Исследование колебаний

Исследование сложения колебаний с использованием Excel Исследуя сложение колебаний можно повторить тригонометрические  функции, активизировать изучение информатики и понять законы физики. Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях  одинакового направления и одинаковой частоты:                                                    x1 = a1 Cos( t + ω α1),  x2 = a2 Cos( t + ω α2) Результирующее смещение тела в данный момент определяется суммой независимых  смещений, приобретенных телом в каждом из колебаний: х = х1 + х2. Это результирующее  x = a Cos ( ω α  t +   ) где а начальная фаза  a2 = a1 2 + a2 2 + 2 a1a2 Cos( α2 – α1 ),  α   определяется из соотношения tg  α  = (a 1 Sin α1 + a2 Sin α2) / (a1 Cos α1 + a2 Cos α2 ). смещение можно найти с помощью векторной диаграммы. Построим для этого по правилу  сложения векторов вектор амплитуды результирующего колебания а .Проекция его на ось  ОХ равна сумме проекций х1 и х2 векторов амплитуды а1 и а2 на эту же ось и изменяется со  временем по закону  Амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз α2 – α1  складываемых колебаний. В частности, если α2 – α1 = 0  или α2 – α1 = 2  целое число, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд  складываемых колебаний.  π n, где n – любое  При α2 – α1 =  π  / 2 амплитуда результирующего колебания   a  2  a 1 a 2 2 .  Если α2 – α1 = (2n + 1)  амплитуд складываемых колебаний. В случае а1 = а2 амплитуда результирующего  колебания равна нулю, т.е. оба колебания уничтожаются. π  , то амплитуда результирующего колебания равна разности  Полученные утверждения наблюдаем с помощью Excel: Ячейки электронных таблиц заполнены следующим образом: в ячейке В2 – значение  частоты, в В3 – а1, в В4 ­ а2, в  В5 – формула   =КОРЕНЬ(В3^2+B4^2+2*B3*B4*COS(B6)),  в B6 –разность фаз α2 – α1 ­   =π()/2*B7, в В7 – четные или нечетные числа. В столбце С  вычисляются значения времени, возрастающее на 0,02, для чего в С3 введена формула   =С2+0,02. В столбце D вычисляются значения Х1 по формуле =$B$3*COS($B$2*C2), в  столбце Е – Х2, =$B$4*COS($B$2*C2+$B$6),  в столбце F –амплитуда   результирующего  колебания, для чего введена формула  =$b$5*COS($B$2*C2+$B$6). Формулы вычисления  времени t, значений Х1 ,Х2 и Х размножены до 80­й строки. Меняя значения в В7, значения амплитуд в В3 или В4 , наблюдаем изменения графиков  исходных и результирующего колебаний. w a1 a2 a f n t 6,283185 x1 0 4 4 4 0 3,141593 2 0,02 3,968458805 0,04 3,874332645 0,06 3,719105944 3,50522672 0,08 0,1 3,236067977 2,91587451 0,12 0,14 2,549695959 0,16 2,14330718 0,18 1,703117166 0,2 1,236067977 0,22 0,749525258 0,24 0,251162078 ­ x2 x ­4 ­ 3,968458805 ­ 3,874332645 ­ 3,719105944 ­3,50522672 ­ 3,236067977 ­2,91587451 ­ 2,549695959 ­2,14330718 ­ 1,703117166 ­ 1,236067977 ­ 0,749525258 ­ 0,251162078 При нечетном n, например 3, графики будут выглядеть так :  0,26 0,251162078 0,251162078 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 При сложении колебаний одинакового направления, но с разной частотой,  результирующее колебание уже не будет гармоническим. Пусть, например, складываются  два гармонических колебания:                      x1 = a1 Cos (ω1 t +  ), α x2 = a2 Cos (ω2 t + α) Амплитуды обеих колебаний