Презентация по физике 11 класса "Вынужденные колебания"

Федоров А.М. – учитель физики Кюкяйской СОШ Сунтарского улуса Республики Саха

Вынужденные колебания

Колебания под действием внешней периодической силы называются вынужденными. Работа этой силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который и не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Раскачать качели до больших амплитуд можно только под действием такой периодической внешней силы, которая изменяется с частотой, равной частоте свободных колебаний качелей (маятника).

Человек на качелях может самостоятельно раскачаться. Для этого он должен приседать при наибольших отклонениях качелей от положения равновесия и выпрямляться в положении равновесия. Такие колебания, называемые параметрическими, мы рассматривать не будем.

Наблюдение вынужденных колебаний

Рассмотрим вместо маятника груз, подвешенный на пружине. Но теперь верхний конец пружины будет прикреплен к «колену» изогнутой оси (рис. 1.16). Если вращать ось с помощью рукоятки, то на груз, прикрепленный к пружине, начнет действовать периодическая внешняя сила. Еще лучше вращать ось с помощью электродвигателя. Это обеспечит большую стабильность частоты внешней силы.
Постепенно груз начнет раскачиваться. Амплитуда его колебаний нарастает. Спустя некоторое время колебания приобретут установившийся характер: их амплитуда со временем перестанет изменяться. Присмотревшись внимательно, вы обнаружите, что частота колебаний груза будет в точности равна частоте колебаний точки подвеса пружины, т. е. частоте изменения внешней силы. (Эта частота равна угловой скорости вращения рукоятки.) В этом ничего неожиданного нет. Если толкать груз вверх и вниз, то он в конце концов начнет качаться с той же частотой, с которой вы действуете на него.

Автоколебания

Особую разновидность вынужденных колебаний составлют так называемые автоколебания (греч. «автос» – сам). Для знакомства с ними проделаем опыт. Под стальной гирей, висящей на пружине, расположим электромагнит. Если мы будем попеременно включать и выключать ток, то гиря начнет совершать вынужденные колебания. Сделаем теперь так, чтобы гиря, колеблющаяся вверх-вниз, сама замыкала и размыкала цепь. Взгляните на рисунок.
Верхний и нижний провода уходят за край рисунка, где присоединяются к источнику тока. Средний провод зажат прищепкой так, что касается гири, пока она вверху. Ток, проходя через пружину, гирю, средний провод и катушку, намагничивает ее сердечник. Гиря сделана из стали, поэтому она притягивается к сердечнику, то есть движется вниз. Вскоре она отсоединяется от среднего провода, ток прекращается, и магнитное поле исчезает. Под действием пружины гиря поднимется вверх и снова замыкает цепь.
Итак, автоколебаниями называют незатухающие колебания, происходящие за счет энергии, периодическое поступление которой регулируется самим колеблющимся телом.

Резонанс

Самый интересный частный случай вынужденных колебаний — это случай совпадения частоты колебаний внешней периодической силы с собственной частотой колебаний системы (ω ≈ ω0).
В этом случае первый член уравнения (1.9.5), который можно записать так:
взаимно уничтожается с третьим членом, равным Эти два члена в любой момент времени одинаковы по модулю, но имеют противоположные знаки, так как ускорение и координата при любом гармоническом колебании сдвинуты по фазе на π.
В результате уравнение (1.9.5) принимает вид

Это простое уравнение отражает всю суть явления. При ω ≈ ω0 в любой момент времени (еще раз подчеркнем, что речь идет об установившихся колебаниях) внешняя сила как бы исключает из игры силу сопротивления. В результате ускорение телу сообщается только силой упругости пружины. В сущности, реализуется очень необычная ситуация: гармонические колебания существуют в системе сколь угодно длительное время, несмотря на действие силы сопротивления.

Резонанс

Из уравнения (1.10.1) видно, что при ω ≈ ω0 фаза колебаний скорости совпадает с фазой колебаний внешней силы. Работа внешней силы при этих условиях положительна на всем протяжении периода. Создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к колебательной системе.
Положительная работа внешней силы в точности равна по модулю отрицательной работе силы сопротивления. Из-за этого механическая энергия за счет работы силы сопротивления переходит во внутреннюю энергию (пружина с грузом и окружающий воздух нагреваются).

Амплитуда колебаний при ω ≈ ω0 равна:



При k1 → 0 хm → ∞, т. е. очевидно, что при ω ≈ ω0 амплитуда максимальна.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний называется резонансом.

