Поделиться
Логарифмы.pptx
Логарифмы
Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий, и путь опыта – это путь самый горький.
Конфуций
Тема: Логарифмы. Обобщающий урок
Цель урока повторение определения логарифма, свойств логарифмов, которые значительно упрощают нахождение значений выражений, содержащих логарифмы, обобщение знаний о десятичных и натуральных логарифмах. А еще узнаем что-то новое и удивительное о логарифмах.
Задачи урока:
Повторить, обобщить и закрепить знания, полученные ранее.
Отработать навыки вычисления десятичных и натуральных логарифмов.
Продемонстрировать умение работать в группе.
Логарифмы изобрели двое учёных независимо друг от друга в начале 16 века. Это шотландский математик Джон Непер – изобретатель таблицы логарифмов, и Йост Бюрги – швейцарский и немецкий математик, астроном, известен как автор логарифмических вычислений.
Ученый и изобретатель, основоположник современной космонавтики Константин Эдуардович Циолковский применил логарифмы для расчета скорости ракеты.
Логарифмы есть в музыке. Оказывается, каждая клавиша рояля есть логарифмы числа колебаний соответствующего звука.
Используются в биологии для определения точного возраста ископаемых пород и животных.
Даже в спорте используются логарифмы. Число кругов игры по олимпийской системе рассчитывается с помощью логарифмов.
История и применение логарифмов
log 𝑎 𝑏 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 log 𝑎 𝑏 =𝑥𝑥
𝑎 𝑥 =𝑏
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b
Свойства логарифмов (a 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0, n ≠ 1)
log 𝑎 (𝑥∙𝑦) log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 (𝑥∙𝑦) (𝑥𝑥∙𝑦𝑦) log 𝑎 (𝑥∙𝑦) | log 𝑎 𝑏 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 log 𝑎 𝑏 |
log 𝑎 𝑥 𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑦 𝑥 𝑦 log 𝑎 𝑥 𝑦 | 𝑏 |
log 𝑎 𝑏 𝑛 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑛 𝑏 𝑛 𝑏𝑏 𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 log 𝑎 𝑏 𝑛 | log 𝑎 𝑥 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑦 𝑦𝑦 log 𝑎 𝑦 |
log 𝑎 𝑛 𝑏 log 𝑎 𝑛 log log 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 log 𝑎 𝑛 log 𝑎 𝑛 𝑏 𝑏𝑏 log 𝑎 𝑛 𝑏 | 0 |
𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑎𝑎 𝑎 log 𝑎 𝑏 log 𝑎 𝑏 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 log 𝑎 𝑏 𝑎 log 𝑎 𝑏 | n log 𝑎 𝑏 n log 𝑎 n log n log 𝑎 𝑎𝑎 n log 𝑎 n log 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 n log 𝑎 𝑏 |
log 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 log 𝑎 𝑛 log log 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑛𝑛 𝑎 𝑛 log 𝑎 𝑛 log 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑏 𝑛 𝑏𝑏 𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 log 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 | 1 |
log 𝑎 1 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 1 1 log 𝑎 1 | log 𝑎 𝑥 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑦 𝑦𝑦 log 𝑎 𝑦 |
log 𝑎 𝑎 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 𝑎 | 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 log 𝑎 𝑏 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 log 𝑎 𝑏 |
log 2 8= log 2 log log 2 2 log 2 log 2 8= 8= log 2 8= | так как 8=2 8=2 8=2 8=2 |
log 5 =3 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 =3 =3 log 5 =3 | так как 5 3 5 5 3 3 5 3 = |
log 9 =1 log 9 log log 9 9 log 9 log 9 =1 =1 log 9 =1 | так как 9 1 9 9 1 1 9 1 = |
log 3 =−3 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 =−3 =−3 log 3 =−3 | так как 3 −3 3 3 −3 −3 3 −3 = |
log 2 256= log 2 log log 2 2 log 2 log 2 256= 256= log 2 256= | так как 2 2 2 2 =256 |
log 5 1 5 = log 5 log log 5 5 log 5 log 5 1 5 = 1 5 1 1 5 5 1 5 = log 5 1 5 = | так как 5 5 5 5 = 1 5 1 1 5 5 1 5 |
