Обратное интерполирование

обратное интерполирование яя ия  интерпол рование Интерпол ция, нахождения промежуточных значений величины по  имеющемуся дискретному набору известных значений.  — в вычислительной математике способ  В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет  собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы  некоторойкатегории. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами,  часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём  или методомслучайной выборки. Как правило, на основании этих наборов  требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью  попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой  кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных. Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в  аппроксимации какой­либо сложной функции другой, более простой функцией.  Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений,  можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним  построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется,  использование упрощенной функции не позволяет получить такие же  точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых  классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может  перевесить получаемую погрешность в результатах. Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической  интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К  классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема  Рисса   theorem), являющиеся основой для множества других работ.     — Торина (Riesz­Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz  Обратное интерполирование Вернемся к рассмотрению задачи интерполяции без кратных узлов. Пусть на отрезке  определена и обратима функция  точках  значения   функция   должны быть попарно различны и должна существовать обратная   имеет ту же   в   обратима на отрезке  . Таким образом, обратная функция  и известны ее значения   Так как функция   такая, что  , все ее    , только значения аргумента и значения  самую таблицу значений, что и функция  функции меняются местами. Это и понятно, ведь графики уравнений  совпадают. В параграфах 4.1 и 4.2 по заданной таблице значений функции  интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Точно так же по  известной таблице значений обратной функции построим интерполяционный многочлен  (например, в форме Ньютона)  построен   и    .   (4.4.1) Этот многочлен, очевидно, будет удовлетворять условиям интерполяции                     (4.4.2) Процесс построения этого многочлена получил название обратного интерполирования. Если прямое интерполирование используется для построения приближения функции  то обратное интерполирование используется для приближения обратной функции  качестве такого приближения при обратном интерполировании обычно выступает  интерполяционный многочлен  . Рассмотрим характерный пример  использования таких приближений. С помощью обратной интерполяции можно  получать  итерационные методы решения уравнений с одним неизвестным. Рассмотрим уравнение , . В                                        (4.4.3)  ­ искомый корень этого уравнения, локализованный (отделенный) на  . Если функция   обратима на отрезке  , то должна существовать  Пусть  отрезке  обратная функция   такая, что .                                         (4.4.4) Заменяя в формуле (4.4.4) точное значение обратной функции  значением  , получим приближенное значение корня уравнения  приближенным  .                                        (4.4.5) Используем формулу (4.4.5) для получения итерационных формул. Будем считать, что  известны два начальных приближения искомого корня  функции в этих точках  интерполяционный многочлен для обратной функции и запишем его в форме Лагранжа . Построим по этим значениям   и   и   и известны значения  . В качестве следующего приближения   выберем значение этого многочлена в нуле . Таким образом, мы получили итерационную формулу метода хорд. Аналогично можно  получить множество разных других итерационных формул.  Выбор узлов интерполирования   На практике ИФН обрывается на членах, содержащих разности в пределах заданной  точности. В этом случае остаточный член да 2инф: ­ 2ИФН (1) ­ 1ИФН (2) ­ Лагранж (3) Анализируя погрешности интерполяционных формул, можно сделать следующий вывод: 1. Остаточные члены зависят от выбора узлов интерполирования: (1) и (2) =  (2)  2. В первых двух формулах видоизменить что­либо сложно, ибо само условие означает  равноотстоящие узлы. 3. В формуле Лагранжа можно выбирать узлы. При неудачном выборе узлов  интерполирования погрешность  может быть очень большой. если сконцетрировать около одного из концов, то  Рациональный вывод узлов, чтобы полином  значение по абсолютной величине на отрезке  на  . имел наименьшее максимальное  => “наименее отклонился от шрся  Эта задача решима русским математиком Чебышевым где  ,  => это узлы Полином Чебышева  Эти узлы неравноотстоящие, а сгущаются около концов отрезка.   Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по функции  найти  значение аргумента  . Предположим, что  Заменяя  интерполяционным полиномом Ньютона, имеем: монотонна и значение  содержится между  и  . ð  . , где  число шагов, необходимых для достижения точки  , исходя из точки  За начальное приближение принимаем: Применяя метод итерации, получим: Итерационный процесс, останавливается, когда и тогда  =>  Пример: Задано  . Определить  с точностью      Горизонтальная таблица разностей:   x y y 2y 3y Þ  Тогда . Оценка погрешностей результатов измерения 3.1. Введение В предыдущем разделе сформулировано определение измерения как результата  сопоставления измеряемой физической величины с известной величиной, принятой за  единицу. В этой главе мы более подробно остановимся на конкретных причинах, влияющих на  перечисленные категории, опираясь на основные выводы теории погрешностей. Любой процесс сопоставления меры с измеряемым объектом никогда не может быть  идеальным в том смысле, что процедура, повторенная несколько раз, обязательно даст  различные результаты. Поэтому, с одной стороны, невозможно в процессе измерения  сразу получить истинное значение измеряемой величины, и, с другой стороны, результаты  любых двух повторных измерений будут отличаться друг от друга. Причины расхождений могут быть самыми разнообразными, но условно их можно разделить на две группы. Первая группа расхождений результатов измерения ­ возможные изменения свойств  самого измеряемого объекта. Например, при измерении длины размер предмета может  измениться под действием температуры ­ хорошо известное свойство тел расширяться  или уменьшаться при изменении температуры. В других видах измерения встречается та  же самая ситуация, т. е. под влиянием температуры может измениться давление в  замкнутом объеме газа, может измениться сопротивление проводника, коэффициент  отражения поверхности и т. д. Вторая группа расхождений ­ несовершенство средств измерений, несовершенство  методики измерений или недостаточная квалификация и тщательность работы оператора.  