Влияние сопротивления на резонанс

Существенное влияние на резонанс оказывает сопротивление в системе. Если коэффициент сопротивления k1 имеет достаточно большое значение, то согласно уравнению (1.10.2) резонансная амплитуда колебаний невелика. При резонансе положительная работа внешней силы целиком идет на покрытие расхода энергии за счет отрицательной работы силы сопротивления. Чем меньше сила сопротивления, тем больше амплитуда установившихся колебаний.
Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты при различных коэффициентах сопротивления и одной и той же амплитуде внешней силы графически изображено на рисунке 1.21. Кривой 1 соответствует минимальный коэффициент сопротивления, а кривой 3 — максимальный. На этом рисунке хорошо видно, что возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше сопротивление в системе.

В системе с малым сопротивлением амплитуда колебаний при резонансе может быть очень большой даже в том случае, когда внешняя сила мала. Но надо хорошо уяснить, что большая амплитуда установится только спустя продолжительное время после начала действия внешней силы. В соответствии с законом сохранения энергии заставить систему колебаться с большой амплитудой, а значит, сообщить ей большую энергию с помощью сравнительно небольшой внешней силы, можно только за большой промежуток времени. Если сопротивление велико, то амплитуда колебаний будет небольшой и для установления колебаний не потребуется много времени.

Применение резонанса и борьба с ним

Если какая-либо колебательная система находится под действием внешней периодической силы, то может наступить резонанс и связанное с ним резкое увеличение амплитуды колебаний.
Любое упругое тело, будь то мост, станина машины, ее вал, корпус корабля, представляет собой колебательную систему и характеризуется собственными частотами колебаний. При работе двигателей нередко возникают периодические усилия, связанные с движением частей двигателя (например, поршней) или же с недостаточно точной центровкой их вращающихся деталей (например, валов). Если частота периодических усилий совпадает с частотой свободных колебаний, то возникает резонанс. Амплитуда колебаний может возрасти настолько, что возможна поломка машин.
Во всех этих случаях принимаются специальные меры, чтобы не допустить наступления резонанса или ослабить его действие. Для этого увеличивают затухание в системе или же добиваются, чтобы собственные частоты колебаний не совпадали с частотой внешней силы. Известны случаи, когда приходилось перестраивать океанские лайнеры, чтобы уменьшить вибрацию.
При переходе через мост воинским частям запрещается идти в ногу. Строевой шаг приводит к периодическому воздействию на мост. Если случайно частота этого воздействия совпадет с собственной частотой колебаний моста, то он может разрушиться. Такой случай произошел в 1906 г. в Петербурге при переходе кавалерийского эскадрона через мост на реке Фонтанке.

Упражнения

Сколько колебаний совершает математический маятник длиной l = 4,9 м за время t = 5 мин?
Вертикально подвешенная пружина растягивается прикрепленным к ней грузом на Δl = 0,8 см. Чему равен период Т свободных колебаний груза? (Массой пружины пренебречь.)
На горизонтальном стержне находится груз, прикрепленный к пружине (см. рис. 3.3). Другой конец пружины закреплен. В некоторый момент времени груз смещают от положения равновесия на хm = 10 см и отпускают. Определите координату груза спустя 1/8 периода колебаний. (Трение не учитывать.)







4. Груз массой 100 г совершает колебания с частотой 2 Гц под действием пружины. Определите жесткость пружины.

Домашнее задание

1. В Санкт-Петербурге в Исаакиевском соборе висел маятник Фуко, длина которого была равна 98 м. Чему был равен период колебаний маятника?

2. Шарик на пружине сместили на расстояние 1 см от положения равновесия и отпустили. Какой путь пройдет шарик за 2 с, если частота его колебаний ν = 5 Гц? (Затуханием колебаний можно пренебречь.)

3. Тело массой 200 г совершает колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой 2 см под действием пружины жесткостью 16 Н/м. Определите циклическую частоту колебаний тела и энергию системы.

4. Автомобиль движется по неровной дороге, на которой расстояние между буграми приблизительно равно 8 м. Период свободных колебаний автомобиля на рессорах 1,5 с. При какой скорости автомобиля его колебания в вертикальной плоскости станут особенно заметными?

5. Математический маятник имеет длину 97,3 см. Определи частоту вынуждающей силы, при которой наступит резонанс колебаний маятника. При расчётах прими g=9,8 м/с², π=3,14.
(Ответ округли до тысячных.)

Использованные ссылки

http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Img_Kvant-1994-03-001.jpg
http://www.sewing-master.ru/tehnologija/dvojnaja-igla.jpg
https://kovsh.com/library/ice/cylinder-piston_group/o_tcilindro-porshnevoi_gruppe
https://avtoinstruktor199.ru/assets/images/news/amortizator.jpg
https://questions-physics.ru/uchebniki/9_klass/vinuzhdennie_kolebaniya.html
http://xn--24-6kct3an.xn--p1ai/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_11_%D0%BA%D0%BB_%D0%9C%D1%8F%D0%BA%D0%B8%D1%88%D0%B5%D0%B2/29.html
http://kaplio.ru/wp-content/uploads/2015/06/image310.gif