Изучение Алгоритма Евклида

 Урок по теме: "Решение задач с помощью систем уравнений и систем неравенств

Цели урока:

·         закрепление и углубление материала в процессе решения различных задач по теме;

·         обеспечение сознательного усвоения материала;

·         развитие интереса к предмету через игровые формы работы;

·         обучение умению слушая слышать, видеть, давать обоснование различным математическим фактам;

·         обучение умению работать в группе.

Форма проведения урока: урок-проект создания нового города.

Оформление кабинета: особым образом расставлены столы для работы в группах (количество групп – 4). На доске – плакат, на котором по мере решения и обсуждения задач, будет появляться проект города.

Ход урока

План урока

1.      Вступительное слово учителя.

2.      Получение знаний.

3.      Работа в группах.

4.      Обсуждение задач, выдвижение идей для проекта.

5.      Подведение итогов.

1. Вступительное слово учителя, обозначение цели работы

2, 3. Работа в группах (в классе 4 группы по 5-6 человек)

Тексты задач

1        КОМАНДА

При строительстве дома необходимо вырыть котлован. Два экскаватора должны были выполнить всю работу за 3 ч 36 мин. Однако, первый приступил к работе тогда, когда второй уже вырыл треть котлована и перестал работать. В результате котлован был готов через 8 ч. За сколько часов каждый экскаватор может вырыть котлован, работая отдельно?

___________________________________________________________________________________

2 КОМАНДА

На строительной базе имеются детали двух видов, из которых можно собрать три типа домов. Для сборки 6-квартирного дома необходимо 30 деталей первого и 40 деталей второго вида. Для 10-квартирного дома требуется 40 и 60 деталей, а для 14-квартирного дома требуется 90 и 120 деталей первого и второго видов соответственно. Всего вам выдали 600 деталей первого вида и 800 деталей второго вида. Сколько и каких домов нужно простроить, чтобы общее количество квартир было наибольшим?

________________________________________________________________________________

3        КОМАНДА

Из лицея № 10 в город N выехала команда участников областной олимпиады. Расстояние между городами 120 км. В дороге обнаружили, что забыли важный документ. Через 1 ч из Одинцова выехал курьер, который догнал команду и, передав документы, немедленно двинулся обратно. Курьер возвратился в лицей в тот момент, когда команда приехала в город N. С какой скоростью двигалась команда (считая её постоянной на всём пути следования), если скорость курьера 50 км/ч?

_________________________________________________________________________

4 КОМАНДА

В рамках проекта „Экополис Одинцовский“ вам необходимо озеленить микрорайон. Для посадки цветочных клумб вам нужна рассада. В питомнике рассада астры стоит 27 руб., а бархатцев – 23 рубля. На покупку цветов можно затратить не более 940 руб. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество астр и бархатцев. При этом астр нужно закупить как можно меньше, но число бархатцев не должно отличаться от числа астр более, чем на 10. Сколько цветов каждого вида следует закупить при указанных условиях?

4. Обсуждение задач, выдвижение идей для проекта

Решения задач

1. Обозначим:

x – скорость работы I экскаватора 
у – скорость работы II экскаватора

Составляем систему уравнений:

Решая уравнение (2), приходим к квадратному уравнению: 432y² – 102y + 5 = 0, 
корни которого: y₁ = 1/6; y₂ = 5/72.

Если y = 1/6, то x = 1/9, тогда t₁ = 9ч, t₂ = 6ч.

2. Обозначим:

x – 6-квартирных домов 
у – 10-квартирных домов,
z – 14-квартирных домов.

Составляем систему неравенств:

Умножим (2) неравенство на 5, получим 20x + 30y + 60z 400.

Обозначим N = 6x + 10y + +14z – общее число квартир.

Тогда 30y = 3(6x + 10y + 14z) – 18x – 42z = 3N –18x – 42z.

Получаем: 20x + 3N – 18x –42z + 60z 400

значит N 132.

При x = 2, y = 12, z = 0, выражение 6x + 10y + 14z = 132, т.е. N = 132.

Ответ: 2 – 6-квартирных дома; 12 – 10-квартирных домов; 0 – 14-квартирных домов.

3. Обозначим:

x км/ч – скорость команды; 
y км – расстояние от места встречи до города N

Получим систему уравнений:

Выразив x = 120 – 2у, получили квадратное уравнение 2y² – 410y + 11400 = 0.

y₁ = 160 (не удовлетворяет, т.к. y < 120); y₂ = 45. При y = 45, х = 30.

Ответ: 30 км/ч.

4.

Пусть х – количество астр; 
y – количество бархатцев.

Получили систему неравенств:

Построим графики уравнений 27х + 23y = 940  и y – x = 10

Графики пересекаются в точке А, координаты (х; у) которой удовлетворяют системе уравнений:

Но, т.к. х и у – натуральные числа, то х = 14, у = 24.

Ответ: 14 астр, 24 бархатцев.

Обсуждая решения рассматриваемых задач, учащиеся высказывали свои идеи, предлагали другие способы решения. В результате была названа задача (у нас – это была задача № 4), понравившаяся своим необычным и красивым решением.

5. Подведение итогов работы

В конце урока работа каждой группы была оценена, а на доске появился проект современного города, который хотели бы видеть учащиеся.