Урок по алгебре в 8 классе на тему "Теорема Виета"

Ход урока Мотивационно­ориентировочный этап. Актуализация 1)Учитель: Добрый день, ребята. Сегодня у нас урок алгебры. На протяжении нескольких последних уроков мы работаем над квадратными уравнениями.  Назовите общий вид квадратного уравнения? Ученики: Уравнение вида  ax2+bx+c=0  называется квадратным  уравнением. Учитель: Чем являются  a,b,c  в это уравнении? Ученики: Коэффициентами, a−старшийкоэффициент,b−средний,аc−свободныйчлен. Учитель: Отлично! С какими уравнениями мы ещё работали? Ученики: С неполными. Учитель: Дайте мне определение неполного квадратного уравнения. Ученики: Неполным квадратным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.  Учитель: Хорошо! На предыдущем уроке мы познакомились с ещё одним  интересным видом квадратного уравнения. С каким? Ученики: Мы познакомились с приведёнными квадратными уравнениями. Учитель: Пожалуйста, Полина, скажи мне определение приведённого  квадратного уравнения? Ученики: Уравнение вида  x2+bx+c=0  называется приведенным квадратным уравнением . 2)Учитель: Хорошо. А теперь обратим внимание на доску. На доске: Среди данных уравнений найти приведённые квадратные   уравнения: x2+3x+4=0 3x2+11=0 4x4=x2 8x+x2−5=0 Учитель: А с какой теоремой мы ещё познакомились на прошлом уроке? Ученики: С теоремой Виета. Учитель: Хорошо! Сформулируйте мне теорему Виета. Ученики: Если х1  и х2­ корни приведённого квадратного уравнения   x2+bx+c=0 , то справедливы следующие равенства: {x1+x2=−b; . x1×x2=c, Учитель: А еще мы изучали теорему, обратную теореме Виета. Как она  звучит, Катя? Ученики: не помню. Учитель: Я начну .Если х1 , х2 , в, с, такие числа, что верны равенства .. Ученики: Если х1 , х2 , в, с, такие числа, что верны равенства  {x1+x2=−b; , x1×x2=c, то х1  и  х2 – корни приведенного квадратного уравнения    x2+bx+c=0 . Учитель: Я вам на перемене раздала карточки. Посмотрим в них. Я попрошу,  чтобы вы прокомментировали каждый решённый пример из карточки. Итак,  Влад начинает.   Карточка ( см. в приложении ). Ученики: уравнение   x2+3x−7=0  приведённое, так как оно   удовлетворяет определению приведенного уравнения, т. е. старший коэффициент равен 1. Учитель: Хорошо! Влад, скажи определение приведённого квадратного  уравнения? Ученики: Уравнение вида  x2+bx+c=0  называется приведенным  квадратным уравнением . Учитель: Хорошо, следующий пример, Юля. Ученики: Составить приведённое квадратное уравнение, если  x1=3,x2=4. Решение: используя теорему Виета, получим, {x1+x2=−b; { x1+x2=7 x1×x2=12 {−b=7 ,  тогда искомое уравнение примет вид: ,тогда,подставивзаданныечисла,получим, x1×x2=c, В нашем примере ,значит,{b=−7 c=12 c=12   x2−7x+12=0. Ответ: x2−7x+12=0. Учитель: В данном примере мы пользовались теоремой Виета. Сформулируй  её . Ученики:  Учитель: перед тем, как комментировать третий пример, давайте обратим  внимание на алгоритм решения квадратных уравнений по теореме, обратной  теореме Виета. Предлагаю повторить формулировку теоремы, обратной  теореме Виета. Даша? Ученики: Учитель: Приступаем к алгоритму. Дима, читай. Ученики: Алгоритм решения квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета: 1) Записать уравнение. 2) Выписать коэффициенты. 3) Записать теорему, обратную теореме Виета для нашего  уравнения. 4) Подобрать корни уравнения 5) Записать ответ Учитель: Отлично! А теперь, наконец, перейдём к третьему примеру.  Марина? Ученики: Решить уравнение  x2−5x−6=0. Учитель: Что значит, решить уравнение? Ученики: Чтобы решить уравнение надо найти его корни или доказать, что их нет. Учитель: Верно! Продолжай! Ученики: Решение: 1) Записываемуравнение.x2−5x−6=0; 2)Выписываем его коэффициенты: a=1, b=­5,c=­6;3)Записываем теорему,  обратную теореме Виета для нашего  уравнения. { x1+x2=5; 4)Методом подбора корней, получаем,  x1=6;x2=−1. x1×x2=−6. Ответ: x1=6;x2=−1. Мотивация. Учитель: Хорошо! молодцы! Итак, обратим внимание на доску и к себе в  карточку. На доске на магнитах прикреплены листы. На обратной стороне  этих листов есть слова. Перед вами представлены на карточках примеры. Вы  их решаете, а я открываю лист на доске. Полученное слово вы пишете в  карточку. Таким образом, открыв все слова, мы получим выражение, которое,  может быть вам известно, а , кому не известно, познакомятся с ним. Операционно­познавательный этап Учитель: На сегодняшнем уроке мы будем решать примеры на применение  теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. Значит, какова цель  урока? Ученики: Укрепить полученные знания на предыдущем уроке. Учитель: Верно. Итак, открываем тетради, пишем число и тему. Тема:  « Теорема Виета, теорема, обратная теореме Виета». Учитель: Решаем примеры по алгоритму. Ксюша, иди к доске решать первый  пример. Ученик: 1)  Записываем уравнение. x2­15x­16=0 2)Выписываем коэффициенты. a=1, b=­15,c=­16 3) Записываем теорему, обратную теореме Виета для нашего  уравнения x1×x2=−16. { x1+x2=15; 4) Подбираем корни уравнения:  x1=16,x2=−1 . 