Проект по математике

проект

БОУ г. Калачинска «Гимназия №1»

Пособие по решению текстовых задач:

способы и советы

Подбор материала: Головлев Кирилл Юрьевич ученик 9а класса

БОУ «Гимназия № 1»

Калачинск 2019 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Что такое текстовые задачи? И зачем уметь их решать?

2. Задачи на движение.

1) Мимо неподвижного объекта.

2) В одном направлении.

3) В разных направлениях.

4) Круговое.

3. Задачи на движение по воде.

1) Против течения.

2) По течению.

3) В стоячей воде.

4. Задачи на проценты 1) Нахождение числа по проценту.

2) Нахождение процента по числу.

3) Нахождение процентного отношения.

5. Задачи на работу и производительность.

1) Заполнение бассейна.

2) Задачи на совместную работу.

6. Задачи на сплавы и смеси.

7. Задачи на взвешивание (нахождение фальшивой монеты)^{^[1]}.

1. Что такое текстовые задачи? И зачем уметь их решать?

Текстовая задача – описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

Текстовые задачи встречаются не только в экзаменах, но и в жизни , поэтому умение решать текстовые задачи поможет не только успешно сдать ОГЭ по математике, но и поможет в бытовых ситуациях.

2. Задачи на движение.

Примеры решений:

1) Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т. е. 0,3 км, находим по формуле

60*0, 2= 12

Следовательно, это время составит 12 минут

Ответ: 12 минут

1 2

2)Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

обозначим за x скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15+x , скорость его движения против течения равна 15-x . Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Поскольку t=S/U, время t1 движения теплохода по течению равно 200/15+x , которое теплоход затратил на движение против течения, равно 200/15-x пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно, 30 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,

300-15x+300+15x=675-3x²

-3x²=-75

x²=25 x=5(км/ч)

3) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах

Решение: Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он проезжает мимо столба t = 30 сек. =1/2 мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние S = v*t = 1000·1/2 =500 (м).

Ответ: 500.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Первый турист проехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 ч после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста?

2. Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч.

Найти первоначальную скорость поезда.

3. Расстояние между станциями A и B равно 103 км. Из A в B вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся до B путь проходил со скоростью, на 4 км/ч большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до B путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и что на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до нее.

4. Скорость автомобиля по ровному участку на 5 км/ч меньше, чем скорость под гору, и на 15 км/ч больше, чем скорость в гору. Дорога из A в B идет в гору и равна 100 км. Определить скорость автомобиля по ровному участку, если расстояние от A до B и обратно он проехал за 1 ч 50 мин.

5. Автобус проходит расстояние между пунктами A и B по расписанию за 5 ч. Однажды, выйдя из A, автобус был задержан на 10 мин в 56 км от A и, чтобы прибыть в B по расписанию, он должен был оставшуюся большую часть пути двигаться со скоростью, превышающей первоначальную на 2 км/ч. Найти скорость движения автобуса по расписанию и расстояние между пунктами A и B, если известно, что это расстояние превышает 100 км.

6. Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы?

7. Два поезда отправляются навстречу друг другу с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Они могут встретиться на середине пути, если поезд из А отправится на

1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 ч расстояние между ними составило бы десятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд тратит на прохождение пути между А и В?

8. ОТ пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А.

9. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

10. -10) В 5 ч утра со станции A вышел почтовый поезд по направлению к станции B, отстоящей от A на 1080 км. В 8 ч утра со станции B по направлению к A вышел пассажирский поезд, который проходил в час на 15 км больше, чем почтовый. Когда встретились поезда, если их встреча произошла в середине пути AB?

5 6

3. Задачи на движение по воде.

Примеры решения: 1.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов

после отплытия из него Определить сколько километров теплоход прошел за весь рейс.

Заполним таблицу данными из условия задачи: собственная скорость теплохода vс=25vс=25, скорость течения реки v р=3v р=3, v по течению=vс+vр=28vпотечению=vс+vр=28 при движении по течению реки,v против течения=vс−vр=22vпротив

течения=vс−vр=22 при движении против течения реки.

