1.12 Неравенство треугольника

Неравенство треугольника

Повторяем теорию

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Из теоремы следует, что если длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника.

Теорема. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Так же нужно заметить, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

Медиана   прямоугольного  треугольника,  проведенная  к гипотенузе, равна ее половине

2

СМ=МВ=МА.

Для решения заданий снова вспомним определение и свойства внешнего угла треугольника.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом (внутренним) этого треугольника.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

∠3=∠1+∠2

Проверяем себя

Т1. Закончите предложения

а) В треугольнике против большей стороны лежит           . б) Каждая сторона треугольника меньше                                         .

Ответ: а) больший угол; б) суммы двух других его сторон.

Т2. Выберите верные утверждения:

1)                Все углы равностороннего треугольника равны.

2)                Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

3)                Средняя линия треугольника равна сумме ее оснований.

4)                Смежные углы равны.

5)                Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.

Ответ:125

Т3. Выберите неверные утверждения:

1)                Медиана треугольника делит пополам угол, из которого проведена.

2)                В параллелограмме есть два равных угла.

3)                Треугольник со сторонами со сторонами 8, 8, 5 существует.

4)                  Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180°.

5)                Вертикальные углы в сумме составляют 180°.

Ответ:15

Решаем задачи

1.      а) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25, а другая равна10. Какая их них является основанием? В ответе запишите её длину.

Ответ:10

б) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 38, а другая равна18. Какая их них является боковой? В ответе запишите её длину

Ответ:38

в) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 5, а другая равна16. Какая их них является основанием? В ответе запишите её длину.

Ответ:5

2.      а) Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие равны соответственно 7 и 3.

Ответ:7

б) Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие равны соответственно 8 и 2.

Ответ:8

в) Найдите третью сторону равнобедренного треугольника, если две другие равны соответственно10 и 5.

Ответ:10

3.      а) В треугольнике АВС известно, что угол А=34°, угол В=28°. Сравните стороны

АВ, ВС, АС. В ответ запишите большую сторону.

Ответ: АВ (АВ>ВС>АС).

б) В треугольнике АВС известно, что угол А=14°, угол В=107°. Сравните стороны АВ, ВС, АС. В ответ запишите большую сторону.

Ответ: АС (АС>АВ>ВС)

в) В треугольнике АВС известно, что угол А=51°, угол В=90°. Сравните стороны

АВ, ВС, АС. В ответ запишите большую сторону.

Ответ: АС (АС>ВС>АВ)

4.      а) В треугольнике АВС АС=ВС. Угол С равен 36°. Найдите внешний угол при вершине В. Ответ дайте в градусах.

Ответ:108

б) В треугольнике АВС АС=ВС. Угол С равен 64°. Найдите внешний угол при вершине В. Ответ дайте в градусах.

Ответ:122

в) В треугольнике АВС АС=ВС. Угол С равен 78°. Найдите внешний угол при вершине В. Ответ дайте в градусах.

Ответ:129

5.      а) В треугольнике АС=СВ. Внешний угол при вершине С равен 84°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Ответ:42

б) В треугольнике АС=СВ. Внешний угол при вершине С равен 150°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Ответ:75

в) В треугольнике АС=СВ. Внешний угол при вершине С равен 146°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Ответ:73

6.      а) Один из внешних углов треугольника равен 15°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1:4. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Ответ:12

б) Один из внешних углов треугольника равен 90°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1:2. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Ответ:60

в) Один из внешних углов треугольника равен 40°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Ответ:24

7.        а) В треугольнике АВС известно, что ∠С=90°, АК-биссектриса,

∠ВАК=18°. Найдите ∠АКС. Ответ дайте в градусах.

Ответ:72

б) В треугольнике АВС известно, что ∠С=90°, АК-биссектриса,

∠ВАК=21°. Найдите ∠АКС. Ответ дайте в градусах.

Ответ:69

в) В треугольнике АВС известно, что ∠С=90°, АК-биссектриса, ∠ВАК=32°. Найдите ∠АКВ. Ответ дайте в градусах.

Ответ:122

Задачи с развернутым ответом.

1.     В треугольнике АВС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найдите угол АОС, если угол В равен 100°. Ответ дайте в градусах.

Ответ:140

2.     В треугольнике DEF биссектрисы углов E и F пересекаются в точке О. Найдите угол EDF, если угол EOF равен 115°. Ответ дайте в градусах.

Ответ:50

3.     В треугольнике АВС биссектрисы углов А и B пересекаются в точке О. Найдите угол АСB, если угол AOB равен 130°. Ответ дайте в градусах.

Ответ:80