5) Записываем ответ. На доске: 1)x2­15x­16=0 2) a=1, b=­15,c=­16 x1×x2=−16. 3 { x1+x2=15; 4) x1=16,x2=−1 . 5)Ответ: x1=16,x2=−1 . Учитель: Отлично. Итак, получили 2 корня x1=16,x2=−1 . Я вам открываю  первое слово. Оно звучит так: «УМСТВЕННЫЙ» (на доске появляется это  слово, а ученики записывают его в карточке).  Аналогично решаются остальные примеры, записанные в карточке. К доске  вызываются 2 человека одновременно. В итоге на доске и в карточке  открывается фраза: «Умственный труд на уроках математики ­ пробный  камень мышления». Учитель: На доске осталась закрытой ещё одна карточка. На этой карточке  написана фамилия человека, сказавшего эту фразу. Просто так я вам её тоже  не скажу. Вы решите мне №466   из учебника под цифрой 1, только потом  узнаете имя этого педагога. Катя, иди к доске. Прочитай задание. Что надо  сделать? Ученик: Не решая уравнение 3x2­8x­15=0 надо найти 1 x1 + 1 x2 .   Учитель: Как ты будешь это делать? Ученик: Не знаю. Учитель: Хорошо, давайте отвлечёмся немного от квадратных уравнений.  Нам нужно сложить две дроби с разными знаменателями. Как мы это делаем? Ученики: Надо привести к общему знаменателю и сложить. Учитель: Верно. Давайте и в нашем случае сделаем то же. Только у нас  знаменатели не числа, а буквы. Ученики: Получим тогда, что  x1+x2 x1x2 . 1 x1 + 1 x2 = Учитель: Что получилось в знаменателе? Что получилось в числителе? Ученики: произведение корней, сумма корней. Значит можно воспользоваться  теоремой Виета. Учитель: Сформулируй её. Ученики: Если х1  и х2­ корни приведённого квадратного уравнения   x2+bx+c=0 , то справедливы следующие равенства:    {x1+x2=−b; . x1×x2=c, Учитель: А теорема Виета используется для каких уравнений? Ученики: для приведённых, а наше уравнение не является приведённым. Учитель: А можем мы его привести? Ученики: Да! Поделив обе части уравнения на 3, т.е. на старший  коэффициент. Учитель: Верно, что получим? Ученики: получим x2­8/3x­5=0. Теперь можем применить теорему Виета для  нашего уравнения, подставим, получим: {x1+x2=8/3; x1×x2=−5. Учитель: А теперь посмотрим, что надо было вычислить? Ученики: Мы привели к тому, что  подставить, получим, что x1+x2 x1x2 =  надо вычислить. Теперь можно  x1+x2 x1x2 −8 3×5= −8 15 .  Учитель: Вычислили, что от нас требовалось? У всех так получилось? Ученики: Да! Да! Учитель: Значит, записываем ответ. На доске: 1)3x2­8x­15=0 1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1x2 . 2) 3) x2­8/3x­5=0. 4) {x1+x2=8/3; −8 3×5= x1×x2=−5. x1+x2 x1x2 5) = −8 15 1 x1 + 1 x2 =−8 15 . 6)  7)Ответ: 1 x1 + 1 x2 =−8 15 . Учитель: Всем понятно, как решали пример? Ученики: Да! Учитель: Давайте вспомним. Что мы делали первым действием? Ученики: Привели к общему знаменателю. Учитель: Потом. Ученики: Привели уравнение к приведённому. Потом воспользовались  теоремой Виета, затем, подставили полученные значения вместо числителя и  знаменателя в дроби, получили и записали ответ. Учитель: Молодцы! Вы получаете за этот пример имя педагога . Это М.А.  Сухомлинский. М.А.Сухомлинский(1918­1970)­педагог, заслуженный учитель. Он занимался  вопросами воспитания и обучения молодёжи. Рефлексивно­оценочный этап. Учитель: А теперь подведём итоги урока. Какова была наша цель? Ученики: Углубить полученные знания. Учитель: Достигли мы её? Ученики: Да! Учитель: Какими теоретическими фактами пользовались на уроке? Ученики: Теоремой Виета, теоремой, ей обратной, определением   приведённого квадратного уравнения. Учитель: Отлично! Сформулируйте теорему Виета. Ученики: Если х1  и х2­ корни приведённого квадратного уравнения   x2+bx+c=0 , то справедливы следующие равенства:    {x1+x2=−b; . x1×x2=c,   Учитель: Верно, а теорему обратную теореме Виета, кто мне может сказать? Ученики: Если х1 , х2 , в, с, такие числа, что верны равенства  {x1+x2=−b; , x1×x2=c, то х1  и  х2 – корни приведенного квадратного уравнения    x2+bx+c=0 . Учитель: Вот мы везде пользуемся термином « приведенное квадратное  уравнение». Скажите определение этого термина. Ученики: Уравнение вида  x2+bx+c=0  называется приведенным  квадратным уравнением  . Учитель. Отлично! Вам понравился урок? Ученики: Да! Учитель: Открываем дневники, записываем домашнее задание: §29. 1) Записать квадратные уравнения, если их корни равны : а)  x1=−3,x2=4 . в) x1=2,x2=−5 .       2)Решите уравнения:          x2+2x­8=0.     x2­16x+48=0.         x2­8x+15=0.       x2­7x­8=0. Спасибо за урок.