Задачи на составление уравнений

Задачи на составление уравнений

Задача № 1

Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно превышая норму на 18 деталей, она за 3,5 дня работы не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила бригада?

Задача № 2

В упаковке находится 2 кг смеси сухофруктов. Чернослива в этой смеси в 1,6 раза больше, чем яблок, а изюма на 0,2 кг больше, чем яблок. Сколько яблок, чернослива и изюма в упаковке в отдельности?

Задача № 3

Каждый из двух пешеходов прошел по 6 км. Скорость первого пешехода на 3 км/ч больше скорости второго, а поэтому время, которое был в пути первый пешеход, отличается от времени второго пешехода на 1 час. Сколько времени был в пути первый пешеход?

Задача № 4

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км  от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что пешеход, вышедший из А, шел со скоростью  на 1км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку.

Задача № 5

Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км/ч, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Задача № 6

Зарплата лаборанта составляла 100 рублей в месяц, после двух последовательных повышений на одно и то же число процентов она стала составлять 121 р. На сколько процентов каждый раз повышалась зарплата лаборанта?

Задача № 7

За 3 м одной ткани и 3 м другой заплатили 90 рублей. Сколько стоит 1 м каждой ткани, если 9 м первой ткани стоят столько же, сколько 6 м второй ткани?

Задача № 8

В двух корпусах пансионата было 720 мест для отдыхающих. После реконструкции в первом корпусе число мест увеличилось на 15 %, а во втором – на 10 %. Сколько мест для отдыхающих стало в каждом корпусе, если общее число мест в обоих корпусах увеличилось на 80?

Задача № 1

Р е ш е н и е.

Обозначим через х количество деталей, которое бригада планировала изготавливать за один день. Тогда, выполнив заказ за 5 дней, она по плану должна была изготовить 5х деталей, но превышая норму, бригада изготовляла в день (х + 18) деталей, значит, за 3,5 дня она сделала (х + 18) · 3,5 деталей. По условию задачи бригада за 3,5 дня не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. С учетом этого составляем уравнение: (х + 18) · 3,5 = 5х + 27.

Решаем полученное уравнение (х + 18) · 3,5 = 5х + 27.

5х – 3,5х = 63 – 27;         1,5х = 36;            х = 24. Значит, бригада планировала изготовлять в день по 24 детали, а делала 24 + 18 = 42 детали; тогда за 3,5 дня она сделала 42 · 3,5 = 147 деталей.

О т в е т: 147 деталей.

Задача № 2

Р е ш е н и е.

Пусть  в  упаковке х кг яблок, тогда чернослива в ней 1,6х кг, а изюма – (х + 0,2) кг. Вся смесь имеет массу 2 кг.

Уравнение: х + 1,6х + х + 0,2 = 2.

Решение уравнения: 3,6х = 2 – 0,2,

3,6х = 1,8,

х = 0,5.

В упаковке 0,5 кг яблок, 0,7 кг изюма и 0,8 кг чернослива.

О т в е т: 0,5 кг; 0,7 кг; 0,8 кг.

Задача № 3

Р е ш е н и е:

Пусть первый пешеход был в пути х часов, тогда 6 км он прошел за  км/ч. Так как скорость первого пешехода была больше скорости второго, то второй пешеход на такое же расстояние времени затратил, по условию задачи, на 1 час больше. Значит он в пути был (х + 1) часов и его скорость была ровна  км/ч.

         По условию задачи скорость первого пешехода была больше скорости второго пешехода на 3 км/ч. С учетом этого составляем уравнение: . (Уравнение также можно записать в виде , или .

Решаем полученное уравнение:

;      ;      ;       ;

;

2 = х(х + 1);

 + х – 2 = 0;

D = 1 + 4 · 2 = 9;

;

х1 = 1; х2 = –2.

При х1 = 1 х(х+1) ? 0; при х2 = –2 х(х + 1) ? 0. значит х1 = 1 и х2 = –2 – корни уравнения, но значение х2 = –2 условию задачи не удовлетворяет, так как время движения пешехода не может быть выражено отрицательным числом. Следовательно, х = 1.

О т в е т: первый пешеход был в пути 1 час.

Задача № 4

Р е ш е н и е.

Обозначим скорость пешехода, вышедшего из пункта А, – х км/ч, тогда скорость второго пешехода – (х – 1) км/ч. Первый пешеход был в пути ч, а второй – ч. По условию задачи пешеходы вышли одновременно и встретились, но второй пешеход делал остановку на ч, следовательно, можно составить уравнение: .

Решение уравнения:Решение уравнения: , НОЗ: 2х(х – 1).

20х – 18(х – 1) = х(х – 1),

20х – 18х + 18 = х2 – х,

х2– 3х – 18 = 0,

D = 9 + 4 · 18 = 91,

,

х1 = 6,  х2 = –3.