для простоты будем считать равными (а1 = а2). Тогда для  результирующего колебания, применяя формулу для суммы косинусов, получим x  2 a 1 Cos     1 2  2 t    Cos     1 2  2 t      Где      a  2 a 1 Cos   1 2 2 t   определяет закон изменения амплитуды  результирующего колебания со временем. Так как этот множитель может изменяться от  ­2а до +2а, берем его абсолютную величину, так как по определению амплитуда, есть  величина положительная. Ячейки электронных таблиц заполняем следующим образом: В2­ частота первого колебания, В3 – частота второго , В4 амплитуда результирующего  колебания, определяемая по формуле =2*$B$5*COS(($B$3­$B$2)*C2/2), в ячейке В5­  амплитуда складываемых колебаний. В столбце С введено время с интервалом изменения  0,02. Столбец D определяет первое колебание  x1 ­ =$B$4*COS($B$2*C2), столбец Е для  второго колебания ­ =$B$4*COS($B$3*C2), результирующее колебание определяется в  столбце F ­ =2*$B$4*COS(($B$3­$B$2)*C2/2)*SIN(($B$3+$B$4)*C2/2). Введение функции Sin задает  разность фаз в  /2.π Чтобы получить наглядную картину биений, значения времени, амплитуд исходных и  результирующего колебаний продолжены до 200 строки. t x x1 x2 w1 w2 a a1 22 24 8 8 0 0 8 0,02 5,032058 7,238013 7,095959 0,04 9,547484 5,097209 4,58816 8 0,06 13,08348 1,985404 1,04339 ­1,50461 0,08 15,27923 ­2,7372 0,1 15,91328 ­4,70801 ­5,89915 ­7,01454 0,12 14,92621 ­7,72783 ­7,98483 0,14 12,42627 ­7,80995 ­7,43403 0,16 8,677419 ­6,12694 0,18 4,071056 ­5,46708 ­3,05918 ­2,45866 0,699992 ­0,91537 0,2 ­5,76858 0,22 1,01812 4,300954 ­9,99311 4,300954 6,929857 0,24 0,26 ­13,1626 6,764471 7,992541 ­14,9635 7,939378 7,248831 0,28 ­15,2268 7,601861 4,866811 0,3 ­13,9434 5,816214 1,384842 0,32 0,34 ­11,2643 2,922598 ­2,41012 ­5,66036 ­0,52776 ­7,48181 0,36 ­7,63131 ­3,87759 0,38 ­2,99833 0,4 1,717583 ­6,48874 ­7,8775 Если w1 = 20  , то при  w2 = 22 – график При  w2 = 24                                               При w2 = 30                Результат сложения колебаний можно наблюдать и так: сложение колебаний x=2*a*Cos(((w1+w2)/2)*t)*Cos(((w1­w2)/2)*t) A 10 W1 2 W2 1 t 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4 7,2 8 8,8 9,6 X 20 А ­  амплитуда 19,33116 10,16955 W1 ­ частота первого  ­13,8263 W2 ­ частота второго  ­10,6723 19,59957 ­19,922 19,8 ­12,5863 ­11,0707 13,90873 19,98763 18,76391 Меняя значения частот, наблюдаем результирующее колебание. уравнения колебаний  x = A1 Cos (w1 t) и  y = A2 Cos (w2 t +  )φ A1 40 w2 φградус φрадиан 30 0,523599 A2 60 w1 2 3 Фигуры Лиссажу t x 0 40 0,2 36,84244 0,4 27,86827 0,6 14,49431 ­1,16798 0,8 ­16,6459 1 1,2 ­29,4957 ­37,6889 1,4 ­39,9318 1,6 ­35,8703 1,8 2 ­26,1457 2,2 ­12,2933 2,4 3,499959 2,6 18,74067 2,8 31,02264 3 38,40681 3,2 39,7274 3,4 34,7759 3,6 24,33405 y 51,96152 49,52014 21,74147 ­13,6321 ­44,2436 ­59,3995 ­53,8055 ­29,4156 5,249939 38,08157 57,61022 57,01396 36,50108 3,237325 ­31,1573 ­54,6678 ­59,0813 ­42,8559 ­11,6598 нарисовать при W2 = 1,2,3... и т.д.                                  W2 = 4                                                                               W2 = 5                                                                                  W2 = 6                                                                     W2 = 7