1.1 Угол. Биссектрисса угла

Угол. Биссектриса угла.

Повторяем теорию.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, общее начало –

вершиной угла.

BA, BC – стороны, B – вершина Обозначение угла: ∠𝐵, ∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝐶𝐵𝐴

Виды углов: развернутый, прямой, острый, тупой.

Угол, стороны которого лежат на одной прямой, называется развернутым. Угол, градусная мера которого равна 90⁰, называется прямым.

Угол, градусная мера которого меньше 90⁰, называется острым.

Угол, градусная мера которого больше 90⁰, но меньше 180⁰, называется

тупым.

∠𝐴𝐵𝐶 – развернутый

∠𝑀𝑁𝐾 – прямой                        ∠𝑆𝐿𝑇– тупой                     ∠𝐷𝐸𝐹 – острый

Свойство градусной меры угла.

Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.∠𝐴𝑂𝐶 +

∠𝐵𝑂𝐶 = ∠𝐴𝑂𝐵

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Луч OC – биссектриса угла ∠𝐴𝑂𝐵

Проверяем себя.

Т1. Заполните пропуски: а) Биссектриса угла – это

, который делит угол пополам.

Ответ: луч, исходящий из вершины угла

б) Угол, стороны которого лежат

Ответ: на одной прямой

, называется развернутым.

Т2. Укажите верные утверждения:

а) угол, который больше прямого угла – тупой; б) биссектриса угла делит его пополам;

в) если угол в 2 раза больше острого, то этот угол является тупым.

Ответ: б)

Т3. Укажите неверные утверждения:

а) сумма двух острых углов всегда является острым углом; б) острый угол всегда меньше тупого угла;

в) развернутый угол в 2 раза больше острого угла.

Ответ: а), в)

Решаем задачи

1.            а) В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 26⁰, AD – биссектриса.

Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 13

б) В треугольнике ABC известно, что ∠BAD = 38°, AD – биссектриса.

Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 76

в) В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=86°, AD – биссектриса.

Найдите угол СAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 43

2.            а) Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BA угол, равный 44°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 88

б) Найдите меньший угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BА угол, равный 26°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 52

в) Найдите угол A параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной AD угол, равный 18°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36

3.            а) Угол AOB – развернутый, луч OM делит его на два угла: АОМ и ВОМ. Луч ON является биссектрисой угла MOB, ∠𝐴𝑂𝑁 = 152⁰. Найдите угол MOB.

Ответ дайте в градусах.

Ответ: 56.

б) Угол AOB – развернутый, луч OM делит его на два угла: АОМ и ВОМ. Луч ON является биссектрисой угла MOB, ∠𝐵𝑂𝑁 = 33⁰. Найдите угол MOA. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 114

в) Угол AOB – развернутый, луч OM делит его на два угла: АОМ и ВОМ. Луч ON является биссектрисой угла MOB, ∠𝑀𝑂𝑁 = 21⁰. Найдите угол AON. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 159

4.            а) Луч OB – биссектриса угла DOC, луч ON – биссектриса угла BOC. Найдите угол BON, если ∠𝐷𝑂𝐵 = 52⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 26

б) Луч OB – биссектриса угла DOC, луч ON – биссектриса угла BOC. Найдите угол BOD, если

∠𝑁𝑂𝐶 = 22⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 44

в) Луч OB – биссектриса угла DOC, луч ON – биссектриса угла BOC. Найдите угол DOC, если ∠𝑁𝑂𝐵 = 37⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 148

5.            а) Луч CF –   биссектриса угла  DCM. Найдите угол ACM,

если ∠𝐷𝐶𝐹 = 11⁰, ∠𝐴𝐶𝐷 = 39⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 61

б) Луч CF – биссектриса угла DCM. Найдите угол DCF,

если ∠𝐴𝐶𝑀 = 121⁰, ∠𝐴𝐶𝐷 = 45⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 38

в) Луч CF – биссектриса угла DCM. Найдите угол ACD, если ∠𝐷𝐶𝐹 = 15⁰, ∠𝐴𝐶𝑀 = 102⁰. Ответ дайте в градусах. Ответ: 72

6.            а) Лучи OМ и OL проходят между сторонами прямого угла COD так, что ∠𝐶𝑂𝐿 = 71⁰, ∠𝑀𝑂𝐷 = 59⁰. Найдите угол MOL. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 40

б) Лучи OМ и OL проходят между сторонами прямого угла COD так, что

∠𝐶𝑂𝐿 = 25⁰, ∠𝑀𝑂𝐷 = 40⁰. Найдите угол MOL. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 25

в) Лучи OМ и OL проходят между сторонами прямого угла COD так, что

∠𝐶𝑂𝐿 = 67⁰, ∠𝑀𝑂𝐷 = 60⁰. Найдите угол MOL. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 37

7.            а) Луч AN разделил угол HAP, равный 84⁰, на два угла так, что ∠𝑁𝐴𝑃 в 2 раза меньше ∠𝐻𝐴𝑁. Найдите градусную меру меньшего из образовавшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 28

б) Луч AN разделил угол HAP, равный 76⁰, на два угла так, что ∠𝐻𝐴𝑁 в 3 раза больше ∠𝑁𝐴𝑃. Найдите градусную

меру большего из образовавшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 57

в) Луч AN разделил угол HAP, равный 78⁰, на два угла так, что ∠𝑁𝐴𝑃 в 5 раз меньше ∠𝐻𝐴𝑁. Найдите градусную меру большего из образовавшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 65