При х = 6  2х(х – 1) ? 0, при х = –3  2х(х – 1) ? 0, значит, х = 6 и х = –3 – корни составленного уравнения, но х = –3 не удовлетворяет условию задачи, остается х = 6.  Скорость  пешехода,  вышедшего из пункта А – 6 км/ч, скорость второго 6 – 1 = 5 км/ч.

О т в е т: 6 км/ч, 5 км/ч.

Задача № 5

Р е ш е н и е.

Задача № 5

Р е ш е н и е.

Пусть хкм/ч – скорость течения реки, тогда скорость катера по течению (8 + х) км/ч, а против течения – (8 – х) км/ч, и время движения по течению ч, а против течения ч. По условию задачи время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Уравнение: .

Решение уравнения: ;НОЗ: (8 + х)(8 – х),

15(8 – х) + 15(8 + х) = 4(64 – х2),

120 – 15х + 120 + 15х = 256 – 4х2,

4х2 – 16 = 0,

х2– 4 = 0,

(х – 2)(х + 2) = 0,

х1 = 2, х2= –2.

При  х = 2  (8 + х)(8 – х) ≠ 0,  при х = –2  (8 + х)(8 – х) ≠ 0,  значит х = 2 и х = –2 – корни уравнения, но х = –2 условию задачи не удовлетворяет, следовательно, х = 2, т. е. скорость течения реки 2 км/ч.

О т в е т: 2 км/ч.

Задача № 6

Р е ш е н и е.

Задача № 6

Р е ш е н и е.

Пусть зарплата лаборанта повышалась каждый раз на х %, тогда первый раз она  повысилась на 100 : 100 · х = х руб. и стала составлять (100 + х) рублей. Во второй раз она повысилась на (100 + х) : 100 · х рублей и стала составлять после этого  рублей, достигнув, по условию задачи, размера 121 рубль в месяц. С учетом этого составляем уравнение: .

Решаем полученное уравнение:

10000 + 100х + 100х + х2 = 12100;

х2 + 200х – 2100 = 0;

;

;

х1 = –210; х2 = 10.

Значит, х = –210 и х = 10 – корни уравнения, но значение х = –210 условию задачи не удовлетворяет, так как является отрицательным числом. Следовательно, зарплата лаборанта дважды повышалась на 10 %.

О т в е т: 10 %.

Задача № 7

Р е ш е н и е.

Пусть один метр первой ткани стоит х рублей, а один метр второй ткани стоит у рублей. Тогда 3 м первой ткани стоят 3х рублей, а 3 м второй ткани стоят 3у рублей. Так как по условию задачи за 3 м одной ткани и 3 м второй заплатили 90 рублей, составляем уравнение: 3х + 3у = 90.

Поскольку 9 м первой ткани стоят 9х рублей, а 6 м второй ткани стоят 6у рублей, а по условию задачи 9 м первой ткани стоят столько же, сколько 6 м второй ткани, составляем второе уравнение: 9х = 6у.

Так как х и ув обоих уравнениях обозначают одни и те же величины, можно составить систему уравнений:

Решаем систему уравнений.

Итак, решение системы: (12; 18). Значит, 1 м первой ткани стоит 12 рублей, а 1 м второй – 18 рублей.

О т в е т: 12 р., 18 р.

Задача № 8

Р е ш е  н и е.

Пусть в первом корпусе было х мест, а во втором у мест. Так как по условию задачи в обоих корпусах вместе было 720 мест, то можно составить уравнение: х + у = 720.

Поскольку число мест в первом корпусе увеличилось на 15 %, то есть на 0,15х мест, а во втором – на 10 %, то есть на 0,1у мест, причем общее число мест в обоих корпусах увеличилось на 80, то можно составить второе уравнение: 0,15х + 0,1у = 80.

Итак, имеем систему уравнений:

Решаем полученную систему уравнений:

Значит, в первом корпусе первоначально было 160 мест, затем стало: 160 · 1,15 = 184; во втором корпусе первоначально было 560 мест, затем стало: 560 · 1,1 = 616 мест.

О т в е т: 184 места и 616 мест.

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача № 1

По шоссе движутся две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая машин увеличит свою скорость на 10 км/ч, а вторая – уменьшит на 10 км/ч, то первая автомашина за 5 часов пройдет столько же, сколько вторая за 7 часов. С какой скоростью движутся автомашины?

Задача № 2

Два токаря должны изготовить по 40 деталей. Сколько деталей в час изготавливал первый токарь, если второй, изготавливая на 3 детали в час меньше, затратил на всю работу на 3 часа больше?

Задача № 3

Группа школьников купила мороженое, уплатив за покупку 1 р. 45 к. монетами достоинством в 10 к. и 15 к. Сколько монет по 10 к. и сколько монет по 15 к. отдали школьники за покупку, если всего было отдано 11 монет?

Задача № 1

О т в е т: 60 км/ч.

Задача № 2

О т в е т: 8 деталей в час.

Задача № 3

О т в е т: 4 монеты по 10 к. и 7 монет по 15 к.

Скачано с www.znanio.ru