log 4 =0 log 4 log log 4 4 log 4 log 4 =0 =0 log 4 =0 | так как 4 0 4 4 0 0 4 0 = |
log 1 3 9= log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 9= 9= log 1 3 9= | так как 1 3 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 =9 |
log 2 8=3 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 8=3 8=3 log 2 8=3 | так как 8=2 3 8=2 8=2 3 3 8=2 3 |
log 5 125 =3 log 5 log log 5 5 log 5 125 log 5 125 =3 =3 log 5 125 =3 | так как 5 3 5 5 3 3 5 3 =125 |
log 9 9 =1 log 9 log log 9 9 log 9 9 log 9 9 =1 =1 log 9 9 =1 | так как 9 1 9 9 1 1 9 1 =9 |
log 3 1 27 =−3 log 3 1 27 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 1 27 1 27 1 1 27 27 1 27 log 3 1 27 log 3 1 27 =−3 =−3 log 3 1 27 =−3 | так как 3 −3 3 3 −3 −3 3 −3 = 1 27 1 1 27 27 1 27 |
log 2 256=8 log 2 log log 2 2 log 2 log 2 256=8 256=8 log 2 256=8 | так как 2 8 2 2 8 8 2 8 =256 |
log 5 1 5 =−1 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 1 5 =−1 1 5 1 1 5 5 1 5 =−1 log 5 1 5 =−1 | так как 5 −1 5 5 −1 −1 5 −1 = 1 5 1 1 5 5 1 5 |
log 4 1 =0 log 4 log log 4 4 log 4 1 log 4 1 =0 =0 log 4 1 =0 | так как 4 0 4 4 0 0 4 0 =1 |
log 1 3 9= log 1 3 log log 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 log 1 3 log 1 3 9= 9= log 1 3 9= −2 | так как 1 3 −2 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 −2 −2 1 3 −2 =9 |
log 𝑎 𝑏 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 log 𝑎 𝑏 =𝑥𝑥
𝑎 𝑥 =𝑏
Задания для устного счета:
Практическое задание
log 8 12− log 8 15 + log 8 20= log 8 log log 8 8 log 8 log 8 12− log 8 15 + log 8 20= 12− log 8 15 log 8 log log 8 8 log 8 log 8 15 15 log 8 15 + log 8 20= log 8 log log 8 8 log 8 log 8 20= 20= log 8 20= log 8 12− log 8 15 + log 8 20=
log 9 15+ log 9 18 − log 9 10= log 9 log log 9 9 log 9 log 9 15+ log 9 18 − log 9 10= 15+ log 9 18 log 9 log log 9 9 log 9 log 9 18 18 log 9 18 − log 9 10= log 9 log log 9 9 log 9 log 9 10= 10= log 9 10= log 9 15+ log 9 18 − log 9 10=
log 12 72− log 12 36 + log 12 6= log 12 log log 12 12 log 12 log 12 72− log 12 36 + log 12 6= 72− log 12 36 log 12 log log 12 12 log 12 log 12 36 36 log 12 36 + log 12 6= log 12 log log 12 12 log 12 log 12 6= 6= log 12 6= log 12 72− log 12 36 + log 12 6=
log 5 75− log 5 3 + log 5 25= log 5 log log 5 5 log 5 log 5 75− log 5 3 + log 5 25= 75− log 5 3 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 3 3 log 5 3 + log 5 25= log 5 log log 5 5 log 5 log 5 25= 25= log 5 25= log 5 75− log 5 3 + log 5 25=
4/3
3/2
1
4
Десятичный логарифм
Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10.
Обозначается 𝑙𝑙𝑔𝑔𝑥𝑥, т.е. log 10 𝑥=𝑙𝑔𝑥 log 10 log log 10 10 log 10 log 10 𝑥=𝑙𝑔𝑥 𝑥𝑥=𝑙𝑙𝑔𝑔𝑥𝑥 log 10 𝑥=𝑙𝑔𝑥
Примеры: 𝑙𝑙𝑔𝑔10=1; 𝑙𝑙𝑔𝑔0,001=−3
Десятичный логарифм чисел 10; 100; 1000… равен количеству нулей: 1, 2, 3
Десятичный логарифм чисел 0,1; 0,01; 0,001… равен количеству нулей перед единицей со знаком минус: -1, -2, -3…
𝑙𝑙𝑔𝑔1=0 | так как 1= 10 0 10 10 0 0 10 0 |
𝑙𝑙𝑔𝑔10=1 | так как 10= 10 1 10 10 1 1 10 1 |
𝑙𝑙𝑔𝑔1000=3 | так как 1000= 10 3 10 10 3 3 10 3 |
𝑙𝑙𝑔𝑔0,01=−2 | так как 0,01= 10 −2 10 10 −2 −2 10 −2 |
𝑙𝑙𝑔𝑔0,001=−3 | так как 0,001= 10 −3 10 10 −3 −3 10 −3 |
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е.
Обозначается 𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥, т.е. log 𝑒 𝑥=𝑙𝑛𝑥 log 𝑒 log log 𝑒 𝑒𝑒 log 𝑒 log 𝑒 𝑥=𝑙𝑛𝑥 𝑥𝑥=𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥 log 𝑒 𝑥=𝑙𝑛𝑥
Число е – число Эйлера, является иррациональным, его приближенное значение 2,718281828….
Экспонента – показательная функция 𝒚𝒚= 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 ,
Натуральный логарифм числа b – это есть значение степени, в которую возводится число e, для получения b.