Этот тезис достаточно очевиден, тем не менее, оценивая погрешности измерений, нередко забывают о том, что эти факторы нужно учитывать в комплексе. Измерительная практика  показывает, что грубым прибором можно получить достаточно близкие к истинным  значениям результаты за счет совершенствования методики или искусства оператора. И  наоборот, самый точный прибор даст ошибочные результаты, если в процессе измерения  не соблюдаются предпосылки реализации метода. В качестве примера можно привести взвешивание на безмене ­двухплечевом рычаге с  грузом на одном конце и с измеряемой массой на другом конце. Это средство измерения  само по себе весьма примитивно, но если его тщательно отградуировать и выполнить  многоразовые измерения желаемой величины, то результат может оказаться достаточно  точным. Примером противоположного плана является измерения состава какого­либо  вещества. Если мы захотим измерить содержание хлора в воде или двуокиси серы в  дымовом газе и не будем следовать установленной опытом методике, то самый точный  анализатор даст неверный результат, т. к. состав пробы за время транспортировки может  сильно измениться. Учитывая факторы обеих групп, невозможно получить абсолютно точно значение  измеряемой физической величины. Во всех реальных ситуациях этого и ненужно. В  измерительной технике существует критерий достаточности, то есть расхождение между  результатом измерения и истинным значением всегда определяется конкретной задачей.  Нет смысла, например, измерять климатические параметры в помещении с точностью  лучше 1%. С другой стороны, при воспроизведении единиц длины такая точность явно не  обеспечит необходимых требований. Нужно в такого рода оценках учитывать более высокую стоимость более точного  прибора, большую громоздкость, более высокое энергопотребление, меньшую  экспрессность измерений и т.д. и т.п. И, естественно, нужно всегда помнить, что  измерения сами по себе никогда не проводят ради самих измерений. Они всегда имеют  подчиненный характер, т. е. выполняются для того чтобы затем совершить какие­либо  действия. Даже если прибор фиксирует отсутствие необходимости что­либо делать, это  само по себе является целью измерения. Например, с установлением температуры тела  человека в 36,6°С достигнута определенная цель ­ никаких действий к изменению  температуры принимать не надо. Подчиненный характер измерений не умаляет их важность во всей жизнедеятельности  человека. Достаточно сказать, что великие открытия современности, такие как термоядерные реакции или лазеры, в основе своей имели тщательные измерения свойств  атомов и характеристик их взаимодействия. В технике деятельность вообще немыслима  без измерений. Разброс результатов однократных измерений одной и той же величины, связанных либо с  изменениями свойств измеряемого объекта, либо с неидеальностью процедуры измерения, заставляет относиться к получению каждого конкретного результата как к процессу  вероятностному. Соответственно, к описанию и расчету погрешностей становится  применима теория вероятности, а статистика становится неотъемлемым элементом  процедуры оценки точности измерений при оценке погрешностей. Рассматривая последовательно виды погрешностей и способы их минимизации, повторим  определение погрешности. «Погрешность измерения есть разница Д между результатом измерения Х и  действительным значением этой величины, под которым подразумевается ее значение,  найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному Q, что для  данной цели оно может быть использовано вместо него», т. е.  (3.1) Погрешности измерения, связанные с непостоянством размера измеряемого объекта и с  несовершенством средств измерения, можно объединить в две группы. 1. Погрешности, связанные с факторами, которые изменяются при повторных  измерениях хаотически, носят нерегулярный характер и их трудно предвидеть.  Такие погрешности называются случайными. Иногда подобные изменения могут  проявиться очень сильно, например при резком однократном изменении напряжения питания прибора. В этом случае погрешность значительно превышает границы,  определяемые ходом процесса измерений в целом и ее называют грубой  погрешностью или промахом. 2. Погрешности, определяемые факторами либо постоянно искажающими результат  измерения, либо постоянно изменяющимися в процессе измерения называются  систематическими погрешностями. Эти погрешности непросто определить, если их  значение меньше или сопоставимо со случайными погрешностями. Для выявления и учета систематических погрешностей существует определенный набор  приемов и методов, которые будут рассмотрены в специальном разделе. Обозначим случайные погрешности как  погрешность Δ можно представить как σ  (3.2) , систематические как  . Суммарную  Θ Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величины,  проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной и затем проводят  математическую обработку массива данных. В большинстве случаев проводят анализ  результатов путем построения графика зависимости погрешности Δ от номера  наблюдения, выстраивая такие номера как функцию времени наблюдения, или в порядке  возрастания погрешности. Рассмотрим подробнее зависимость результата измерения от  времени. В этом случае погрешность Δ является случайной функцией времени, которая отличается  от классических функций математического анализа тем, что нельзя точно сказать, какое  значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятность появления ее  значений в том или ином временном интервале. В серии экспериментов, состоящих из  ряда последовательных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции (рис.  3.1) . При повторении серии измерений, мы получаем новую реализацию, отличающуюся от  первой. Реализации отличаются из­за влияния факторов появления случайной погрешности, а  факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для  каждого момента времени t, для всех реализации. Погрешность измерений,  соответствующая каждому моменту времени ti , называется сечением случайной функции  Δ(t). В каждом сечении можно найти среднее значение, одинаковое для всех реализации.  Очевидно, что эта составляющая и определит систематическую погрешность  через значения  характеризовать временную тенденцию изменения погрешности. . Если   для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет  Θ Θ Отклонения значений конкретных реализации от среднего значения для момента времени t дадут значения случайной погрешности σi . Эти отклонения оказываются разными для  разных реализации. Последние являются уже представителями случайных величин, т. е.   + σ объектов изучения теории вероятности. Таким образом, имеет место равенство: Δ =  .Θ Здесь индекс i означает принадлежность к измерениям в i момент времени, а индекс j ­  принадлежность k j реализации. Вернемся теперь к основным категориям и понятиям  теории погрешностей.  Точность измерений ­ понятие, характеризующее качество измерений. Чем выше  точность, тем меньше и систематическая и случайная погрешность. Иногда классточности измерительного прибора выражают как погрешность, отнесенную к концу шкалы, т. е.  (3.3) где Х ­ абсолютное значение измеряемой величины, отнесенное к концу шкалы. Правильность измерений характеризует либо отсутствие, либо малость  систематической погрешности, т. е. случай, когда  (3.4) Воспроизводимость измерений характеризует малость случайной погрешности при  повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях одним и тем же  методом, т. е.  (3.5) Сходимость измерений характеризует близость друг к другу результатов измерений,  выполненных в различных условиях, различными методами, различным и экземплярам и  однотипных приборов, на различных типах приборов. Достоверность результата измерений определяется с использованием  теории  вероятности и характеризует вероятность показания результата однократного измерения  в наперед заданный интервал отклонений результата от истинного или от действительного значения измеряемой величины. Поскольку оценка вероятности дается не с безусловной  100% достоверностью, эта категория характеризует степень доверия к результатам  измерения. Грамотное использование категорий теории погрешности дает возможность для каждого  конкретного случая выбрать средства и методы измерения, обеспечивающие получение  результата, погрешности которого не превышают заданных границ с заданной  вероятностью. Определение случайной, систематической и общей погрешности дают возможность  составить представление о том, какие значащие цифры в конечном значении  действительного значения измеряемой величины являются существенными, т. е. содержат полезную информацию о точности измерений, а какие значащие цифры в записи  результата являются излишними. В большинстве случаев при записи действительного  значения результата измерений ограничиваются записью одной значащей цифрой того  разряда, которому соответствует погрешность измерений. Например, результат Х=1,  00781 ± 0,001 имеет смысл записывать как Х= 1,008 ± 0,001, поскольку пятая цифра  после запятой вообще информации об измеренной величине не несет, а значение третьей  цифры должно быть округлено до 8. При округлении пользуются правилом, что если  первая из заменяемых цифр равна или больше 5, остающаяся цифра увеличивается на  единицу. Если эта цифра меньше 5, то она при записи отбрасывается. Приведенный ниже  пример демонстрирует правила округления результата. а)  б)  в)  Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями,  то нули отбрасываются только до того значения, которое соответствует разряду  погрешности, т. е.: 3.2. Систематические погрешности Систематические погрешности не изменяются при увеличении числа измерений,  поскольку согласно определению остаются постоянными или изменяются по  определенному закону в процессе измерения. Систематические погрешности могут быть  выявлены на основе теоретических оценок результатов, путем сопоставления результатов, полученных разными методами, на разных приборах. Имеются возможности определить  систематические погрешности путем тщательного исследования средства или метода  измерений путем построения зависимости результатов от какого­либо изменяющегося  параметра, например времени, климатических условий, электромагнитных полей, напряжения питания и т.д. В ряде случаев необходимо выполнить большой объем  исследовательской работы для того, чтобы выявить условия, создающие систематические  погрешности и, соответственно, представить либо график, либо таблицу поправок, либо  определить аналитическую зависимость систематической погрешности от какого­либо  параметра. На результат измерения влияют несколько факторов, каждый из которых вызывает свою  систематическую погрешность. В этом случае выявление аналитического вида  погрешности значительно усложняется, приходится проводить трудоемкие тщательные  исследования, которые иногда оканчиваются неудачей. Тем не менее, необнаруженная  систематическая погрешность опаснее случайной, т.к. последняя может быть  минимизирована соответствующей методикой измерения, а систематическая  невыявленная погрешность исказит результат непредсказуемо. Особую категорию систематических погрешностей составляют измеренные с  недостаточной точностью фундаментальные и физические константы, используемые в  процессе измерения. То же самое относится к неточностям в стандартных справочных  данных, или к недостаточно точной аттестации стандартных образцов. Появление более  точных справочных данных требует пересчета результатов всех измерений с их  использованием, или переградуировки шкал приборов. Например, получение более  точных данных о давлении насыщающих паров индивидуальных веществ может привести к необходимости переградуировки термометров, манометров, приборов для измерения  концентраций и т. д. Уточнения  постоянной Авогадро приводят к переградуировке шкал всех приборов в  физико­химических измерениях. Новые исследования свойств воды могут изменить  результаты измерения огромного числа приборов, т. к. на этих постоянных строится  температурная шкала, шкала плотности, шкала вязкости. Рассмотрим группы систематических погрешностей, отличающихся одна от другой  причиной возникновения. В основном различают следующие группы: 1. Инструментальные погрешности, связанные с несовершенством конструкции  прибора, неправильностью технологии его изготовления. 2. Погрешности внешних влияний. Особенно часто в измерительной практике  приходится сталкиваться с влиянием климатических условий ­ температуры,  давления, влажности. Кроме того, весьма распространенным источником такого  рода погрешностей является влияние внешних электромагнитных полей и  изменения в напряжении сети питания измерительных приборов. 3. Погрешности метода измерения. Этот вид погрешности может быть связан как с  неточностью знания свойства объекта измерения, так и с одинаковым влиянием  разных факторов на датчик измерительного прибора. Сюда же можно отнести  погрешности пробоподготовки в определении состава веществ и материалов. 4. Субъективные погрешности, связанные либо с недостаточным вниманием, либо с  невысокой квалификацией персонала, обслуживающего прибор. Особенно большое  значение этот вид погрешности имеет при пользовании приборами с визуальным  отсчетом. Большая часть промахов также может быть связана с субъективными  погрешностями. Инструментальная погрешность  Инструментальная погрешность ­ это составляющая погрешности, зависящая от  погрешности (класса точности) средства измерения. Такие погрешности могут быть  выявлены либо теоретически на основании механического, электрического, теплового,  оптического расчета конструкции прибора, либо опытным путем на основе контроля его  показаний по образцовым мерам, по стандартным образцам, а также компарированием  показаний прибора с аналогичными измерениями на других приборах. Инструментальные погрешности, присущие конструкции прибора, могут быть легко  выявлены из рассмотрения кинематической, электрической или оптической схемы.  Например, взвешивание на весах с коромыслом обязательно содержит погрешность,  связанную с неравенством длин коромысла от точек подвеса чашек до средней точки  опоры коромысла. В электрических измерениях на переменном токе обязательно будут  погрешности от сдвига фаз, который появляется в любой электрической цепи. В  оптических приборах наиболее частыми источниками систематической погрешности  являются аберрации оптических систем и явления параллакса. Общим источником  погрешностей в большинстве приборов является трение и связанные с ним наличие  люфтов, мертвого хода, свободного хода, проскальзывания. Способы устранения или учета инструментальных погрешностей достаточно хорошо  известны для каждого типа прибора. В метрологии процедуры аттестации или испытаний  часто включают в себя исследования инструментальных погрешностей. В ряде случаев  инструментальную погрешность можно учесть и устранить за счет методики измерений.  