Скорость, v	Время, t: (t=s/v)	Расстояние, s
по течению=28	t по течению= x/28	x
против течения=22	t против течения= x/22	x
Зная, что стоянка длилась 5 часов, а на весь путь затрачено 30 часов,

составим уравнение: x/28+x/22+5=30 . 4.

25x308=25, x=308

308*2=616 Ответ: 616 км.

Задачи для самостоятельного решения:

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения

200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

7 8

Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ дайте в км/ч.

5. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

6. Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

7. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бро-

сил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

8. Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если ее собственная скорость 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

9. Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч

10 9

4. Задачи на проценты

Примеры решений:

-1) Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов – скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?

Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 – 75

= 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости.

Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.

400 • 1,25 = 500 или 400 • 125/100 = 500.

-2) Молоко дает 22 процента сливок, сливки дают 25 процентов масла. Сколько масла получится из 300 кг молока?

300 0,22 0,25 = 16,5(кг)

Задачи для самостоятельного решения:

1. Папа вложил 5000 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода получил папа?

2. Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20%. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?

3. В делегации иностранных гостей 50% говорили пофранцузски и 60% — по-английски. Как вы это объясните?

4. В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30% всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?

5. В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки.

Сколько мальчиков в школе?

6. В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа.

Сколько лампочек привезли в магазин?

7. В магазин привезли овощи. В первый день продали 35% и еще 240 кг привезенных овощей, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин?

8. Цена товара 1000 р. Ее увеличили сначала на 10%. Какой стала цена? Потом цену увеличили еще на 10%. Какой стала цена?

9. Цена товара увеличилась на 100%. Во сколько раз увеличилась

цена?

10. Банк выплачивает доход по срочному вкладу из расчета 3% в год от суммы на счете. Сколько рублей оказывалось на счете через 2 года, если на него положили 10 000 р.?

5. Задачи на работу и производительность.

Основная формула:

P=A/t

Производительность = работа/время

1) Первый землекоп выкапывает яму на 10 минут дольше, чем второй землекоп выкапывает такую же яму. Оба землекопа выкапывают такую же яму за 12 минут. За сколько минут такую яму выкопает второй землекоп?

Пусть за x минут яму выкапывает второй землекоп, x>0, тогда первый землекоп такую же яму выкапывает за x+10 минут.

Работая вместе, они в минуту выкапывают 1x+1x+10 часть ямы.

Так как оба землекопа выкапывают такую же яму за 12 минут, то

12(1x+1x+10)=1⇔x2−14x−120=0 – при x≠0, x≠−10, откуда находим x1=20, x2=−6. Так как x>0, то x=20.

Ответ: 20

2) Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Пусть первый оператор может выполнить данную работу за часов, а второй за часов. За один час первый оператор

выполняет часть всей работы, а второй . Составим систему уравнений:

Ответ: первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.

Задачи для самостоятельного решения:

1. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

2. Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?

3. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?

4. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

5. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?

6. Две трубы наполняют бассейн за 6 часов 18 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 9 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

7. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на

3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

8. Игорь и Паша красят забор за 20 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

6. Задачи на сплавы и смеси.

Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть x кг и y кг — массы первого и второго растворов, взятые при смешивании. Тогда x+y+5 кг — масса полученного раствора, содержащего 0,6x+0,3y кг кислоты. Концентрация кислоты в полученном растворе 20%, откуда 0,6x+0,3y=0,2(x+y+5)

0,6x+0,3y=0,2(x+y+5)

0,6x+0,3y+0,9*5=0,7(x+y+5)

0,4x+0,1y=1 0,1x+0,4y=1 x=2; y=2 Ответ: 2 кг.

Задачи для самостоятельного решения:

1. В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

2. Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19– процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3. Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

4. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

5. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

6. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди,

7. второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

8. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

9. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

10. Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго

7. Задачи на взвешивание-*

Пример решения:

Из 9 монет одна фальшивая – более легкая, чем настоящие.

Двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найдите ее.