Пример: ln e-3 = - 3; ln e = 1
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 𝑛 lim 𝑛→∞ lim lim 𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ lim 𝑛→∞ lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 𝑛 1+ 1 𝑛 𝑛 1+ 1 𝑛 1+ 1 𝑛 1 1 𝑛 𝑛𝑛 1 𝑛 1+ 1 𝑛 1+ 1 𝑛 𝑛 𝑛𝑛 1+ 1 𝑛 𝑛 lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 𝑛 , и этот предел равен числу е (2,71828)
«Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой» — это мнемоническое стихотворение, которое помогает запомнить значение числа e (2,7 1828 1828)
Задание 1: вычислить 2𝑙𝑙𝑔𝑔0,1+3𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑒 2 𝑒𝑒 𝑒 2 2 𝑒 2
Решение: применим свойства логарифма степени log 𝑎 𝑏 𝑛 =𝑛 log 𝑎 𝑏 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑛 =𝑛 log 𝑎 𝑏 𝑏 𝑛 𝑏𝑏 𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑏 𝑛 =𝑛𝑛 log 𝑎 𝑏 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑏 𝑏𝑏 log 𝑎 𝑏 log 𝑎 𝑏 𝑛 =𝑛 log 𝑎 𝑏 , а также log 𝑎 𝑎 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 𝑎 =1, тогда
2𝑙𝑙𝑔𝑔0,1+3𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑒 2 𝑒𝑒 𝑒 2 2 𝑒 2 =2∙ −1 −1 −1 +2∙3𝑙𝑙𝑛𝑛𝑒𝑒=−2+6=4
Задание 2: вычислить 𝑙𝑙𝑛𝑛2 𝑒 2 𝑒𝑒 𝑒 2 2 𝑒 2 +𝑙𝑙𝑛𝑛 1 2𝑒 1 1 2𝑒 2𝑒𝑒 1 2𝑒
Решение: применим свойство суммы логарифмов log 𝑎 𝑥 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑥 𝑥𝑥 log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 𝑦 𝑦𝑦 log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 (𝑥∙𝑦) log 𝑎 log log 𝑎 𝑎𝑎 log 𝑎 log 𝑎 (𝑥∙𝑦) (𝑥𝑥∙𝑦𝑦) log 𝑎 (𝑥∙𝑦) , и определение натурального логарифма, тогда
𝑙𝑙𝑛𝑛2 𝑒 2 𝑒𝑒 𝑒 2 2 𝑒 2 +𝑙𝑙𝑛𝑛 1 2𝑒 1 1 2𝑒 2𝑒𝑒 1 2𝑒 = ln 2 𝑒 2 ∙ 1 2𝑒 ln ln 2 𝑒 2 ∙ 1 2𝑒 2 𝑒 2 ∙ 1 2𝑒 2 𝑒 2 𝑒𝑒 𝑒 2 2 𝑒 2 ∙ 1 2𝑒 1 1 2𝑒 2𝑒𝑒 1 2𝑒 2 𝑒 2 ∙ 1 2𝑒 ln 2 𝑒 2 ∙ 1 2𝑒 =𝑙𝑙𝑛𝑛𝑒𝑒=1
Вычислить:
3log 8 2 3log 8 3log 3log 8 8 3log 8 3log 8 2 2 3log 8 2 + 2 log 8 2 2 log 8 log log 8 8 log 8 2 log 8 2 2 2 log 8 2
log 32 200 log 32 log log 32 32 log 32 log 32 200 200 log 32 200 − log 32 25 log 32 log log 32 32 log 32 log 32 25 25 log 32 25
10 𝑙𝑔5−𝑙𝑔7 10 10 𝑙𝑔5−𝑙𝑔7 𝑙𝑙𝑔𝑔5−𝑙𝑙𝑔𝑔7 10 𝑙𝑔5−𝑙𝑔7
0,8 3 log 0,8 10 0,8 0,8 3 log 0,8 10 3 log 0,8 10 log 0,8 log log 0,8 0,8 log 0,8 log 0,8 10 10 log 0,8 10 0,8 3 log 0,8 10
Самостоятельная работа
Вычислить:
log 216 27 log 216 log log 216 216 log 216 log 216 27 27 log 216 27 + log 16 16 log 16 log log 16 16 log 16 log 16 16 16 log 16 16 + log 6 3 log 6 log log 6 6 log 6 log 6 3 3 log 6 3
log 0,2 125 log 0,2 log log 0,2 0,2 log 0,2 log 0,2 125 125 log 0,2 125 : log 16 64 log 16 log log 16 16 log 16 log 16 64 64 log 16 64 ∙ log 3 81 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 81 81 log 3 81
log 1 2 16∙ log 5 1 25 : 9 log 3 2 log 1 2 log log 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 log 1 2 log 1 2 16∙ log 5 1 25 : 9 log 3 2 16∙ log 5 1 25 : 9 log 3 2 log 5 log log 5 5 log 5 log 5 1 25 : 9 log 3 2 1 25 1 1 25 25 1 25 : 9 log 3 2 9 9 log 3 2 log 3 2 log 3 log log 3 3 log 3 log 3 2 2 log 3 2 9 log 3 2 log 5 1 25 : 9 log 3 2 log 1 2 16∙ log 5 1 25 : 9 log 3 2
Домашнее задание
Морис Клайн:
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
