Числовая окружность на координатной плоскости

Расположим числовую окружность в декартовой системе координат таким образом, чтобы центр окружности совпадал с точкой \(O\), а радиус окружности принимался за единичный отрезок.

Начальная точка \(A\) окружности соответствует точке \(A(1;\:0)\) на оси \(Ox\).
Аналогично: \(B=B(0;\:1), \: C=C(-1;\:0),\: D=D(0;\:1)\).
Таким образом, каждая точка единичной окружности имеет на координатной плоскости свои координаты, причем:

\(x>0,\; y>0\)– в \(I\) четверти
\(x < 0,\; y > 0\) – во \(II\) четверти
\(x < 0,\; y< 0\) – в \(III\) четверти
\(x>0,\; y < 0\) – в \(IV\) четверти

Для любой точки \(M(x,\: y)\) единичной окружности выполняются неравенства: \(-1 \le x \le 1; \;\; -1 \le y \le 1\).
И уравнение числовой прямой имеет вид: \(x^2+y^2=1\).

Пример

Найдем координаты точек \(M_1(\frac{\pi}{4}),\; M_2(\frac{3\pi}{4}),\;M_3(\frac{5\pi}{4}),\;M_4(\frac{7\pi}{4})\) на единичной в декартовой системе координат.

Пояснение

Рассмотрим первую точку \(M_1(\frac{\pi}{4})\).

Опустим из точки \(M_1\) перпендикуляр \(M_1P\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OM_1P\).
Так как дуга \(AM_1\) составляет половину дуги \(AB\), то \(\angle AOM_1=45^{\circ}\).
Значит \(\triangle OM_1P\) – равнобедренный прямоугольный треугольник.
\(OP=M_1P\), т.е. у точки \(M_1\) абсцисса и ордината равны: \(x=y\).

Кроме того, координаты точки \(M_1(x;\:y)\) удовлетворяют уравнению окружности: \(x^2+y^2=1\).
Решая систему уравнений \(\left\{ \begin{matrix} x=y \\ x^2+y^2=1 \\ \end{matrix} \right.\), получим координаты точки \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Т.е. \(M_1(\frac{\pi}{4})=M_1(\frac{\sqrt{2}}{2};\:\frac{\sqrt{2}}{2})\).

В записи \(M(t)=M(x;\:y)\)
\(t\) – криволинейная координата точки \(M\) на окружности
\((x;\: y)\) – декартовы координаты точки \(M\) на плоскости.
Для остальных точек, проведя аналогичные рассуждения и учитывая знаки \(x\) и \(y\) в разных четвертях, получим:
\(M_2\left(\frac{3\pi}{4} \right)=M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\:\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ M_3\left(\frac{5\pi}{4} \right)=M_3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\:-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ M_4\left(\frac{7\pi}{4} \right)=M_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\:-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\)

	Точка окружности
	\(0\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\pi\)	\(\frac{5\pi}{4}\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(\frac{7\pi}{4}\)	\(2\pi\)
Абсцисса \(x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(0\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-1\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)
Ордината \(y\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(0\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-1\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(0\)

Пример

Найдем координаты точек \(M_1\left(\frac{\pi}{6}\right),\:M_2\left(\frac{\pi}{3}\right),\:M_3\left(\frac{2\pi}{3}\right),\:M_4\left(\frac{5\pi}{6}\right),\:M_5\left(\frac{7\pi}{6}\right),\:M_6\left(\frac{4\pi}{3}\right),\:M_7\left(\frac{5\pi}{3}\right),\:M_8\left(\frac{11\pi}{6}\right)\) на единичной окружности в декартовой системе координат.

Пояснение

Рассмотрим первую точку \(M_1\left(\frac{\pi}{6}\right)\). Опустим из точки \(M_1\) перпендикуляр \(M_1P\) на прямую \(OA\) и рассмотрим прямоугольный треугольник \(OM_1P\).
Гипотенуза этого треугольника – отрезок \(oM_1=1\).
Так как дуга \(AM_1\) составляет треть дуги \(AB\), то \(\angle AOM_1=30^{\circ}\).
Катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\) равен половине гипотенузы, поэтому \(M_1P=\frac 1 2\) – это ордината точки \(M_1\), т.е. \(y=\frac 1 2\).
По теореме Пифагора:
\(OP^2=OM_1^2-M_1P^2\)
Значит, \(x^2=OP^2=OM_1^2-M_1P^2=1^2-\left(\frac 1 2\right)^2=\frac 3 4\).
\(x^2=\frac 3 4\), и с учетом знака первой четверти \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Итак, \(M_1\left(\frac{\pi}{6}\right)=M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\:\frac 1 2 \right)\).

Аналогично находятся декартовые координаты остальных точек.

	Точка окружности
	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\frac{7\pi}{6}\)	\(\frac{4\pi}{3}\)	\(\frac{5\pi}{3}\)	\(\frac{11\pi}{6}\)
Абсцисса \(x\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac 1 2\)	\(-\frac 1 2\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac 1 2\)	\(\frac 1 2\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ордината \(y\)	\(\frac 1 2\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac 1 2\)	\(-\frac 1 2\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac 1 2\)