоги   реализации   программы представлены на интеллектуальном конкурсе.  Тематическое планирование с определением основных видов внеурочной деятельности обучающихся Содержит   учебно­тематический   план   и   календарно­тематическое планирование. Определение основных видов деятельности обучающихся включено в раздел «Характеристика основных видов деятельности».  Учебно­тематический план, 5 класс Наименование раздела Всего часов Теория Практика 11 10 4 3 7 7 № п/п 1 Геометрия на  плоскости  2 Арифметические 3 4 задачи. Числовые  множества Текстовые задачи.  Нестандартные задачи  Комбинаторика.  Математические игры,  стратегии Итого 7 7 35 1 1 9 6 6 26 Учебно­тематический план, 6 класс № Название разделов  Количество теория практика п/п 1 Арифметические   Числовые множества задачи. часов 10 2 Текстовые   задачи. Нестандартные задачи 3 Комбинаторика. Математические   игры, стратегии. Геометрия на плоскости 4 Итого: 6 6 13 35 2 1 2 2 7 Учебно­тематический план, 7 класс 8 5 4 11 28 Название разделов  Количество теория практика № п/п 1 Арифметические   задачи. Числовые множества.  Геометрия на плоскости  2 3 Текстовые   задачи. Нестандартные задачи   Комбинаторика. 4 часов 11 ч 12 ч 5 ч 4 4 2 ­ ­ 7 8 3 3 4 10 25 Математические стратегии    игры, 3 ч 5 Участие   в   олимпиадах различного уровня  Итого: 4ч Учебно­тематический план, 8 класс № Название разделов  Количество теория практика п/п 1 Арифметические   задачи. Числовые множества. Алгебра  Геометрия на плоскости  2 3 Текстовые   задачи. Нестандартные задачи  4 Комбинаторика. Математические стратегии.    игры, часов         11 14 5 5 3 4 1 1 Итого: Учебно­методическое и материально­техническое 35 9 8 10 4 4 26 обеспечения курса внеурочной деятельности Список литературы для учителя: 1) Занимательные математические задачи. Дополнительные занятия для  учащихся 5 классов: Учеб. пособие/ Составители А.М. Быковских, Г.Я.  Куклина. 2­е изд., испр. Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 80с 2) Занимательные математические задачи. Дополнительные занятия для  учащихся 6 классов: Учеб. пособие/ Сост.: А.М. Быковских, Г.Я. Куклина. 2­ е изд., испр. Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 88с 3) Занимательные математические задачи по математике. Дополнительные  занятия для учащихся 7 классов: Учеб. пособие/ Сост. А.М. Быковских, Г.Я.  Куклина. 2­е изд., испр. Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 90с 4) Подготовительные курсы по математике в СУНЦ НГУ для учащихся 8­х  классов. Учеб. пособие / Сост.: А. М. Быковских, Г. Я. Куклина. 2­е изд.,  испр. Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 78 с. 5) Александр Фарков. Математические олимпиадные работы. 5­11 классы. –  СПб: Питер.2010. – 192 с.: ил. Список литературы для учащихся: 1) Занимательные математические задачи. Дополнительные занятия для учащихся 5 классов: Учеб. пособие/ Составители А.М. Быковских, Г.Я. Куклина. 2­е изд., испр. Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 80с 2) Занимательные математические задачи. Дополнительные занятия для учащихся 6 классов: Учеб. пособие/ Сост.: А.М. Быковских, Г.Я. Куклина. 2­е изд., испр.  Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 88с 3) Занимательные математические задачи по математике. Дополнительные  занятия для учащихся 7 классов: Учеб. пособие/ Сост. А.М. Быковских, Г.Я.  Куклина. 2­е изд., испр. Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 90с. 4) Подготовительные курсы по математике в СУНЦ НГУ для учащихся 8­х  классов. Учеб. пособие / Сост.: А. М. Быковских, Г. Я. Куклина. 2­е изд., испр.  Новосиб. гос. ун­т. Новосибирск, 2010. 78 с. ­ интерактивная доска; ­ нетбуки для учащихся; Материально­технические: ­ выход в Интернет и т.д. ­ ресурсы (http://school­collection.edu.ru/);  О.В. Мосиевских, С.В.Запивахина учителя математики МБОУ СОШ №6 «Если дети – национальное достояние  любой страны, то одаренные дети – её                                                                  интеллектуальный и творческий потенциал» Р.Н. Бунеев Работа с одаренными детьми в условиях введения ФГОС  Доклад   посвящен   актуальной   проблеме   –   вопросам   организации   работы   с одаренными   детьми   в   условиях   введения   ФГОС   в   муниципальном   бюджетном общеобразовательном   учреждении   «Средняя   общеобразовательная   школа   №   6» Муниципального   образования   город   Ноябрьск.   Авторы   раскрывают   опыт   работы школы   с   одаренными   детьми   по   математике.   Особое   внимание   обращается   на создание   условий   для   работы   с   одаренными   детьми,   рассмотрены   недостатки   и достоинства.  «Ключевые   слова:  образовательный   стандарт;  одаренные   дети;   опыт работы школы; учебные программы»  В   президентской   инициативе   «Наша   новая   школа»   среди   пяти   основных направлений   развития   общего   образования   на   втором   месте   после   обновления образовательных   стандартов   заявлена   система   поддержки   талантливых   детей.   