Дифференцированная контрольная работа по геометрии (7 класс) Тема: «Признаки равенства треугольников»

Дифференцированная контрольная работа по геометрии (7 класс)

Тема: «Признаки равенства треугольников»
Время выполнения: 45 минут

Вариант 1 (базовый уровень)

1.     Теоретический вопрос. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

2.     Задача на применение признака. Даны два треугольника △ABC и △A₁B₁C₁. Известно, что AB=A₁B₁​, AC=A₁C₁ и ∠A=∠A1​. Докажите, что △ABC=△A₁B₁C₁​. Укажите, какой признак вы использовали.

3.     Задача с чертежом (текстовое описание). В треугольнике MNK сторона MN=5 см, ∠M=40°, ∠N=60°. В треугольнике PQR сторона PQ=5 см, ∠P=40°, ∠Q=60°. Равны ли эти треугольники? Если да, укажите признак равенства.

4.     Задача на нахождение равных элементов. Треугольники DEF и D₁E₁F₁​ равны. Известно, что DE=7 см, EF=8 см, DF=9 см. Найдите длины сторон треугольника D₁E₁F₁​.

5.     Простая задача на доказательство. На рисунке (описательно) отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причём AO=OC и BO=OD. Докажите, что △AOB=△COD.

Вариант 2 (базово‑повышенный уровень)

1.     Теоретический вопрос. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

2.     Задача на применение признака. В треугольниках XYZ и X₁Y₁Z₁ ​ известно, что XY=X₁Y₁ ​. Докажите равенство треугольников и укажите признак.

3.     Задача с дополнительными построениями. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены медианы АM и СN к боковым сторонам. Докажите, что △ABM=△CBN. Какой признак вы применили?

4.     Задача на поиск равных углов/сторон. Треугольники KLM и K₁L₁M₁ ​ равны, причём ∠K=50°, ∠L=70°, сторона KL=10 . Найдите ∠K₁ ​, ∠L₁ ​ и сторону K₁L₁ ​.

5.     Задача на доказательство с использованием свойств равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки M и N так, что DM=FN. Докажите, что △DMF=△FNE.

Вариант 3 (повышенный уровень)

1.     Теоретический вопрос. Сформулируйте третий признак равенства треугольников и приведите краткую схему доказательства (без деталей, только ключевые шаги: построение, наложение, совпадение).

2.     Комбинированная задача. Даны треугольники PQR и P₁Q₁R₁​. Известно, что PQ=P₁Q₁​, QR=Q₁R₁​, и медианы, проведённые к этим сторонам, равны: PM=P₁M₁ ​. Докажите, что △PQR=△P₁Q₁R₁. (Подсказка: рассмотрите пары треугольников с медианами.)

3.     Задача на равенство треугольников с пересекающимися отрезками. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AO=OB, CO=OD, а также AC=12 см. Найдите длину отрезка BD и докажите, что △AOC=△BOD.

4.     Задача на использование нескольких признаков. В четырёхугольнике ABCD стороны AB=CD и BC=AD. Докажите, что диагональ AC делит его на два равных треугольника. Затем докажите, что ∠B=∠D.

5.     Задача на построение логического вывода. Дано: в треугольниках MNP и M₁N₁P₁ ​ стороны MN=M₁N₁ ​, NP=N₁P₁ ​, а углы ∠N и ∠N1— острые и равны. Можно ли утверждать, что треугольники равны? Обоснуйте ответ, указав, какой признак применим и почему.

Вариант 4 (высокий уровень)

1.     Теоретический вопрос. Объясните, почему равенства двух сторон и угла, не заключённого между ними, недостаточно для равенства треугольников (приведите контрпример в виде описания двух разных треугольников с такими данными).

2.     Сложная задача на доказательство. В треугольнике ABC на сторонах AB и AC отмечены точки D и E так, что AD=AE. Отрезки BE и CD пересекаются в точке F. Докажите, что △BDF=△CEF (или, если это слишком сложно, докажите, что △ABE=△ACD\, а затем сделайте вывод о равенстве некоторых частей).

3.     Задача на комбинацию признаков и свойств. Даны два равнобедренных треугольника ABC (AB=BC) и A₁B₁C₁​ (A₁B₁=B₁C₁ ​). Известно, что основания AC=A₁C₁ ​ и углы при основаниях равны: ∠A=∠A₁ ​. Докажите, что треугольники равны. Укажите, какие признаки или свойства вы использовали.

4.     Задача на анализ условия. В двух треугольниках равны по две стороны и по одному углу. При каких условиях эти треугольники гарантированно равны, а при каких — могут быть не равны? Приведите по одному примеру для каждого случая (в виде краткого описания длин и углов).

5.     Комплексная задача. На сторонах угла с вершиной O отложены равные отрезки OA=OB. На этих же сторонах по другую сторону от O отложены отрезки OC=OD так, что точки C и D лежат на продолжениях OA и OB соответственно. Докажите, что AD=BC и что △OAD=△OBC.

Критерии оценивания

• Вариант 1: 1 — 1 балл, 2 — 2 балла, 3 — 2 балла, 4 — 2 балла, 5 — 3 балла. Максимум: 10 баллов.
  «5»: 9–10 баллов; «4»: 7–8 баллов; «3»: 5–6 баллов; «2»: менее 5 баллов.
• Вариант 2: 1 — 1 балл, 2 — 2 балла, 3 — 3 балла, 4 — 2 балла, 5 — 3 балла. Максимум: 11 баллов.
  «5»: 10–11 баллов; «4»: 8–9 баллов; «3»: 6–7 баллов; «2»: менее 6 баллов.
• Вариант 3: 1 — 2 балла, 2 — 3 балла, 3 — 3 балла, 4 — 3 балла, 5 — 3 балла. Максимум: 14 баллов.
  «5»: 13–14 баллов; «4»: 10–12 баллов; «3»: 7–9 баллов; «2»: менее 7 баллов.
• Вариант 4: 1 — 2 балла, 2 — 4 балла, 3 — 3 балла, 4 — 3 балла, 5 — 4 балла. Максимум: 16 баллов.
  «5»: 15–16 баллов; «4»: 11–14 баллов; «3»: 8–10 баллов; «2»: менее 8 баллов.