Статья на тему "Прогрессии"

Интересное о прогрессиях Ученица 9 класса МОУ «СОШ с.Сторожевка» Таран Дарья Руководитель  :учитель математики  Жогаль Марина Александровна    Задачи на арифметические прогресии возникали в связи с запросами  хозяйственной жизни общественной практики, как например, распределение  продуктов, деление наследства и т.д.    Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э.  От латинского слова progressio – “движение вперед”. Первые представления  об арифметической прогрессии были еще у древних народов.     В Древнем мире не пользовались нашими стандартными понятиями и  формулами. Впервые, формула вычисления суммы n­первых членов  арифметической прогрессии  была доказана древнегреческим ученым  Диофантом (III в. н. э.).Правило отыскания суммы n­первых членов  произвольной арифметической прогрессии встречается в “книге Абаки” Л.  Фибоначчи (1202г.).Много в этой области работал знаменитый немецкий  математик К.Гаусс (1777 г.­1855г.), который в детстве за 1 минуту сложил все числа от 1 до 100, увидев  закономерность.                                          1 + 2 + 3 + ….. + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ….. = 101 ∙ 50 =  5050       В первом учебнике “Арифметика” Леонида Филипповича Магницкого,  изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным  руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собою, в нем не дано.   Формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести  простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги На клетчатой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается  ступенчатой фигурой    Рис. 1 Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника  ABGE. Получим две равные фигуры ABDC и DGEC. Площадь каждой из них  изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма  прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т. е. (AC+CE)   AB.Но  AC+CE изображает сумму 1­го и n­го членов прогрессии; AB ­ число членов  прогрессии. Поэтому двойная сумма 2S=(сумма крайних членов) (число членов) или   Занимательное свойство арифметической прогрессии Дана “стайка девяти чисел”:3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел  привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3  так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33. 9 7 17 19 11 3 5 15 13  Замечание : из каждых девяти последовательных членов любой  арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический  квадрат. Задачи на прогрессию ­ это не абстрактные формулы. Они берутся из самой  нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические  вопросы. Но наибольший интерес представляет применение прогрессий к  решению нестандартных задач. Решение нестандартных задач. Вычислите выражение:  100 ­ 99 +98 ­ 97 +…+ 2 ­1 . Группируем по 2 слагаемых по ФСУ. Получаем выражение: 199+195+191+… +7+3=5050 арифметическая прогрессия a1=­3, a50=199. Вычислите выражение :(1+ 3 +5 +…+199 )­(2 + 4 +…+200 ).  Раскроем скобки, преобразуем выражение 1­2 +3 ­4 +…+199 ­200 = ­3­7­ 11­…­399 = 20100  арифметическая прогрессия a1 =­3, a100=­399. Решите уравнение:(x +x+1)+(x +2x+3)+(x +3x+5)+…+(x +20x+39)=4500, где a1=x +x+1, d=x+2, an=x +20x+39. Здесь мы видим арифметическую  прогрессию, определите количество членов, преобразуйте по формуле суммы  n первых членов арифметической прогрессии.  (12+32+52+….1992)­ (22+42+…+2002) = 12­22+32 ­ 42 +…+1992­2002 1.   http://cor.edu.27.ru/catalog/res/5781955d­3c28­19b8­b315­f3a763be6f6a/? sort=order&&rubric_id[]=28333&rubric_id[]=28335;   2. http://festival.1september.ru/articles/414968/