Например, неравноплечесть весов можно установить, поменяв местами объект и гири.  Аналогичные приемы существуют практически во всех видах измерения. Инструментальные погрешности, часто связанные с несовершенством технологии  изготовления измерительного прибора. Особенно это касается серийных приборов, выпускаемых большими партиями. При сборке может иметь место отличие в сигналах с  датчиков, отличие в установке шкал. Подвижные части приборов могут собираться с  разным натягом, механические детали могут иметь разные значения допусков и посадок  даже в пределах установленной нормы. В оптических приборах огромное значение имеет  качество сборки или юстировка оптической измерительной системы. Современные  оптические приборы могут иметь десятки и сотни сборочных единиц, а допуски при  сборке составляют дол и длины волны оптического излучения (  = 0,4 ­ 0,7 мкм). λ Методы выявления таких погрешностей чаще всего состоят в индивидуальной  градуировке измерительного прибора по образцовым мерам или по образцовым приборам. В современных приборах коррекция показаний может быть выполнена не только  переградуировкой шкалы, но и коррекцией электрического сигнала или компьютерной  обработкой результата. Естественно, что во всех случаях коррекции должно  предшествовать исследование показаний прибора. Инструментальные погрешности, связанные с износом или старением средства измерения,  имеют определенные характерные особенности. Процесс износа, как правило,  проявляется в погрешностях измерения постепенно. Изменяются зазоры в сопрягаемых  деталях, соприкасающиеся поверхности покрываются коррозией, изменяются упругости  пружин и т. д. Изменяется масса гирь, уменьшаются размеры образцовых мер, изменяются электрические и физико­химические свойства узлов и деталей приборов, и все это  приводит к изменению показаний приборов. Старение приборов ­ это, как правило,  следствие изменений структуры материалов, из которых сделан прибор. Изменяются не  только механические характеристики, но и электрические, оптические, физико­ химические. Стареют металлы и сплавы, изменяя исходную намагниченность, стареет  оптика, приобретая дополнительное светорассеяние или центры окраски, стареют датчики состава веществ. Последнее хорошо известно тем, кто профессионально работал с  химреактивами, которые могут сорбировать воду, реагировать с окружающей средой и с  примесями. Использование химических веществ в измерительной технике всегда  необходимо с учетом срока годности реактива. Устранение погрешностей приборов от старения или износа, как правило, проводится по  результатам поверки, когда устанавливается погрешность по истечении какого­либо  длительного времени хранения или эксплуатации. В ряде случаев достаточно почистить  прибор, но иногда требуется ремонт или перекалибровка шкалы. Например, при  появлении систематических погрешностей во взвешивании на весах удается вернуть им  работоспособность обычным техническим обслуживанием ­ регулировкой и смазкой. При  более серьезном старении приходится переполировывать трущиеся детали или заменять  сопрягаемые детали. Особенно важно выявить систематическую погрешность у приборов, предназначенных для поверки средств измерений ­ у образцовых приборов. Как правило, на образцовых  приборах выполняется меньший объем работы, чем на рабочих приборах, и по этой  причине систематический временной «уход» показаний может не так наглядно  проявляться. Вместе с тем невыявленная в образцовых приборах погрешность передается  другим приборам, которые по данному образцовому прибору поверяются. С целью уменьшения влияния процессов старения на измерительную технику в ряде  случаев прибегают к искусственному старению наиболее ответственных узлов. У  оптических приборов ­ рефрактометров, интерферометров, гониометров ­ старение  проявляется часто в том, что несущие конструкции «ведет», т. е. они изменяют форму,  особенно в тех местах, где есть сварка или обработка металла резанием. Для того чтобы  свести к минимуму влияние такого старения, готовые узлы выдерживаются какое­то  время в жестких климатических условиях или в специальных камерах, где процесс  старения можно ускорить, изменив температуру, давление или влажность. Отдельное место в инструментальных погрешностях занимает неправильная установка и  исходная регулировка средства измерения. Многие приборы имеют встроенные указатели  уровня. Это значит, что перед измерением нужно отгоризонтировать прибор. Причем,  такие требования предъявляются не только к средствам измерений высокой точности, но  и к рутинным приборам массового использования. Например, неправильно установленные  весы будут систематически «обвешивать» покупателя, на гониометре невозможно  работать без тщательного горизонтирования отсчетного устройства. В приборах для  измерения магнитного поля весьма существенным может оказаться ориентация его  относительно силовых линий поля Земли. Озонометры нужно очень тщательно  ориентировать по Солнцу. Многие приборы требуют установки по уровню или по отвесу.  Если двухплечие весы не установлены горизонтально, нарушаются соотношения длин  между коромыслами. Если маятниковые механизмы или грузопоршневые манометры  установлены не по отвесу, то показания таких приборов будут сильно отличаться от  истинных. Погрешности, возникающие вследствие внешних влияний Под категорией  погрешностей, возникающих вследствие внешних влияний, обычно  понимают изменение показаний приборов под воздействием температуры, влажности и  давления. Тем не менее, это лишь часть причин, приводящих к появлению  систематических погрешностей. Сюда же следует отнести влияние вибраций, постоянных  и переменных ускорений, влияние электромагнитного поля и различных излучений:  рентгеновского, ультрафиолетового, ионизирующих излучений, гамма­излучения. По мере развития техники и науки появилась возможность и необходимость проводить измерения  в нестандартных условиях, например в Космосе или внутри подводной лодки.  Специфичность условий измерения может доходить до высших категорий, если ставить  задачу измерения погодных условий на Марсе или на Венере. Такие же особенности могут иметь место в реальных жизненно важных для нас ситуациях. Если речь идет о контроле  параметров ядерного реактора, то условия, в которых работает измерительный прибор,  могут значительно отличаться от стандартных. Влияние  температуры ­ наиболее распространенный источник погрешности при  измерениях. Поскольку от температуры зависит длина тел, сопротивление проводников,  объем определенного количества газа, давление насыщенного пара индивидуальных  веществ, то сигналы со всех видов датчиков, где используются упомянутые физические  явления, будут изменяться с изменением температуры. Существенно, что сигнал сдатчика  не только зависит от абсолютного значения температуры, но от градиента температуры в  том месте, где расположен датчик. Еще одна из причин появления «температурной»  систематической погрешности ­ это изменение температуры в процессе измерения.  