Презентация по физике 11 класса "Гармонические колебания"

Федоров А.М. – учитель физики Кюкяйской СОШ Сунтарского улуса Республики Саха

Ускорение — вторая производная координаты по времени

Мгновенная скорость точки, как вам известно из курса математики, представляет собой производную координаты точки по времени. Ускорение точки — это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени. Поэтому уравнение (3.4) можно записать так:


где х" — вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (3.11) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Гармонические колебания

Из курса математики известно, что вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком.
Все это позволяет с полным основанием утверждать, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса. На рисунке показано изменение координаты точки со временем по закону косинуса.








Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Поэтому решение уравнения (3.11) не может выражаться просто синусом или косинусом. Оно должно иметь вид произведения амплитуды колебаний xm на синус или косинус.
Запишем решение уравнения (3.11) в следующем виде:


В этом случае первая производная принимает вид


а вторая производная будет равна:


Обозначим постоянную величину  зависящую от свойств системы, через ω0:


х = xm cos ω0t.  Само же уравнение (3.11) принимает вид


Период и частота гармонических колебаний

Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний.
Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например за секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду


В Международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если за секунду совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.
Число колебаний за 2π с равно:

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы.

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Собственная частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, согласно уравнению (3.13) равна:


Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m. Это легко понять: жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела. А чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы. Период колебаний равен:



Замечательно, что период колебаний тела на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний.
Для математического маятника получим:

Введем еще одну величину, характеризующую гармонические колебания, — фазу колебаний.
При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса: φ = ω0t.
Величину φ, стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах — радианах.
Фаза определяет не только значение координаты, но и значение других физических величин, например скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. В этом состоит значение понятия фазы.
Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.
Так как  то

Отношение t/T  указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t, выраженному в числе периодов Т, соответствует значение фазы ϕ, выраженное в радианах. Так, по прошествии времени  Т/4(четверти периода)  по прошествии половины периода ϕ = π, по прошествии целого периода Т ϕ = 2π и т. д.

Представление гармонических колебаний с помощью косинуса и синуса

Синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на , что соответствует, как видно из уравнения (3.21), промежутку времени, равному четверти периода:


Поэтому вместо формулы х = хm cos ω0t можно для описания гармонических колебаний использовать формулу


Но при этом начальная фаза, т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а π/2.

Начальная фаза

Но если бы мы возбудили колебания покоящегося тела кратковременным толчком, то координата тела в начальный момент была бы равна нулю, и изменения координаты со временем было бы удобнее описывать с помощью синуса, т. е. формулой
х = хm sin ω0t,                           (3.24)
так как при этом начальная фаза равна нулю.
Если в начальный момент времени (при t = 0) фаза колебаний равна ϕ, то уравнение колебаний можно записать в виде
х = хm sin (ω0t + ϕ).

Сдвиг фаз

График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону: х = хm sin ω0t, а график 2 — колебаниям, совершающимся по закону косинуса:


Для определения разности фаз двух колебаний надо в обоих случаях колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию — косинус или синус.


Смещая шарик, прикрепленный к пружине (см. рис. 3.3), вправо на расстояние хm, мы сообщаем колебательной системе потенциальную энергию:


При движении шарика влево деформация пружины становится меньше, и потенциальная энергия системы уменьшается. Но одновременно увеличивается скорость и, следовательно, возрастает кинетическая энергия. В момент прохождения шариком положения равновесия потенциальная энергия колебательной системы становится равной нулю (Wп = 0 при х = 0). Кинетическая же энергия достигает максимума.
Полная механическая энергия при колебаниях тела, прикрепленного к пружине, равна сумме кинетической и потенциальной энергий колебательной системы:


Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. Но полная механическая энергия изолированной системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, сохраняется (согласно закону сохранения механической энергии) неизменной. 

Полная механическая энергия системы

Она равна либо потенциальной энергии в момент максимального отклонения от положения равновесия, либо же кинетической энергии в момент, когда тело проходит положение равновесия:



Энергия колеблющегося тела прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний координаты или квадрату амплитуды колебаний скорости.
Свободные колебания груза, прикрепленного к пружине, или маятника являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения. Но силы трения, или, точнее, силы сопротивления окружающей среды, хотя, может быть, и малые, всегда действуют на колеблющееся тело.
Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы

Силы сопротивления совершают отрицательную работу и тем самым уменьшают механическую энергию системы. Поэтому с течением времени максимальные отклонения тела от положения равновесия становятся все меньше и меньше. В конце концов, после того как запас механической энергии окажется исчерпанным, колебания прекратятся совсем. Колебания при наличии сил сопротивления являются затухающими.

Использованные ссылки

https://yandex.ru/tutor/subject/tag/problems/?ege_number_id=41&tag_id=19