В работе с одаренными детьми  руководствуемся приказом Департамента образования ЯНАО от 22.10.2012г. № 2061,   где утверждена и рекомендована к использованию «Региональная  система выявления, отбора и поддержки одаренных и талантливых детей   в   системе   образования   Ямало­Ненецкого   автономного   округа»,   а   также методическими   рекомендациями   по   использованию   инновационных   технологий, учебных   программ   и   форм   работы   с   одаренными   детьми,   в   том   числе   раннего возраста,   разработанными   ГАОУ   ДПО   ЯНАО   «Региональный   институт   развития образования». В  рамках   Программы   развития   школы   по   теме   «Системно   ­  деятельностный подход как методологическая основа реализации ФГОС» реализуем подпрограмму «Одарённые дети».  Её цель ­ создать условия для выявления, поддержки и развития одаренных   детей,   их   самореализации,   профессионального   самоопределения   в соответствии со способностями.      Определены основные направления в работе с одаренными детьми:  выявление одаренных детей;  повышение   квалификации   педагогов   посредством   проведения   тематических педсоветов,   психолого­педагогических   семинаров   по   проблемам   работы   с одаренными детьми, открытых уроков и др.;  реализация     в   учебном   процессе     технологий   системно­деятельностного подхода, информационно­коммуникационных технологий, индивидуального и   направленных   на   удовлетворение дифференцированного   обучения, образовательных потребностей каждого школьника  с учетом его склонностей, интересов, учебно­познавательных возможностей;  разработка методических рекомендаций по работе с одаренными детьми;  организация   и   проведение   занятий   с   одаренными   детьми   (подготовка   к олимпиадам, конкурсам, викторинам, занятия в школьном научном обществе (ШНОУ);  мониторинг   результативности   работы   с   одаренными   детьми,   ведение   банка данных одаренных детей. Таким образом, работа с одарёнными и способными детьми – один из важнейших аспектов деятельности нашего педагогического коллектива. Представим опыт работы школы с одаренными детьми по математике: Рассмотрим особенности учебного плана.  Содержание   учебного   плана   и   программ   учебных   дисциплин   оказывает существенное влияние на развитие личностных качеств всех учащихся, в том числе и интеллектуально одаренных. Предусмотрены предпрофильная подготовка и изучение предметов   на   профильном   уровне,   реализация   программ   элективных   предметов   и курсов,  углублённое изучение физики, математики; в классах ФГОС организована внеурочная деятельность. Развита система дополнительного образования. Значительным   потенциалом   развития   одаренных   детей   обладают   учебные программы, реализация которых предусматривается учебным планом школы:  1) На уровне начального общего образования (1­4 классы): через школьный компонент учебного плана  ­ курс  «Юный исследователь» (2 класс), через внеурочную деятельность – кружок «Умники и умницы» (2­4 классы). Для   учащихся   2­4   классов   с   2013г.   организованы   занятия   по   компьютерной программе   «СИРС»   ­   система   интенсивного   развития   способностей.     Технология СИРС   ­   это   результат   научно   исследовательского   проекта   «Развитие   творческих способностей   на   основе   информационных   технологий».   Программа   является инструментом   развития   способностей   человека:   мышления,   представления, воображения,   памяти,   восприятия   и   внимания.   Таким   образом,   систематическая работе   по   технологии   СИРС   оптимизирует   развитие   интеллекта   и   креативности учащихся.  2) На уровне основного общего образования (5­9 классы): через школьный компонент учебного плана: добавлены часы для реализации программы углубленного изучения математики в 5­9 классах; спецкурсы:   «Учимся   учиться,   размышлять,   исследовать»   (5­7   классы),   «Решение нестандартных задач» (5­6 классы), «Практикум по математике» (7­9 классы); элективные   курсы:   «Самый   простой   способ   решения   непростых   неравенств», «Избранные задачи планиметрии» (9 классы); через внеурочную деятельность ­  кружки «Занимательная математика» (5­6 класс), «Юный математик» (7 класс); через систему дополнительного образования ­   кружок   «Радикал»   (программа по работе с одаренными детьми по математике). 3) На уровне среднего общего образования (10­11 классы): профильное обучение в 10­11 классах (информационно­технологический профиль); элективные предметы «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»,   «Замечательные   неравенства,   их   обоснование   и   применение», «Многогранники» (10­11 классы). Таким   образом,   формируемая   участниками образовательного   процесса,   определяет   содержание,   обеспечивающее   реализацию   часть   учебного   плана, интересов и потребностей обучающихся, их родителей.  Считаем   важным   организацию   работы   с   одаренными   детьми   во   внеурочной деятельности.           Учителя   математики   проводят   дополнительные   занятия   с одаренными   учащимися   согласно   представленным   утвержденным   графикам, получают стимулирующую доплату ежеквартально по критериям информационных карт. Обязательным   условием   развития   одарённости   является   формирование у ребенка   чувства   успешности.   