Указанные причины существенны при косвенных измерениях, т. е. в тех случаях, когда нет необходимости измерять температуру как физическую величину. Тем не менее в  собственно температурных измерениях необходимо тщательно исследовать показания  приборов в различных температурных интервалах. Например, результаты измерения  теплоемкости, теплопроводности, теплотворной способности топлива могут сильно  искажаться от различного рода температурных воздействий. Учитывая большое влияние температуры на физические свойства материалов и,  соответственно, на показания приборов, особое внимание следует обращать на  температурные условия в тех комнатах, лабораториях и зданиях, где проводятся  градуировочнные или поверочные работы. Здесь необходимо тщательно следить за  отсутствием тепловых потоков, градиентов температуры, однородностью температуры  окружающей среды и измерительного прибора. Для того чтобы избежать влияния этих  факторов на измерения, приборы длительное время выдерживают в термостатированном  помещении, прежде чем начинать какие­либо работы. Для особо точных измерений иногда используют дистанционные манипуляторы, чтобы исключить тепловые помехи,  создаваемые операторами. Для большинства приборов при испытаниях на право серийного выпуска программа  испытаний обязательно содержит исследование показаний прибора (одного или  нескольких образцов) в зависимости от температуры. Влияние магнитных или электрических полей сказывается не только на средствах  измерения электромагнитных величин. В зависимости от принципа действия прибора  наведенная ЭДС или токи Фуко могут исказить показания любого датчика, выходным  сигналом которого служит напряжение, ток, сопротивление или электрическая емкость.  Таких приборов существует великое множество, особенно в тех случаях, когда приборы  имеют цифровой выход. Аналогово­цифровые преобразователи иногда начинают  регистрировать сигналы радиочастотных или еще каких­либо электрических полей. Очень часто электромагнитные помехи попадают в прибор по сети питания. Выяснить причины  появления таких ложных сигналов, научиться вводить поправки в измерения при наличии  электромагнитных помех ­ это одна из важных проблем метрологии и измерительной  техники. Особенно важен рассматриваемый фактор появления систематических погрешностей в  больших городах, где хорошо поставлена связь, телевидение, радиовещание и т.п. Уровень электромагнитного излучения бывает настолько высоким, что, например, вблизи мощного  телецентра может загореться низковольтная лампочка, если ее соединить с проволочным  контуром без источника питания. Тот же эффект можно наблюдать в зоне действия  радиолокаторов вблизи какого­либо аэропорта. О том, что этот фактор может  существенно влиять на показания измерительных приборов, свидетельствует тот факт,  что буквально за последние несколько лет появились возможности уверенной  радиотелефонной связи, а также уверенного приема спутникового телевидения. Это  означает, что уровень сигнала в окружающем нас пространстве достаточно высок и легко  регистрируется соответствующей техникой. Этот же сигнал будет накладываться на  сигналы, поступающие с датчиков измерительных приборов. Еще один интересный случай появления систематических погрешностей при измерениях  связан с измерительными приборами на кораблях. Много лет назад опытными  мореплавателями было установлено, что если корабль идет долгое время курсом «норд»  или «зюйд» некоторые приборы начинают показывать неверные результаты, т. е.  приобретают какую­то систематическую погрешность. Причина этого была выяснена  довольно точно: корабль намагничивается от магнитного поля Земли и при дальнейшем  изменении курса сохраняет остаточную намагниченность. В наше время это хорошо  исследованный эффект. Во время мировой войны суда специально размагничивали, чтобы  избежать срабатывания магнитных мин. Сейчас в ряде стран, в том числе и у нас, созданы  корабли науки, которые либо делаются из немагнитных материалов, либо персонал  тщательно следит за намагниченностью корпуса. Такие суда осуществляют дальнюю и  космическую связь, занимаются экологическими измерениями, исследуют озоновый слой Земли, исследуют прохождения радиоволн и выполняют еще целый ряд необходимых  функций. Влияние второго климатического фактора ­ давления ­ распространяется на несколько  более узкий круг измерений, чем температура, но существует целый ряд очень важных  видов измерения, где данные об атмосферном или внешнем давлении практически  определяют уровень точности измерений. Так же, как в предыдущем случае, имеет смысл  отдельно рассматривать собственно показания датчиков в других видах измерения.  Многие типы манометров по сути своей являются дифференциальными, т. е. измеряют  разность давлений между двумя различными точками какой­либо системы. В этом случае  любая погрешность определения абсолютной величины давления в той точке,  относительно которой измеряется давление, аддитивно накладывается на результат  измерения. Влияние давления на сигналы датчиков очень существенны в рефрактометрии ­ измерении показателя преломления ­ воздуха и газов. Это относится собственно к измерениям  рефракции, а также к измерениям с использованием соответствующих датчиков,  например при измерении концентрации газов и газовых смесей. От изменения давления  меняется не только показатель преломления газа, но и другие характеристики, такие как  диэлектрическая постоянная. Соответственно, может измениться сигнал с любого  емкостного датчика. В измерении массы информация о давлении весьма существенна в связи с тем, что при  точных измерениях массы основной вклад в систематическую погрешность дает  архимедова сила, выталкивающая гирю. Силы Архимеда зависят от плотности среды  (плотности воздуха) и, следовательно, непосредственно зависят от давления, поскольку  число молекул газа в единице объема  (3.6) где n0 ­ постоянная, называемая числом Лошмита; р ­ давление; Т ­ температура; a p0 и T0 ­ нормальные значения давления и температуры.  (3.7) В метрологических справочниках всегда можно найти данные о поправках, которые  необходимо ввести при взвешивании для учета  силы Архимеда. Нетрудно показать, что  выталкивающая сила, действующая на гирю, выражается формулой  (3.8) ρ ρT ­ плотность материала взвешиваемого тела; mT ­ масса тела.   ­ плотность воздуха;  где  Масса взвешиваемого тела будет равна:  (3.9) где ρГ ­ плотность материала гири. Если плотность воздуха считать много меньшей  плотности материалов тела и гири, то массу взвешиваемого тела можно выразить через  действительную массу гири плюс некоторая поправка на силу Архимеда  (3.10) Из приведенныхформул следует, что при взвешивании гирями из материала большой  плотности систематическая погрешность от силы Архимеда меньше, чем при взвешивании гирями из легкого материала. В табл. 3.1 представлены поправки на силы Архимеда,  которые необходимо учитывать при взвешивании для тела массой 100 г. Таблица 3.1 Поправки на силы Архимеда, которые нужно делать при взвешивании гирями для тела массой 100 г. Плотность материала  взвешиваемого тела, г/см3 Поправка на силу  Архимеда (mr* ), мг ε 0,5 1 1,5 2 4 230 100 70 50 15 6 6 8 0,7 Отдельно следует рассматривать систематические погрешности при измерении давления в условиях вакуума. Здесь наиболее существенным источником погрешностей является  селективность процесса откачивания воздуха насосами с различными принципами  действия. Этот вопрос очень сложен с точки зрения анализа физической сущности  процесса вакуумирования. Насосы ротационные, сорбционные, магниторазрядные, турбо­ молекулярные создают совершенно разный состав остаточных газов. В итоге в каждом  отдельном случае при оценке погрешностей измерения  вакуума нужно анализировать  совместные искажения, вносимые в состав остаточного газа насосом, и искажения,  вносимые тем или иным датчиком давления. В ряде случаев для прояснения картины  недостаточна даже дополнительная калибровка, т. к. создать достаточно точно ту среду  по составу, в которой будет работать датчик, очень трудно. Проблема создания вакуума и измерения давления остаточного вакуума является одной  из ключевых проблем современной техники и науки. Уверенно можно утверждать, что  уровень вакуумной техники определяет уровень многих технологий, например технологии изготовления микросхем и микросборок. То же самое относится к наукоемким видам измерения ­  масс­спектометрии или ЯМР  спектометрии. Все метрологические категории этих видов измерения напрямую зависят  от того, насколько «чистый» вакуум удается создать и с какой точностью удается этот  вакуум измерить. Третий климатический фактор, вносящий систематические погрешности во многие  измерения, ­ это влажность, т. е. содержание молекул воды в том или ином месте  расположения измерительного прибора. При оценке такой погрешности можно  рассматривать гигрометрию как вид измерения, т. е. возможные систематические  погрешности в измерении влагосодержания (абсолютная влажность) и Благосостояния  (относительная влажность). Можно также оценивать погрешность как следствие влияния  влаги на показания других типов приборов. Например, наличие влаги изменяет  проводимость или емкость электрических элементов датчиков. Влага ухудшает  изоляционные свойства материалов, вызывая токи утечки. Влага изменяет структуру  многих химических соединений, трансформируясь из свободной влаги в  кристаллизационную и обратно. С учетом этого становится очевидным всеобъемлющий характер учета влажности при  оценке систематических погрешностей. На эти трудности накладываются еще неоднозначности в выражении измеряемых в  гигрометрии величин и единиц. По одной из версий исходным моментом в гигрометрии  является упругость насыщенного водяного пара при фиксированной температуре. В этом  случае любое уточнение термодинамических свойств воды должно привести к пересчету  всех результатов измерений. По другой версии исходным моментом в  гигрометрии  должно являться число молекул воды в единице объема. Эти измерения наиболее точно  выполняются радиочастотными методами, возможности которых и определяют  погрешности гигрометрии. Вся проблема влияния влажности на систематические погрешности в измерениях  обозначена во многих странах и международных организациях как одна из наиболее  существенных. По этой причине влияние влажности на показания любого прибора  являются обязательным элементом любых испытаний и исследований на предмет  выявления систематической погрешности. Погрешности метода измерения или теоретические погрешности Любое измерение имеет предел точности. Какой бы мы не создали измерительный  инструмент, всегда будут существовать рамки возможной точности, превзойти которые  созданием совершенных измерительных устройств невозможно. Всегда при измерениях  идут на допущения, отклонения от идеальных ситуаций, от функциональных  зависимостей, ограничивая трудоемкость процесса на основании принципа достаточности  точности измерения для решения практической задачи. Такие допущения приходится  делать во всех видах измерений. В механических измерениях на практике постоянно присутствующей систематической  погрешностью является сила Архимеда, по разному действующая на взвешиваемый  предмет и на гири. Учет  силы Архимеда делается только при взвешивании на высшем  уровне точности при аттестации мер высшего разряда. Во всех практических измерениях  массы такие поправки не делаются, ограничивая тем самым точность определения массы. В электрических измерениях постоянным источником систематической погрешности  являются собственные сопротивления приборов, собственная распределенная емкость и  индуктивность проводников. При использовании законов для цепей постоянного и  переменного тока как правило собственные электрические параметры не учитываются. Не учитываются в большинстве случаев и возможные термоЭДС в цепи или образования  гальванических пар. Можно свести эти погрешности к минимуму тщательным  исследованием цепей, но в реальных случаях стремятся работать в таких ситуациях, когда влияние перечисленных причин ничтожно в сравнении с необходимой и достаточной  точностью измерений. Измерения физико­химических величин в каждой конкретной задаче имеет определенные  систематические погрешности, специфические для данного вида измерения. Прежде всего это порог чувствительности датчика концентрации какого­либо вещества.  Детектирование отдельных атомов, т. е. отсутствие порога чувствительности, имеет место только для весьма специфических методов и для очень узкого класса веществ. Второй  фактор ­ вещество, например вода, может входить как в виде собственно молекул воды,  так и в виде кристаллизационной воды. Особенно сложно выявить фактор многообразия  различных форм существования измеряемого компонента в случае элементного анализа. Так, водород может встречаться в газе или в воздухе в виде молекул водорода Н^, может  входить в состав паров воды, в состав углеводородов и т. д. Если при измерениях  используется метод с предварительной атомизацией пробы, то информацию о содержании  водорода в составе какого­либо соединения можно получить только с использованием  дополнительных усилий, например с использованием хроматографической колонки,  которая разделит компоненты пробы по массам. В температурных измерениях всегда существуют погрешности, связанные с  температурными градиентами, т. е. с неоднородностью температурного поля.  Практически невозможно реализовать такую ситуацию, когда все части термометра будут находиться в одинаковых температурных условиях, а это приведет к тому, что в  жидкостных термометрах не весь объем жидкости примет измеряемую температуру, а  термопарный термометр кроме полезного сигнала зарегистрирует все влияния  температурных градиентов на ЭДС термопары. В оптических измерениях, особенно в измерении характеристик светового потока ­  фотометрии, постоянный источник систематических погрешностей ­ это рассеянный свет  в измерительных приборах. Поскольку не существует идеально отражающих и идеально  поглощающих поверхностей, в любой ситуации внутри каждого прибора существует  некий постоянный фон паразитной подсветки. В прецизионных оптических прибоpax  принимаются специальные меры борьбы с рассеянным светом: устанавливаются  светофильтры, предварительные монохроматизаторы излучения, изготавливаются  специфические дифракционные решетки (голографические).