Натуральные и целые числа

здравствуйте тема данного видеоурока натуральные целые числа напомню что натуральные числа это числа которое мы используем при счете предметов например 1 2 3 и так далее множество целых чисел обозначается буквой z состоит из натуральных чисел им противоположных и 0 таким образом вы видите что натуральный чистой входит состав целых тогда говоришь натурально числа является подмножеством множество целых чисел на множестве натуральных чисел мы можем складывать и умножать но операция вычитания и деления не обязательно выполняется на это множестве на множестве целых чисел мы уже можем складывать и вычитать и умножать но операции деления здесь не всегда возможно теперь рассмотрим некоторые понятия связанные с натуральными числами первое понятие то делимость пусть у нас один два натуральных числа а и b говорят что а деле цена б если найдется такое натуральным числом что выполняется равенство а равно б умноженный на куб тогда число а называется делимым число b называется делителем числа q называется частными если число делится на b то часто это обозначает но таким знаком три точки а делится на b например мы знаем что 12 без остатка делится на шесть тогда можно сказать 12 делится на шесть и так далее давайте рассмотрим некоторые свойства делимости первое свойство следующие если число делится на некоторое число c а это число c своего очереди или цена б то мы можем сказать что число делится на b например мы знаем что 24 делится на 12 и 12 делится на шесть когда мы можем сделать вывод что 24 делится на шесть рассмотрим еще одну свойства делимости если число делится на b и число c делится на б тогда может сказать что сумма a и c также делится на b например мы знаем что 12 делится на четыре мы знаем что 8 также делятся на четыре тогда мы можем сказать что 12 плюс 8 то есть 20 тоже ты делится на 4 аналогично мы можем рассмотреть такое свойство что если у нас некоторое число делится на p а другое число наоборот не делится я обозначу это таким знаком то мы можем сделать увы что их сумма также не будет делиться на число b на самом деле такие слой с делимости очень много мы не будем их рассматривать все давайте рассмотрим ещё одно свойство она заключается в том что среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на и давайте решим пример пусть у нас задан следующее выражение n в кубе плюс 3 в квадрате + 2 и требуется доказать что при любом значении н натуральном данное выражение делится на шесть для этого давайте преобразуем это выражение вынесем за скобки и получим n квадрат + 3n + 2 тогда мы можем преобразовать скобку в следующем виде как n умноженное на n плюс 1 умноженное на n плюс 2 теперь попробуем доказать что данное выражение делится на шесть для того чтобы число делилось на 6 нужно чтобы она делилась на 2 и на 3 давайте посмотрим будет ли данное число делится на 3 так как у нас здесь 3 последовательных натуральных числа то среди них одно делится на три по предыдущему свойству значит это число делится на 3 но также из трех последовательных чисел обязательно одно чётное значит это число также делится на это число делится на 2 делится на 3 значит оно делится на шесть теперь рассмотрим так называемые признаки делимости это такие признаки которые помогают нам ответить на вопрос делится ли заданное число на какое-то другое число первый признак это признак делимости на 2 число делится на 2 в том и только в том случае когда последняя цифра я закрашу запись последние цифры делится на два это означает давайте рассмотрим пример пусть у нас заданное число 10 1744 делится ли это число на 2 мы смотрим на последнюю цифру если оно делится на 2 значит и все число делится на 2 492 значит и данное число делится на 2 то что последних цифр делится на два означает что данное число чтобы делиться на 2 должно заканчиваться либо нулем либо двойкой четверкой шестеркой или восьмеркой доказать этот уже довольно просто любое число можно представить в виде 10 b + c где c и то есть последняя цифра заданного числа теперь смотрим первое слагаемое у нас делится на 2 потому что 10 делится на два значит чтобы все число делилось на 2 нужно чтобы ты делилась на 2 это означает наш признак аналогичный признак это признак делимости на 5 говорят что число делится на 5 если последняя цифра делятся на 5 то что последние цифры делится на 5 это означает что число а должно заканчиваться либо нуля либо пятеркой доказывается аналогично рассмотрим признак делимости на 4 число а делится на четыре если число составленная из последних