Поэтому   педагоги   стимулируют   желание обучающихся   принимать   участие в различных   конкурсах,  интеллектуальных   играх,   проектно­ предметных   олимпиадах,   научно­практических   конференциях, исследовательской   деятельности   –   продуктивные   формы   работы   с   одаренными детьми. Проведение   предметной   Недели   по   математике   стало   традиционной.   Это позволяет учащимся проявить свои способности, а учителям – представить широкий спектр форм внеурочной деятельности.  С   2012   года   апробируем   технологию   портфолио.   Работа   над   «Портфолио достижений» помогает учащимся определить траекторию движения к личностным достижениям.   Для   процессов   социализации   учащегося   важна   прежде   всего успешность   человека,   а   название   «портфолио»   закрепляет   настрой   на   успех. Основной   смысл   портфолио   ­   «показать   все,   на   что   ты   способен».  Развиваем партнерство   по   созданию   творческой,   развивающей   образовательной   среды. Победители школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников (9­11 классы) имеют возможность при подготовке к муниципальному этапу олимпиады посещать   Налажено занятия   городского   Школьного   университета   «Перспектива». сотрудничество с заочным физико­математическим лицеем «АВАНГАРД» (МИФИ): ученики 5­8 классов принимают участие в дистанционных олимпиадах; продолжают обучение учащиеся 8 класса, начали обучение ученики 5 – 6 классов.   Для   обучения   и   развития   математически   одаренных   детей   набирает   силу организация   развивающих   каникул   (обучение   и   отдых   в   НОУ   «Уральского регионального   экспериментального   учебно­научного   комплекса»   г.   Белорецка). Педагоги, сопровождающие учащихся, имели возможность пройти курсы повышения квалификации по работе с одаренными учащимися. Поощряем   одаренных   детей.   Награждение  учащихся,   добившихся   успехов   в различных областях знаний, в том числе и по математике, проходит на традиционном школьном празднике «Радуга талантов» в конце учебного года. В   сентябре   2014   МБОУ   СОШ   №   6   присвоен   статус   Ресурсного   центра профильного обучения и предпрофильной  подготовки учащихся в муниципальной сети: на базе МБОУ СОШ № 6 открыта городская предметная «Школа математики» (7­8   классы),   организовано   изучение   физики   на   профильном   уровне   (10   классы). «Школу математики» посещают 40 учащихся из 6 образовательных организаций г. Ноябрьска.                    Успех ребенка во многом зависит от педагога, который с ним работает. Поэтому важно научиться технологиям работы с одаренными детьми.  С этой целью учителя   проходят   курсы   повышения   квалификации   (очные   и   дистанционные),  Вопросы   повышения применяют   в   своей   работе   инновационные   технологии. компетентности   учителей   по   работе   с   одаренными   детьми   рассматриваются   на заседаниях методического объединения, методического Совета, на педагогических Советах.                  Благодаря кропотливой, поисковой и творческой работе преподавателей, обладающих высоким уровнем компетентности в вопросах математики, рождаются “звездочки” среди наших учеников, способные достичь такого же или даже выше уровня компетентности. Таким образом, в МБОУ СОШ № 6 г. Ноябрьска созданы условия для работы с одаренными детьми.   Вместе с тем, существует ряд проблем, требующих решения, чтобы выйти на более высокий уровень работы по выявлению, поддержке и развитию одарённых детей.  Предстоит     работа по созданию и реализации индивидуальных программ для работы с одаренными и высокомотивированными детьми. Обновляется кадровый   состав   педагогов,   в   связи   с   этим   актуальной   остается   реализация технологий системно­деятельностного подхода, информационно­коммуникационных; не   в   полной   мере   используется   дистанционное   обучение   учащихся,   недостаточно участие учащихся в проектно–исследовательской деятельности. Библиографический список. 1. Барбитова А.Д. Использование средств личностно­ориентированного воспитания при работе с одарёнными детьми. // Одарённый ребёнок. – 2007,№2. – с.130­135 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В сборнике предоставлены материалы учителей математики города Ноябрьск, которые представили  круг элементарных олимпиадных задач. Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных, задач! Теория игр, графы, уравнения в целых числах и т. д. не рассматриваются в школьном курсе  математики.  Уже  не говоря   о  принципе  Дирихле, элементах  теории  чисел, четности,   логических   задачах.   Олимпиадные   задачи   требуют   нестандартного   предлагают   читателям   на   примере   достаточно   простых подхода.   Авторы   тренировочных   задач   познакомиться   со   стандартными   подходами   к   анализу   и решению самых распространенных типов задач. Сборник адресован как учащимся 5­9 классов, которые только учатся решению нестандартных задач олимпиадного типа, так и учащимся старших классов, которые отрабатывают навыки решения; учителям и родителям.