Урок математики в 11 класс "Применение производной"

Дидактические проекты уроков по математике Лицей А. С. Пушкина, г. Фэлешть. Дьячук Габриэлла, преподаватель математики, высшая дидактическая степень. МИНИСТЕСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ФЭЛЕШТСКОГО РАЙОНА Теоретический лицей имени А. С. Пушкина г. Фэлешть Преподаватель математики: Дьячук Габриэлла (Высшая дидактическая степень).                                             2015­2016 учебный год Преподаватель математики Дата проведения:  1 февраля 2016 года. Класс: 11 «б» (реальный профиль) Предмет: Математика Учитель: Дьячук Габриэлла Номер урока в системе уроков: 12 урок. Продолжительность урока: 45 минут. Глава (Модуль V):Приложения производной. Субъект урока: Применение производной в физике, геометрии,  экономике. Специфические компетенции 3: 3.2, 3.5, 3.6, 3.7 2 Цели урока: В конце урока учащиеся будут способны:                 Ц1: Распознавать в различных контекстах, формулировать                        определения и применять понятия: критические точки,                       точки экстремума, экстремумы функции, глобальные                       экстремумы;                 Ц2: Устанавливать взаимосвязь между графиком                           дифференцируемой функции и графиком её производной;                 Ц3: Применять основные свойства дифференцируемой  функции                         для решения физических и практических задач;                  Ц4:Проявлять независимость в мышлениях и действиях, а  так                         же  в процессе решения задач. Тип урока: Урок обобщения, анализа­синтеза знаний. Дидактические технологии:                1)Методы обучения: Анализ, синтез и обобщение;                                                     метод упражнений; беседа.                2)Формы обучения: Фронтальная, индивидуальная,                                                      групповая.                3)Оборудование:  Компьютеры,                                                  компьютерная презентация в                                                 Microsoft Power Point                                                 проектор, экран,                                                 оценочные листы, раздаточный                                                  и справочный материал. Оценивание:  а) Виды оценивания: текущее оценивание;                            б) Формы, методы оценивания: устные и                                              письменные вопросы и упражнения;                                              самостоятельная работа;                                              самопроверка. План урока: Организационный момент: проверка готовности класса к уроку (мел, доска).. Вступительное слово учителя (2 мин.)      1 .Актуализация опорных знаний (10 мин.): 3 Постановка целей урока. Математический диктант Проверка домашней работы (правильное решение проектируется на   экран) 2. Осмысление Устная разминка (3мин) Самостоятельная работа (15 мин.)  3.Рефлексия          Подведение итогов урока.  (5 мин.)           Задание на дом,  заполнение оценочных листов (2 мин.)          Резерв (дополнительные задания из тестов « Готовимся к БАКу» ). Ход урока 1. Вступительное слово учителя. ­Здравствуйте ребята! Прошу вас сесть!   Организационный момент.   Проверка явки учащихся.  Проверка готовности учащихся к уроку.  Создание эмоционального настроя у учащихся на работу. Учитель: Тема сегодняшнего урока “Применения производной”, на котором мы должны,  систематизируя знания и умения. ( Постановка целей урока, проектируются проектором )  Учитель: Перед нами стоит задача – показать знание формул и теоретического материала  по теме и умение применять производную при решении практических задач.  