информатика

Формулировка УУД (блок)

Этап урока

Содержание учебного задания

Описание учебной ситуации (формы, методы, приемы работ)

Самоопределение, смыслообразование (Л)

Целеполагание (П)

Планирование учебного сотрудничества (К)

I. Организационный момент (мотивация к учебной деятельности)

Цель этапа: включение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне

Слово учителя: «В олимпиадном программировании встречаются задачи из самых разных тем. И иногда бывает трудно определить, к какой именно области относится определенная задача. Но задачи из геометрии не с чем не перепутаешь. И без определенных знаний с данными задачами справиться практически не возможно. К таким задачам относятся задачи про многоугольники.»

Вступительное слово учителя

Анализ объектов с целью выделения признаков; подведение под понятие; целеполагание (П)

Выполнение пробного учебного действия; фиксирование индивидуального затруднения; саморегуляция в ситуации затруднения (Р)

Выражение своих мыслей; аргументация своего мнения; учёт разных мнений (К)

II. Актуализация знаний

Цель этапа: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося

Слово учителя: «На плоскости задан многоугольник координатами вершин в порядке их обхода. Требуется найти его площадь. Но сначала мы должны научиться определять площадь самого простого многоугольника – треугольника, заданного координатами вершин. Есть несколько методов решения этой задачи. Я предлагаю рассмотреть их решение в группах.»

Обучающиеся разбиваются на 3 группы, и учитель раздает карточки с задачей и описанием способа решения. Учащиеся с помощью дополнительной литературы или самостоятельно разрабатывают алгоритм вычисления площади.

Текст карточки:

«Треугольник задан координатами вершин. Необходимо вычислить его площадь с помощью формулы Герона/через 2 стороны и угол/через векторное произведение.»

Выполнение упражнения с поиском информации в случае необходимости,

частично-поисковый метод

Поиск и выделение информации; синтез как составление целого из частей; подведение под понятие; выдвижение гипотез и их обоснование; самостоятельное создание способа решения проблемы поискового характера (П)

Аргументация своего мнения и позиции в коммуникации; учёт разных мнений (К)

III. Проблемное объяснение нового знания

Цель этапа: обеспечение восприятия, осмысления и первичного закрепления учащимися новых знаний

Учащиеся выслушивают идеи друг друга и выбирают самое оптимальное решение.

Если формула

не получена ни одной группой, учитель объясняет «Для определения площади треугольника ABC мы можем сначала определить площади OAB,OBC, сложить их и вычесть площадь треугольника OCA. С первого взгляда, кажется, что мы усложнили себе жизнь, но на самом деле все наоборот. Ведь, когда одна из вершин совпадает с началом координат, вычислить площадь гораздо проще.

Рис. 1

Рассмотрим треугольник OAB (см. рис. 1). Его площадь будет равна:

, 

Самое сложное – определить угол α. Его можно представить в виде разности β и γ:

,

,

Подставив все выражения в первое, получаем простую в реализации формулу:

Мы получили ориентированную площадь треугольника OAB – это обычная площадь, снабженная знаком, который зависит от порядка перечисления вершин. Таким же образом находим площади OBC и OCA и суммируем их. Вычитать последнюю нет необходимости, т.к. площадь треугольника OCA будет отрицательна.

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника A₁, A₂, …, A_n нужно сложить ориентированные площади треугольников OA₁A₂, OA₂A₃, …, OA_nA₁ (см. рис. 2).

Рис. 2

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной A₁, A₂, …, A_n многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Таким образом, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника.

Выступления учеников, объяснение нового материала,

объяснительно-иллюстративный метод

Анализ объектов с целью выделения признаков и синтез как составления целого из частей; подведение под понятие; выдвижение гипотез и их обоснование (П)

Выражение своих мыслей с полнотой и точностью; формулирование и аргументация своего мнения; учёт разных мнений (К)

Оценивание усваемого содержания (Л)

Контроль, коррекция, оценка (Р)

IV. Закрепление

Цель этапа: закрепление нового знания; выявить пробелы первичного осмысления изученного материала, неверные представления учащегося; провести коррекцию

Все обучающиеся решают первую задачу, оформляют нахождение площади в виде функции. Следующие три задачи распределяются по силам – каждому ученику одну задачу (задачи расположены в порядке возрастания сложности). Ученики решают задачи самостоятельно с консультацией у учителя.

1. Площадь многоугольника

На плоскости задан многоугольник координатами вершин в порядке их обхода. Многоугольник не обязательно выпуклый. Требуется найти его площадь.

Сначала вводится число N - количество вершин многоугольника (3<=N<=100), затем N пар вещественных чисел, задающих координаты его вершин.

Выведите площадь многоугольника не меньше, чем с 3 знаками после десятичной точки.

2. Принадлежность точки выпуклому многоугольнику

Задан многоугольник и точка. Нужно определить, лежит ли точка внутри этого многоугольника. В этой задаче многоугольник выпуклый.

Сначала вводится число N (3<=N<=100). Далее идут N пар вещественных чисел, задающих координаты вершин многоугольника. Последние два вещественных числа задают координаты точки.

Выведите сообщение YES, если точка лежит внутри многоугольника, или NO в противном случае. Гарантируется, что точка не лежит на границе многоугольника.

3. Выпуклость многоугольника

В первой строке вводится одно число N (3≤N≤100000). Далее в N строках задается по паре чисел – координаты очередной вершины простого многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки.

Выведите одну строку: “YES”, если приведённый многоугольник является выпуклым, и “NO” в противном случае.

4. Целые точки

Многоугольник (не обязательно выпуклый) на плоскости задан координатами своих вершин. Требуется подсчитать количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри него (но не на его границе).

В первой строке содержится N (3≤N≤1000) - число вершин многоугольника. В последующих N строках идут координаты (Xi, Yi) вершин многоугольника в порядке обхода по часовой стрелке. Xi и Yi - целые числа, по модулю не превосходящие 1000000.

Выведите одно число - искомое количество точек.

Решение задач, проблемный метод

Учитель контролирует решение первой задачи всеми учениками, проверяя коды в случае необходимости. По остальным задачам учитель может давать лишь подсказки:

2. Можно перенести начало координат в заданную точку и вычислять ор. площади. Если знак меняется, значит, точка лежит вне многоугольника.

3. Нужно рассматривать сразу три вершины многоугольника и вычислять ор. площадь. Если знак меняется, многоугольник невыпуклый.

4. Нужно использовать формулу Пика, а для этого найти площадь многоугольника и количество точек с целочисленными координатами, лежащих на границе.

Рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности (П)

Самооценка; адекватное понимания причин успеха или неуспеха в УД; следование в поведении моральным нормам и этическим требованиям (Л)

Выражение своих мыслей полно и точно; формулирование и аргументация своего мнения, учёт разных мнений (К)

V. Итог урока (рефлексия деятельности)

Цель этапа: осознание учащегося своей учебной деятельности, самооценка результатов деятельности своей и всего класса

Слово учителя «Сегодня мы изучили однопроходный алгоритм определения площади многоугольника. В каких случаях он может пригодиться? Область его применения не ограничена. Вы в этом убедились, решая разные задачи.

В своих рабочих тетрадях запишите 1-2 предложения, начинающихся с фраз:

·         сегодня я узнал...

·         было трудно…

·         я понял, что…

·         я научился…

·         я смог…

·         было интересно узнать, что…

·         меня удивило…

·         мне захотелось…

К следующему занятию найдите в любой тестирующей системе задачу про многоугольник, которая может быть решена с помощью определения ориентированной площади, и решите ее.»

Беседа