Исследование столкновений

Исследование столкновений Закон сохранения импульса впервые сформулировал  Декарт. Он формулирует его так: «если одно тело сталкивается с другим, оно не может сообщить ему никакого другого  движения, кроме того, которое потеряет во время этого столкновения, как не может и  отнять у него больше, чем одновременно приобретет само» (Декарт Р. Избранные  произведения.­ М. Изд­во полит. Лит.1950.). Ньютон сформулировал второй закон  динамики через количество движения (mv) «Изменение количества движения  пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует» . (Ньютон И. Математические начала натуральной философии.  Перевод с латинского и комментарии А.Н.Крылова. (М.: Наука, 1989.) Гюйгенс,  рассматривая соударение тел в движущихся системах отсчета,  пришел к принципу  относительности . Термин «количество движения» просуществовал вплоть до недавнего времени и лишь недавно был заменен понятием «импульс тела». Импульсом тела называется произведение его массы на скорость , а импульсом системы -    vmp геометрическая сумма импульсов отдельных тел, входящих в систему: .   p   kvm k Из второго и третьего законов следует постоянство векторной суммы количества движения тел, образующих замкнутую систему. Открытие различных элементарных частиц и исследование процессов их столкновения  и превращения, разработка теории реактивного движения, заставили ученых взглянуть на  этот закон с иной точки зрения и сделать переоценку его значения в процессе познания.  Сейчас он считается универсальным законом природы, не имеющим исключений. Не  обнаружено ни одного явления ни в микромире, ни в макромире, где бы этот закон  нарушался. Закон сохранения импульса широко применяется при расчетах столкновений  элементарных частиц, макроскопических тел, отдачи при выстреле и реактивной силы,  создаваемой ракетным двигателем. Ударом называется явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма  τ τ , происходящее при их столкновениях. В процессе  малый промежуток времени  деформации тел при ударе возникают мгновенные (ударные) силы, величина которых  весьма значительна. Для системы соударяющихся  тел мгновенные силы являются  внутренними силами. Их импульсы за время   продолжительности удара во много раз больше импульсов всех внешних сил, приложенных к системе. Поэтому в процессе удара  влиянием внешних сил можно пренебречь. Удар называется прямым, если скорости центров инерции соударяющихся тел перед  ударом параллельны линии удара. Удар называется центральным, если при ударе центры  инерции соударяющихся тел лежат на линии удара. Пример 1. Центральный абсолютно упругий удар (упругое  столкновение). Ударом называется явление изменения скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. Удар называется абсолютно  упругим, если в результате взаимодействия механическая энергия системы не  изменяется. Удар называется центральным , если скорости тел до удара  направлены вдоль линии, соединяющей центры масс тел. m1 V1 m2 V2 m1 U1 m2 U2 Два шара с массами m1 и  m2  движутся поступательно вдоль  горизонтальной прямой со скоростями V1  и V2 .Требуется определить  скорости шаров U1  и U2  после абсолютно упругого удара. Закон сохранения проекции импульсов на горизонтальную ось запишется m1V1 + m2V2 = m1U1 + m2U2  Закон сохранения энергии 2 Vm 11 2  2 2 Vm 2 2  2 1 1 Um 2  2 2 2 Um 2 Решая совместно эти уравнения, получим (  U 1 1  Vmm ) 1   2 mm 1 2    и     2 Vm 2 2 (  U 2 2  ) Vmm   2 mm 1 1 2 2 Vm 11 Исследуем полученные уравнения с помощью Excel m1 m2 V1 V2 U1 U2 40 10 2 ­ 4,22222 3,77777 8 ­2,8 5,2 ­ 1,63636 ­ 0,66667 0,15384 6 0,85714 3 1,46666 7 6,36363 6 7,33333 3 8,15384 6 8,85714 3 9,46666 7 2 10 2,47058 8 2,88888 9 3,26315 8 10,4705 9 10,8888 9 11,2631 6 3,6 11,6 3,90476 2 4,18181 8 4,43478 3 4,66666 7 11,9047 6 12,1818 2 12,4347 8 12,6666 7 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 В ячейке b3 введена формула  =b2+5, в c2 – m2, d2 – V1, e2 – V2, f2 –  формула                      =((b2­$c$2)*$d$2+2*$c$2*$e$2)/(b2+$c$2),  в ячейки