ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Подготовила: Агапова Александра Александровна

Древний Китай

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Пифагор Самосский

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Простейшее Доказательство

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах -по два

Sквадрата=Sмал.квад-та +Sтреуг-в


a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab
a2 +b2 = c2
 

1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.
2. Построим прямую EF, параллельную ВС.
3. Построим прямую FH, араллельную АВ.
4. Построим прямую из точки D, параллельную СН.
5. Построим прямую из точки А, параллельную СG
6. Проведем отрезок MN, параллельный СН
7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам в квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

Площадь трапеции:



Приравнивая выражения:



с2 =a2+ b2

Пифагоровы «тройки»

В школе Пифагора также были подробно изучены так называемые Пифагоровы тройки натуральных чисел. Это числа, у которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других. То есть, для которых справедливо равенство
a² +b² =с²( a,b,c - натуральные числа)
Таковы, например, числа 3, 4, 5.
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам:
a= 2n+1
b=2n (n+1)
c=2 n² +2n , где n - натуральное числа

Историческая задача

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»