Решение: кладем на чаши по три монеты. В случае равновесия – фальшивая монета среди оставшихся трех. Если же равновесия нет, то фальшивая монета – среди монет более легкой чаши. Теперь из отобранных монет возьмем две и положим их на разные чаши весов. Если чаши уравновесились, то оставшаяся монета – фальшивая, если нет – фальшивая более легкая.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Из 80 одинаковых по внешнему виду монет одна фальшивая (более легкая). Сколько потребуется взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы отыскать фальшивую монету.

2. Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Найти ее за 3 взвешивания на весах с двумя чашками без гирь, если неизвестно, легче она или тяжелее остальных.

3. Как с помощью чашечных весов без гирь отвесить 14 кг муки, если в мешке 16 кг муки?

4. Из 27 одинаковых по внешнему виду монет одна фальшивая (более легкая). Сколько потребуется взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы отыскать фальшивую монету.

5. На столе лежат 6 гирек с массами 3, 4, 5, 6, 7, 8 граммов, но неизвестно, какая гирька сколько весит. Как за 10 взвешиваний на чашечных весах без дополнительных гирь определить две самые легкие и две самые тяжелые гирьки?

6. Среди 9 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес меньше, чем у настоящих. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету?

7. Известно, что среди гирь достоинством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря отличается по весу от маркировки, указанной на ней. Можно ли при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить «неправильную» гирю? 8. Среди 12 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес отличается от веса настоящих, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить фальшивую монету и при этом установить, легче она или тяжелее настоящих?

Ответы:

Задачи на движение:

1)44,8км 2)60км/ч 3)80км/ч 4)105км/ч 5)42км/ч;210км

6)16сек 7)12ч;15ч 8)2км/ч 9)1120м 10) в 17часов

Задачи на движение по воде:

1)3км/ч 2)5км/ч 3)20км/ч 4)18км/ч 5) на 6км/ч 6)16км/ч 7)8км

8)5ч 9)5ч

Задачи на проценты:

1)1000руб 2)600руб 3)10% говорит на 2 языках 4)1750кг 5)192

6)800 7)1200 8)1210 9) в 2 раза 10) 10609руб

Задачи на работу и производительность:

1)3 2)9 3)33 4)15 5)10 6)21 7)10 8)16

Задачи на сплавы и смеси:

1)5 2)17 3)21 4)190 5)100 6)9 7)60 8)18 9)70

Список используемой литературы:

1. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики (5-9-е классы). – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006

2. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников, поступающих в вузы. – М. «АСТПРЕСС», 2001

3. Шевкин А.В. Текстовые задачи. 7-11 классы: Учебное пособие по математике. – М.: Русское слово РС, 2003

4. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999

5. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. – 5-изд. – М.: Просвещение,

2010 6. Кочагина М.Н., Кочагин В.В. «Малое ЕГЭ» по математике: 9 класс – М.: Эксмо, 2008

7. Сканави М.Н., Егерев В.К., Зайцев В.В. и др., 2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы. – М.

«ОНИКС 21 век», «Мир и образование», 2002 Список используемых сайтов:

1. https://oge.sdamgia.ru/

2. https://yandex.ru/tutor/subject/tag/problems/?ege_number_id=471&ta g_id=19

3. https://le-savchen.ucoz.ru/load/9

21 22

[1] Дополнительный материал

БОУ г. Калачинска «Гимназия №1»

Что такое текстовые задачи? И зачем уметь их решать?

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления

Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч

Когда встретились поезда, если их встреча произошла в середине пути

Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч

На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч? 5

Папа вложил 5000 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода

Так как оба землекопа выкапывают такую же яму за 12 минут, то 12(1x+1x+10)=1 ⇔ x2−14x−120=0 – при x≠0, x≠−10, откуда находим x1=20, x2=−6

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества

Решение: кладем на чаши по три монеты

Задачи на движение: 1)44,8км 2)60км/ч 3)80км/ч 4)105км/ч 5)42км/ч;210км 6)16сек 7)12ч;15ч 8)2км/ч 9)1120м 10) в 17часов

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

05.02.2020