g2 ­ =(($c$2­b2)*$e$2+2*b2*$d$2)/(b2+$c$2). Формулы  размножены до 20 строки. Видно, что если шары имеют одинаковые массы, то в результате упругого  удара обмениваются скоростями. Если второй шар до удара покоился (V2 = 0), то   VU 1 1      и     2 2 U 2  V 1 2 m 1  mm 1 2 mm mm   1 1 m1 m2 V1 V2 U1 U2 40 10 ­ 7,77778 2,22222 2 0 ­6 4 ­ 4,54545 5,45454 5 ­ 3,33333 6,66666 7 ­ 2,30769 7,69230 8 ­ 1,42857 8,57142 9 ­ 0,66667 9,33333 3 0 10 0,58823 5 10,5882 4 1,11111 1 11,1111 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 1,57894 7 11,5789 5 2 12 2,38095 2 12,3809 5 2,72727 3 12,7272 7 3,04347 8 13,0434 8 3,33333 3 13,3333 3 3,6 13,6 3,84615 4 13,8461 5 4,07407 4 14,0740 7 4,28571 4 14,2857 1 При m1> m2   первый шар после удара движется вправо, но с меньшей  скоростью, при  m1 < m2  первый шар движется влево, при равных массах  шары обмениваются скоростью.   Пример 2. Центральный абсолютно неупругий удар (неупругое  столкновение) двух шаров. При абсолютно неупругом ударе между телами  действуют не потенциальные силы, и после удара тела движутся как одно  целое с общей скоростью. Пусть скорости поступательного горизонтального движения шаров с  массами m1 и m2 до удара были соответственно равны V1 и V2 , а после удара  их общая скорость равна U. m1 V1 m2 V2 U X Воспользовавшись законом сохранения импульсов с учетом направления  векторов скорости и оси Х , запишем уравнение m1V1 + m2V2 = (m1 + m2) U.  Откуда                                           U  VmVm 2 11 mm   2 1 2 Кинетическая энергия шаров до удара   , после удара 2 Vm 11 Eo  Vm 2 2 2  2 . Уменьшение механической энергии системы сопровождается  2 (  Ek Umm )  2 1 2 возрастанием внутренней энергии – выделяется тепло  Q = Eo – Ek .  Выражение  S  1 VVmm  2 mm ( 1  2 1   называют ударный импульс. Определим и  ) 2 отношение выделенной энергии к начальной   k  Q 0E Проведем исследование в Excel A 1  B C m1 m2 D V1 E V2 F U G S  2  3 2 20 10 ­12 ­10 40 4       ­ 73,3333 H E0 154 0 164 I Ek J Q K k 1100 440 0,28571 4 833,333 806,666 0,49187 8,3333 3 ­ 6,9230 8 ­ 5,7142 9 3 0 3 7 101,538 5 174 0 623,076 9 1116,92 3 0,64191 125,714 3 184 0 457,142 9 1382,85 7 0,75155 3 6   8           H E0 154 0 164 0 174 0 184 0 194 0 204 0 214 0 224 0 I Ek J Q K k 1100 440 0,28571 4 833,333 3 806,666 7 0,49187 623,076 9 1116,92 3 0,64191 457,142 9 1382,85 7 0,75155 3 326,666 7 1613,33 3 0,83161 5 225 1815 0,88970 6 147,058 8 1992,94 1 0,93128 1 88,8888 9 2151,11 1 0,96031 7 ­ 208,421 234 47,3684 2292,63 0,97975 4  5 6  7  2  3 4  5 6  7  8  9  10  11  12 Проведем исследование в Excel A 1  B C m1 m2 D V1 E V2 F U G S 2 20 10 ­12 ­10 40 ­ 8,33333 73,3333 3 ­ 6,92308 101,538 5 ­ 5,71429 125,714 3 ­ 4,66667 146,666 7 ­3,75 165 ­ 2,94118 181,176 5 ­ 2,22222 195,555 6 4   6   8   10   12   14   16   18 13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25 20   22   24   26   28   30   32   34   36   38   40   42   44                                                       1,57895 1 ­1 220 ­ 0,47619 230,476 2 0 240 0,43478 3 248,695 7 0,83333 3 256,666 7 1,2 264 1,53846 2 270,769 2 1,85185 2 277,037 2,14285 7 282,857 1 2,41379 3 288,275 9 2,66666 7 293,333 3 2,90322 6 298,064 5 3,125 302,5 0 244 0 254 0 264 0 274 0 284 0 294 0 304 0 314 0 324 0 334 0 344 0 354 0 364 0 2 2 7 20 2420 0,99180 3 4,76190 5 2535,23 8 0,99812 5 0 2640 1 4,34782 6 2735,65 2 0,99841 3 16,6666 7 2823,33 3 0,99413 1 36 2904 0,98775 5 61,5384 6 2978,46 2 0,97975 7 92,5925 9 3047,40 7 0,97051 2 128,571 4 3111,42 9 0,96031 7 168,965 5 3171,03 4 0,94941 2 213,333 3 3226,66 7 0,93798 4 261,290 3 3278,71 312,5 3327,5 0,92618 9 0,91414 8 Для определения скорости движения шаров после удара в ячейки столбца F  введена формула: =(B2*$D$2+$C$2*$E$2)/(B2+$C$2). Начальная кинетическая энергия Е0 определяется в столбце  H: =(B2*$D$2^2+$C$2*$E$2^2)/2 Энергия после удара в столбце I : =((B2+$C$2)*F2^2)/2 Внутренняя энергия в столбце J: =H2­I2, коэффициент в K: = (H2­I2)H2      Меняя значения масс  шариков и их скорости, наблюдаем изменения всех  параметров.