1.5. Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник.

Повторяем теорию.

Треугольник  называется  равнобедренным,  если   две                               его стороны равны.

∆𝐴𝐵𝐶 – равнобедренный.

Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

𝐴𝐵 и 𝐶𝐵 – боковые стороны

𝐴𝐶 – основание

Свойства равнобедренного треугольника.

1.            В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

∠𝐴 = ∠𝐶

2.            В      равнобедренном     треугольнике               биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

𝐵𝐷 – биссектриса, высота, медиана.

Проверяем себя

Т1. Выберите верные утверждения:

а) всякий равнобедренный треугольник является остроугольным; б) в равнобедренном треугольнике все стороны равны;

в) если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Ответ: в).

Т2. Выберите неверные утверждения:

а) в равнобедренном треугольнике любая высота является медианой; б) в равнобедренном треугольнике все углы по 60°

в) если в треугольнике биссектриса является высотой, то этот треугольник – равнобедренный.

Ответ: а), б).

Т3. Вставьте пропущенные слова:

а) В равнобедренном треугольнике медиана, … является биссектрисой и высотой;

б) треугольник называется равнобедренным, если … его стороны равны.

Эти стороны называются …, а третья сторона - ….

Ответ: а) проведенная к основанию; б) две, боковыми, основанием

Решаем задачи

1.            а)   В   треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ВAС=42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 96

б) В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC=144°. Найдите угол

BCA. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 18

в)     В     треугольнике ABC известно,    что AB=BC, ∠AСВ=23°.               Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 134

2.            а)  Треугольник  АВМ  –  равнобедренный.  Угол  АВМ  равен  100°,

ВМ=14см, АМ=30см. Найдите длину стороны АВ.

Ответ:14

б) В треугольнике МХС, угол ∠МСХ=∠МХС=38°. МХ=122 м, СХ=136 м.

Найдите сторону МС.

Ответ:122

в) Дан треугольник РОТ. Известно, что ∠Р=∠О= 52°, РО=15см, ОТ=12см.

Найдите РТ.

Ответ:12

3.            а) В треугольнике АВС АК=КС=3. Найдите АВ, если ВС=7

Ответ: 7

б) В треугольнике АВС ВК -высота. Найдите АК, если АС=9 см

Ответ: 4,5

в) В треугольнике АВС АВ=ВС=3. Найдите АС, если

АК=4

Ответ: 8

4.            а) В треугольнике АВС ∠А=∠С. Найдите АК, если АС=40

Ответ: 20

б) В треугольнике АВС АК=КС=3. Найдите угол

АВС, если угол АВК=24°

Ответ: 48

в) В треугольнике АВС ВК – биссектриса. Найдите

АС, если АК = 37.

Ответ: 74а) Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 30°. Найдите угол, прилежащий к основанию.

Ответ: 75

б) Угол равнобедренного треугольника равен 40°. Найдите остальные углы этого треугольника

Ответ: 70 и 70; 40 и 100.

в) Угол при вершине основания равнобедренного треугольника равен 30°.

Найдите угол, противолежащий основанию.

Ответ: 120

5.            а) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 . Угол C равен 116⁰ . Найдите внешний угол CBD.

Ответ: 148

б) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. Угол C равен 45⁰. Найдите внешний угол

CBD.

Ответ: 112,5

в) В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. Угол C равен 26⁰. Найдите внешний угол

CBD.

Ответ: 103

6.            а)   В ∆𝑀𝑁𝐾      ∠𝑀 = ∠𝐾 = 63⁰ ,    ND  –               медиана. Найдите ∠𝑀𝑁𝐷.

Ответ: 27

б) В ∆𝑀𝑁𝐾 ∠𝑀 = ∠𝐾, ND – высота. Найдите ∠𝑀, если

∠𝑀𝑁𝐾 = 31⁰.

Ответ: 74,5

в) В ∆𝑀𝑁𝐾 ∠𝑀 = ∠𝐾 = 80⁰ , ND – высота. Найдите

∠𝑀𝑁𝐷.

Ответ: 10

Задачи с развернутым ответом

1.            В   треугольнике  АВЕ  высота  ВР  является   медианой.  АР=13               см. Найдите АВ, если периметр треугольника АВЕ равен 100 см.

Ответ: 37

2.            В треугольнике ABC высота BD делит сторону AC пополам. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине C, если ∠𝐴𝐵𝐷 = 25⁰.

Ответ: 115