Тем не менее на каком­то  уровне рассеянный свет присутствует в оптических измерениях всегда. В приборах для измерения показателей преломления ­  рефрактометрах ­  систематическая погрешность обычно связана с влиянием показателя преломления  воздуха. Чтобы исключить эту погрешность, рефрактометры высокой точности иногда  вакуумируют, т. е. откачивают из объема прибора воздух. Эта процедура делает прибор  громоздким и дорогим, поэтому по такому пути идут только при крайней необходимости. Чаще просто вносят поправки на преломление воздуха, используя таблицы показателя  преломления при различных температурах и давлениях. В магнитных измерениях источником систематической погрешности служит, как уже  указывалось, магнитное поле Земли, а также электромагнитные поля, создаваемые теле­ и  радиопередатчиками, системами связи, линиями электропередач. В зависимости от  расстояния между измерительным прибором и источником помех такого рода влияние  может быть очень сильным. Методы борьбы с такими погрешностями достаточно хорошо освоены: это либо защита измерительных приборов экранами, либо измерение уровня  помех другими, более чувствительными и более точными специальными приборами. К систематическим погрешностям метода измерения относятся не только перечисленные  погрешности, которые можно назвать инструментальными, поскольку они есть следствие  влияния каких­либо причин на измерительный прибор, но и систематические погрешности метода или процедуры приготовления объекта к измерениям. Особенно наглядно это  видно в измерениях состава веществ и материалов. Например, существует  распространенный метод определения влажности зерна путем взвешивания определенного его количества до и после сушки. При этом полагается, во­первых, что испаряется вся  влага и, во­вторых, что ничего, кроме воды, не испаряется. Понятно, что и то и другое  справедливо только с какими­то допущениями. Другой пример ­ измерение содержания  двуокиси серы в дымовых газах. Если в пробозаборном тракте есть следы влаги, а сам  зонд находится при комнатной температуре, то сернистый газ по пути транспортировки  от трубы до измерительного прибора прореагирует с парами воды с образованием серной  кислоты. Естественно, что прибор покажет неверное, заниженное значение концентрации  двуокиси серы. Еще один источник систематической погрешности, связанный с несовершенством методов измерения, имеет место в тех случаях, когда приходится пользоваться при измерениях  какими­либо таблицами или справочными данными. Любые данные в справочниках  получены с определенной погрешностью, которая переносится на объект измерения  автоматически. Такого же рода погрешности появляются при использовании стандартных  образцов. Погрешности в аттестации стандартного образца непосредственно  ограничиваютточность измерения в любом методе, когда используются при калибровке и  градуировке стандартные образцы. После перечисления многочисленных причин появления систематических погрешностей,  заключенных в методе измерения, может показаться, что точно вообще ничего измерить  невозможно. На самом деле в большинстве случаев обеспечивается достаточный запас  точности, или проводятся специальные исследования по выявлению причин  систематических погрешностей. После этого вносятся поправки либо в показания шкал  приборов, либо в методику измерений. Субъективные систематические погрешности На результаты измерений непосредственное влияние оказывает квалификация персонала и индивидуальные особенности человека, работающего на приборе. Для полной  реализации возможностей измерительного прибора или метода предела для  совершенствования не существует. В главе, посвященной эталонам, изложена история совершенствования эталона длины. На таком уровне обычных инженерных знаний  недостаточно, по этой причине процесс измерения ставят рядом с искусством. Понятно,  что получить информацию о результатах измерений состава атмосферы на Венере,  расшифровать ее и оценить погрешность может только очень квалифицированный  человек. С другой стороны, некоторые измерения, например температуры тела человека,  может выполнить любой, даже неграмотный человек. На субъективные погрешности измерений влияют самые разнообразные особенности  человека. Известно, что время реакции на звук, на свет, на запах, на тепло у каждого  человека разное. Хорошо известно, что дискретные кадры в кино или в телевизоре,  следующие 25 раз в секунду, воспринимаются наблюдателем как непрерывная картина. Из этого следует, что между откликом прибора и реакцией человека временной интервал в  1/25 секунды не может быть зарегистрирован. Еще одним наглядным примером влияния оператора на результат измерения служат  измерения цвета. Человеческий глаз имеет два аппарата зрения ­ дневной и сумеречный.  Дневной аппарат представляет собой комбинацию из красных, зеленых и синих  рецепторов. У большой части людей наблюдаются отклонения от средних статистических  характеристик ­ хорошо известный дефект, называемый в обиходе дальтонизмом. У  человека может ненормально функционировать либо какой­нибудь рецептор, либо какой­ нибудь аппарат зрения. Принято проверять на правильность цветовосприятия только  водителей транспорта. Обычный персонал, занимающийся измерениями, никто на  цветовосприятие не проверяет. Это может привести к неверным измерениям координат  цвета или температуры пирометром, т. е. в тех случаях, когда используются визуальные  методы оценки яркости или цвета. Известно также, что у человека цветовосприятие  может измениться с возрастом. Это связано с тем, что стекловидное тело глаза с  возрастом желтеет, в результате чего цвет одним и тем же человеком воспринимается с  годами по­разному. Некоторые художники, восстанавливавшие свои собственные картины через десятки лет, изображали все в синих тонах. Субъективное восприятие человеком результата измерения в большой степени  определяется также опытом работы. Например, при измерении состава сплавов  визуальным стилометром опыт работы является определяющим в получении  достоверного и точного результата. Опытный оператор по появлению спектральных линий в поле зрения прибора может определить не только тип сплава, но и количественное  содержание в нем многих элементов. Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения Пусть измеряемая имеет известное значение величина X. Естественно, отдельные,  найденные в процессе измерения значения этой величины x1,x2,…xn заведомо не вполне  точны, т.е. не совпадают с X. Тогда величина  погрешностью i­го измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее  арифметическое  ,которое рассчитывают по формуле: будет являться абсолютной  (1) Однако при малых объемах выборки вместо  предпочтительнее  пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х,  при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме.  Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так  называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна  значению среднего члена ряда. Например, для n=3  Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов.  