двух цифр а 9 на 4 то есть последние две цифры делится на четыре например 1734 будет ли делиться на 4 мы смотрим число составлена из последних двух цифр 3434 на 4 не делится значит и все число на 4 делиться не будет посмотрит признак делимости на 3 число делится на 3 если сумма его цифр делится на три давайте рассмотрим пример 527 будет ли это число делится на 3 находим сумму его цифр 5 + 2 7 + 7 14 14 на 3 не делится значит и это число на 3 не делится аналогичный признак это признак делимости на 9 число делится на 9 если сумма его цифр делится на девять примером может служить следующие пусть у нас есть число 369 будет ли это число делится на 9 находим сумму цифр 3 плюс 6 9 плюс 9 18 18 на 9 делится значит и это число будет делиться на 9 рассмотрим ещё один пример пусть она задана некоторое число но некоторые цифры этого числа скрыты нужно поставить цифры вместо звездочек так чтобы данное число делилось на 12 для того чтобы число делилось на 12 оно должно делиться на 4 и на 3 чтобы число делилось на 4 число составлена из последних двух цифр должно делиться на 4 какую цифра я могу поставить сюда чтобы это число делилось на 4 могу поставить 0 20 делится на четыре могу поставить 4 и могу поставить 8 давайте раз рассмотрим случай допустим вы поставили 0 теперь обеспечиваем то что число делится на три надо найти сумму его цифр 5 плюс 7 12 + 2 14 + 014 какую цифру я могу поставить сюда чтобы сумма цифр делилось на 3 я могу поставить один тогда сумма цифр станет 15 будет делиться на 3 значит один из вариантов решения это 571 20 таких решений может быть несколько но мы ограничимся одним решению рассмотрим теперь понятие простого числа натуральное число п называется простым если она имеет ровно два делителя это единицы и сама п противном случае число называется составным например число 7 простое потому что она имеет делители 1 и 7 число 6 например составной потому что она имеет делителями 1236 то есть четыре делителя число 1 которая имеет только один делитель единицу не относится ни к простым них составным давайте рассмотрим два числа 12 и 18 и выпишем их делителей делители числа 12 это 1 2 3 4 6 и сама 12 делители числа 18 это 1 2 3 6 9 и сама 18 мы видим что у них есть общие делители это естественно единица двойка тройка шестерка среди них шестерка является наибольшей так вот наибольший делитель для двух чисел называется наибольшим общим делителем и обозначается следующим знаком not наибольший общий делитель таким образом наибольший общий делитель числа 12 и 18 это шесть теперь давайте рассмотрим кратные числа 12 18 кратны и числа 12 это 12 24 36 48 и так далее кратные для числа 18 это сама 1836 54 и так далее мы видим что и среди кратных чисел есть у них одинаковый и из них наименьшее это 36 такое число называется наименьшим общим кратным обозначается буквами ног таким образом ног для 12 и 18 это 36 нок и нод для двух чисел связано следующем соотношением наибольший общий делитель двух чисел умноженное на их наименьшее общее кратное равняется произведению этих двух чисел теперь рассмотрим так называемую основную теорему арифметики натуральных чисел эта теорема заключается в следующем любое натуральное число является либо простым либо его можно разложить на простые множители причем такое разложение единственное давайте рассмотрим это на примере пусть у нас заданное число 1725 и попробуем разложить это число на простые множители мы видим что число делится на 5 поэтому делим его на 5 в результате получим 345 345 мы также можем делить на пять получим 69 69 делится на три получим 20 323 это уже простой число значит 23 деле надо ставить получаем 1 таким образом число 1725 мы разложили на простые множители следующем виде 3 умноженное на 5 в квадрате умноженное на 23 такое разложение когда мы установили числа в порядке возрастания с определенными степенями называется каноническим давайте рассмотрим последний пример пусть у нас заданы два числа и их каноническое разложение если мы знаем каноническое разложение двух чисел то очень легко находится их нод и нок чтобы найти наибольший общий делитель мы поступаем следующим образом смотрим одинаковые множители и берём те множители которые идут меньшей степенью это будет для двойки 2 в квадрат 3 в квадрат пятерки но здесь нет одинаковая 7 останется перемножить для того чтобы найти нок мы поступаем наоборот мы берем те множители с наибольшей степенью это будет 2 4 3 в квадрате у нас еще есть 5 и 7 в квадрате и останется просто перемножить на этом данный видео урок окончен [музыка]