Учитель: Производная относится к числу математических понятий, которые носят  межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и  других отраслях наук. Изучение материала по теме урока имеет принципиально важное  значение, так как здесь показывается приложение производной к решению различных  физических и технических задач, то есть возможности применения элементов  дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального  мира. Вопрос 1. В чем заключается геометрический смысл первой производной? Ответ ученика: Геометрический смысл производной состоит в следующем: если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой  х0  можно провести касательную не параллельную  оси у, то f’(x) выражает угловой коэффициент касательной. k=f’(x0)= tgα 4 Вопрос 2. В чем заключается физический смысл первой производной? Ответ ученика: Физический (механический) смысл производной состоит в следующем.  Если S(t)­ закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную  скорость в момент времени t: V=S’(t). Вопрос 3. В чем заключается физический смысл второй производной? Ответ ученика:  a(t)=v´(t)=s´´(t). Учитель: На практике во многих отраслях науки используется обобщение этого равенства: Если некий процесс протекает по закону S=S(t),то S’(t)­ выражает скорость протекания  этого процесса в момент времени t. Примеры из физики: q’(t)=I; a=V’(t) Производная – это скорость роста функции.  1. Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).  2. Сила тока – производная от заряда по времени I = g' (t).  3. Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).  4. Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).  5. Давление – производная силы по площади P = F'(S)  6. Длина окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).  7. Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.  8. Успехи в учебе? Производная роста знаний.  Например. Обсуждая успехи учащегося, преподаватель математики так отозвался о нем:  “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Он хотел сказать, что  скорость приращения знаний у учащегося положительная, а это есть залог того, что знания  возрастут. Чтоб увеличить скорость приращения знаний, ВЫПОЛНИМ ТЕСТ. Выполните задание:На столе у каждого учащегося находятся карточки с тестом: 1)Нужно указать пары “функция – график производной этой функции”. График производной Функция у = 2х – х3                         5 +               +                             + x2+2x y=−1 2 у = 2х – 7 у = 2х + х4          Ответы к заданию: График производной Функция у = 2х – х3 y/ = 2 – 3х2 y /  = х2 + 2 y/ = х y=−1 2 x2+2x у  /  = 2 ­ х у = 2х – 7 у  / = 2 у = 2х + х4 у  /  = 2 + 4х3 +                       +                 +       6 Учитель: Анализируя ваши письменные работы, самая часто встречающая ошибка­это  производная сложной функции. Вспомним формулу производной сложной функции.  Слайд  ( Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять  производную по известным правилам).   Закрепим это на практике.  2)Вариант 1. Найти производные функций. № Задание Ответы А В С 1 2 3 4 5 Теперь выполним самостоятельно вариант 2 и ответы запишем в таблицу. 7 Вариант 2. . Найти производные функций № Задание Ответы А В С 1 2 3 4 5 № задания 1 2 3 4 5 № ответа А С А В С II. Проверка домашнего задания. Учащиеся обмениваются тетрадями и поверяют решение, которое отображается на экране.  8 На дом заданы примеры: №2(б),№10,№6(а) Ответы домашней работы №2(б),№10,№6(а) спроецированы проектором.  • № 10.Найти силу F, действующую на материальную точку массой  m, которая  движется по закону         S(t )=4 t3 – t2  при t=3 сек. Ответ: a(t) =24t­2,  a(3)=70 (m/s 2 ), F(t)=70m (H)  • № 2(б).Напишите  уравнение касательной к графику функции  f: D ­>R  в точке с  абсциссой х0 =2/3, f(x)= lg2 ( 3x­1).   Ответ : f ( 2/3 )=lg2 1 =0, тогда   y=0 . ( Определите угловой коэффициент касательной? К=0, касательная  параллельна или совпадает с осью ОХ) • №6(а).Решить на множестве  R  неравенство f / (х)> 0  , если :  f(x)  = x3 – 6x2 + 3x . Ответ: при х   ­Ученики индивидуально проверяют  ответы и ставят  (самоконтроль) оценку  однокласснику в лист его контроля. (У каждого ученика имеется лист контроля, критерий оценки за домашнюю работу и образец листа контроля в раздаточном материале к уроку.) Лист контроля   (в приложении) Демонстрационный материал. Презентация 5 минут. Свойства производной. Учитель: Применим наши теоретические знания на практике: Задача №1. Командиру межгалактического космического корабля, движущемуся по закону x(t)=1+9t+3t2−t3 , сообщили о том, что приборы зафиксировали неопознанный  летающий объект, стремительно приближающийся к кораблю. Чтобы избежать  9 столкновения, необходимо максимально увеличить скорость. Каким должно быть  ускорение корабля в момент, когда скорость станет максимальной? v(t)=x´(t)=9+6t−3t2 a(t)=6−6t , при t=1  скорость максимальна a(1)=0. Задача №2. Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию  U(t)=0,15t3–2t2+200 , где  t  –месяцы,  U ­миллионы лей. Исследуйте оборот  предприятия. Решение: Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t2−4t  Определим вторую производную: U (′′ t)=0,9t­4 и третью: U″'(t)=0,9.  Момент наименьшего оборота при  U'(t) =0, т.е.при t=8,9.Наименьший  оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение  оборота. Из U (′′ t)=0 следует t=4,4. Так как U (″′ t)>0, то на пятом месяце имеется сильное  снижение оборота. Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно  определить, в какой конкретно момент произошло изменение. Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы: 1. В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота. 2. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало  определенные средства. На пятом месяце (точка перегиба) что­то было предпринято и  предприятие стало выходить из кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты. Задача №3.Способность человека развить и понимать пространственные концепции  задается законом  A(t)=1 3 √t , t – возраст  5≤t≤18 . Найдите скорость улучшения понимания пространственных понятий когда человеку 9 лет  и 16 лет. Определите знак ускорения. Вывод. Работа в группах: 1 группа 10 Количество вещества  (коллагена) в человеческой коже которое отвечает за  эластичность кожи задано следующей законом  Q(t)=100−10√t , где t – возраст в  годах. Найдите Q когда t=0, t=25, t=100 лет. Вывод. С какой скоростью меняется концентрация этого вещества, на что указывает минус? 2 групп Мяч подброшенный ребёнком вверх, будет находиться через t секунд на высоте   h(t)=1,2+29,4t−4,9t2   метров (от поверхности Земли). С какой высоты подбрасывается мяч? Определите начальную скорость  v0 . Через,  сколько секунд мяч упадет на Землю? 3 группа Оценка прибыли компании выражается следующей функцией P(t)=2t2−12t+118  (тыс. евро)  t –  момент времени в годах. Найти величину прибыли при  t=0 и через год, скорость изменения прибыли, для каких значений   t прибыль убывает, а для каких  t возрастает? Учитель: «Изучение производных поможет Вам быстро и правильно принимать  решения в различных ситуациях, так как Вы уже учитесь думать, преодолевать  трудности и рассуждать, а это всё ведет к приобретению мудрости» Резерв: Задача.  Докажите, что уравнение  3x5–25x3+60x+15=0 имеет только один  действительный корень. Указание: Рассмотрим функцию  f(x)=3x5–25x3+60x+15  и найдем её интервалы  монотонности.  Имеем:  f’(x)=15x4–75x2+60=15(x+2)(x+1)(x−1)(x−2). Задача. При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно  вверх с начальной скоростью 120 м/с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если  сопротивлением ветра пренебречь? Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня  h,   функция времени:  h(t) = v0t−1 2 gt2 . Откуда следует:  h´(t)=v(t)=v0−¿ .  11 Следовательно,  120−9,8t=0  и  t≈13сек . Тогда  h=745м , т.е. камни горной  породы достигают уровня  720м  от края вулкана. ю VI. Подведение итогов урока  Подводятся итоги каждого этапа урока.  Ответы на вопросы учащихся.  Объявление и комментирование оценок Подумайте и ответьте на такие вопросы: Где применяется производная? Как вы думаете, нужно ли нам знать как применять производную?  В вашей профессии она нужна? VII. Домашнее задание:  1.Повторить метод интервалов из 10кл.  Повторить правила дифференцирования §2­§4  Модуля  V, 11 класс.  2.Составить и решить задачу на применение производной. 3.Выполнить упражнение № 2,4 и5 из проверочной работы на стр.134,уровень Б и  дополнительную карточку.  4.Дополнительная карточка. 12 На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите  функцию, производная которой в точке а равна 1? 13 14