Например, для n=4      Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение  выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность  определения: (2) Выборочное стандартное отклонение sзависит от объема выборки n и ее значение  колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним  десятичным знаком. При очень большом числе выборки (n> ) случайные погрешности могут быть описаны  при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n распределение  может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная  ненадежность устраняется модифицированным симметричным t­распределением.  Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который  в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет  перейти от выборки к генеральной совокупности. Стандартное отклонение среднего результата  определяется по формуле: (3)  выборки и средним значением генеральной  Разности между средним  совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального  распределения и связанного с ним t­распределения определяются следующим  выражением: (4) Величина  серийных анализов обычно полагают Р = 0,95. является доверительным интервалом среднего значения  . Для    Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t) f 1 2 3 4 Р=0,90 Р=0,95 Р=0,98 Р=0,99 6,31 2,92 2,35 2,13 12,7 4,30 3,18 2,78 31,8 6,97 4,54 3,75 63,6 9,93 5,84 4,60 5 6 7 8 9 10 11 12 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,05   Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать  стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68. Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа                                                      Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата  = 0,679 .       По табл. 1 (приложение) находят для f = n­1= 9 коэффициент Стьюдента (Р = 0,95) t =  2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. По табл. 1 (приложение) находят для f=n­1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 и  рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее  значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn. Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида  при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа.  Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного  измерения, отвечающего 95 % ­ й доверительной вероятности. Решение. Коэффициент Стьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен  2,31. Учитывая, что   и  , найдем:  ­ ширина доверит.  интервала для среднего значения  ­ ширина доверит.  интервала для единичного измерения значения Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных  средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s. Имея m проб и  для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в  виде таблицы: Номер образца 1 2 3 … j… m Номер анализа 1 x11 x21 x31 … … … 2 i…nj x12 x1i… x22 x2i… x32 x3i… … … … … … … Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:          (5) со степенями свободыf = n – m, где n – общее число определений, n = m.nj. Пример 2. Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с  различным содержанием его. Значения анализа, % Mn: 1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.  2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.  3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.  4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95. 5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19. Решение. По формуле (1) находят средние значения в каждой пробе, затем для каждой  пробы рассчитывают квадраты разностей, по формуле (5) ­ погрешность. 1)   = (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305. 2)  = (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4  = 0,578. 3)  = (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705. 4)  = (0,92+0,92+0,95+0,95)/4  =0,935. 5)   = (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19. Значения квадратов разностей 1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10­3.  2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10­3.  3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10­3. 4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10­3. 5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10­3. Средняя погрешность для f = 4,5 – 5 = 15   s = 0,014 % (абс. при f=15 степеням свободы). Когда проводят по два параллельных определения для каждого образца и находят  значения х' и х", для образцов уравнение преобразуется в выражение: (6) при f = m степеней свободы. Пример 3. Найти среднюю погрешность в фотометрическом определении хрома в стали по двукратному анализу десяти проб с разным содержанием. Решение. Расчет производят по таблице (с учетом формулы (6)): Проба х' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3,77 2,52 2,46 3,25 1,82 2,05 0,88 1,04 1,10 1,52 х" 3,75 2,55 2,48 3,20 1,85 2,10 0,90 1,02 1,13 1,48 х'­х" (х'­х")2 0,02 0,03 0,02 0,05 0,03 0,05 0,02 0,02 0,03 0,04 0,0004 0,0009 0,0004 0,0025 0,0009 0,0025 0,0004 0,0004 0,0009 0,0004     Средняя погрешность по формуле (6) равна 0,023 % Cr (при f=10 степеням свободы).       см. также Математическая обработка результатов химического анализа 1. О математической обработке результатов химического анализа 2. Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения 3. Запись результатов измерений 4. Сравнение средних результатов химического анализа. t  ­критерий Стьюдента 5. Проблема подозрительно выделяющихся значений 6. Погрешности косвенных измерений. Погрешность функций одного или нескольких  переменных Дискретная математика ­ область математики, изучающий свойства дискретных  структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в ее приложениях.  К таким структурам могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также  некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы,  машины Тьюринга и так далее. Это примеры структур конечного характера. Раздел  дискретной математики, изучающий их, называется конечной математикой. Иногда же это понятие расширяют до дискретной математики. Кроме указанных конечных структур,  дискретная математика изучает некоторые системы уравнений, бесконечные графы,  вычислительные схемы определенного вида, клеточные автоматы и т. д. Как синоним  иногда употребляется термин «дискретный анализ». Свойства дискретных структур: ­ конечные структуры; ­ конечные графы; ­ некоторые  математические модели преобразователей информации; ­ конечные автоматы; ­ машины  Тьюринга;... Дискретность ­ это прерывность. Дискретная математика ­ это отрасль математики, которая изучает проблемы,  касающиеся конечных множеств. Дискретная математика является одной из  содержательных частей информатики, а именно теоретической части. В школьных курсах встречаются такие вопросы дискретной математики, как: теория  графов, дискретная оптимизация, рекурсивные функции, алгебра логики, теория  алгоритмов, линейное программирование, математическое моделирование, теория  кодирования. В документах UNESCO указывается, что требуется пересмотр всей системы изучения  математических наук с усилением роли дискретной математики.